Wykład 6.5 Zjawsko samondukcj 7 Enega pola ndukcj magneycznej 8 Pądu zmenne 8. mpedancja obwodów pądu zmennego 8. Sumowane mpedancj 8.3 Moc pądu zmennego 8.4 Tansfomao 8.5 ezonans szeegowy (pądowy 8.6 ezonans ównoległy (napęcowy 8.7 Układ Dgana łumone enhad Kulessa
6.6 Zjawsko samondukcj Z doychczasowej dyskusj można odneść ważene, że sła elekomooyczna ndukcj powsaje ylko wedy, gdy zmenny sumeń ndukcj magneycznej pochodz z zewnąz. Tak jednak ne jes. Okazuje sę bowem, że sła elekomooyczna ndukcj powsaje ówneż wedy, gdy pęla, lub nny obwód z pądem sama jes pzyczyną zman sumena ndukcj. ozważmy dowolną pęlę z pądem. Γ A A dl Sumeń ndukcj magneycznej Φ M wywozony pzez pąd płynący w pęl wynos: µ µ dl Φ M B da da 3 4π A A Γ enhad Kulessa
ównane o możemy napsać w posac Φ. Współczynnk ndukcj własnej pęl z pądem jes węc ówny: da µ µ dl 3 4π A Γ M. (6.8 Gdy zmena sę naężene pądu w pzewodnku ndukuje sę słą elekomooyczna ndukcj: d ε nd. (6.9 d A. Polczmy współczynnk ndukcj własnej dla cewk o długośc l lczbe zwojów N pzekoju o powezchn A, pzez kóą płyne pąd o naężenu. enhad Kulessa 3
B( ( l nd ( czylśmy już dla akej cewk pole ndukcj magneycznej. Mamy węc: N Φ M B N A µ µ N A. l Współczynnk ndukcj własnej cewk wynos węc: N A µ µ (6. l enhad Kulessa 4
B. Współczynnk ndukcj własnej kabla koncenycznego Polczmy sobe jako pzykład ndukcję własną kabla koncenycznego. Twozą go dwa współśodkowe walce, w kóych anyównolegle płynne pąd o naężenu. Sefa zewnęzna jes wolna od pola ndukcj b magneycznej. Wokół cylnda a wewnęznego ozacza sę pole x ndukcj B(, jako zamknęe B( peścene, dla kóych: (x x (x B µ π ( Sumeń ndukcj magneycznej pzez zakeskowaną powezchnę wynos x x b µ µ x d. Φ M A B da d dx' π π enhad x Kulessa a 5
Mamy węc µ x a Φ M ln. π b Zmana sumena ndukcj magneycznej w czase wynos węc: dφ d µ. x π ln b a d d ( x Współczynnk ndukcj własnej kabla koncenycznego wynos węc: µ b x ln, (6. π a gdze x jes długoścą kabla. Waz z długoścą kabla zmena sę ówneż óżnca poencjału mędzy wewnęzna a zewnęzną częścą kabla: d ( x x ( x ( x. d d d enhad Kulessa 6
Zjawsko ndukcj własnej ma badzo ważne znaczene pzy włączanu wyłączanu obwodów / ( e d U d U / e / / e U zał wył enhad Kulessa 7
7 Enega pola ndukcj magneycznej Załóżmy, że mamy szpulę, dla kóej opó jes ówny zeo. W akm aze, aby uzymać w szpul pąd o naężenu lub d, ne zeba włożyć żadnej pacy. ównocześne pzy pzejścu z pądem od do d powsaje sła elekomooyczna ndukcj własnej, kóa spzecwa sę zmane naężena pądu. d d d d enhad Kulessa 8
Aby wymusć zmanę naężena pądu o d, zeba wykonać pacę: d dw d d d d( Wynka sąd, że aby zmenć pąd w szpul od do zeba wykonać pacę: W (7. ównocześne w szpul powsaje pole ndukcj magneycznej B µ ( µ N l µ µ o B l N Boąc ze wzou (6. wyażene na współczynnk samondukcj akej szpul, uzyskamy nasępujące wyażene na pacę W: enhad Kulessa 9
( l A W B B H ( l A, (7. µ µ bo B µ µ H. (l A τ jes objęoścą zajmowaną pzez pole ndukcj magneycznej. Ozymujemy węc na gęsość eneg pola magneycznego wyażene: W w τ B H (7.3 ozważana doyczące szpul możemy uogólnć dla dowolnego pola, kóe jes jednoodne w objęośc dτ. Pole w objęośc dτ można sobe pzedsawć jako pochodzące od maleńkego solenodu. Wobec ego ównane (7.3 obowązuje dla każdego pzypadku. enhad Kulessa
8 Pądy zmenne 8. mpedancja obwodów pądu zmennego Pzy omawanu sły elekomooycznej ndukcj ozważalśmy SEM ndukcj dla obacającej sę pęl z pądem (ównane (6.4. sn, ε Φ ε ε Gdze jes ampludą pzedsawa najwększą waość SEM. Możemy użyć snusodalne zmenną w czase słę elekomooyczną jako źódło pądu. W dowolnym obwodze, opócz ej sły elekomooycznej pojaw sę sła elekomooyczna ndukcj własnej: ε S d d enhad Kulessa
ε Zgodne z pawem Kchoffa mamy ε ε S zyl, d ε sn (8. d ozwązana ego ównana będzemy szukal w posac: sn( ϕ gdze ϕ są sałym całkowana. Po wsawenu pzewdzanego ozwązana do ównana (8. klku pzekszałcenach ozymujemy; enhad Kulessa
g ϕ ε (8. Na naężene pądu ozymamy nasępujące wyażene: ε sn( acg (8.3 Dla obwodu z opoem pojemnoścą uzyskamy nasępujące ównana: ε Q enhad Kulessa 3
dq d d d d d d d ε cos ównane, kóe mamy ozwązać jes nasepujące: d ε cos (8.4 d znów szukając ozwązana akego jak popzedno, uzyskujemy: gϕ ε (8.5 4
enhad Kulessa 5 Naężene pądu płynącego w obwodze będze mało nasępującą posać: sn( acg ε. (8.6 Z Z Wyażena nazywamy opoem pozonym obwodu lub mpedancją.
Jedynym zeczywsym opoem w obwodze pądu pzemennego jes opó omowy. Sosując na opoy poszczególnych elemenów wyażena zespolone, możemy poblem obwodów zaweających e elemeny ozwązać badzej ogólne. Wpowadźmy nasępujące oznaczena: Ζ, Ζ, Ζ, ϑ e, na. p. Wedy sosując pawo Ohma możemy ozymać:, ϑ a sąd ( e[ ( ] Ζ ( e[ ϑ ( ]. enhad Kulessa 6
8. Sumowane mpedancj ozważmy obwód - posługując sę welkoścam zespolonym. ϑ e Ζ ϑ ϑζ Ζ ΖΖ ( e Pamęając, że dla lczby uojonej zachodz : e π/, oaz - e -π/, ozymujemy: e e ( π Ogólna zależność pomędzy zwykłym a eksponencjalnym zapsem lczby zespolonej jes nasępująca: enhad Kulessa 7 (8.7
Jeśl a ϕ o ρ a Ζ a b b, cosϕ Ζ a a ρ e b, snϕ a b b Zwązek pomędzy a, b, ρ ϕ, jes aka sama jak mędzy współzędnym układu kaezjańskego begunowego. a ρ cos ϕ, b ρ snϕ Dla ozważanego ównana (8.7, możemy naysować nasępujący dagam: enhad Kulessa 8
ϑ( ϕ ( / ( Z pzedsawonego ysunku możemy odczyać, że wyażene w nawase kwadaowym we wzoze (8.7 jes ówne: [ ] ( ϕ... e, A pzesunęce fazowe ϕ lczymy z wzou g ϕ. enhad Kulessa 9
W opacu o pawo Ohma możemy węc napsać: ( e( e ( ϕ cos( acg Do ezulau możemy dojść jeszcze szybcej ysują na dagame ylko składowe mpedancj. denyczne ozważana możemy pzepowadzć dla obwodu a. -, czy eż obwodu ϕ b. --. m(ζ Ζ e(ζ enhad Kulessa
Ozymujemy wedy: Ζ dla a. Z ( dla b. Należy jeszcze podkeślć, że mpedancje spełnają egułę dodawana opoów. Dla połączena szeegowego: Ζ Ζ A dla połączena ównoległego: ν ν (8.8 Ζ ν Ζ ν. enhad Kulessa
8.3 Moc pądu zmennego Załóżmy, że mamy źódło pądu zmennego o nasępujących paameach: ( ( cos cos( ϕ denyczną zależność napęca naężena ozymujemy ówneż, gdy w obwodze znajdują sę ówneż elemeny z ndukcyjnoścą pojemnoścą. hwlowa moc pądu wynos: ( ( P( ( ( enhad Kulessa
Polczmy śedną moc pądu dla jednego okesu T. P T T T P( d cos cos( T ϕ d ałka w powyższym ównanu ma waość: ½ cosϕ. Wobec ego: P eff cosϕ eff cosϕ (8.9 eff oaz eff oznaczają kolejno napęce naężene skueczne pądu. enhad Kulessa 3
8.4 Tansfomao Tansfomao służy do uzyskwana wększych lub mnejszych sł Elekomooycznych nż dają źódła pądu. l A p w ϑ N N Obwód pewony Obwód wóny Mamy dwa obwody połączone sumenem ndukcj magneycznej. Po włączenu zmennego napęca w obwodze pewonym, w obydwu obwodach powsają sły elekomooyczne ndukcj własnej wzajemnej. enhad Kulessa 4
W obwodze wónym pojawa sę ówneż spadek poencjału na opoze omowym.możemy węc napsać dwa ównana: ϑ p w w p w Z ego układu ównań elmnujemy d p /d, pamęając, że: w e ( w ϕ. Ozymamy wedy na naężene pądu w obwodze wónym wyażene: w ( e ( ϕ (8. enhad Kulessa 5
Dosajemy sąd bezpośedno, że gdy znamy,. ( e(, ( w w w Polczmy sobe jake jes naężene napęce pądu w obwodze wónym dla pzedsawonego na osanm ysunku ansfomaoze. dzeń o pzenkalnośc magneycznej µ>>, pzekoju A długośc l, zamyka w sobe lne ndukcj magneycznej, ak, że zaówno w uzwojenu pewonym wónym sumeń ndukcj jes ak sam. Możemy węc napsać: A µ µ N Z ównań ych wynka, że l A µ µ N l A µ µ NN l Pąd wóny wynos: enhad Kulessa 6
w (, e N N. Mamy węc: w N ( e( w( N cos. (8. Napęce na opoze w obwodze wónym wynos: N w( cos. (8. N w( Z osanego ównana mamy bezpośedno; w p N N (8.3 enhad Kulessa 7
Można ówneż pokazać polczywszy upzedno w podobny sposób naężene pądu pewonego, że p (8.4 p w w Oznacza o, ze cała moc z układu pewonego jes pzekazywana do układu wónego. 8.5 ezonans szeegowy (pądowy ϑ e ( mpedancja pzedsawonego obwodu wynos: Ζ ( enhad Kulessa 8
enhad Kulessa 9 Waość bezwzględna mpedancj jes ówna: ( Ζ ( ( ϕ Ζ e Z popzednch ozważań pamęamy, że: Wypadkową zawadę możemy ozymać gafczne. Ozymamy węc: g ϕ ϕ e( m( cos( ( ( Ζ Ζ (8.5 -/ Ζ ϕ
Najwększe naężene pądu będze wedy, gdy Ζ Ζ Oznaczając częsość dla kóej o zachodz pzez, częsość ezonansową, mamy: Dla częsośc ezonansowej zawada jes najmnejsza ówna sę. Wedy ówneż faza ϕ jes ówna zeo. ówneż naężene pądu jes maksymalne: ( cos Osłabene naężena pądu możemy uzyskać pzez zwększene opou. Opó en odgywa olę łumena. Pześledźmy zależność naężena pądu fazy dla dwóch óżnych opoów. enhad Kulessa 3
( / / / ϕ( π/ Możemy wyznaczyć składowe napęca na poszczególnych elemenach obwodów ϑ Ζ Względna półszeokość kzywej ezonansowej jes ówna Q -π/ enhad Kulessa 3
enhad Kulessa 3 Q e e Q e e e e ϑ ϑ ϑ π π sn sn ( cos ( ( Współczynnk doboc Q Napęce zeczywse Q jes nazywany współczynnkem doboc Z powyższych wzoów wdzmy, że :. Suma zeczywsych napęć. Dla pojemnośc ndukcyjnośc Q >, czyl napęce na ych elemenach jes wększe od napęca źódła. 3. Gdy mamy słabe łumene, Q / kzywa ezonansowa jes symeyczna.
enhad Kulessa 33 8.6 ezonans ównoległy (napęcowy ϑ e Zespolona waość naężena pądu będze wynosła Ζ ( ( ϑ ϑ ϑ ϑ Zakładając, że mamy do czynena ze słabym łumenem, możemy pomnąć w sosunku do.
Dagam mpedancj dla /Z wygląda nasępująco: Z - / ϕ -/ ezonans zachodz wedy gdy ( gϕ Z podanego na popzednej sone ównana ozymujemy na zeczywse waośc naężena pądu pzesunęce fazowe waośc: cos( ϕ Ζ ( ( / ( cos( ϕ (8.7 enhad Kulessa 34
enhad Kulessa 35 Dla częsośc ezonansowej zachodz:. ϕ,. /Z /( mn., Q ( Q / Możemy jeszcze podać waośc dla pądów częścowych: e e c ϑ ϑ π π sn sn / ( / ( Wdzmy, że, ale dla ezonansu.
8.7 Układ Dgana łumone Mamy obwód szeegowo połączonych -- z naładowanym kondensaoem. Poneważ ne pzykładamy napęca zmennego, ne ma zasosowana achunek na lczbach zespolonych. Możemy napsać: - d Q d / d d d d d d (8.8 enhad Kulessa 36
Jes o ównane ypu m x α x β x łumonego oscylaoa hamoncznego. ozwązane ego ównana dla słabego łumena (/ > ( /4 jes nasępujące: ( e cos (8.9 ( ozwązane o zawea ówneż pzypadek nepeodyczny czyl eksponencjalny zank naężena pądu. enhad Kulessa 37
Wedy gdy (/ >> ( /4 częsość Jes ówna częsośc własnej ne łumonego obwodu. ozważmy co dzeje sę z naężenem pola elekycznego E ndukcją magneyczną B. enhad Kulessa 38
. E ---- B Dla chwl sneje ylko pole E w kondensaoze.. E B Po zamknęcu klucza zaczyna płynąć pąd ozładowujący kondensao. Wywaza on pole B cewce, pzy czym E w kondensaoze znka. enhad Kulessa 39
3. ---- E B Płynący pzez cewkę pąd sopnowo zanka, lecz w sume ładuje on kondensao pzecwne nż na począku. Znów mamy pole E óżne od zea ówne zeu pole ndukcj B. 4. znów kondensao sę ozładowuje woząc pole B lkwdując pole E, d.. E B enhad Kulessa 4
Wemy, że pole sneje ne ylko w poblżu źódeł pola, ale jes obsewowane na dużych odległoścach. Z popzednch ozważań wdać, że jes o pole zmenne w czase, czyl dgające w en sposób, że zmana pola elekycznego E geneuje zmanę pola ndukcj B. Dgane e zgodne z eoą względnośc mogą ozchodzć sę ne szybcej nż z pędkoścą śwała. Twozą one zw. falę elekomagneyczną. snene fal elekomagneycznych zosało pzewdzane już pzez Maxwella. Zesawmy sobe węc wszyske ównana Maxwella. enhad Kulessa 4