Projekt matematyczny
|
|
|
- Andrzej Mazurek
- 3 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Projekt matematyczny Tomasz Kochanek Uniwersytet Śląski Instytut Matematyki Katowice VI Święto Liczby π 15 marca 2012 r. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 1 / 32
2 Wielkie twierdzenie Fermata Równanie x n + y n = z n nie ma rozwiązań w niezerowych liczbach całkowitych x, y, z, gdy n N, n 3. Andrew Wiles (ur w Cambridge) dowód WTF w 1993 r.; uzupełnienie luk po dwóch latach pracy ostateczna wersja dowodu opublikowana w 1995 r. w Annals of Mathematics Nagroda Wolfa w 1996 r. odznaczenie Międzynarodowej Unii Matematycznej w 1998 r. w zastępstwie Medalu Fieldsa Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 2 / 32
3 Hipoteza Poincarégo Każda zwarta, jednospójna rozmaitość topologiczna bez brzegu jest homeomorficzna ze sferą trójwymiarową. Grigorij Perelman (ur w Leningradzie) dowód hipotezy opublikowany w Internecie w 2003 r.; zweryfikowany w 2006 r. magazyn Science naukowe wydarzenie roku 2006 odmowa przyjęcia Medalu Fieldsa w 2006 r. odmowa przyjęcia nagrody 1 mln $, przyznanej przez Instytut Matematyczny Claya Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 3 / 32
4 Ciągi arytmetyczne a liczby pierwsze Istnieją dowolnie długie ciągi arytmetyczne złożone z liczb pierwszych. dowód podany w 2004 r., opublikowany w 2008 r. w Annals of Mathematics Medal Fieldsa w 2006 r. dla Terence a Tao najdłuższy znany ciąg arytmetyczny liczb pierwszych ma 26 elementów; jego różnica wynosi 23, 681, , 092, 870 Ben Green (ur w Bristolu) Terence Tao (ur w Adelajdzie) Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 4 / 32
5 Projekt matematyczny 1 Definicja Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 5 / 32
6 Projekt matematyczny 1 Definicja 2 Identyfikacja Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 5 / 32
7 Projekt matematyczny 1 Definicja 2 Identyfikacja 3 Obiekty proste Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 5 / 32
8 Projekt matematyczny 1 Definicja 2 Identyfikacja 3 Obiekty proste 4 Faktoryzacja Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 5 / 32
9 Projekt matematyczny 1 Definicja 2 Identyfikacja 3 Obiekty proste 4 Faktoryzacja 5 Reprezentacja Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 5 / 32
10 Projekt matematyczny 1 Definicja 2 Identyfikacja 3 Obiekty proste 4 Faktoryzacja 5 Reprezentacja 6 Analogia Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 5 / 32
11 Symetrie czworościanu
12 Symetrie czworościanu 4 k
13 Symetrie czworościanu 4 l k , 240 Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 6 / 32
14 Symetrie czworościanu 4 l k Liczba symetrii: = , 240 Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 7 / 32
15 Symetrie sześciokątnego dysku
16 Symetrie sześciokątnego dysku
17 Symetrie sześciokątnego dysku
18 180 60, 120, 180, 240, 300 Symetrie sześciokątnego dysku Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 8 / 32
19 Symetrie sześciokątnego dysku Liczba symetrii: = , 120, 180, 240, 300 Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 9 / 32
20 Symetrie piramidy o podstawie dwunastokątnej Liczba symetrii: k 30, 0 k < 12 Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 10 / 32
21 Brak przemienności między symetriami czworościanu r obrót o 120 wokół osi l s obrót o 180 wokół osi k Wynik zastosowania operacji r: 4 l 4 l k k , , 240 Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 11 / 32
22 Brak przemienności między symetriami czworościanu r obrót o 120 wokół osi l s obrót o 180 wokół osi k Wynik zastosowania operacji s r: 4 l 1 l k k , , 240 Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 12 / 32
23 Brak przemienności między symetriami czworościanu r obrót o 120 wokół osi l s obrót o 180 wokół osi k Wynik zastosowania operacji s: 4 l 2 l k k , , 240 Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 13 / 32
24 Brak przemienności między symetriami czworościanu r obrót o 120 wokół osi l s obrót o 180 wokół osi k Wynik zastosowania operacji r s: 2 l 2 l k k , , 240 Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 14 / 32
25 Symetrie czworościanu, dysku i piramidy Każda z trzech figur ma 12 symetrii, ale różnią się one istotnie: piramida ma tylko jedną oś symetrii; Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 15 / 32
26 Symetrie czworościanu, dysku i piramidy Każda z trzech figur ma 12 symetrii, ale różnią się one istotnie: piramida ma tylko jedną oś symetrii; wszystkie symetrie piramidy są przemienne, w odróżnieniu od symetrii czworościanu i dysku sześciokątnego; Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 15 / 32
27 Symetrie czworościanu, dysku i piramidy Każda z trzech figur ma 12 symetrii, ale różnią się one istotnie: piramida ma tylko jedną oś symetrii; wszystkie symetrie piramidy są przemienne, w odróżnieniu od symetrii czworościanu i dysku sześciokątnego; istnieje tylko jedna symetria piramidy (obrót o 180 ), która złożona ze sobą jest identycznością. Dla czworościanu i dysku takich symetrii jest więcej. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 15 / 32
28 Symetrie czworościanu, dysku i piramidy Każda z trzech figur ma 12 symetrii, ale różnią się one istotnie: piramida ma tylko jedną oś symetrii; wszystkie symetrie piramidy są przemienne, w odróżnieniu od symetrii czworościanu i dysku sześciokątnego; istnieje tylko jedna symetria piramidy (obrót o 180 ), która złożona ze sobą jest identycznością. Dla czworościanu i dysku takich symetrii jest więcej. Wniosek: Miarą symetrii danej figury nie jest tylko liczba jej symetrii. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 15 / 32
29 Pojęcie grupy Definicja Grupą nazywamy strukturę (G, ), spełniającą warunki: działanie jest łączne, tzn. x (y z) = (x y) z dla wszelkich x, y, z G; istnieje element neutralny, tj. taki element e G, że x e = e x = x dla każdego x G; każdy element x G ma element odwrotny, tj. taki element x 1 G, że x x 1 = e = x 1 x. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 16 / 32
30 Przykłady grup Grupa diedralna D n Dla n 3 symbolem D n oznacza się grupę wszystkich symetrii własnych n-kąta foremnego. Ma ona dokładnie 2n elementów. Np. dla n = 6 to nic innego jak wspomniana grupa obrotów dysku sześciokątnego. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 17 / 32
31 Przykłady grup Grupa diedralna D n Dla n 3 symbolem D n oznacza się grupę wszystkich symetrii własnych n-kąta foremnego. Ma ona dokładnie 2n elementów. Np. dla n = 6 to nic innego jak wspomniana grupa obrotów dysku sześciokątnego. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 17 / 32
32 Przykłady grup Grupy liczbowe (R, +), (R +, ), (Q, +), (Q +, ), (Z, +) itd. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 18 / 32
33 Przykłady grup Grupy liczbowe (R, +), (R +, ), (Q, +), (Q +, ), (Z, +) itd. Grupy reszt modulo n Z n oznacza grupę możliwych reszt z dzielenia przez n, tj. zbiór {0, 1,..., n 1} z działaniem dodawania modulo n. Na przykład: Tabelka działania w grupie (Z 3, +) Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 18 / 32
34 Przykłady grup Grupy permutacji S n Dla każdego n N symbol S n oznacza grupę permutacji zbioru {1, 2,..., n}, z działaniem składania permutacji. Grupa S n ma n! elementów. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 19 / 32
35 Przykłady grup Grupy permutacji S n Dla każdego n N symbol S n oznacza grupę permutacji zbioru {1, 2,..., n}, z działaniem składania permutacji. Grupa S n ma n! elementów. Przykład: σ = ( ), τ = ( ) Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 19 / 32
36 Przykłady grup Grupy permutacji S n Dla każdego n N symbol S n oznacza grupę permutacji zbioru {1, 2,..., n}, z działaniem składania permutacji. Grupa S n ma n! elementów. Przykład: σ = τσ = ( ( ) ), τ = ( ) Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 19 / 32
37 Przykłady grup Grupy permutacji S n Dla każdego n N symbol S n oznacza grupę permutacji zbioru {1, 2,..., n}, z działaniem składania permutacji. Grupa S n ma n! elementów. Przykład: σ = ( ), τ = ( ) τσ = ( ) ( ) = στ Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 19 / 32
38 Przykłady grup Grupy warkoczy B n Niech n N. Symbol B n oznacza zbiór wszystkich warkoczy, złożonych z n strun rozpiętych pomiędzy n punktami położonymi na dwóch równoległych płaszczyznach. Warkocze utożsamiamy homeomorficznie. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 20 / 32
39 Przykłady grup Grupy warkoczy B n Niech n N. Symbol B n oznacza zbiór wszystkich warkoczy, złożonych z n strun rozpiętych pomiędzy n punktami położonymi na dwóch równoległych płaszczyznach. Warkocze utożsamiamy homeomorficznie. Przykłady warkoczy z B 3 i B 4 Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 20 / 32
40 Przykłady grup Dodawanie warkoczy polega na naturalnym złożeniu: warkocz a warkocz ab warkocz B Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 21 / 32
41 Przykłady grup Branie elementu odwrotnego do danego warkocza polega na odbiciu symetrycznym względem dolnej płaszczyzny: warkocz abb warkocz bba = (abb) 1 warkocz abbbba = e (jedynka grupy B 3 ) Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 22 / 32
42 Izomorfizm grup Izometrie szachownicy: identyczność e, obrót r o kąt 180 wokół środka, symetrie q 1 i q 2 względem zaznaczonych diagonali Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 23 / 32
43 Izomorfizm grup Izometrie szachownicy: identyczność e, obrót r o kąt 180 wokół środka, symetrie q 1 i q 2 względem zaznaczonych diagonali e r q 1 q 2 e e r q 1 q 2 r r e q 2 q 1 q 1 q 1 q 2 e r q 2 q 1 q 2 r e Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 23 / 32
44 Izomorfizm grup Grupa izometrii szacownicy a grupa liczb {1, 3, 5, 7} z działaniem mnożenia modulo 8 e r q 1 q 2 e e r q 1 q 2 r r e q 2 q 1 q 1 q 1 q 2 e r q 2 q 1 q 2 r e Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 24 / 32
45 Izomorfizm grup Grupa izometrii szacownicy a grupa liczb {1, 3, 5, 7} z działaniem mnożenia modulo 8 e r q 1 q 2 e e r q 1 q 2 r r e q 2 q 1 q 1 q 1 q 2 e r q 2 q 1 q 2 r e Te dwie struktury są identyczne w sensie teorii grup. Definicja Grupy (G, ) i (H, ) nazywamy izomorficznymi, jeżeli istnieje takie wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie f : G H, że f (x y) = f (x) f (y). Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 24 / 32
46 Izomorfizm grup Grupa izometrii szacownicy a grupa liczb {1, 3, 5, 7} z działaniem mnożenia modulo 8 e r q 1 q 2 e e r q 1 q 2 r r e q 2 q 1 q 1 q 1 q 2 e r q 2 q 1 q 2 r e Te dwie struktury są identyczne w sensie teorii grup. Definicja Grupy (G, ) i (H, ) nazywamy izomorficznymi, jeżeli istnieje takie wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie f : G H, że f (x y) = f (x) f (y). Przykład: (R, +) (R +, ) Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 24 / 32
47 Izomorfizm grup Grupa izometrii szacownicy a grupa liczb {1, 3, 5, 7} z działaniem mnożenia modulo 8 e r q 1 q 2 e e r q 1 q 2 r r e q 2 q 1 q 1 q 1 q 2 e r q 2 q 1 q 2 r e Te dwie struktury są identyczne w sensie teorii grup. Definicja Grupy (G, ) i (H, ) nazywamy izomorficznymi, jeżeli istnieje takie wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie f : G H, że f (x y) = f (x) f (y). Przykład: (R, +) (R +, ), (Q, +) (Q +, ) Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 24 / 32
48 Obiekty proste w teorii grup każdy warkocz można wygenerować za pomocą najprostszych warkoczy typu a i A. Dokładniej mówiąc: grupa warkoczy B n daje się wygenerować za pomocą n 1 warkoczy prostych oraz warkoczy do nich odwrotnych ; Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 25 / 32
49 Obiekty proste w teorii grup każdy warkocz można wygenerować za pomocą najprostszych warkoczy typu a i A. Dokładniej mówiąc: grupa warkoczy B n daje się wygenerować za pomocą n 1 warkoczy prostych oraz warkoczy do nich odwrotnych ; grupy (R, +) nie da się wygenerować za pomocą skończenie wielu elementów; Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 25 / 32
50 Obiekty proste w teorii grup każdy warkocz można wygenerować za pomocą najprostszych warkoczy typu a i A. Dokładniej mówiąc: grupa warkoczy B n daje się wygenerować za pomocą n 1 warkoczy prostych oraz warkoczy do nich odwrotnych ; grupy (R, +) nie da się wygenerować za pomocą skończenie wielu elementów; grupa (Z, +), oraz wszystkie grupy (Z n, +), są generowane przez 1 element (przez jedynkę). Taką grupą jest na przykład grupa symetrii piramidy, która jest izomorficzna z (Z 12, +). Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 25 / 32
51 Obiekty proste w teorii grup każdy warkocz można wygenerować za pomocą najprostszych warkoczy typu a i A. Dokładniej mówiąc: grupa warkoczy B n daje się wygenerować za pomocą n 1 warkoczy prostych oraz warkoczy do nich odwrotnych ; grupy (R, +) nie da się wygenerować za pomocą skończenie wielu elementów; grupa (Z, +), oraz wszystkie grupy (Z n, +), są generowane przez 1 element (przez jedynkę). Taką grupą jest na przykład grupa symetrii piramidy, która jest izomorficzna z (Z 12, +). Które z tych grup są najprostszymi obiektami? Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 25 / 32
52 Obiekty proste w teorii grup każdy warkocz można wygenerować za pomocą najprostszych warkoczy typu a i A. Dokładniej mówiąc: grupa warkoczy B n daje się wygenerować za pomocą n 1 warkoczy prostych oraz warkoczy do nich odwrotnych ; grupy (R, +) nie da się wygenerować za pomocą skończenie wielu elementów; grupa (Z, +), oraz wszystkie grupy (Z n, +), są generowane przez 1 element (przez jedynkę). Taką grupą jest na przykład grupa symetrii piramidy, która jest izomorficzna z (Z 12, +). Które z tych grup są najprostszymi obiektami? Definicja Grupę, która jest generowana przez jeden element nazywamy grupą cykliczną. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 25 / 32
53 Podgrupa Jak można rozkładać grupę na czynniki proste (na grupy cykliczne)? dla grup diedralnych D 3 i D 6 mamy D 3 < D 6 (D 3 jest podgrupą grupy D 6 ); Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 26 / 32
54 Podgrupa Jak można rozkładać grupę na czynniki proste (na grupy cykliczne)? dla grup diedralnych D 3 i D 6 mamy D 3 < D 6 (D 3 jest podgrupą grupy D 6 ); Z 3 < Z 6 ; Q < R; Z < Q; Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 26 / 32
55 Faktoryzacja i reprezentacja 1 Definicja 2 Identyfikacja 3 Obiekty proste Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 27 / 32
56 Faktoryzacja i reprezentacja 1 Definicja 2 Identyfikacja 3 Obiekty proste Przechodzimy do omówienia (w kontekście teorii grup) dwóch najważniejszych punktów: 4 Faktoryzacja 5 Reprezentacja Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 27 / 32
57 Faktoryzacja skończenie generowalnych grup abelowych Twierdzenie Frobeniusa & Stickelbergera, 1878 Każda skończenie generowalna grupa abelowa G ma rozkład: G Z n Z p k Z k p l, l gdzie n N 0, k 1,..., k l N, a p 1,..., p l są liczbami pierwszymi. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 28 / 32
58 Faktoryzacja skończenie generowalnych grup abelowych Twierdzenie Frobeniusa & Stickelbergera, 1878 Każda skończenie generowalna grupa abelowa G ma rozkład: G Z n Z p k Z k p l, l gdzie n N 0, k 1,..., k l N, a p 1,..., p l są liczbami pierwszymi. Przykład: Z 2 = {0, 1}, Z 2 Z 2 = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)} jest grupą 4-elementową, w której działamy następująco: (0, 0) + (0, 0) = (0, 0), (0, 1) + (1, 1) = (1, 0) itd. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 28 / 32
59 Faktoryzacja skończenie generowalnych grup abelowych Twierdzenie Frobeniusa & Stickelbergera, 1878 Każda skończenie generowalna grupa abelowa G ma rozkład: G Z n Z p k Z k p l, l gdzie n N 0, k 1,..., k l N, a p 1,..., p l są liczbami pierwszymi. Przykład: Z 2 = {0, 1}, Z 2 Z 2 = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)} jest grupą 4-elementową, w której działamy następująco: (0, 0) + (0, 0) = (0, 0), (0, 1) + (1, 1) = (1, 0) itd. Uwaga: Z 2 Z 2 Z 4. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 28 / 32
60 Faktoryzacja skończenie generowalnych grup abelowych Twierdzenie Frobeniusa & Stickelbergera, 1878 Każda skończenie generowalna grupa abelowa G ma rozkład: G Z n Z p k Z k p l, l gdzie n N 0, k 1,..., k l N, a p 1,..., p l są liczbami pierwszymi. Zastosowania: w informatyce (w przesyłaniu i kompresji danych); w mechanice kwantowej (do opisu symetrii cząstek elementarnych). Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 29 / 32
61 Reprezentacja grup skończonych Twierdzenie Cayleya, 1854 Jeżeli G jest grupą skończoną o n elementach, to G jest izomorficzna z pewną podgrupą grupy permutacji S n. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 30 / 32
62 Reprezentacja grup skończonych Twierdzenie Cayleya, 1854 Jeżeli G jest grupą skończoną o n elementach, to G jest izomorficzna z pewną podgrupą grupy permutacji S n. Grupy symetrii własnych dla pięciu brył platońskich: czworościan: A 4 (permutacje parzyste zbioru {1, 2, 3, 4}), sześcian: S 4, ośmiościan: S 4, dwunastościan: A 5, dwudziestościan: A 5. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 30 / 32
63 Analogia Rozkład na czynniki pierwsze a teoria grup: potęgi liczb pierwszych grupy cykliczne, Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 31 / 32
64 Analogia Rozkład na czynniki pierwsze a teoria grup: potęgi liczb pierwszych grupy cykliczne, podzielność podgrupa, Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 31 / 32
65 Analogia Rozkład na czynniki pierwsze a teoria grup: potęgi liczb pierwszych grupy cykliczne, podzielność podgrupa, zasadnicze twierdzenie arytmetyki twierdzenie Frobeniusa-Stickelbergera Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 31 / 32
66 Analogia Rozkład na czynniki pierwsze a teoria grup: potęgi liczb pierwszych grupy cykliczne, podzielność podgrupa, zasadnicze twierdzenie arytmetyki twierdzenie Frobeniusa-Stickelbergera Reprezentacje unitarne: każda liczba rzeczywista da się zapisać w postaci: x = ±1 x, Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 31 / 32
67 Analogia Rozkład na czynniki pierwsze a teoria grup: potęgi liczb pierwszych grupy cykliczne, podzielność podgrupa, zasadnicze twierdzenie arytmetyki twierdzenie Frobeniusa-Stickelbergera Reprezentacje unitarne: każda liczba rzeczywista da się zapisać w postaci: x = ±1 x, każda liczba zespolona w postaci z = e iϕ z, Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 31 / 32
68 Analogia Rozkład na czynniki pierwsze a teoria grup: potęgi liczb pierwszych grupy cykliczne, podzielność podgrupa, zasadnicze twierdzenie arytmetyki twierdzenie Frobeniusa-Stickelbergera Reprezentacje unitarne: każda liczba rzeczywista da się zapisać w postaci: x = ±1 x, każda liczba zespolona w postaci z = e iϕ z, każdy porządny operator w postaci T = I P, gdzie I - izometria, P - rozciągnięcie, Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 31 / 32
69 Analogia Rozkład na czynniki pierwsze a teoria grup: potęgi liczb pierwszych grupy cykliczne, podzielność podgrupa, zasadnicze twierdzenie arytmetyki twierdzenie Frobeniusa-Stickelbergera Reprezentacje unitarne: każda liczba rzeczywista da się zapisać w postaci: x = ±1 x, każda liczba zespolona w postaci z = e iϕ z, każdy porządny operator w postaci T = I P, gdzie I - izometria, P - rozciągnięcie, grupy przekształceń układów kwantowych reprezentuje się jako porządne operatory. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 31 / 32
70 Analogia Matematyk to ktoś, kto dostrzega analogie między twierdzeniami, dobry matematyk analogie między dowodami, wybitny matematyk analogie między teoriami, zaś genialny matematyk analogie między analogiami. Stefan Banach ( ) Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 32 / 32
Teoria węzłów matematycznych - warkocze. Karolina Krzysztoń 10B2
Teoria węzłów matematycznych - warkocze Karolina Krzysztoń 10B2 Pojęcie węzła W matematyce węzły to zamknięte pętle umieszczone w przestrzeni trójwymiarowej, czyli zaplątane sznurki z połączonymi końcami.
Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.
Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której
Symetria w fizyce materii
Symetria w fizyce materii - Przekształcenia symetrii w dwóch i trzech wymiarach - Wprowadzenie w teorię grup; grupy symetrii - Wprowadzenie w teorię reprezentacji grup - Teoria grup a mechanika kwantowa
Podstawowe pojęcia. Co w matematyce możemy nazwać. węzłem, a co. splotem?
Magdalena Czarna Podstawowe pojęcia Co w matematyce możemy nazwać węzłem, a co splotem? Podstawowe pojęcia Węzeł to krzywa zamknięta (splątany okrąg) w przestrzeni 3-wymiarowej. W związku z tym węzłem
Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne
Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne Definicja 1. Działaniem dwuargumentowym w niepustym zbiorze A nazywamy każdą funkcję : A A A, tzn. taką funkcję, że zachodzi a,b A (a, b) ((a,
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
1 Grupy. 1.1 Grupy. 1.2 Podgrupy. 1.3 Dzielniki normalne. 1.4 Homomorfizmy
1 Grupy 1.1 Grupy 1.1.1. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 2 = a 2 b 2 dla dowolnych a, b G. Udowodnić, że grupa G jest abelowa. 1.1.2. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 1 = a 1 b 1 dla dowolnych a,
1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup
1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3 є G - (g 1
Grupy, pierścienie i ciała
Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 9: Grupy skończone Gniewomir Sarbicki Grupy cykliczne Definicja: Jeżeli każdy element grupy G jest postaci a n dla pewnego a G, to mówimy, że grupa G jest grupą cykliczną o
Algebra. Jakub Maksymiuk. lato 2018/19
Algebra Jakub Maksymiuk lato 2018/19 Algebra W1/0 Zbiory z działaniami Podstawowe własności Potęgi Tabelka działania Przykłady Grupa symetryczna Algebra W1/1 Podstawowe własności Definicja: Działaniem
Definicja1.2.Niech Abędzieniepustymzbiorem,a i działaniamiwa. (1)Mówimy,że jestłączne,jeżeli. x,y,z A[x (y z) = (x y) z].
![Definicja1.2.Niech Abędzieniepustymzbiorem,a i działaniamiwa. (1)Mówimy,że jestłączne,jeżeli. x,y,z A[x (y z) = (x y) z].](/thumbs/66/54501363.jpg "Definicja1.2.Niech Abędzieniepustymzbiorem,a i działaniamiwa. (1)Mówimy,że jestłączne,jeżeli. x,y,z A[x (y z) = (x y) z].")
1. Wykład 1: Grupy i izomorfizmy grup. Definicja 1.1. Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym(lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym
Podstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Funkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)
Funkcje analityczne Wykład 2. Płaszczyzna zespolona Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać będziemy różne reprezentacje płaszczyzny zespolonej
Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy
Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem
Podstawowe struktury algebraiczne
Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak
Relacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y)
Relacje binarne Niech X będzie niepustym zbiorem. Jeśli ϱ X X to mówimy, że ϱ jest relacją w zbiorze X. Zamiast pisać (x, y) ϱ będziemy stosować zapis xϱy. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy zwrotną,
macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu
Algebra 1 Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niech X będzie niepustym zbiorem. Działaniem w zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie (funkcję) działające
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.
Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element
Algebra abstrakcyjna
Algebra abstrakcyjna Przykłady 1. Sama liczba 0 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe dodawanie, również liczba 1 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe mnożenie.. Liczby 1 i 1 stanowią grupą
ELEMENTY I OPERACJE SYMETRII Symbol Element symetrii Operacja symetrii
ELEMENTY I OPERACJE SYMETRII Symbol Element symetrii Operacja symetrii C n oś symetrii n-krotna (oś główna - oś o obrót wokół osi symetrii o kąt równy 360 0 /n najwyższej krotności) σ płaszczyzna symetrii
1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Grupa klas odwzorowań powierzchni
Grupa klas odwzorowań powierzchni Błażej Szepietowski Uniwersytet Gdański Horyzonty matematyki 2014 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 1 / 36 Grupa klas odwzorowań
Kierunek i poziom studiów: Sylabus modułu: Wstęp do algebry i teorii liczb (03-M01N-WATL) Nazwa wariantu modułu (opcjonalnie): -
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Sylabus modułu: Wstęp do algebry i teorii liczb (03-M01N-WATL) Nazwa wariantu modułu (opcjonalnie): - 1. Informacje ogólne koordynator
Algebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Teoria ciała stałego Cz. I
Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3
3. Operacje symetrii, macierze operacji symetrii. Grupy punktowe. Przypisywanie grupy punktowej dla zadanych obiektów
3. Operacje symetrii, macierze operacji symetrii. Grupy punktowe. Przypisywanie grupy punktowej dla zadanych obiektów Opracowanie: dr hab. inż. Jarosław Chojnacki, Politechnika Gdańska, Gdańsk 207 Każda
Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G.
Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G. Przykłady działań wewnętrznych 1. Dodawanie i mnożenie są działaniami wewnętrznymi
Algebra konspekt wykladu 2009/10 1. du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Algebra konspekt wykladu 2009/10 1 3 Podgrupy Niech S g mówimy, że podzbiór S jest zamknie ty ze wzgle du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Kodowanie węzłów Warkocze Twierdzenie Aleksandra. Dominika Stelmach gr. 10B2
Kodowanie węzłów Warkocze Twierdzenie Aleksandra Dominika Stelmach gr. 10B2 Teoria węzłów jest rzadkim przykładem dziedziny matematycznej, która współcześnie jest bardzo modna i intensywnie rozwijana.
1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012
1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III WRAZ Z PLANEM WYNIKOWYM (ZAKRES PODSTAWOWY)
PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III WRAZ Z PLANEM WYNIKOWYM (ZAKRES PODSTAWOWY) Kategorie celów nauczania: A zapamiętanie wiadomości, B rozumienie wiadomości, C stosowanie wiadomości
SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
(4) W zbiorze R R definiujemy działania i wzorami. (a, b) (c, d) =(a + c, b + d),
Zestaw zadań 2: Ciało liczb zespolonych Układy równań liniowych () Ile działań można określić na zbiorze n-elementowym? Ile z nich to działania przemienne? (2) Zbadaj własności działania różnicy symetrycznej
GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)
GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IV
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IV Dział I. Liczby naturalne część 1 Jak się uczyć matematyki Oś liczbowa Jak zapisujemy liczby Szybkie dodawanie Szybkie odejmowanie Tabliczka mnożenia Tabliczka
1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.
1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I gimnazjum wg programu Matematyka z plusem
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I gimnazjum wg programu Matematyka z plusem pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne sposób i potrzebę zaokrąglania
Matematyka Matematyka z pomysłem Klasa 5 Szkoła podstawowa 4 6
Wymagania na poszczególne oceny szkolne Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych. W programie nauczania Matematyka z pomysłem umiejętności
Uwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:
1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie piątej
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie piątej Klasa V Wymagania Wymagania ponad Dział 1. Liczby naturalne i dziesiętne. Działania na liczbach naturalnych i dziesiętnych Uczeń: Zastosowania matematyki
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. rozumie rozszerzenie
Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.
DEF. DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE Działaniem dwuargumentowym w niepsutym zbiorze nazywamy każde odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego :. Inaczej mówiąc, w zbiorze jest określone działanie dwuargumentowe, jeśli:
Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/
Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,
KARTA KURSU. Kod Punktacja ECTS* 6. Znajomość podstaw logiki, teorii mnogości i algebry liniowej.
KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Algebra abstrakcyjna Abstract algebra Kod Punktacja ECTS* 6 Koordynator Prof. dr hab. Kamil Rusek Zespół dydaktyczny: Dr Antoni Chronowski Opis kursu (cele kształcenia)
5. Wykład 5: Grupy proste. Definicja 5.1. Grupę (G, ) nazywamy grupą prostą, gdy G nie zawiera właściwych podgrup normalnych.
5. Wykład 5: Grupy proste. Definicja 5.1. Grupę (G, ) nazywamy grupą prostą, gdy G nie zawiera właściwych podgrup normalnych. Przeprowadzimy obecnie skróconą klasyfikację skończonych grup prostych. 5.1.
Wymagania na poszczególne oceny szkolne
Wymagania na poszczególne oceny szkolne OCENĘ NIEDOSTATECZNĄ OTRZYMUJE UCZEŃ KTÓRY NIE SPEŁNIA KRYTERIÓW DLA OCENY DOPUSZCZAJĄCEJ, NIE KORZYSTA Z PROPONOWANEJ POMOCY W POSTACI ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH, PRACUJE
FUNKCJE. (odwzorowania) Funkcje 1
FUNKCJE (odwzorowania) Funkcje 1 W matematyce funkcja ze zbioru X w zbiór Y nazywa się odwzorowanie (przyporządkowanie), które każdemu elementowi zbioru X przypisuje jeden, i tylko jeden element zbioru
Topologia Algebraiczna 2 Zadania egzaminacyjne
Topologia Algebraiczna 2 Zadania egzaminacyjne Agnieszka Bojanowska, Stefan Jackowski 9 czerwca 2013 1 Kompleksy łańcuchowe Zad. 1. Niech I będzie odcinkiem w kategorii kompleksów łańcuchowych, czyli kompleksem
Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej. ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III (zakres podstawowy)
1 ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III (zakres podstawowy) Program nauczania: Matematyka z plusem, numer dopuszczenia DKW-4015-37/01. Liczba godzin nauki w tygodniu:
1. Określenie pierścienia
1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Rozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział
reguła mnożenia ilustracja zbioru wyników doświadczenia za pomocą drzewa reguła dodawania definicja n! liczba permutacji zbioru n-elementowego
FUNKCJE LOGARYTMICZNE powtórzenie 4 godziny RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 28 godz. Moduł - dział -temat Reguła mnożenia. Reguła dodawania Lp 1 2 reguła mnożenia ilustracja zbioru wyników doświadczenia za
Julia Radwan-Pragłowska gr. 10B2. Elementy teorii węzłów
Julia Radwan-Pragłowska gr. 10B2 Elementy teorii węzłów Plan prezentacji 1. Wprowadzenie Niezmiennik Wielomian Wielomian wielomian węzła Warkocz Grupa warkocza Wielomian Laurenta 2. Niezmienniki homologiczne
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste
Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski
Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +
Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej. ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III (zakres podstawowy)
Program nauczania: Matematyka z plusem, Liczba godzin nauki w tygodniu: 3 Planowana liczba godzin w ciągu roku: 72 ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III (zakres podstawowy)
Liczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Wymagania na poszczególne oceny szkolne w klasie V
Wymagania na poszczególne oceny szkolne w klasie V Wymagania Dział 1. Liczby naturalne i dziesiętne. Działania na liczbach naturalnych i dziesiętnych Uczeń: Zastosowania matematyki praktycznych liczbę
BRYŁY PLATOŃSKIE W CZTERECH WYMIARACH
BRYŁY PLATOŃSKIE W CZTERECH WYMIARACH Adam Doliwa doliwa@matman.uwm.edu.pl Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk (Warszawa) Uniwersytet Warmińsko-Mazurski (Olsztyn) SPOTKANIA Z MATEMATYK A Olsztyn,
Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Matematyka Matematyka z pomysłem Klasa 5 Szkoła podstawowa 4 6
Wymagania na poszczególne oceny szkolne Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych. W programie nauczania Matematyka z pomysłem umiejętności
podstawowe (ocena dostateczna) 3 Dział 1. Liczby naturalne i dziesiętne. Działania na liczbach naturalnych i dziesiętnych Uczeń:
Klasa V Wymagania na poszczególne oceny szkolne Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych. W programie nauczania Matematyka z pomysłem
Matematyka Matematyka z pomysłem Klasa 5 Szkoła podstawowa 4 6
Wymagania na poszczególne oceny szkolne Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych. W programie nauczania Matematyka z pomysłem umiejętności
ROZKŁAD MATERIAŁU Z MATEMATYKI DLA KLASY IV SP NA PODSTAWIE PROGRAMU DKW /99 Liczę z Pitagorasem
ROZKŁAD MATERIAŁU Z MATEMATYKI DLA KLASY IV SP NA PODSTAWIE PROGRAMU DKW 4014 180/99 Liczę z Pitagorasem Lp. Dział programu Tematyka jednostki metodycznej Uwagi 1 2 3 4 Lekcja organizacyjna I Działania
Liczby zespolone. P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) 27 lutego 2007
Liczby zespolone P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 27 lutego 2007 Definicja C zbiór par liczb rzeczywistych w którym określono następujace działania:
Informatyka Stosowana. a b c d a a b c d b b d a c c c a d b d d c b a
Działania na zbiorach i ich własności Informatyka Stosowana 1. W dowolnym zbiorze X określamy działanie : a b = b. Pokazać, że jest to działanie łączne. 2. W zbiorze Z określamy działanie : a b = a 2 +
PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA I KL. GIMNAZJUM do podręcznika GWO Matematyka z plusem. PODSTAWOWE Uczeń zna:
Ewa Koralewska LP... OGÓLNA PODSTA- WA PROGRA MOWA b c PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA I KL. GIMNAZJUM do podręcznika GWO Matematyka z plusem TEMATYKA LEKCJI LICZBA GODZIN Lekcja organizacyjna. Liczby.
Stereometria bryły. Wielościany. Wielościany foremne
Stereometria bryły Stereometria - geometria przestrzeni trójwymiarowej. Przedmiotem jej badań są własności brył oraz przekształcenia izometryczne i afiniczne przestrzeni. Przyjęte oznaczenia: - Pole powierzchni
Twierdzenie Banacha-Tarskiego z punktu widzenia algebraika
Instytut Matematyczny PAN Konwersatorium dla doktorantów Twierdzenie Banacha-Tarskiego z punktu widzenia algebraika Joanna Jaszuńska IM PAN Warszawa, 10 listopada 2006 Twierdzenie Banacha-Tarskiego z punktu
Wymagania na poszczególne oceny szkolne
Wymagania na poszczególne oceny szkolne Klasa V Rozdział Wymagania podstawowe Wymagania ponadpodstawowe konieczne (ocena dopuszczająca) 2 podstawowe (ocena dostateczna) 3 rozszerzające (ocena dobra) 4
Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum)
Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Cele kształcenia wymagania ogólne: I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje i tworzy teksty o
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie 5
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie 5 Wymagania podstawowe Wymagania ponadpodstawowe Rozdział konieczne (ocena dopuszczająca) 2 podstawowe (ocena dostateczna) 3 rozszerzające (ocena dobra) 4 dopełniające
MAZOWIECKI PROGRAM STYPENDIALNY DLA UCZNIÓW SZCZEGÓLNIE UZDOLNIONYCH NAJLEPSZA INWESTYCJA W CZŁOWIEKA 2016/2017
MAZOWIECKI PROGRAM STYPENDIALNY DLA UCZNIÓW SZCZEGÓLNIE UZDOLNIONYCH NAJLEPSZA INWESTYCJA W CZŁOWIEKA 2016/2017 Nr z wniosku ID: 3313 Tytuł projektu edukacyjnego: Jakie bryły przestrzenne spotykamy na
14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe
14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe. 14.1. Grupa Galois wielomianu. Definicja 14.1. Niech F będzie ciałem, niech
Zbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
Grupy i matematyka szkolna
Jest to tekst związany z odczytem wygłoszonym na XLVIII Szkole Matematyki Poglądowej, Skojarzenia i analogie, Otwock Śródborów, styczeń 01. Grupy i matematyka szkolna Kamila MURASZKOWSKA, Edmund PUCZYŁOWSKI,
1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.
20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,
Wymagania egzaminacyjne z matematyki na studia w Akademii Świętokrzyskiej im. J. Kochanowskiego w Kielcach (wszystkie kierunki) Algebra
Wymagania egzaminacyjne z matematyki na studia w Akademii Świętokrzyskiej im. J. Kochanowskiego w Kielcach (wszystkie kierunki) Egzamin wstępny z matematyki na kierunek Matematyka będzie przeprowadzony
2 Kongruencje 5. 4 Grupy 9. 5 Grupy permutacji Homomorfizmy grup Pierścienie 16
DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni 2018 1 Spis treści 1 Podzielność w Z, algorytm Euklidesa 2 2 Kongruencje 5 3 Twierdzenia: Fermata, Eulera i Wilsona 7 4 Grupy 9 5 Grupy permutacji 12 6 Homomorfizmy
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Ułamki i działania 20 h
Propozycja rozkładu materiału Klasa I Razem h Ułamki i działania 0 h I. Ułamki zwykłe II. Ułamki dziesiętne III. Ułamki zwykłe i dziesiętne. Przypomnienie wiadomości o ułamkach zwykłych.. Dodawanie i odejmowanie
1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)
Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla
Wyk lad 2 Podgrupa grupy
Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.
PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI
Zbiory liczbowe: 1. Wymień znane Ci zbiory liczbowe. 2. Co to są liczby rzeczywiste? 3. Co to są liczby naturalne? 4. Co to są liczby całkowite? 5. Co to są liczby wymierne? 6. Co to są liczby niewymierne?
Matematyka z kluczem. Układ treści w klasach 4 8 szkoły podstawowej. KLASA 4 (126 h) część 1 (59 h) część 2 (67 h)
Matematyka z kluczem Układ treści w klasach 4 8 szkoły podstawowej KLASA 4 (126 h) część 1 (59 h) I. LICZBY NATURALNE część 1 (23) 1. Jak się uczyć matematyki (1) 2. Oś liczbowa 3. Jak zapisujemy liczby
MATEMATYKA KLASA II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO
2016-09-01 MATEMATYKA KLASA II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO SZKOŁY BENEDYKTA Ramowy rozkład materiału Klasa II I. Trójmian kwadratowy II. Wielomiany III. Funkcja wymierna IV. Funkcje dowolnego argumentu V.
1. Informacje ogólne. 2. Opis zajęć dydaktycznych i pracy studenta. wykład
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia, rok I Sylabus modułu: Wstęp do algebry i teorii liczb (03-MO1S-12-WATL) Nazwa wariantu modułu (opcjonalnie):
Lista działów i tematów
Lista działów i tematów Gimnazjum. Klasa 1 Liczby i działania Liczby Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych Zaokrąglenia liczb. Szacowanie wyników Dodawanie i odejmowanie liczb dodatnich Mnożenie i dzielenie
= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i
![= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i](/thumbs/63/50165120.jpg "= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i")
15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.
KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO:
KRZYŻÓWKA.Wyznaczają ją dwa punkty.. Jego pole to π r² 3. Jego pole to a a 4.Figura przestrzenna, której podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. 5.Prosta mająca
Wymagania na poszczególne oceny szkolne KLASA V
Wymagania na poszczególne oceny szkolne Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych. W programie nauczania Matematyka z pomysłem umiejętności
Wymagania edukacyjne dla klasy pierwszej Matematyka na czasie
Wymagania edukacyjne dla klasy pierwszej Matematyka na czasie Wyróżniono następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program