Bryła sztywna Ciało złożone z cząstek (punktów materialnych), które nie mogą się względem siebie przemieszczać. Siły utrzymujące punkty w stałych odległościach są siłami wewnętrznymi bryły sztywnej. zbiór punktów materialnych utrzymujących stałą odległość między sobą Kij uderzający piłkę jest bryłą sztywną Deformująca się piłka nie jest bryłą sztywną
Ruch obrotowy bryły sztywnej wokół stałej osi Będziemy rozważać tylko sytuacje, w których oś obrotu nie zmienia swojego kierunku. https://www.picgifs.com/graphics/fan https://www.picgifs.com/graphics/fan https://wifflegif.com/tags/97-animation-gifs?page=927 https://www.reddit.com/r/physicsgifs/comments/2z195r/sliding_vs_rolling_moment_of_inertia_demo/
Wielkości kątowe przesunięcie, prędkość i przyspieszenie Wielkości kątowe są wygodne do opisu ruchu obrotowego bryły sztywnej, ponieważ nie zależą od odległości od stałej osi obrotu (są takie same dla wszystkich punktów ciała). dysk rotujący wokół stałej osi przechodzącej przez jego środek ω v przesunięcie kątowe: [rad] x prędkość kątowa: θ = x R ω = θ = v R [rad/s] przyspieszenie kątowe: ε = ω = 1 R v = a s R [rad/s 2 ] Halliday, Resnick, Walker, Principles of physics
Analogia pomiędzy ruchem prostoliniowym a obrotem ciała wokół stałej osi Obrót ciała dookoła ustalonej osi odpowiada formalnie ruchowi translacyjnemu ciała w ustalonym kierunku (czyli po linii prostej). Innymi słowy do opisu ruchu obrotowego jednostajnie zmiennego możemy stosować te same wzory jak do opisu ruchu prostoliniowego jednostajnie przyspieszonego, zamieniamy tylko wielkości liniowe na wielkości kątowe: x = x 0 + v 0 t + 1 2 a s t 2 v = v 0 + a s t θ = θ 0 + ω 0 t + 1 2 εt 2 ω = ω 0 + εt a s = const ε = const
Symulacja ruchu obrotowego https://phet.colorado.edu/en/simulation/rotation
Analogia pomiędzy ruchem prostoliniowym a obrotem ciała wokół stałej osi - przykład lina nie ślizga się R= Ile obrotów wykonało koło zamachowe w ciągu pierwszych 5 sekund ruchu? Jaką prędkość kątową osiągnęło w tym czasie? v 0 = 0 a s = 0.6 m s ε = a s R = 1.7rad s2 θ = 1 2 εt 2 = 21 rad Liczba obrotów: N = θ 2π 3.3 t = 5s Prędkość kątowa: ω = εt = 8.5 rad s H. C. Ohanian, J. T. Markert, Physics for Engineers and Scientists
Wektorowa natura prędkości i przyspieszenia kątowego v = ω R D.C. Giancoli, Physics for Scientists & Engineers R - odległość od osi obrotu a s = ε R Fizyka dla szkół wyższych Tom 1 by OpenStax
Energia kinetyczna ruchu obrotowego ω Energia kinetyczna elementu Δm i : E ki = 1 2 Δm v 2 = 1 i i 2 Δmω 2 2 r i i Δm i Energia kinetyczna całego ciała: i E k _ cialo = 1 2 ω 2 Δm i r i 2 E k _ cialo = 1 2 I O ω 2 I o moment bezwładności Moment bezwładności w ruchu obrotowym jest odpowiednikiem masy w ruchu translacyjnym Moment bezwładności jest miarą oporu na zmiany obrotów, podobnie jak masa jest miarą oporu na zmiany ruchu Moment bezwładności zależy od położenia osi obrotu Energia kinetyczna ruchu obrotowego nie jest nowym rodzajem energii (jest to po prostu suma energii kinetycznych wszystkich cząstek ciała w ruchu obrotowym) Halliday, Resnick, Walker, Principles of physics
Moment bezwładności układu punktów materialnych v 3 m 3 r 3 Moment bezwładności r 1 v 1 r2 v 2 m 2 układu n - punktów: I = n 2 m i r i i=1 m 1
Moment bezwładności ciał rozciągłych ω Δm i Przepis jak wyznaczyć (całki objętościowe): i I = Δm i r i 2 Δm i 0 I = r 2 dm Halliday, Resnick, Walker, Principles of physics
Fizyka dla szkół wyższych Tom 1 by OpenStax
Twierdzenie Steinera I o = I SM + mr 2 słuszne dla wszystkich osi równoległych do osi przechodzącej przez środek masy O SM środek masy Przykład: rotujący jednorodny cienki pręt o długości L i masie M obrót wokół osi przechodzącej przez środek masy r obrót wokół osi przechodzącej przez koniec pręta SM I SM = 1 12 ML2 https://study.com/academy/lesson/the-parallel-axis-theorem-the-moment-of-inertia.html O SM I O = 1 12 ML2 + M L 2 2 = 1 3 ML2
Energia ruchu obrotowego gwiazd Ogromna ilość energii zawarta jest w ruchu obrotowym gwiazd. Czy ta energia jest źródłem ciepła i światła emitowanego przez gwiazdy? Słońce Moc emitowana przez Słońce (energia w postaci ciepła, światła): P = 4 10 26 W Czas potrzebny na wyemitowanie całej energii rotacyjnej: https://gifer.com/en/2hz5 M = 2 10 30 kg R = 700 10 3 km T = 26 dni I = 2 5 M R 2 = 4 10 47 kg m 2 E k = 1 2 Iω 2 = 1 2 I 2π T 2 = 1.5 10 36 J t = E k P 120 lat Energia emitowana przez Słońce pochodzi z energii jądrowej (wyzwalana jest w procesie fuzji jąder wodoru).
Energia ruchu obrotowego gwiazd Ogromna ilość energii zawarta jest w ruchu obrotowym gwiazd. Czy ta energia jest źródłem ciepła i światła emitowanego przez gwiazdy? Pulsar w mgławicy kraba Moc emitowana przez pulsar (x-ray, γ-ray, jety zjonizowanego gazu): P em 5.8 10 31 W https://gizmodo.com/hidden-secrets-of-pulsars-revealed-by-trippy-computer-s-1829662417 Okres obrotu pulsara wydłuża się o 38 ns każdego dnia, czyli energia kinetyczna ruchu obrotowego maleje systematycznie. Tempo zmiany energii ruchu obrotowego: M = 3 10 30 kg R = 10 2 km T 33 ms I = 2 5 M R2 1 10 38 kg m 2 E k = 1 2 Iω 2 = 1 2 I 2π T 2 ΔP = E k( T ) E k( T +ΔT ) 24 3600 s 2 10 42 J 5.8 10 31 W = P em Energia emitowana przez pulsar w całości pochodzi od energii ruchu obrotowego
ruch obrotowy + ruch translacyjny = toczenie https://en.wikipedia.org/wiki/rolling#/media/file:rolling_animation.gif
Toczenie się bez poślizgu prędkość w ruchu translacyjnym = prędkość w ruchu obrotowym ruch translacyjny ruch obrotowy A B C v v v v A B v = 0 C v złożenie obydwu ruchów: A 2v B v C v = 0
Zasada zachowania energii -uwzględnienie energii kinetycznej ruchu obrotowego Z jakiej wysokości h należy puścić kulkę, aby pokonała ona pętlę śmierci o promieniu R? Gdy kulka się nie obraca: mgh = mg 2r ( ) + 1 2 mv2 gh = 2gr + 1 2 gr h = 5 2 r Gdy kulka obraca się bez ślizgania (tj. prędkość obracających się punktów na obwodzie kulki jest równa prędkości całej kulki w ruchu translacyjnym): mgh = mg 2r ( ) + 1 2 mv2 + 1 2 Iω 2 mgh = 2mgr + 1 2 mv2 + 1 2 gh = 2gr + 1 2 gr + 1 5 gr h = 27 10 r m v 2 5 mr2 v2 R 2 Siła zawsze prostopadła do przesunięcia nie wykonuje pracy N T S Tracie statyczne nigdy nie wykonuje pracy h r mg Siła konserwatywna R promień kulki