A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)!
|
|
- Halina Janiszewska
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rachunek prawdopodobieństwa MAP34, WPPT/FT, wykład dr hab. A. Jurlewicz Przykłady - Lista nr : Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne.. Hasło potrzebne do uzyskania połączenia w sieci komputerowej składa się z jednej cyfry i następnie pięciu dużych liter alfabetu angielskiego. Znaleźć prawdopodobieństwo, że osoba postronna odgadnie hasło, jeśli wiadomo, że cyfra jest nieparzysta, a wśród liter są dokładnie trzy litery E. Ω = {c, l,..., l 5, gdzie c {, 3, 5, 7, 9}, l i to duże litery, dokładnie 3 wśród nich to E}, F = Ω, P - prawdopodobieństwo klasyczne. #Ω = = 35, bo jest 5 możliwości wyboru cyfry, 5 3 możliwości wyboru miejsc na E, 6 możliwości wyboru liter innych niż E na każde z dwóch pozostałych miejsc zdarzenie, że osoba postronna odgadnie hasło, A = {właściwe hasło}, #A = P A = #A #Ω =, Użytkownik karty kredytowej używa czterocyfrowego hasła dostępu. Bankomat blokuje kartę, gdy po raz trzeci hasło zostanie nieprawidłowo podane. Jakie jest prawdopodobieństwo, że złodziej karty dostanie się na nasze konto nie znając hasła? Ω = {{h, h, h 3 }, gdzie h i to trzy różne hasła spośród 4 możliwych haseł}. F = Ω, P - prawdopodobieństwo klasyczne. A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h, h 3 }} #Ω = 4 3, #A = 4. P A = #A #Ω = 4!! 4 3! 3!4 3! 4! =, Drewniany sześcian, którego wszystkie boki są pomalowane na niebiesko, rozpiłowano na 64 = 4 3 jednakowej wielkości mniejsze sześcianiki. Sześcianiki te dokładnie wymieszano, następnie wylosowano z nich. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie jeden z wylosowanych sześcianików będzie miał 3 niebieskie ściany? Odpowiedź uzasadnić. Ω = {{s,..., s }, gdzie s i to różne sześcianiki spośród 64 możliwych} F = Ω, P - prawdopodobieństwo klasyczne. A = {dokładnie jeden narożny} = {{narożny,s,..., s }, gdzie s i nie są narożne} #Ω = 64, #A = P A = #A #Ω = 45973,
2 4. Niech Ω = {ω n, n =,,...}. Weźmy ciąg p n = cz n, n =,,..., gdzie z > jest ustalone. Dobrać stałą c tak, aby ciąg p n określał prawdopodobieństwo P na zbiorze Ω tak, że p n = P {ω n }. Obliczyć P {ω,..., ω }. p n dla każdego n wtedy i tylko wtedy, gdy c p n = c n z = c n= n= z = c = wtedy i tylko wtedy, gdy z z c = z Oba warunki na ciąg określający prawdopodobieństwo na Ω są spełnione dla c = z P {ω,..., ω } = p n = z n z = z n= n= z z = z z Uwaga: Korzystamy tu ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego: q n N = lim q n q N+ = lim = dla < q < n= N n= N q q Tutaj < q = < z 5. Rzucamy monetą tak długo, aż upadnie dwa razy pod rząd na tę samą stronę. Określić Ω i P odpowiadające temu eksperymentowi dla monety symetrycznej. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wykonamy mniej niż 7 i więcej niż rzuty. Ω = {OO, ROO, OROO,...} {RR, ORR, RORR,...}, F = Ω, p n,o = P n rzutów+oo = n+, pn,r = P n rzutów+rr = dla monety symetrycznej. n+ Przestrzeń probabilistyczna jest dobrze określona, bo p n,o, p n,r dla dowolnego n oraz p n,o + p n,r = n 4 = n= n= =. P mniej niż 7 i więcej niż rzuty = P 3, 4, 5 lub 6 rzutów = 4 p n,o +p n,r = 5 n= 3 ilość rzutów= n Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wybrany losowo punkt kwadratu x < 4, y < 4 leży na zewnątrz koła x + y <. Ω = {x, y : x < 4, y < 4} - kwadrat, F to borelowskie podzbiory Ω, 5 P - prawdopod. geometryczne. A = {x, y : x + y < } - koło. P A c = P A = pole A pole Ω = π 64, A c A 4 Ω
3 Rachunek prawdopodobieństwa MAP34, WPPT/FT Przykłady - Lista nr : Prawdopodobieństwo warunkowe. Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym. Wzór Bayesa. Schemat Bernoulliego.. Pewna choroba jest obecna w,% populacji. Opracowano test, który daje wynik dodatni u 9% chorych i u 5% zdrowych. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że pacjent z wynikiem dodatnim jest zdrowy? Czy ma on powody do obaw? Wprowadzamy oznaczenia: A - zdarzenie, że test daje wynik dodatni; B - zdarzenie, że pacjent jest chory. Szukamy P B c A. Ze wzoru Bayesa P B c A = P A Bc P B c P A Mamy P B =, = P B c ; P A B =, 9; P A B c =, 5. Zatem P A = P A BP B + P A B c P B c =, 585 z tw. o prawdop. całkowitym. oraz P B c, 5, A =, 998, 585 Wniosek: Test w istocie nie wykrywa choroby, bo pacjent z wynikiem dodatnim jest zdrowy na ponad 99% i raczej nie ma powodów do obaw.. Wykonujemy pomiary trzema przyrządami, z których jeden jest nieco rozregulowany. Przy wykonywaniu pomiaru sprawnym przyrządem prawdopodobieństwo otrzymania błędu pomiaru przewyższającego tolerancję, wynosi,3; prawdopodobieństwo to dla przyrządu niesprawnego wynosi,3. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że wynik pomiaru losowo wziętym przyrządem: a przewyższa tolerancję; b jest wykonany nie w pełni sprawnym przyrządem, jeżeli wynik ten przewyższa tolerancję. Wprowadzamy oznaczenia: A - zdarzenie, że błąd pomiaru przewyższa tolerancję; B - zdarzenie, że przyrząd jest sprawny. Mamy P B = 3 = P Bc, P A B =, 3; P A B c =, 3. Ad. a Z tw. o prawd. całkowitym P A = P A BP B + P A B c P B c =,. Ad. b Ze wzoru Bayesa P B c A = P A Bc P B c P A = 5 6, 83. 3
4 3. W pewnym teleturnieju za jednymi z trzech zamkniętych drzwi znajduje się samochód, a za pozostałymi dwoma kozy. Prowadzący grę wie, które drzwi kryją samochód. Gracz wskazuje na jedne z drzwi, prowadzący otwiera jedne z pozostałych odkrywając kozę i następnie pyta gracza, które z zamkniętych drzwi otworzyć tzn. czy gracz zmienia wybór, czy nie. Jeżeli gracz wskaże na odpowiednie drzwi, wygrywa samochód. Powiedzmy, że gracz wskazał na początku na drzwi nr, a prowadzący grę otworzył drzwi nr 3 z kozą. Czy graczowi opłaca się zmienić decyzję i wskazać na drzwi nr? Odpowiedź uzasadnić. Wprowadzamy oznaczenia: A i - zdarzenie, że samochód jest za drzwiami nr i, B i - zdarzenie, że prowadzący otworzył drzwi nr i, i =,, 3 Mamy P A i = 3, P B 3 A =, P B 3 A =, P B 3 A 3 =. Stąd P B 3 = 3 P B 3 A i P A i = z tw. o prawdop. całkowitym, i= i ze wzoru Bayesa P A B 3 = P B 3 A P A = P B 3 3 oraz P A B 3 = P B 3 A P A = P B 3 3 Wniosek: Graczowi opłaca się zmienić decyzję, bo zwiększa swoją szansę na wygraną. 4. Wiadomo, że % skrzynek pomarańczy psuje się w czasie transportu. Z transportu w sposób losowy pobiera się skrzynek i transport ten jest odrzucany, gdy więcej niż % badanych skrzynek zawiera popsute owoce. Jakie jest prawdopodobieństwo odrzucenia transportu? Model: schemat Bernoulliego, sukces-wybranie skrzynki z popsutymi owocami, p =, %, n =. Niech X oznacza ilość skrzynek z popsutymi owocami wśród badanych. X przyjmuje wartości k =,,..., z prawdopodob. p k = P X = k = k, k, k. Transport jest odrzucany, gdy X > % =. Prawdop. odrzucenia transportu wynosi zatem P X > = P X = P X = = =,,,, 9, 43. 4
5 5. Rzucamy symetryczną kostką tak długo aż wypadnie 6. Niech X oznacza liczbę wykonanych rzutów. Jakie są możliwe wartości X i z jakim prawdopodobieństwem przyjmuje każdą z nich? Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że będzie potrzebna parzysta liczba rzutów. Model: schemat Bernoulliego, sukces-wypadła szóstka, p = 6. X to czas oczekiwania na pierwszy sukces, który przyjmuje wartości k =,,... z prawdopodobieństwami p k = P X = k = k 6 = 5 k Prawdopodobieństwo, że będzie potrzebna parzysta liczba rzutów, wynosi P X parzyste = p k = l = 5, 45. k parzyste Uwaga: jest ono różne od,5. l= 6. Gra polega na zarzucaniu krążków na kołek. Gracz otrzymuje ich sześć i rzuca je aż do pierwszego celnego rzutu. Obliczyć prawdopodobieństwo, że po zarzuceniu krążka zostanie graczowi jeszcze co najmniej jeden krążek, jeżeli prawdopodobieństwo trafienia na kołek przy każdym rzucie wynosi,. Model: schemat Bernoulliego, sukces-trafienie na kołek, p =,. Wyobraźmy sobie, że mamy nieograniczoną liczbę krążków, i oznaczmy przez Y czas oczekiwania na pierwsze trafienie. Y przyjmuje wartości k =,,... z prawdop. p k = P Y = k =,, k. Graczowi zostanie co najmniej jeden krążek, gdy Y 5. Szukane prawdopod. wynosi zatem P Y 5 = 5 p k =, 5, 9 k =, 9 5, 4. k= k= 5
6 Rachunek prawdopodobieństwa MAP34, WPPT/FT Przykłady - Lista nr 3: Zmienna losowa. Rozkład zmiennej losowej.. Niech X oznacza ocenę z egzaminu w czterostopniowej skali ocen:, 3, 4, 5 losowo wybranego studenta z dużej grupie studenckiej. Rozkład tej zmiennej losowej podany jest w tabeli: n 3 4 x n p n,,3,4 C Wyznacz stałą C i oblicz prawdopodobieństwo, że ocena jest wyższa niż 3. p n C 4 p n =, +, 3 +, 4 + C =, 8 + C = C =, n= Oba warunki spełnione są dla C =,. P X > 3 = P X = 4 + P X = 5 = p 3 + p 4 =, 4 +, =, 6. Dla jakiej wartości stałej c ciąg p n = c ln, n =, 3,..., określa rozkład n pewnej zmiennej losowej? Podać dwa różne przykłady takiej zmiennej losowej i wyliczyć dla obu prawdopodobieństwo, że zmienna ta jest większa od 5, i mniejsza od 7,9999. p n dla każdego n wtedy i tylko wtedy, gdy c bo <. n p n = c n n + ln = c lnn + lnn + ln n = n= n= n n= = lim c ln + n n ln = c ln = wtedy i tylko wtedy, gdy c = <. ln Oba warunki na ciąg określający rozkład są spełnione dla c = ln. Aby podać rozkład zmiennej losowej z wykorzystaniem p n trzeba jeszcze określić zbiór jej wartości, czyli różnowartościowy ciąg x n. Przykład. Zmienna losowa X, dla której x n = n dla n =, 3,.... Zbiór wartości to {, 3,...}. Wtedy P 5, < X < 7, 9999 = P X = 6 + P X = 7 = p 6 + p 7 = = ln 36 + ln 49 ln, 7. Przykład. Zmienna losowa Y, dla której x n = n wartości to {6, 4, 3,,...}. 5 dla n =, 3,.... Zbiór Wtedy P 5, < Y < 7, 9999 = P Y = 6 = p = ln 4, 45. ln Przykład 3. Zmienna losowa Z, dla której x n = 8+n dla n =, 3,.... Zbiór wartości to {, 7,...}. Wtedy P 5, < Z < 7, 9999 =. 6
7 3. Na podstawie pewnych badań stwierdzono, że zmienna losowa X opisująca procent zanieczyszczeń w próbce rudy miedzi ma rozkład o gęstości fx = { x x dla x, poza tym. Wybrano niezależnie cztery próbki. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że a dokładnie jedna próbka zawiera ponad 5% zanieczyszczeń; b co najmniej jedna próbka zawiera ponad 5% zanieczyszczeń. Model: schemat Bernoulliego, sukces-procent zanieczyszczeń w próbce jest większy niż 5%, czyli X > ; p = P X > = fxdx = x xdx = 6, n = 4. Niech Y oznacza ilość próbek z więcej niż 5% zanieczyszczeń wśród 4 badanych czyli ilość sukcesów w n = 4 próbach. Y ma rozkład Bernoulliego B n = 4, p = 6, czyli przyjmuje wartość xk = k z prawdopodobieństwem p k = 4 k 4 k k 6 6 dla k =,,..., 4. Mamy zatem P Y = = , 84; P Y = P Y = = 4 4. Dobrać stałą c tak, aby funkcja fx = 6 4 6, 99. dla x <, cx 4 dla x <, dla x <, cx 5 dla x < 3, dla 3 x była gęstością pewnej zmiennej losowej X. Znaleźć dystrybuantę tej zmiennej losowej. Wyliczyć P, 5 X <, 5 i P X, 5. fx dla każdego x wtedy i tylko wtedy, gdy c wzory bez c dają funkcje ujemne na podanych przedziałach. fx, c= 3 x fxdx = c x 4dx + c 3 x 5dx = 59 c = wtedy i tylko wtedy, 6 gdy c =
8 Oba warunki na gęstość są spełnione, gdy c = Dystrybuanta ma postać F x = = x ftdt = dla x <, x t 4dt dla x <, t 4dt dla x <, x t 5dt dla x < 3, dla 3 x.5.4 Fx dla x <, x x + dla x <, = dla x <, 59 3x x 4 dla x < 3, 59 dla 3 x.5.4 Fx x 3. 3 x Fx Fx. 3 x. 3 x Fx /59, x P, 5 X <, 5 = F, 5 F, 5 = 44 59,5, = 4 36 P X, 5 = F, 5 = 3,5, = 7 36, 4., 74 8
9 5. Dystrybuanta zmiennej losowej X jest dana wzorem F x = dla x,, 5x dla < x,, 5x x +, 75 dla < x, dla < x. Obliczyć P X <, 5, P < X, 5, P < X <, P < X, P X >, P X > /..5 Fx,75.5,5,5 x P X <, 5 = F, 5 F =, 5, 5, 5+, 75, 5 =, 5 P < X, 5 = lim F x lim F x = x,5+ x + =, 5, 5, 5 +, 75, 5 +, 75 =, 5 P < X < = F lim x + F x =, 5 +, 75 =, 75 P < X = lim F x lim F x = = x + x + P X > = P X = lim x + F x =, 5 +, 75 =, 75 P X > / = P X > / P X < / = lim F x F, 5 = x,5+ =, 5, 5 =,
10 6. Dobrać stałe A, B i C tak, aby funkcja Ae x dla x, F x = Bx +, 5 dla < x ln, C e x dla x > ln była dystrybuantą rozkładu pewnej zmiennej losowej X. Obliczyć prawdopodobieństwa P X ln, P X > ln 3 i P < X <..5 Fx.5.5 Bln+.5.5 A ln x Rysunek : F x dla A =, 5, B =, 5, C =. Dla wszystkich A, B i C funkcja F x jest lewostronnie ciągła. lim F x = A = dla wszystkich A, B i C x lim x F x = C =, o ile C =, A i B - dowolne. Aby F była niemalejąca na całej prostej musimy mieć A, B A = F lim F x =, 5 x + B ln +, 5 = F ln lim F x = C, 5 x ln + Zatem funkcja F jest dystrybuantą dla C = oraz A i B spełniających warunki: A, 5, B, 5/ ln. Wtedy P X ln = P X > ln 3 = lim F x =, 5 =, 5 x ln + lim F x = x ln 3+ Ae ln 3 = A/3 P < X < = F lim x + F x = e, 5, 38
11 Rachunek prawdopodobieństwa MAP34, WPPT/FT Przykłady - Lista nr 4: Rozkład normalny. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej. Transformacja zmiennej losowej.. Błąd pomiaru długości śruby ma standardowy rozkład normalny. Znaleźć prawdopodobieństwo, że błąd zawarty będzie w przedziale [;,5], [-; ], [-,3; ]. Oznaczmy błąd pomiaru długości śruby przez B. Wiemy, że B to zmienna losowa o standardowym rozkładzie normalnym. P B < x = P B x = Φx. Wartości funkcji Φ odczytujemy z tablic. P B [;, 5] = P B, 5 = Φ, 5 Φ =, 695, 5 =, 95 P B [ ; ] = P B = Φ Φ = Φ Φ = = Φ =, 843 =, 688 P B [, 3; ] = P, 3 B = Φ Φ, 3 = = Φ Φ, 3 =, 977, 9893 =, Długość produkowanych detali ma rozkład N, 9;, 3. Norma przewiduje wyroby o wymiarach, 9 ±, 5. Jaki procent produkowanych detali nie spełnia wymogów normy? Oznaczmy długość produkowanych detali przez L. Jest to zmienna losowa o rozkładzie N m =, 9; σ =, 3. Wiemy, że L m σ ma rozkład N,. Detal spełnia wymogi normy, gdy, 9, 5 L, 9 +, 5. P detal nie spełnia wymogów normy= P, 9, 5 L, 9+, 5 = = P,9,5,9 L m,9+,5,9,3 σ,3 = Φ 5 3 Φ 5 3 = = Φ 5 3 Φ, 67 =, 955 =, 95. Odp. 9,5% produkowanych detali nie spełnia wymogów normy. 3. Asystent prowadzący zajęcia ze statystyki przychodzi do sali na ogół minuty przed wyznaczoną godziną rozpoczęcia zajęć. Zakładając, że czas przyjścia jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z σ = minuty, określić, jakie jest prawdopodobieństwo spóźnienia się tego asystenta na zajęcia. Czy asystent powinien zmienić zwyczaje? Odpowiedź uzasadnić. Przyjmiemy, że moment rozpoczęcia zajęć t =. Oznaczmy przez T moment przyjścia asystenta. Jest to zmienna losowa o rozkładzie normalnym N m =, σ = m =, bo asystent przychodzi na ogół minuty przed chwilą t =. P asystent się spóźni= P T > = P T m σ =, 843 =, 587. > = Φ =
12 4. Gracz wyciąga z talii 5 kart dwie karty bez zwracania. Jeśli są to asy, wygrywa zł, jeśli dwie figury, wygrywa zł, a w pozostałych przypadkach gracz płaci zł. Niech X oznacza wygraną gracza. Znaleźć rozkład i wartość oczekiwaną zmiennej losowej X. Czy zagrałbyś w tę grę? Odpowiedź uzasadnić. X przyjmuje wartości, i - zł z prawdopodobieństwami P X = = 4 5 =, 45; P X = = 5 =, 498; P X = = P X = P X = = 9, Wartość - oznacza przegranie zł. EX = + 9 = 88, 3 zł. Wniosek: Jak widać, prawdopodobieństwo przegranej w jednej grze jest dość wysokie, 95, a stawki tak dobrane, że średnio przegrywamy około,3 zł. Gra nie jest więc sprawiedliwa. Raczej nie opłaca się grać. 5. Promień kuli R ma rozkład jednostajny U4, 9; 5, cm. Kulę wykonano z żelaza o gęstości 7,88 g/cm 3. Obliczyć EM i D M. Masa kuli równa jest M = a 3 R 3, gdzie a = 4 7, 88π/3 /3, 37. {, gdy r / [4, 9; 5, ], Gęstość R ma postać: f R r = = 5, gdy r [4, 9; 5, ]. EM = a 3 ER 3 = a 3 5, 4,9 r 3 f R rdr = 5a 5, 3 D M = EM EM = a 6 ER 6 EM = a 6 = 5a 5, 6 4,9 4,9 r 3 dr = 5a 3 5, 4 4, , 6. r 6 dr EM = 5a 6 5, 7 4,9 7 5a 3 5, 4 4, Zmienna losowa X ma rozkład Cauchy ego C,. Znaleźć rozkład zmiennej losowej Y = arctgx. r 6 f R rdr EM = Gęstość rozkładu Cauchy ego C, ma postać f X x =. π+x Stąd dystrybuanta zmiennej losowej X ma postać F X x = x f X tdt = π arctgx +. Dystrybuanta zmiennej losowej Y = arctgx to F Y y = P Y <y =, gdy y π, = P X <tgy = F X tgy = π y +, gdy π < y < π,, gdy y π., gdy y / π Odpowiada ona gęstości f Y y =, π,, gdy y π, π π. Jest to gęstość rozkładu jednostajnego U π, π. Wniosek: Y ma rozkład jednostajny U π, π. 433, 686 g.
13 7. Niech X będzie zmienną o rozkładzie normalnym N, σ. Znaleźć rozkład zmiennej losowej Z = X. X ma rozkład normalny N, σ, czyli gęstość postaci f X x = πσ e x σ. Dystrybuanta { zmiennej losowej Z = X to F Z z = P Z < z =, gdy z, = P X < z = F X z F X z + = F X z F X z, gdy z >. Odpowiada ona gęstości {, gdy z, f Z z = f z X z + f X z = πσ z / e z σ, gdy z >. Jest to gęstość rozkładu gamma G, σ. Wniosek: Z ma rozkład gamma G, σ. 3
14 Rachunek prawdopodobieństwa MAP34, WPPT/FT Przykłady - Lista nr 5: Rozkład łączny. Rozkłady brzegowe. Niezależność zmiennych losowych.. Rzucamy symetryczną kostką tak długo aż wypadnie 6. Interesuje nas ilość wyrzuconych po drodze 5. Opisać to doświadczenie przy pomocy dwóch zmiennych losowych i znaleźć ich rozkład łączny. Niech X oznacza czas oczekiwania na pierwszą szóstkę, a Y - ilość piątek wyrzuconych do chwili X. Wektor losowy X, Y przyjmuje wartości x n, y k = n, k, gdzie n =,,... oraz k =,,..., n ; z prawdop. p nk = P X, Y = x n, y k = = P X = n, Y = k = n k n k 4 k = n n k+ k 3 4 uwzględniamy możliwości wyboru miejsc na piątkę, szansę na piątkę na każdym z tych miejsc, szansę na wynik inny niż piątka i szóstka na pozostałych miejscach do przedostatniego włącznie, szansę na szóstkę w ostatnim rzucie. n Sprawdzenie: p nk = + n =. n= k=. Wektor losowy X, Y ma następujący rozkład łączny: P X =, Y = = C; P X =, Y = = ; P X =, Y = =, ; P X =, Y = = P X =, Y = =, ; P X =, Y = =, 3. Wyznaczyć stałą C oraz rozkłady brzegowe tego wektora losowego. Czy X i Y są niezależne? Stała C musi być nieujemna oraz spełniać warunek C++, +, +, +, 3 =, co daje C =, Rozkład łączny wektora losowego X, Y razem z rozkładami brzegowymi zmiennych losowych X i Y możemy podać w postaci tabeli: n= x n r.brzeg. y k Y,,, 3,,,, 3, 5 r.brzeg.x, 3, 7 = X i Y nie są niezależne, bo np. P X =, Y = =, 3, = P X = P Y =. 4
15 { Cx 3. Dobrać stałą C tak, aby funkcja fx, y = y + y dla < x <, < y < poza tym. była gęstością pewnego wektora losowego X, Y. Obliczyć następnie P X, Y, gdzie to obszar y, x y. Wyznaczyć rozkłady brzegowe wektora losowego X, Y. Czy X i Y są niezależne? fx, y dla każdego x, y wtedy i tylko wtedy, gdy C bo dla < x <, < y < mamy x y + y >. fx, ydxdy = C dx x y + ydy = 8C = wtedy 3 i tylko wtedy, gdy C = 3 8. Oba warunki na gęstość są spełnione, gdy C = 3 8. Oznaczmy przez K prostokąt < x <, < y <. P X, Y = fx, ydxdy = 3 x.5 y + ydxdy = 8 K = 3 8 dx x x + ydy = 3 8 x + x.5 dx = = 3 + =, K y=x Wyznaczamy rozkłady brzegowe: f X x = 3 fx, ydy = 8 x + ydy = 3 4 x + dla < x <, dla pozostalych x. f Y y = 3 fx, ydx = y x + dx = y dla < y <, 8 dla pozostalych y. Ponieważ dla każdego x, y mamy f X xf Y y = fx, y, zmienne losowe X i Y są niezależne. K 4. Dobrać stałą c tak, aby funkcja fx, y = { cx + y dla x, y x, poza tym była gęstością pewnego wektora losowego X, Y. Obliczyć następnie współczynnik korelacji zmiennych losowych X i Y. Czy X i Y są niezależne? Oznaczmy przez T trójkąt < x <, < y < x. fx, y dla każdego x, y wtedy i tylko wtedy, gdy C bo dla x, y T mamy x + y >. C =. fx, ydxdy = C dx x x + ydy = C Oba warunki na gęstość są spełnione, gdy C =. = wtedy i tylko wtedy, gdy 5
16 Współczynnik korelacji to ρ XY = EX = D X = EY = D Y = EXY = ρ XY = 5 9, 44. EXY EXEY D X D Y xfx, ydxdy = dx x xx + ydy = 3 4 x fx, ydxdy EX = dx x yfx, ydxdy = dx x yx + ydy = 5 y fx, ydxdy EY = dx x xyfx, ydxdy = dx x xyx + ydy = 3 x x+ydy EX = y x+ydy EY = Ponieważ ρ XY, zmienne X i Y nie są niezależne. 5. Zmienne losowe X i Y są niezależne, przy czym X ma rozkład wykładniczy Exp 5, a Y rozkład normalny N,. Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Z = X 3Y. X ma rozkład wykładniczy Exp λ = 5, zatem EX = λ = 5 i D X = λ = 5. Y rozkład normalny N,, zatem EY = i D Y = = 4. EZ = EX 3EY = 5 3 =. X i Y są niezależne, więc D Z = D X 3Y = D X 3Y = = D X + D 3Y = D X + 3 D Y = = Niech Y = X + N, gdzie X ma rozkład zerojedynkowy z parametrem p =, 4; a N ma rozkład normalny N,, przy czym zmienne losowe X i N są niezależne. Obliczyć współczynnik korelacji ρ XY. X ma rozkład zerojedynkowy z parametrem p =, 4, zatem EX = p =, 4 i D X = p p =, 4. N ma rozkład normalny N,, zatem EN = i D N =. EY = EX + EN =, 4 + =, 4 Zmienne losowe X i N są niezależne. Zatem D Y = D X + D N =, 4 + =, 4 oraz EXY = EX +EXN = D X +EX +EXEN =, 4+, 4 +, 4 =, 8. Inny sposób: D X + Y = D X + D Y EXY EXEY, zatem EXY EXEY = D X + Y D X D Y = D X + N D X D Y = = 4 D X + D N D Y = 3, 4 +, 4 =, 4 EXY EXEY Otrzymujemy ρ XY = =,4 D XsqrtD Y,4,4, 44. 6
17 Rachunek prawdopodobieństwa MAP34, WPPT/FT Przykłady - Lista nr 6: Działania na zmiennych losowych.. Zmienne X i Y są niezależne, przy czym X ma rozkład Poissona P, a Y rozkład normalny N,. Jaka jest funkcja charakterystyczna rozkładu zmiennej losowej X + Y, a jaka zmiennej losowej 4X Y? X ma rozkład Poissona Pλ =, więc ϕ X t = e λeit = e eit. Y ma rozkład normalny N m =, σ =, więc ϕ Y t = e itm t σ / = e it t. Zmienne X i Y są niezależne. Zatem ϕ X+Y t = ϕ X t ϕ Y t = e eit e it t ϕ 4X Y t = ϕ X 4t ϕ Y t = e ei4t e it t, gdyż dla dowolnej stałej a i zmiennej losowej X mamy ϕ ax t = Ee itax = Ee iatx = ϕ X at.. Pokazać, że suma dwóch niezależnych zmiennych losowych odpowiednio o rozkładach gamma Gλ, p i Gλ, p ma również rozkład gamma. X ma rozkład gamma Gλ, p, więc ϕ X t = it/λ p. Y ma rozkład gamma Gλ, p, więc ϕ Y t = it/λ p. Zmienne X i Y są niezależne. Zatem ϕ X+Y t = ϕ X t ϕ Y t = it/λ p it/λ p = it/λ p +p. Jest to funkcja charakterystyczna rozkładu gamma Gλ, p + p, zatem X + Y ma taki właśnie rozkład gamma. 3. Pokazać, że suma dwóch niezależnych zmiennych losowych odpowiednio o rozkładach Poissona Pλ i Pλ ma również rozkład Poissona. X ma rozkład Poissona Pλ, więc ϕ X t = e λ e it. Y ma rozkład Poissona Pλ, więc ϕ Y t = e λ e it. Zmienne X i Y są niezależne. Zatem ϕ X+Y t = ϕ X t ϕ Y t = e λ e it e λ e it = e λ +λ e it. Jest to funkcja charakterystyczna rozkładu Poissona Pλ + λ, zatem X + Y ma rozkład Poissona Pλ + λ. 4. Niech X, X będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Cauchy ego C,. Znaleźć rozkład zmiennej losowej Y = X + X. X i X mają rozkład Cauchy ego C,, więc ϕ X t = ϕ X t = e t. Zmienne X i X są niezależne. Zatem dla Y = X +X mamy ϕ Y t = ϕ t X +X = t ϕx t ϕx = e t e t = e t. Jest to funkcja charakterystyczna rozkładu Cauchy ego C,, zatem Y ma taki właśnie rozkład. 7
18 5. Sznur lampek choinkowych składa się ze żarówek połączonych szeregowo. Żarówki psują się niezależnie, a czas świecenia każdej z nich ma taki sam rozkład Weibulla W,. Znaleźć rozkład czasu działania sznura lampek. Oznaczmy przez T i czas świecenia żarówki nr i, i =,,...,. Z treści zadania T, T,..., T są niezależnymi zmiennymi losowymi o takim samym rozkładzie Weibulla W,. {, gdy t, Dystrybuanta tego rozkładu ma postać F t = e t, gdy t >. Czas działania sznura lampek połączonych szeregowo to T = mint, T,..., T. Z niezależności T, T,..., T otrzymujemy F T t = F t = { {, gdy t,, gdy t, = e t =, gdy t >. e t, gdy t >. Zatem T ma rozkład Weibulla W,. 6. Zmienne losowe X i Y są niezależne o takim samym rozkładzie wykładniczym o średniej 4. Obliczyć E minx, Y. X i Y mają rozkład wykładniczy Expλ o średniej 4. Zatem = EX = EY = 4, czyli λ =. λ 4 {, gdy x <, Dystrybuanty mają więc postać F X x = F Y x = e x 4, gdy x. Zmienne X i Y są niezależne, więc dla Z { = minx, Y mamy, gdy z <, F Z z = F X z F Y z = e z, gdy z. Zatem Z ma rozkład wykładniczy Exp, a stąd E minx, Y = EZ = / =. 8
19 7. Pokazać, że randomizując parametr λ zmiennej o rozkładzie Poissona Pλ zgodnie z rozkładem gamma G, 3 otrzymujemy zmienną o rozkładzie ujemnym dwumianowym. Jakie parametry ma ten rozkład ujemny dwumianowy? Mamy P X = n Λ = λ = λn n! e λ dla n =,,..., gdzie Λ ma rozkład gamma G, 3, {, gdy λ, czyli rozkład ciągły o gęstości f Λ λ = λ e λ, gdy λ > ; Γ3 =! =. Zatem dla n =,,... otrzymujemy P X = n = P X = n Λ = λf Λ λdλ = = λ n+3 e λ dλ = Γn + 3 = n! n! n+3 n + 3 = 3 3 n+3 3. Widać stąd, że P X + 3 = k = k 3 λ n n! e λ λ e λ dλ = n + 3! n!3! czyli X + 3 ma rozkład ujemny dwumianowy N B 3,. = n+3 3 k 3 dla k = 3, 4,..., 9
20 Rachunek prawdopodobieństwa MAP34, WPPT/FT Przykłady - Lista nr 7: Twierdzenie Moivre a-laplace a. Centralne twierdzenie graniczne Lindeberga-Lévy ego. Twierdzenie Poissona.. Z partii towaru o wadliwości 3% pobrano próbkę 5 elementową. Na podstawie tw. Moivre a Laplace a oszacować prawdopodobieństwo, że liczba wadliwych elementów w próbie nie przekroczy 4%. Model: schemat Bernoulliego, sukces-wylosowany towar jest wadliwy, p =, 3 3%, n = 5 - dość duże, by użyć przybliżenia na podstawie tw. Moivre a- Laplace a. Niech X oznacza liczbę wadliwych towarów w próbce, czyli liczbę sukcesów. Mamy oszacować P X 4% 5 = P X. P X = P X, 5 = P X np,5 5,3 = np p 5,3,3 = P X np 5,5 np p 4,55 Φ 5,5 4,55 Φ, 44 =, 95 z tablic standardowego rozkładu normalnego.. W dużym okręgu wyborczym 6% wyborców popiera emisję nowych obligacji, a 4% jest przeciw temu projektowi. Na podstawie tw. Moivre a Laplace a oszacować, jakie jest prawdopodobieństwo odrzucenia projektu w wyborach, w których weźmie udział tylko 6 osób wybranych losowo. Model: schemat Bernoulliego, sukces-wyborca jest za emisją obligacji, p =, 6 6%, n = 6 - dość duże, by użyć przybliżenia na podstawie tw. Moivre a- Laplace a. Niech X oznacza liczbę wyborców popierających projekt, czyli liczbę sukcesów. Projekt zostanie odrzucony, gdy X 5% 6 = 8. P X 8 = P X 8, 5 = P X np 8,5 6,6 = np p 6,6,6 = P X np, 5 Φ, 5 = Φ, 5 =, 9938 =, 6 np p z tablic standardowego rozkładu normalnego.
21 3. W pewnym towarzystwie ubezpieczeniowym jest ubezpieczonych samochodów. Każdy z właścicieli płaci roczną składkę 3 zł za samochód. Średnio 6 na samochodów ulega uszkodzeniu w ciągu roku. Właścicielowi uszkodzonego pojazdu towarzystwo wypłaca 5 zł. Na podstawie tw. Moivre a Laplace a oszacować, jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciągu roku a towarzystwo nie poniesie strat, b zysk przekroczy 5 zł? Wpłata do towarzystwa ubezpieczeniowego wynosi W = 3 = 3 zł Wypłata to W y = 5 X zł, gdzie X ilość uszkodzeń. X to liczba sukcesów w schemacie Bernoulliego, gdzie sukces to uszkodzenie samochodu, p =, 6 6 na samochodów, n = - dość duże, by użyć przybliżenia na podstawie tw. Moivre a-laplace a. Zysk towarzystwa to Z = W W y. Ad. a Towarzystwo nie poniesie strat, gdy Z, czyli gdy X. P X = P X, 5 = P X np,5,6 = np p,6,6 = P X np 6,5 np p 59,64 Φ 6,5 59,64 Φ7, 83, = Φ4, 47 na podstawie tablic standardowego rozkładu normalnego. Ad. b Zysk przekroczy 5 zł, gdy Z > 5, czyli gdy X < 7. P X < 7 = P X < 69, 5 = P X np < 69,5,6 = np p,6,6 = P X np < 9,5 np p 59,64 Φ 9,5 59,64 Φ, 3 =, 897 z tablic standardowego rozkładu normalnego. 4. Pewna konstrukcja składa się ze jednakowych elementów. Na podstawie CTG Lindeberga Lévy ego oszacować prawdopodobieństwo, że całkowita masa tej konstrukcji nie przekroczy 335 kg, jeśli rozkład masy elementów, z których jest złożona, ma wartość oczekiwaną 3,3 kg i odchylenie standardowe, kg? Oznaczmy przez X i masę elementu nr i w kg, i =,,...,. Zakładamy, że X, X,..., X są niezależnymi zmiennymi losowymi. Z treści zadania mają one jednakowy rozkład, przy czym EX = 3, 3; a D X =,. Masa całej konstrukcji to X = i= X i. Mamy oszacować P X 335. Ponieważ wariancja D X jest skończona i większa od, a n = wystarczająco duże, możemy skorzystać z tw. Lindeberga Lévy ego. Otrzymujemy n n P X 335 = P X i nex i= nd 335 3,3 X, = P X i nex i= Φ5 >, = Φ4, 47 na podstawie tablic standardowego rozkładu normalnego. 5 nd X
22 5. Czas oczekiwania na tramwaj linii 4 jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut. Pan A codziennie w dni robocze dojeżdża nim do pracy. Oszacować na podstawie CTG Lindeberga Lévy ego prawdopodobieństwo, że pan A traci kwartalnie czyli w ciągu 65 kolejnych dni roboczych na czekanie na tramwaj linii 4 więcej niż minut. Oznaczmy przez T i czas oczekiwania na tramwaj w dniu o kolejnym numerze i w minutach, i =,,..., 65. Zakładamy, że T, T,..., T 65 są niezależnymi zmiennymi losowymi. Z treści zadania mają one jednakowy rozkład wykładniczy Expλ o średniej 5 minut. Zatem /λ = ET = 5, a stąd D T = λ = 5. Czas stracony kwartalnie na dojazdy to T = 65 T i. Mamy oszacować P T >. Ponieważ wariancja D T jest skończona i większa od, a n = 65 wystarczająco duże, możemy skorzystać z tw. Lindeberga Lévy ego. Otrzymujemy n n P T > = P T i net i= > nd 65 5 T 65 5 i= = P Φ Φ, =, 583 =, 468 z tablic standardowego rozkładu normalnego. T i net i= > nd 5 T Prawdopodobieństwo, że dowolna osoba odpowie na przesłaną pocztą reklamę i zamówi książkę, wynosi,. Reklamę wysłano do osób. Obliczyć prawdopodobieństwo, że a dokładnie osoby, b więcej niż osoby przyślą zamówienia. Obliczenia wykonać metodą dokładną, przybliżoną z tw. Poissona i przybliżoną z tw. Moivre a Laplace a. Porównać wyniki. Model: schemat Bernoulliego, sukces-osoba odpowie na reklamę, p =,, n =. Niech X oznacza liczbę osób, które zamówiły książkę, czyli liczbę sukcesów. Ad. a Wzór dokładny: P X = =,,, 85. Przybliżenie Poissona: P X = p =, 77; gdzie p odczytane z tablic rozkładu Poissona z λ = np =, =. Przybliżenie z tw. Moivre a-laplace a: P X = = P, 5 < X <, 5 = = P,5, < X np,, = P,5,8 < np p <,5,,, np p X np <,5,8 Φ,5,8 Φ,5,8 = = Φ,5,8 Φ, 37 =, 6443 =, 886 z tablic standardowego rozkładu normalnego. =
23 Ad. b Wzór dokładny: P X > = P X = P X = P X = = =,,,,,, = =, 9,, 9 9 9,, 9 8, 33. Przybliżenie Poissona: P X > p p p =, 353, 77, 77 =, 333; gdzie p k odczytane z tablic rozkładu Poissona z λ = np =, =. Przybliżenie z tw. Moivre a-laplace a: X np np p >,5, =,, P X > = P X >, 5 = P = P X np >,5 np p,8 Φ,5,8 Φ, 37 =, 6443 =, 3557 z tablic standardowego rozkładu normalnego. Porównanie otrzymanych wartości : wzory dokładne z tw. Poissona z tw. Moivre a-laplace a P X =,85,77,886 P X >,33,333, Przy masowych prześwietleniach małoobrazkowych prawdopodobieństwo natrafienia na chorego na gruźlicę jest,. Na podstawie tw. Poissona i tw. Moivre a Laplace a oszacować prawdopodobieństwo, że wśród ludzi prześwietlonych będzie nie mniej niż 3 chorych. Porównać wyniki. Model: schemat Bernoulliego, sukces-pacjent jest chory, p =,, n =. Niech X oznacza liczbę chorych. Mamy oszacować P X 3. Przybliżenie Poissona: P X 3 p p p = =, 353, 77, 77 =, 333; gdzie p k odczytane z tablic rozkładu Poissona z λ = np =, =. Przybliżenie z tw. Moivre a-laplace a: P X 3 = P X >, 5 = P X np >,5, = np p,, = P X np >,5 np p,98 Φ,5,98 Φ, 36 =, 646 =, 3594 z tablic standardowego rozkładu normalnego. Porównanie otrzymanych wartości P X 3: z tw. Poissona z tw. Moivre a-laplace a,333,3594 3
24 8. Czas pracy lampy pewnego typu ma rozkład wykładniczy o średniej 9 godzin. Na podstawie tw. Lindeberga Lévy ego określić, ile lamp trzeba mieć w zapasie, aby z prawdopodobieństwem,99 wystarczyło ich na 4 lata nieprzerwanej pracy? Przyjmujemy, że spalona lampa jest natychmiast wymieniana na nową. Oznaczmy przez T i czas pracy lampy nr i w godzinach, i =,,..., n. Z treści zadania T, T,..., T n są niezależnymi zmiennymi losowymi o takim samym rozkładzie wykładniczym o średniej 9 godzin, czyli z parametrem λ takim, że λ = ET i = 9. Mamy zatem D T i = λ = 9. Szukamy takiego n, aby n n P T i = P T i 3564, 99 i= i= wśród 4 lat jest jeden rok przestępny. Z tw. Lindeberga-Lévy ego mamy n n i= P T i 3564 = P i= Jeżeli to nierówność jest spełniona. T i net nd n T 9 n Φ n. 9 n Φ n 9 n, ; Z tablic standardowego rozkładu normalnego odczytujemy, że Φ, 36 =,. Zatem nierówność jest spełniona, gdy n 9, 36. n Rozwiązujemy nierówność n, 36 9 n <, gdzie n jest liczbą naturalną. Odpowiada to warunkom n, 36 9 n i n > 3564 = 38, Rozwiązując równanie kwadratowe i uwzględniając drugi warunek dostajemy odpowiedź: n 57. Wniosek: Wystarczy 57 lamp. 4
Przykłady do zadania 3.1 :
Rachunek prawdopodobieństwa MAP5 Wydział Elektroniki, rok akad. /, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 3: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego (dwumianowy), Pascala,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa MAP1064 Wydział Elektroniki, rok akad. 2008/09, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Rachunek prawdopodobieństwa MAP064 Wydział Elektroniki, rok akad. 08/09, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 7: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego dwumianowy), Pascala,
Bardziej szczegółowoW takim modelu prawdopodobieństwo konfiguracji OR wynosi. 0, 21 lub , 79. 6
Rachunek prawdopodobieństwa MAP5 Wydział Elektroniki, rok akad. /, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy : Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoA = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)!
Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycnej MAP037 wykład dr hab. A. Jurlewic WPPT Fiyka, Fiyka Technicna, I rok, II semestr Prykłady - Lista nr : Prestreń probabilistycna. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoPrzykłady do zadania 8.1 : 0 dla x 1, c x 4/3 dla x > 1. (b) Czy można dobrać stałą c tak, aby funkcja f(x) = była gęstością pewnego
Rachunek prawdopodobieństwa MAP64 Wydział Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 8: Zmienne losowe typu ciągłego. Gęstość prawdopodobieństwa. Rozkład
Bardziej szczegółowox x 0.5. x Przykłady do zadania 4.1 :
Rachunek prawdopodobieństwa MAP5 Wydział Elektroniki, rok akad. /, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 4: Wartość oczekiwana, wariancja, mediana, kwartyle rozkładu prawdopodobieństwa.
Bardziej szczegółowoWykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.
Bardziej szczegółowoPrzykłady 6.1 : charakterystyki liczbowe rozkładów dyskretnych
Rachunek Prawdopodobieństwa MAP8 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Przykłady 6. Wartość oczekiwana, wariancja, mediana, kwartyle rozkładu prawdopodobieństwa. Transformacje zmiennej losowej. Opracowanie:
Bardziej szczegółowoWykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoZestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa MAP1064, 2008/09
Rachunek Prawdopodobieństwa MAP064, 2008/09 Wydział Elektroniki Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Listy zadań nr 7-9 Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Literatura: [] A. Plucińska, E. Pluciński,
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowoLaboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.
Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką: - 0 3 0, 0,3 0, 0,3 0, Naszkicować dystrybuantę zmiennej X. Obliczyć EX oraz VarX.. Zmienna losowa ma rozkład
Bardziej szczegółowoLista 5. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
Lista 5 Zadania na zastosowanie nierównosci Markowa i Czebyszewa. Zadanie 1. Niech zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 1]. Korzystając z nierówności Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo,
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3
ZADANIA - ZESTAW 3 Zadanie 3. L Prawdopodobieństwo trafienia celu w jednym strzale wynosi 0,6. Do celu oddano niezależnie 0 strzałów. Oblicz prawdopodobieństwo, że cel został trafiony: a) jeden raz, b)
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa MAP1064, 2008/09
1 Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1064, 2008/09 Wydział Elektroniki Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Listy zadań nr 4-6 Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Literatura: [1] A. Plucińska, E. Pluciński,
Bardziej szczegółowoLista 1 - Prawdopodobieństwo
Lista 1 - Prawdopodobieństwo Zadanie 1. Niech A, B, C będą zdarzeniami. Zapisać za pomocą działań na zbiorach następujące zdarzenia: a) zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń A, B, C; b) zachodzą dokładnie
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoPrzykłady do zadania 6.1 :
Rachunek prawdopodobieństwa MAP64 Wydział Elektroniki, rok akad. 28/9, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 6: Zmienna losowa. Rozkład zmiennej losowej. Dystrybuanta. Przykłady
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowoLista 1a 1. Statystyka. Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne
Lista 1a 1 Statystyka Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej 52 karty
Bardziej szczegółowoWykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe
Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne
Bardziej szczegółowo12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych
DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoWykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Warunkowa
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Bardziej szczegółowoRozkład zajęć, statystyka matematyczna, Rok akademicki 2015/16, semestr letni, Grupy dla powtarzających (C15; C16)
Rozkład zajęć, statystyka matematyczna, Rok akademicki 05/6, semestr letni, Grupy powtarzających (C5; C6) Lp Grupa C5 Grupa C6 Liczba godzin 0046 w godz 600-000 C03 0046 w godz 600-000 B05 4 6046 w godz
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2
ZADANIA - ZESTAW 2 Zadanie 2.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 1 0 2 p k 1/ 1/6 1/2 a) wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej i naszkicować jej wykres, b) obliczyć
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa 1B; zadania egzaminacyjne.
Rachunek prawdopodobieństwa B; zadania egzaminacyjne.. Niech µ będzie rozkładem probabilistycznym na (0, ) (0, ): µ(b) = l({x (0,) : (x, x) B}), dla B B((0, ) (0, ))), gdzie l jest miarą Lebesgue a na
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Bardziej szczegółowoZadania zestaw 1: Zadania zestaw 2
Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 3. 1 Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela. x i m 0 n p i 0,4 0,3 0,3 a) Wyznacz m i n jeśli: są całkowite, m
Bardziej szczegółowoLista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne
Metody statystyczne. Lista 1. 1 Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowoStatystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl
Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoRozkłady zmiennych losowych
Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowoćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa
ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 9.10.2010 ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności 1. Niech Ω = [0, 1] oraz niech Σ będzie pewną σ-algebrą podzbiorów odcinka [0, 1]. Udowodnić, że funkcja
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 5 Magdalena Alama-Bućko 1 kwietnia 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 1 kwietnia 2019 1 / 19 Rozkład Poissona Po(λ), λ > 0 - parametr tzw. rozkład zdarzeń
Bardziej szczegółowoZmienne losowe zadania na sprawdzian
Zmienne losowe zadania na sprawdzian Zad. 1. Podane poniżej dane dotyczą zawartości suchej masy (w %) i sosu (w %) w 24 konserwach ze śledzia w pomidorach: Zawartość suchej masy: 12,0 13,0 14,5 14,0 12,0
Bardziej szczegółowoWykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład
Bardziej szczegółowoAby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania
Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie
Bardziej szczegółowoa)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 1. Obliczyć wartość średnią i wariancję.
Zad Rozkład zmiennej losowej dyskretnej : a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2,,, 3, 2,. Obliczyć wartość średnią i wariancję. b)oceny z pracy klasowej w tabeli: Ocena 2 3 4 5 6 Liczba uczniów
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ
Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Zadanie 1. Zmienna losowa przyjmuje wartości -1, 0, 1 z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio: ¼, ½, ¼. Należy: a. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoX P 0,2 0,5 0,2 0,1
Zadanie 1 Zmienna losowa X ma rozkład: x -2 0 1 p 0,2 0,5 0,3 Wyznaczyć i narysować dystrybuantę tej zmiennej losowej. Zadanie 2 Zmienna losowa X ma rozkład: X -10 0 10 40 P 0,2 0,5 0,2 0,1 Podać wartość
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:
Bardziej szczegółowoNiech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.
Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa
Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)
ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające
Bardziej szczegółowoLiteratura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Bardziej szczegółoworachunek prawdopodobieństwa - zadania
rachunek prawdopodobieństwa - zadania ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności - 9.10.2011 1. (d, 1pkt) Udowodnić twierdzenie 2 tj. własności prawdopodobieństwa (W1)-(W7). 2. Niech Ω = [0, 1] oraz
Bardziej szczegółowoMETODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych
METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład - Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych Parametry zmiennej losowej EX wartość oczekiwana D X wariancja DX odchylenie standardowe inne, np. kwantyle,
Bardziej szczegółowoDrugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A
Drugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A Zad. 1. Korzystając z podanych poniżej mini-tablic, oblicz pierwszy, drugi i trzeci kwartyl rozkładu N(10, 2 ). Rozwiązanie. Najpierw ogólny komentarz
Bardziej szczegółowoP (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
Bardziej szczegółowoZmienne losowe skokowe
Zmienne losowe skokowe 1.1 Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta Zad.1 Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie wyrzuconych oczek przy pojedynczym rzucie kostką do gry, czyli =1,2,3,,6.
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Projekt - Czas dojazdu autobusem Opracowanie: Klaudia Karpińska
Zadanie Rachunek Prawdopodobieństwa MAP8 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Projekt - Czas dojazdu autobusem Opracowanie: Klaudia Karpińska Z pracy do domu możemy dojechać autobusem jednej z trzech
Bardziej szczegółowo4.Zmienne losowe X 1, X 2,..., X 100 są niezależne i mają rozkład wykładniczy z α = 0.25 Jakie jest prawdopodobieństwo, że 1
LISTA 7 W rozwiązaniu zadań 1-4 wykorzystać centralne twierdzenie graniczne. 1.Prawdopodobieństwo, że aparat zepsuje się w czasie jego konserwacji wynosi 0.02. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w trakcie
Bardziej szczegółowoWykład 4. Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym. 2. Rozkłady próbkowe. 3. Centralne twierdzenie graniczne
Wykład 4 Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym 2. Rozkłady próbkowe 3. Centralne twierdzenie graniczne Przybliżenie rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym Niech Y ma rozkład
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Zmienna losowa i jej
Bardziej szczegółowoc) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp.
Zadania na kolokwium nr Zadanie. Spośród kart w tali wylosowano. Jakie jest prawdopodobieństwo: pików, kierów, trefli i karo otrzymania wszystkich kolorów otrzymania dokładnie pików a ( b ( ( c ( ( ( (
Bardziej szczegółowoElektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy
Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa ] 206/207 Zimowy Lp Numer indeksu Pkt Kol Suma Popr Ocena Data Uwagi 97574 6 7 Db + 2 9758 ++0,9 5 7,9 Db + 3 99555 0,9+0,9 2,8 Dst + 4 97595 0,8++ 0 2,8 Dst + 5
Bardziej szczegółowo5.Dzienne zużycie energii (1=100kWh) pewnej firmy jest zmienną losową. 0, gdy x 0 lub x 3
LISTA 4 1.Liczba komputerów, które mogą być zarażone wirusem poprzez pewną sieć ma rozkład Poissona z parametrem λ = 7. Prawdopodobieństwo,że wirus uaktywni się w zarażonym komputerze wynosi p. Jakie jest
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA LISTA 10 1.Dokonano 8 pomiarów pewnej odległości (w m) i otrzymano: 201, 195, 207, 203, 191, 208, 198, 210. Wiedząc,że błąd pomiaru ma rozkład normalny
Bardziej szczegółowoParametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f
Zadanie. W kolejnych latach t =,,,... ubezpieczony charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ generuje N t szkód. Dla danego Λ = λ zmienne N, N, N,... są warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Zmienna losowa i jej rozkład Mając daną przestrzeń probabilistyczną, czyli parę (&, P) stanowiącą model pewnego doświadczenia losowego (gdzie
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1. a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło siebie.
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę n dzieci ustawiono w sposón losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją
Bardziej szczegółowo07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe
07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe Słynne rozkłady dyskretne Rozkład parametry P (X = k dla k = E(X Var(X uwagi ( dwumianowy n, p n k p k ( p n k 0,,, n np np( p liczba sukcesów w n próbach Bernoulliego
Bardziej szczegółowoSzkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego
Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................
Bardziej szczegółowoStatystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017
Statystyka Magdalena Jakubek kwiecień 2017 1 Nauka nie stara się wyjaśniać, a nawet niemal nie stara się interpretować, zajmuje się ona głównie budową modeli. Model rozumiany jest jako matematyczny twór,
Bardziej szczegółowo5 Przegląd najważniejszych rozkładów
5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5. Rozkład Bernoulliego W niezmieniających się warunkach wykonujemy n razy pewne doświadczenie. W wyniku każdego doświadczenia może nastąpić zdarzenie A lub A. Zakładamy,
Bardziej szczegółowoWSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz.
Tematy: WSTĘP 1. Wprowadzenie do przedmiotu. Próbkowe odpowiedniki wielkości populacyjnych. Modele statystyczne i przykładowe zadania wnioskowania statystycznego. Statystyki i ich rozkłady. 2. Estymacja
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 6 Magdalena Alama-Bućko 8 kwietnia 019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8 kwietnia 019 1 / 1 Rozkłady ciagłe Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia
Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne
Bardziej szczegółowoi=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 =
Kombinatoryka W tej serii zadań można znaleźć pojawiające się na egzaminach zadania dotyczące problemu wyznaczania prostych parametrów rozkładu w przypadku zgadnień kombinatorycznych. Zadania te wymagają
Bardziej szczegółowoStatystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa dla Bioinzynierii Lista zadań 2, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)
Statystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa dla Bioinzynierii Lista zadań 2, 2018/19z (zadania na ćwiczenia) 1 Przestrzeń probabilistyczna Zadanie 1 Rzucamy dwiema kostkami do gry. Opisać przestrzeń zdarzeń
Bardziej szczegółowo6. Zmienne losowe typu ciagłego ( ) Pole trapezu krzywoliniowego
6. Zmienne losowe typu ciagłego (2.04.2007) Pole trapezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ograniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją ciągłą; proste x = a, x = b, a < b, oś OX
Bardziej szczegółowoRozkłady zmiennych losowych
Rozkłady zmiennych losowych 1 Zmienne losowe dyskretne 1.1 Rozkład dwumianowy Zad.1.1.1 Prawdopodobieństwo dziedziczenia pewnej cechy wynosi 0,7. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród pięciu potomków
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści
Bardziej szczegółoworachunek prawdopodobieństwa - zadania
rachunek prawdopodobieństwa - zadania ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności - 6.10.2012 1. (d, 1pkt) Udowodnić twierdzenie 2 tj. własności prawdopodobieństwa (W1)-(W7). 2. Niech Ω = [0,1] oraz
Bardziej szczegółowo