Przykłady do zadania 6.1 :

Podobne dokumenty
Przykłady do zadania 8.1 : 0 dla x 1, c x 4/3 dla x > 1. (b) Czy można dobrać stałą c tak, aby funkcja f(x) = była gęstością pewnego

Przykłady do zadania 3.1 :

Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1064, 2008/09

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej

Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1064, 2008/09

Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 6

Zmienne losowe skokowe

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

Rachunek prawdopodobieństwa MAP1064 Wydział Elektroniki, rok akad. 2008/09, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz

W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)

Jednowymiarowa zmienna losowa

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =

Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Rozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady

Przykłady 6.1 : charakterystyki liczbowe rozkładów dyskretnych

Zmienne losowe. Statystyka w 3

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

rachunek prawdopodobieństwa - zadania

Rozkład zajęć, statystyka matematyczna, Rok akademicki 2015/16, semestr letni, Grupy dla powtarzających (C15; C16)

Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Zadania z Zasad planowania eksperymentu i opracowania wyników pomiarów. Zestaw 2.

x x 0.5. x Przykłady do zadania 4.1 :

Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej:

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl

W takim modelu prawdopodobieństwo konfiguracji OR wynosi. 0, 21 lub , 79. 6

6.4 Podstawowe metody statystyczne

Zmienna losowa. Rozkład skokowy

Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne.

Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1

ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa

zdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno.

σ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F;

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka

Prawdopodobieństwo i statystyka

Przestrzeń probabilistyczna

Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń

5.Dzienne zużycie energii (1=100kWh) pewnej firmy jest zmienną losową. 0, gdy x 0 lub x 3

Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe

A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)!

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek

Statystyka matematyczna

a. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);

Rachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne)

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

WYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki

Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania

Prawdopodobieństwo i statystyka

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3

a. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);

a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 1. Obliczyć wartość średnią i wariancję.

Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej

Statystyka i eksploracja danych

Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki

rachunek prawdopodobieństwa - zadania

Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń

Zmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014

Lista 5. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym

Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.

07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe

Prawdopodobieństwo i statystyka

Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Projekt - Czas dojazdu autobusem Opracowanie: Klaudia Karpińska

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Zmienne losowe. dr Mariusz Grzadziel. rok akademicki 2016/2017 semestr letni. Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.

X P 0,2 0,5 0,2 0,1

Rozkłady zmiennych losowych

Wynik pomiaru jako zmienna losowa

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

Matematyka 2. dr inż. Rajmund Stasiewicz

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

Dyskretne zmienne losowe

Zadanie 1. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną:

Rozkłady statystyk z próby

Prawdopodobieństwo i statystyka

18. Obliczyć. 9. Obliczyć iloczyn macierzy i. 10. Transponować macierz. 11. Transponować macierz. A następnie podać wymiar powstałej macierzy.

Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Transkrypt:

Rachunek prawdopodobieństwa MAP64 Wydział Elektroniki, rok akad. 28/9, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 6: Zmienna losowa. Rozkład zmiennej losowej. Dystrybuanta. Przykłady do zadania 6. : (a) Gracz rzuca symetryczna kostką do gry. Jeśli wyrzuci piątkę, wygrywa zł. Jeśli wyrzuci liczbę podzielną przez 3, wygrywa 5 zł. W pozostałych przypadkach płaci zł. Niech X oznacza wygraną gracza (przy czym przegrana zł to inaczej wygrana - zł). Znaleźć i narysować dystrybuantę zmiennej losowej X. Obliczyć P (X > ). P (X = ) = /6, P (X = 5) = 2/6 = /3, P (X = ) = /6 2/6 = 3/6 = /2 dla, /2 dla < 5, F () = P (X < ) = /2 + /3 = 5/6 dla 5 <, dla > P (X > ) = lim F () = /2 =, 5. + 5/6 /2 5 2 2 4 6 8 2

(b) Na przestrzeni probabilistycznej Ω = {ω = (, y) :, y } z prawdopodobieństwem geometrycznym definiujemy zmienną losową: Z(ω) = Z(, y) = { dla y, y dla < y Wyznaczyć i narysować dystrybuantę zmiennej losowej Z..9.8.7.6 y Z=.9.8.7.6 z y Z=<z z z.9.8.7.6 z z.4.3.2 < y Z=y.4.3.2 < y Z=y<z.4.3.2 P(Z<z)= ( z) 2 dla z...2.3.4.6.7.8.9...2.3.4.6.7.8.9 z...2.3.4.6.7.8.9 F (z) = P (Z < z) = P ( < z, y ) + P (y < z, < y ) = dla z, = ( z) 2 dla < z, dla < z F(z) z 2

Przykład do zadania 6.2 : Dystrybuanta zmiennej losowej X jest dana wzorem F () = dla,, 25 2 dla <,, 5 2 +, 75 dla < 2, dla 2 <. Obliczyć P ( X <, 5), P ( < X, 5), P ( < X < 2), P ( < X 2), P (X > ), P ( X > /2).,75,25,25 2 2 2.5 P ( X <, 5) = F (, 5) F () = (, 5 (, 5) 2, 5 +, 75), 25 2 =, 25 P ( < X, 5) = lim F () lim F () =,5+ + = (, 5 (, 5) 2, 5 +, 75) (, 5 2 +, 75) =, 25 P ( < X < 2) = F (2) lim + F () = (, 5 22 2 +, 75) =, 75 P ( < X 2) = lim F () lim F () = = 2+ + P (X > ) = P (X ) = lim + F () = (, 5 2 +, 75) =, 75 P ( X > /2) = P (X > /2) + P (X < /2) = ( = (, 25 (, 5) 2 ) + =, 96875 lim F ()) + F (, 5) =,5+ 3

Przykłady do zadania 6.3 : (a) Dobrać stałe A i B tak, aby funkcja dla, F () = A 2 + B dla <, dla < była dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X. Obliczyć prawdopodobieństwo, że X przyjmie wartość z przedziału (, 5;, 5). A+B B Rysunek : F () dla A =, 4 i B =, 5 Dla wszystkich A i B funkcja F () jest lewostronnie ciągła oraz F () = i lim F () =. lim Aby F była niemalejąca na całej prostej musimy mieć A oraz lim F () i F (), + co daje warunki B, A B. Dla A i B spełniających te warunki funkcja F jest dystrybuantą. Wtedy P (, 5 < X <, 5) = F (, 5) =, 25A + B =, 25A + B. lim F () = F (, 5) F (, 5) =,5+ 4

(b) Dobrać stałe A, B i C tak, aby funkcja Ae dla, F () = B +, 25 dla < ln 2, C e dla > ln 2 była dystrybuantą rozkładu pewnej zmiennej losowej X. Obliczyć prawdopodobieństwa P (X ln 2), P (X > ln 3) i P ( < X < ). Bln2+.25.25 A ln2 8 6 4 2 2 4 6 8 Rysunek 2: F () dla A =, 5, B =, 25, C =. Dla wszystkich A, B i C funkcja F () jest lewostronnie ciągła. lim F () = A = dla wszystkich A, B i C lim F () = C =, o ile C =, A i B - dowolne. Aby F była niemalejąca na całej prostej musimy mieć A, B A = F () lim F () =, 25 + B ln 2 +, 25 = F (ln 2) lim F () = C, 5 ln 2+ Zatem funkcja F jest dystrybuantą dla C = oraz A i B spełniających warunki: A, 25, B, 25/ ln 2. Wtedy P (X ln 2) = P (X > ln 3) = lim F () =, 5 =, 5 ln 2+ lim F () = ln 3+ Ae ln 3 = A/3 P ( < X < ) = F () lim + F () = e, 25, 382 5

Przykłady do zadania 6.4 : (a) Pewien informatyk oferuje w tej samej cenie dwa algorytmy A i B, generujące hasła dostępu. Zdolność pojedynczego algorytmu do ochrony dostępu określana jest poprzez rozkład zmiennej losowej T reprezentującej czas potrzebny na złamanie hasła. Dystrybuanty rozkładu zmiennej T odpowiednio dla algorytmów A i B przedstawione są na rysunku. Który algorytm byś wybrał? Odpowiedź uzasadnić. Rysunek. F (t). A.6 B.2 3 t Na wykresie mamy funkcję F (t) = P (T < t). Im ma mniejszą wartość, tym hasło lepiej chronione w chwili t. Zatem algorytm B chroni lepiej. (b) Na rysunku 2 znajdują się dystrybuanty rozkładu opóźnienia w przesyłaniu plików dla dwóch programów ftp A i B. Który z porównywanych programów daje gładsze opóźnienia? Dla którego małe opóźnienia są bardziej prawdopodobne? Dla którego jest bardziej prawdopodobne opóźnienie równe 3 jednostkom czasu? Dla którego jest bardziej prawdopodobne opóźnienie krótsze niż 5 jednostek czasu? Odpowiedzi uzasadnij. F (t)..8.6 Rysunek 2. A B.2 3 7 t Gładsze opóźnienia daje B. W przypadku A pliki przesyłane są tylko z opóźnieniami, z przedziału (,),, 3 lub 7. Małe opóźnienia są bardziej prawdopodobne dla A (bo dla A większe są wartości dystrybuanty dla małych t). Opóźnienie równe 3 jednostkom czasu ma prawdopod. dla B i,2 dla A (jest to długość skoku na wykresie). Opóźnienie krótsze niż 5 jednostek czasu jest bardziej prawdopodobne dla A, bo w chwili 5 wartość dystrybuanty dla A jest większa. 6