Prawa Ampere a i Biota-Savarta

Transkrypt

1 Magnetyzm 1 1. Elektrony płynące w lampe telewzyjnej mają energę E = 12 kev. Lampa jest tak zorentowana, Ŝe elektrony poruszają sę pozomo z połudna na północ. Zemske pole magnetyczne skerowane jest do dołu ma ndukcję B = 5, T. (a) W jakm kerunku będze odchylany strumeń? (b) Jake jest przyspeszene elektronów? (c) O le odchyl sę strumeń po przebycu 20 cm drog w lampe? 2. Drut metalowy o mase m ślzga sę bez tarca po dwóch pozomych szynach odległych od sebe o d (rys). Całość umeszczona jest w ponowym, jednorodnym polu magnetycznym o ndukcj B. Stały prąd płyne z generatora G przez jedną szynę, następne przez drut wraca przez drugą szynę. Znaleźć zaleŝność prędkośc (welkość kerunek), z jaką porusza sę drut, od czasu, zakładając, Ŝe w chwl t=0 był on w spoczynku. 3. Drut o długośc l = 50cm w którym płyne prąd = 10A, tworzy kąt α = 30 0 z jednorodnym polem magnetycznym o ndukcj B = 1,5T. Znaleźć welkość kerunek sły dzałającej na drut. 4. Drut o długośc l = 60cm mase m = 10g jest zaweszony na dwóch spręŝystych przewodach w pozomym polu magnetycznym o ndukcj B = 0,4T. Jaka pownna być welkość kerunek prądu, aby sły magnetyczne zrównowaŝyły napęce przewodów?

2 Magnetyzm 2 5. Na rysunku przedstawony jest drewnany walec o mase m = 0,25 kg, promenu długośc l = 0,1m. Na walcu nawnęte jest N=10 zwojów drutu w ten sposób, Ŝe oś walca leŝy w płaszczyźne zwojów. Jak najmnejszy prąd mus płynąć przez obwód, aby walec ne toczył sę w dół, jeśl umeścmy go na pochyłej płaszczyźne tworzącej z pozomem kąt α, w skerowanym ponowo do góry polu magnetycznym o ndukcj B = 0,5 T. Zakładamy, Ŝe płaszczyzna zwojów jest równoległa do płaszczyzny, na której umeszczamy walec. 6. W dośwadczenu wywołującym efekt Halla prąd o natęŝenu = 3,0 A płyne wzdłuŝ przewodnka o szerokośc a =1,0 cm, długośc b = 4,0 cm grubośc c = 10-3 cm. Oblczyć poprzeczne napęce Halla (przez szerokość), gdy pole magnetyczne B = 1,5T przechodzło prostopadle przez cenk przewodnk. Prędkość unoszena elektronów wynos v = 0,06 cm/s. 7. Elektron przyspeszamy w polu o róŝncy potencjałów U = V, a następne pozwalamy mu krąŝyć w płaszczyźne prostopadłej do jednorodnego pola magnetycznego o ndukcj B = 0,4 T. Jak jest promeń orbty tego elektronu? 8. Cząstka α porusza sę po torze kołowym o promenu = 0,45 m w polu magnetycznym o ndukcj B = 1,2T. Oblczyć: (a) prędkość cząstk, (b) okres jej obrotu, (c) energę knetyczną. 9. ysunek przedstawa spektrometr masowy uŝywany do pomaru masy jonów. Jony o mase M ładunku +q wytwarzane są w źródle Z znajdującym sę w komorze, w której następuje wyładowane gazu. Znajdujące sę początkowo w spoczynku jony są następne przyspeszane w polu o róŝncy potencjałów U wchodzą do pola magnetycznego o ndukcj B. W polu tym jony poruszają sę po półokręgu na końcu uderzają w klszę fotografczną, w odległośc x od szczelny wejścowej, gdze zostają pochłonęte. Oblczyć masę jonów M. B U x q Z

3 Magnetyzm Elektron przyspeszony przez róŝncę potencjałów U = 1000V został skerowany w obszar mędzy dwoma równoległym okładkam oddalonym o d = 0,02 m z róŝncą potencjałów mędzy nm wynoszącą U 0 = 100V. JeŜel elektron wchodz w ten obszar poruszając sę prostopadle do pola elektrycznego mędzy okładkam, to jake pole magnetyczne prostopadłe zarówno do drog elektronu jak do pola elektrycznego jest koneczne, aby elektron poruszał sę po ln prostej? Prawa Ampere a Bota-Savarta 11. Na rysunku przedstawony jest przewodnk w kształce okręgu o promenu, w którym płyne prąd o natęŝenu. Oblczyć B dla punktów leŝących na os tego okręgu. 12. Dług współosowy kabel składa sę z dwóch koncentrycznych przewodnków o wymarach podanych na rysunku. W przewodnkach płyną równe, lecz przecwne skerowane prądy o natęŝenu. Wyznaczyć wartośc ndukcj B: (a) Wewnątrz środkowego przewodnka (r<a), (b) mędzy przewodnkam (a<r<b), (c) wewnątrz zewnętrznego przewodnka (b<r<c), na zewnątrz kabla (r>c). 13. Dwa długe, równoległe druty o pomjalnych promenach znajdują sę w odległośc d od sebe. Nech przez kaŝdy z nch płyne prąd (a) w tym samym kerunku, (b) w przecwnych kerunkach. Nech r będze odległoścą od środka jednego z drutów. Znaleźć wartość B pola magnetycznego w obszarze mędzy przewodnkam, w punktach leŝących na płaszczyźne przechodzącej przez te druty, jako funkcję r.

4 Magnetyzm Na rysunku przedstawony jest dług drut przewodzący prąd o natęŝenu I = 10A oraz prostokątny obwód, w którym płyne prąd o natęŝenu = 20A. Oblczyć słę wypadkową dzałającą na ten obwód. Przyjąć: a = 1,0cm, b = 8,0 cm, l = 30 cm. I a b l 15. Solenod o 200 zwojach, o długośc 25 cm średncy 10 cm przewodz prąd 3,0 A. (a) Jaka jest wartość pola magnetycznego B w poblŝu środka solenodu? (b) Jak strumeń magnetyczny przechodz przez perśceń o wewnętrznej średncy 2 cm średncy zewnętrznej 8 cm, jeŝel płaszczyzna perścena jest prostopadła do os solenodu? 16. Torod o przekroju poprzecznym 5cm x 5cm promenu wewnętrznym 15cm ma 500 zwojów drutu przewodz prąd 0,8A. (a) Jaka jest wartość pola magnetycznego B w środku torodu (tzn. w odległośc 17,5 cm od os torodu)?(b) Jak jest strumeń magnetyczny przechodzący przez przekrój poprzeczny? 17. Polczyć wektor ndukcj B we wspólnym środku łuków dla obwodów przedstawonych na rysunkach. l l a α b 1 2 r 18. W pętl kołowej o promenu = 10 cm, wykonanej z drutu medzanego, płyne prąd o natęŝenu I = 15A. W jej środku umeszczono drugą pętlę o promenu r = 1,0 cm zawerającą N = 50 zwojów, w których płyne prąd o natęŝenu = 1,0A. (a) Jaka jest ndukcja magnetyczna B wytwarzana przez duŝą pętlę w jej środku? (b) Jak moment sły dzała na małą pętlę? Przyjąć, Ŝe płaszczyzny obu pętl są do sebe prostopadłe, a pole magnetyczne wytworzone przez duŝą pętlę w obszarze zajętym przez małą pętlę jest w zasadze jednorodne. 19. Na powerzchn plastkowego dysku o promenu rozłoŝony jest równomerne ładunek q. Pokazać, Ŝe gdy dysk obraca sę wokół swojej os z prędkoścą kątową ω,

5 Magnetyzm 5 to ndukcja w środku dysku wynos: µ 0ω q B = 2π 20. W prostolnowym przewodnku o długośc l płyne prąd o natęŝenu. (a) Polczyć wartość ndukcj B pola magnetycznego wytworzonego przez ten prąd dla punktów leŝących na symetralnej tego przewodnka, w odległośc od nego. Indukcja Faradaya 21. Pole jednorodne o ndukcj B jest prostopadłe do płaszczyzny perścena kołowego o średncy D = 10 cm, wykonanego z drutu medzanego o średncy r = 2,5mm. Z jaką prędkoścą zmena sę w czase ndukcja B, jeŝel prąd ndukowany w perścenu wynos =10A? 22. W długm solenodze o n = 20 zwojach/cm promenu r = 1,5 cm płyne prąd zmenający sę zgodne z równanem: (t) = 3t + 1t 2, gdze podano w amperach a t w sekundach. Wewnątrz umeszczamy cewkę o N = 100 zwojach promenu r n = 1cm. Cewka jest ustawona tak, Ŝe lne ndukcj B wewnątrz solenodu są równoległe do jej os.(a) Wykreślć SEM zandukowaną w cewce w przedzale od t = 0 do t = 4s. (b) JeŜel opór cewk wynos = 0,15Ω, to le wynos prąd w cewce w chwl t = 2s? 23. Na zewnątrz solenodu z poprzednego zadana umeszczamy pojedynczy zwój medzany o promenu r out = 3cm. Jaka SEM sę w nm zandkuje? 24. Mały obwód o powerzchn A znajduje sę wewnątrz długego solenodu o n zwojach na jednostkę długośc natęŝenu, a oś obwodu ma ten sam kerunek, co oś solenodu. Znaleźć SEM zandukowaną w obwodze, jeśl = 0 sn5t. 25. ysunek przedstawa medzany pręt poruszający sę na przewodzących szynach z prędkoścą v = 5 m/s równoległą do długego, prostego drutu przewodzącego prąd = 100A. Oblczyć SEM zandukowaną w pręce. Przyjąć a = 1 cm, b = 20 cm. a b v 26. Pręt medzany o długośc l wruje wokół jednego ze swoch końców w jednorodnym polu magnetycznym o ndukcj B w płaszczyźne prostopadłej do ln sł pola. Wylczyć SEM pojawającą sę mędzy końcam pręta. 27. Na rysunku pokazano pręt medzany poruszający sę z prędkoścą v = 5 m/s równoległą do długego, prostego drutu przewodzącego prąd = 100A. Oblczyć SEM zandukowaną w pręce. Przyjąć a = 1 cm, b = 20 cm. a b v

6 Magnetyzm Welkość jednorodnego pola o ndukcj B zmena sę ze stałą prędkoścą db/dt. Z kawałka medz o mase m wykonano drut o promenu r, z którego utworzono pętlę kołową o promenu. Udowodnć, Ŝe prąd ndukowany w pętl ne zaleŝy od wymarów r. Przyjmując, Ŝe B jest prostopadłe do pętl, wykazać, Ŝe prąd ndukowany dany jest wzorem: = m db 4π ρδ dt gdze ρ jest oporem właścwym, a δ gęstoścą medz. 29. Drut metalowy o mase m ślzga sę bez tarca po dwóch szynach połoŝonych w odległośc wzajemnej d (rysunek). Całość umeszczona jest w jednorodnym ponowym polu o ndukcj B. (a) Prąd stały o natęŝenu płyne z generatora G wzdłuŝ jednej z szyn, następne przez drut wraca wzdłuŝ drugej szyny. Znaleźć prędkość (wartość bezwzględną kerunek) drutu jako funkcję czasu przyjmując, Ŝe w chwl początkowej (t = 0) drut jest w spoczynku. (b) Zamast generatora włączamy baterę o stałej sle elektromotorycznej ε. Prędkość drutu osąga pewną stałą wartość granczną. Jaka jest ta granczna wartość prędkośc? (c) Jak prąd będze płynął w przypadku (b), kedy drut osągne prędkość granczną? 30. Na rysunku ponŝej przewodzący pręt AB kontaktuje z szynam metalowym AD I BC, które leŝą w odległośc 50cm od sebe. Całość znajduje sę w jednorodnym polu magnetycznym o ndukcj 1T, prostopadłym do płaszczyzny rysunku. Całkowty opór obwodu ABCD wynos 0,4Ω (zakładamy, Ŝe jest on stały). (a) Jaka jest welkość kerunek SEM ndukowanej w pręce, kedy porusza sę on w lewą stronę z prędkoścą 8 m/s?(b) Jaka sła jest potrzebna, aby utrzymać pręt w ruchu? (c) Porównać szybkość, z jaką sła F wykonuje pracę mechanczną, z szybkoścą wydzelena sę energ ceplnej w obwodze. A D 50 cm B C

7 Magnetyzm Dług solenod o promenu r = 2,5 cm n zwojach na jednostkę długośc (100/cm) przewodz prąd początkowy 0 (1A). Pojedyncze uzwojene drutu o średncy D = 10 cm otacza ów solenod współosowo. Prąd w solenodze jest redukowany jednostajne do = 0,5A w przedzale czasu T = 0,01s. Ile wynos ndukowana SEM w otaczającym uzwojenu, gdy prąd sę zmena? 32. ysunek przedstawa dwa współosowe zwoje drutu. Mnejszy zwój znajduje sę nad wększym w odległośc x, duŝej w porównanu z promenem wększego zwoju. A węc, gdy prąd płyne przez zwój wększy zgodne ze strzałką na rysunku, powstałe pole magnetyczne jest prawe stałe na obszarze πr 2 otoczonym przez zwój mnejszy. Przypuśćmy, Ŝe x zmena sę ze stałą szybkoścą v = dx/dt (x wzrasta). (a) Ustalć strumeń magnetyczny przechodzący przez obszar otoczony przez mnejszy zwój jako funkcję x. (b) Oblczyć SEM zandukowaną w mnejszym zwoju w chwl gdy x = N. 33. Na rysunku w zadanu 14 przedstawony jest dług drut przewodzący prąd o natęŝenu I = 10sn5t obok którego leŝy prostokątna ramka. Oblczyć słę elektromotoryczną zandukowaną w tej ramce. Przyjąć: a = 1,0cm, b = 8,0 cm, l = 30 cm. Indukcyjność 34. Dwe krótke cylndryczne cewk połączono w szereg. Cewk te umeszczone są blsko sebe wzdłuŝ tej samej os. Wykazać, Ŝe wypadkowa ndukcyjność takego układu wynos: L = L 1 + L 2 ± 2M Jake jest znaczene podwójnego znaku ±? 35. Dwe cewk L 1 L 2 połączone równolegle znajdują sę w duŝej odległośc. Polczyć ndukcyjność zastępczą tego układu. 36. Dwa długe równoległe druty o promenu a, których środk znajdują sę w odległośc wzajemnej d, przewodzą jednakowe prądy w przecwnych kerunkach. Wykazać, pomjając strumeń przechodzący przez druty, Ŝe ndukcyjność takej pary przewodów dla odcnka o długośc l wyraŝa sę wzorem: µ 0l d a L = ln π a 37. Daną cewkę połączono w szereg z oporem = 10000Ω. Kedy do tego układu podłączono baterę o napęcu ε = 50V, to prąd w obwodze osągnął wartość = 2,0mA po czase t 0 = 5ms. (a) Znaleźć ndukcyjność cewk, (b) energę zgromadzoną w cewce w rozpatrywanym momence.

8 Magnetyzm 8 ównana Maxwella 38. Udowodnć, Ŝe prąd przesunęca w kondensatorze o równoległych okładkach moŝemy zapsać w następujący sposób: dv p = C dt 39. Na rysunku przedstawone są okładk P 1 P 2 kołowego kondensatora płaskego o promenu płyty. Są one połączone z długm prostym drutam, przez które płyne stały prąd przewodzena o wartośc. A 1, A 2 A 3 są hpotetycznym kołam o promenach r, z których dwa znajdują sę na zewnątrz kondensatora, a jedno pomędzy okładkam. Napsać wzory na pole magnetyczne B na obwodze kaŝdego z tych kół. P 1 P 2 r A 1 A 2 A Płask kondensator ma kwadratowe okładk o krawędz a = 1m. Prąd ładowana dopływający do ( odpływający z ) kondensatora wynos = 2A.(a) Jak jest prąd przesunęca w obszarze mędzy okładkam? (b) Jaka jest wartość de/dt w tym obszarze? (c) Jak jest prąd przesunęca przez mnejszy ( współosowy równoległy) kwadrat o boku b = 50cm? 41. Kondensator z rysunku składający sę z dwóch kołowych płyt o powerzchn A = 0,1m 2 podłączono do źródła napęca ε = ε m snωt, przy czym ε m = 200V oraz ω = 100rad/s. Maksymalna wartość prądu przesunęca p = 8, A. Zanedbać rozproszene pola elektrycznego na krawędzach płyt. (a) Jaka jest maksymalna wartość prądu? (b) Jaka jest maksymalna wartość dφ E /dt, gdze Φ E jest strumenem elektrycznym w obszarze mędzy płytam? (c)jaka jest odległość d mędzy płytam? (d) Oblczyć maksymalną wartość B mędzy płytam w odległośc = 0,1m od os. d ε 42. Dług cylndryczny pręt przewodzący o promenu a ma oś pokrywającą sę z osą x. Pręt przecęto cenką płą w mejscu x = b. W kerunku na prawo od szczelny przepływa prąd przewodzena, rosnący w czase zgodne z zaleŝnoścą = αt, gdze α jest dodatną stałą proporcjonalnośc. W chwl t = 0 ne ma Ŝadnych ładunków na płaszczyznach cęca w w poblŝu x = b. (a) Znajdź wartość ładunku na tych płaszczyznach w funkcj czasu, (b) Posługując sę prawem Gaussa dla elektrycznośc znajdź zaleŝność od czasu pola E w szczelne, (c) Narysuj lne pola B dla r<a gdze r jest odległoścą od os, (d) Korzystając z prawa Ampere a znajdź zaleŝność B(r) w szczelne dla r<a, (e) Porównaj powyŝszy wynk z zaleŝnoścą B(r) w pręce dla r<a.