Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera pewna lokata na przszłość jest współfinansowan przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
3. Funkcję postaci f(x) = ax + b, gdzie a, b R, a 0 nazwam funkcją liniową. Jeśli a > 0, to funkcja liniowa jest rosnąca. Jeśli a < 0, to funkcja liniowa jest malejąca. Jeśli a = 0, to funkcja liniowa jest stała. Wkresem funkcji liniowej jest prosta. a = tg α, gdzie α jest kątem nachlenia prostej do osi OX a współcznnik kierunkow f(x)=ax+b a>0 b b a b f(x)=ax+b a<0 b a Równanie linowe ax + b = 0 Gd a 0, to równanie ma jedno rozwiązanie x = b a (równanie oznaczone) Gd a = 0, b = 0, to rozwiązaniem jest każda liczba rzeczwista (równanie tożsamościowe) Gd a = 0, b 0, to brak rozwiązania (równanie sprzeczne) Nierówności liniowe ax + b < 0, ax + b > 0, ax + b 0, ax + b 0 Układ równań liniowch Układ równań { a1 x + b 1 = c 1 a 2 x + b 2 = c 2 gdzie a 2 1 +b2 1 0 oraz a2 2 +b2 2 0 nazwam układem dwóch równań liniowch z dwiema niewiadommi. I sposób Metoda podstawiania Z jednego równania wliczam jedną niewiadomą w zależności od drugiej i otrzmaną zależność wstawiam do drugiego równania. II sposób Metoda przeciwnch współcznników Mnożm równania układu przez tak dobrane liczb, ab następnie po dodaniu pomnożonch równań stronami otrzmać równanie z jedną niewiadomą. 9
III sposób [ Metoda ] wznaczników a1 b W = det 1 = a a 2 b 1 b 2 a 2 b 1 wznacznik główn układu 2 Jeśli W 0, to x = Wx W, = W W, gdzie [ ] [ ] c1 b W x = det 1 a1 c, W c 2 b = det 1 2 a 2 c 2 Jeśli W = 0 i W x 0, W 0, to układ nie ma rozwiązania (układ sprzeczn). Jeśli W = 0 i W x = W = 0, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA Wartością bezwzględną (modułem) liczb x R nazwam wielkość x = Własności: a 0 a = a, a a a Jeśli a, b R, to a b = a b, a b = a b dla b 0, a + b a + b, a b a b a + b, { x dla x 0, x dla x < 0. Jeśli a 0, to x a a x a. Jeśli a 0, to x a x a x a. { x a dla x a, x a = (x a) dla x < a. Przkładowe zadania 1. Rozwiązać równanie 3x 5 = 2x + 3. Na lewą stronę przenosim zmienne, a na prawą stałe. 3x 2x = 3 + 5, zatem x = 8 Odpowiedź: x = 8 2. Rozwiązać nierówność 2x + 3 < 4x 1. Na lewą stronę przenosim zmienne, a na prawą stałe. 2x 4x < 1 3, czli 2x < 4, zatem x > 2 (prz mnożeniu nierówności przez liczbę ujemną, zmieniam znak nierówności na przeciwn). Odpowiedź: x > 2 { 2x + 3 = 4 3. Rozwiązać układ równań 5x + 6 = 7 10
I sposób Z pierwszego równania wliczam x i podstawiam do drugiego 2x = 4 3, stąd x = 2 3 2 5( 2 3 2) + 6 = 7 10 15 2 + 6 = 7 3 2 = 3, czli = 2 Zatem x = 2 3 2 ( 2) = 1 II sposób Pierwsze równanie mnożm przez 2 { 4x 6 = 8 5x + 6 = 7 i dodajem równania stronami. Zatem x = 1 Teraz drugie równanie mnożm przez 2 5 { 2x + 3 = 4 2x 12 5 = 14 5 i dodajem równania stronami. Zatem 3 12 5 = 4 + 14 5, stąd = 2 III sposób [ ] 2 3 W = det = 2 6 3 5 = 12 15 = 3 5 6 [ ] 4 3 W x = det = 4 6 3 ( 7) = 24 + 21 = 3 7 6 [ ] 2 4 W = det = 2 ( 7) ( 4) 5 = 14 + 20 = 6 5 7 x = Wx W 3 = 1, = W W Odpowiedź: x = 1, = 2 = 3 = 6 3 = 2 4. Rozwiązać układ nierówności { 2x + 4 > 1 2 < x < 1 Pierwsza nierówność jest równoważna nierówności x > 3 2 Druga nierówność jest równoważna nierówności x 1 < < x + 2 =x+2 x 3 2 =x-1 11
5. Narsować funkcję = x. Rsujem wkres funkcji = x i smetrcznie odbijam względem osi OX tę część, która jest pod osią. 6. Narsować funkcję = x 1. Rsujem wkres funkcji = x 1 i smetrcznie odbijam względem osi OX tę część, która jest pod osią. 1 7. Narsować funkcję = x + 2. Rsujem wkres funkcji = x i dokonujem translacji o wektor [0, 2]. 2 8. Narsować zbiór będąc rozwiązaniem nierówności x + < 1. Dla x 0, 0 mam x + < 1, czli < x + 1 Dla x 0, < 0 mam x < 1, czli > x 1 Dla x < 0, 0 mam x + < 1, czli < x + 1 Dla x < 0, < 0 mam x < 1, czli > x 1 1-1 0 1 x -1 9. Rozwiązać równanie x 5 = x. Rozpatrujem dwa przpadki: a) x 5 < 0, czli x < 5 Wówczas (x 5) = x, stąd x = 5 2 Sprawdzam, cz obliczon x należ do przedziału (, 5). b) x 5 0, czli x 5 Wted równanie przjmuje postać x 5 = x, czli 5 = 0. Zatem otrzmaliśm sprzeczność Odpowiedź: x = 5 2 12
10. Rozwiązać równanie 2 x x + 1 = 2. { { x dla x < 0, (x + 1) dla x < 1, x = x + 1 = x dla x 0. x + 1 dla x 1. Dzielim zbiór liczb rzeczwistch na przedział, którch końcami są liczb 1 i 0. Rozpatrujem trz przpadki: a) x < 1 Wted x = x, x + 1 = (x + 1) Zatem 2x + x + 1 = 2, czli x = 1, ale nie należ do przedziału (, 1), czli brak rozwiązań b) 1 x < 0 Wted x = x, x + 1 = x + 1 Zatem 2x (x + 1) = 2, czli x = 1, należ do przedziału [ 1, 0) c) x 0 Wted x = x, x + 1 = x + 1 Zatem 2x (x + 1) = 2, czli x = 3, należ do przedziału [0, + ) Odpowiedź: x = 1 x = 3 11. Rozwiązać równanie 1 x + 2x + 4 = 0. Rozważam dwa przpadki: a) 1 x < 0, czli x > 1 Wówczas 1 x = (1 x), zatem 1 + x + 2x + 4 = 0, czli x = 1, nie należ do przedziału (1, + ) b) 1 x 0, czli x 1 Wówczas 1 x = 1 x, zatem 1 x + 2x + 4 = 0, czli x = 5, należ do przedziału (, 1] Odpowiedź: x = 5 12. Rozwiązać nierówność 2x + 1 3. 3 2x + 1 3 4 2x 2 2 x 1 Odpowiedź: x [ 2, 1] 13. Rozwiązać nierówność 3x 2 > 4. 3x 2 > 4 3x 2 < 4 3x > 6 3x < 2 x > 2 x < 2 3 Odpowiedź: x (, 2 3 ) (2, + ) 13
14. Rozwiązać nierówność 4 2x < x. { { x dla x < 0, (4 2x) dla x > 2, x = 4 2x = x dla x 0. 4 2x dla x 2. Dzielim zbiór liczb rzeczwistch na przedział, którch końcami są liczb 0 i 2. Rozpatrujem trz przpadki: a) x < 0 Wówczas 4 2x = 4 2x, x = x Nierówność przjmuje wted postać 4 2x < x. Zatem x > 4. Po uwzględnieniu dziedzin otrzmujem, że x. b) 0 x < 2 Wówczas 4 2x = 4 2x, x = x Nierówność przjmuje wted postać 4 2x < x, zatem x > 4 3. Po uwzględnieniu dziedzin otrzmujem, że x ( 4 3, 2). c) x 2 Wówczas 4 2x = (4 2x), x = x Nierówność przjmuje wted postać 4 + 2x < x, zatem x < 4. Po uwzględnieniu dziedzin otrzmujem, że x [2, 4). Rozwiązaniem jest suma przedziałów x ( 4 3, 2) i x [2, 4). Odpowiedź: x ( 4 3, 4) Zadania 1. Napisać równanie funkcji liniowej przechodzącej przez punkt o współrzędnch: A(3, 4), B( 2, 1). 2. Napisać wzór funkcji liniowej, która przechodzi przez punkt P (1, 3) i jest nachlona do osi OX pod kątem 60. 3. Dla jakich wartości parametru m funkcja f(x) = (2 3 2m)x 1 jest rosnąca? 4. Dla jakiej wartości parametru m miejscem zerowm funkcji f(x) = (4m 2)x + 2 jest liczba 3? Rozwiązać równanie: 5. 1 2 5x = 3 5. 6. (x + 5)(5 x) = 5x x 2. 7. (x + 3)(x 3) = x(x + 9) 9(x + 1). 9. ( 1 2 x + 2)(2 1 2 x) + (x + 1 2 x)2 = 0. 10. (x 3)(x + 4) 2(3x 2) = (x 4) 2. 11. 5(x 1) 2 2(x + 3) 2 = 3(x + 2) 2 7(6x 1). 8. ( 2 x) 2 (x 2 2) 2 + 6 = 0. Rozwiązać nierówność: 12. 3x [7 (5 4x)] (x 8) 0. 13. (4x + 1) 2 + (3x + 2) 2 < (5x + 2) 2. 14. (2x 3)(3 + 2x) (2x 1) 2. 15. (2 3 x) 2 (x 3 3) 2. 16. (3x + 5) 2 9(x 2) 2 < 0. 17. 4(3 x) 2 < 3 (2x + 3)(3 2x). 14
Rozwiązać układ równań: 18. { x + 2 = 11 5x 3 = 3 21. { 2x = 7 4(x + 1) + 2 = 18 24. { 7x 3 = 10 4x + = 3 { 3x + 2 = 9 { 4x 3 = 3 { x + 1 + 5 = 3 19. 2x + = 7 22. 12x + 3 = 5 25. 2 + x = 1 { 6x + 7 = 8 { 2x = x + 1 { x + 2 = 3 20. 7x + 9 = 5 23. = x 1 26. 7x + 5 = 2 27. 28. Znaleźć rozwiązanie analitczne i graficzne układu nierówności: { x + 2 2 2x 4 29. { 2x 3 x + 2 3x { x + 1 < { 2x 2 2 + x x 0 30. x + 0 Sporządzić wkres funkcji: 31. 2 + x 8 x + 5 > 0 2 0 32. f(x) = x + 1. 33. f(x) = x + 2. 34. f(x) = x 1 + 3. 35. f(x) = x + 2 1. 36. f(x) = 4x + 2 + 1. 37. f(x) = 2 1 x 1 + x. 38. f(x) = x 1 + 2 3. 39. f(x) = 2 x 1. Rozwiązać równanie: 40. 2x 4 = 5. 41. 2 1 3x = 3x. 42. x 1 + x 3 = 2. 43. 4x + 2 2 x 4 = 1 x. 44. 5x + 2 = 4 x. 45. x + 5 2 x 1 = x + 2. 46. x 2 + x = 2x 7 + 1. 47. x + x + 1 + x + 2 = 6. Rozwiązać nierówność: 48. 3 x x. 49. x + 1 < 2x + 5. 50. x + 1 + 2 x > 0. 51. x + 3 > 2x 1. 52. 3x 7 < 2. 53. x 3 < 6. 54. x + 2 x > 1. 55. x 1 + x 4 3. 56. 2x 3 4 1. 57. x + 2 x 1 + x 3 < 4. 15