1. Zapis matematyczny i elementy logiki matematycznej (1) Zapisz, używając symboliki matematycznej zdania: (a) Liczby x i y mają wspólny dzielnik większy od 2. (b) Jeśli x i y różnią się o 1, to nie mają wspólnych dzielników większych od 1. (c) Jeśli x nie jest podzielne przez 2 to nie jest podzielne przez 6. (d) Wykresy funkcji f i g przecinają się. (e) Większa z liczb x, y jest podzielna przez 3. (f) Jeśli w ciągu geometrycznym iloraz jest liczbą większą od 1, to ciąg jest rosnący. (2) Sprawdź, czy są tautologiami zdania logiczne: (a) prawa logiczne podane na wykładzie (nie trzeba wszystkich); (b) [(p q) = r] = [(p = r) (q = r)]; (c) (p = q) [(p q) p]; (d) [(p q) p] = q; (e) (p = q) = [(p r) = q]; (f) (p = q) = [p = (q r)]. 2. Zdania logiczne z kwantyfikatorami (1) Dla poniższych formuł znaleźć uzasadnienie korzystające z tożsamości z wykładu (strona 11), lub wskazać przykład zdań, dla których tożsamość nie jest spełniona (a) ( x : (φ(x) = p)) (( x : φ(x)) = p); (b) ( x : (p = φ(x))) (p = ( x : φ(x))); (c) ( x : (φ(x) = p)) (( x : φ(x)) = p); (d) ( x : (p = φ(x))) (p = ( x : φ(x))); (2) Czy pomiędzy następującymi tożsamościami można wpisać implikację lub równoważność? (a) x : (φ(x) = ψ(x))? ( x : φ(x)) = ( x : ψ(x)) (b) x : (φ(x) = ψ(x))? ( x : φ(x)) = ( x : ψ(x)) 3. Operacje na zbiorach (1) Sprowadź poniższe zdania dotyczące zbiorów do postaci zdań logicznych i sprawdź ich prawdziwość. (a) (A B) A (A B); (b) (A B) \ C = (A \ C) (B \ C); (c) (A B C) \ (A B) = C; (d) A (A B) = A; (e) A (B \ C) = [(A B) \ C] (A C). (2) Pokaż, że prawdziwe są zdania (a) (A B) (A B = B); (b) (A B) (A \ B = ); (c) (A \ B = B \ A) A = B. 4. Nieskończone operacje na zbiorach (1) Policz + A i oraz + A i, gdzie (a) A i = x : 0 x 1 i + 1 }; (b) A i = x : 10 1 i + 1 < x < 2i2 6i + 1}; (c) A i = x : (i + 1) 2 < x < 2i 2 5i + 5}; 1 (d) A i = x : 1 (i + 1) 2 < x < 2 + 1 i + 1 }; (e) A i = x : sin x = i 5}; (2) Policz + A i oraz + A i, gdzie A i podane niżej są podzbiorami płaszczyzny. (a) A i = (x, y) : x 2 + y 2 < i}; (b) A i = (x, y) : x 2 + y 2 > 1 + 1 i + 1 }; (c) A i = (x, y) : x y + i}; (d) A i = (x, y) : ix 2 > y}; (3) Sprawdź, czy w podanych poniżej wzorach można wpisać równości lub zawierania. Proszę użyć definicji sumy i przecięcia.
(a) A B i? (b) A (c) (d) (e) B i? (A B i ); (A B i ); A i B i? A i B i? A i \ B i? (A i B i ); (A i B i ); (A i \ B i ); 5. Obraz i przeciwobraz zbioru. Własności funkcji. (1) Sprawdź, czy poniższe funkcje są iniekcjami i suriekcjami. Jeśli nie są podane dziedzina i przeciwdziedzina, proszę zastanowić się jakie powinniśmy rozsądnie przyjąć. (a) f : N n n 2 N; (b) f : R x x 3 x R; (c) f : R x x 2 x R; (d) f : Q x x 3 Q; (e) f : R x log(x 2 + 1) R; (f) Funkcja F przyporządkowująca wielomianowi drugiego stopnia jego zbiór pierwiastków. (g) Przyporządkowanie każdemu człowiekowi jego ojca. (2) Sprawdź, czym są podane obrazy i przeciwobrazy. Funkcje bierzemy z poprzedniego zadania zgodnie z numeracją podpunktów. (a) f(0}), f 1 (0}), f 1 (p : p jest liczbą pierwszą}); (b) f(0}), f 1 (0}), f((1, 2)), f 1 ((0, 1)); (c) f([0, 1]), f 1 ([0, 1]); (d) f 1 (x : x > 0}); (e) f(r + ), f 1 (R ), f 1 (R + ); (f) F (ax 2 + bx + c : b 2 4ac = 0}), F 1 (0}}), F 1 (x, x + 1} : x R}); (g) Obraz zbioru mężczyzn, przeciwobraz zbioru mężczyzn. (3) Proszę zastanowić się nad własnościami z wykładu, które nie zostały uzasadnione. Ponadto proszę uzasadnić, że f(f 1 (A)) A i f 1 (f(a)) A i znaleźć przykłady zbiorów i funkcji (np. tych z poprzednich zadań) dla których nie ma równości. Zadania na 13. listopada. 1. Zapisz, używając symboliki matematycznej zdanie: Jeśli różnica liczb całkowitych jest równa 3, to dokładnie jedna z nich jest parzysta. 2. Wskaż (zapisując wzorem lub rysując czytelny wykres) takie funkcje f 1, f 2 : R R, że f 1 spełnia warunek (W 1 ) x R y x: f(x) > f(y) i nie spełnia warunku (W 2 ) x R y > x: f(x) > y, zaś f 2 spełnia (W 2 ) i nie spełnia (W 1 ). (Uzasadnienie niepotrzebne.) 3. Pokaż, że poniższe zdanie jest zawsze prawdziwe (A B) \ C = (A \ C) (B \ C). 4. Sprawdź, czy prawdą jest, że jeśli B C, to B \ A = (C \ A) B. 5. Uzasadnij, że jeśli A B i dla dowolnego i, to również A + i=0 B i. 6. Policz + A i oraz + A i, gdzie A i = x : 1 i x i2 5i + 7}.
7. Niech X = [0, 3] oraz f : X x 3 4 x2 3x+3 X. Sprawdź, czy f jest iniekcją i surjekcją. Policz f((1, 3)), f 1 ([ 3 4, 3]). Wskaż zbiór A taki, że f 1 (f(a)) A lub uzasadnij, że taki zbiór nie istnieje. 6. Liczby zespolone. (1) Niech z 1 = 1 + 2i, z 2 = 2 + 2i, z 3 = 3 4i. Policz z 1 z 2, (z 2 1 + z 2 2)/ z 3, z 6 2, z 1. (2) Sprawdź, że (3) Rozwiąż równości z 1 + z 2 = z 1 + z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2, z 1 /z 2 = z 1 / z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2 z + z = 2Re z, z z = 2iIm z. z 2 = 4i, z 2 6z + 10 = 0, z + 2 1 i = 3z + 1 2 + i, z2 + 3z + 3 = i, z 2 + (2i 1)z + 1 + 5i = 0, 2z + (3 1) z = 5 + 4i, z 3 = (1 + i) 3, z + i = z + i, z 2 = ( z) 2, z 6 = z 4, z 2 = z, (z + i) 2 = (z + i). 7. Liczby zespolone. Ciąg dalszy. (1) Policz (1 + i) 12, (i 3) 7, (2+i)10 (1 2i) 8. (2) Rozwiąż poniższe równości oraz nierówności i zaznacz na płaszczyźnie zespolonej zbiory liczb spełniających zależności Im (z(1 i) 2 + 3i) > 1, Re ((z 1 i) 2 ) < 0, Im z 2 z 2, Re z i z + i = 0, z 2 + 4 z 2i, arg 1 + i z 2 [0, π/2], Im z 5 0, Re (z + w) 2 > Re z 2 dla w = 1, i, 1 + i. 8. Zagadnienia geometryczne. (1) Niech dane będą punkty na płaszczyźnie A = ( 6, 3), B = (0, 5), C = (4, 2). Znajdź powierzchnię trójkąta, kąty trójkąta (lub ich funkcje trygonometryczne). Znajdź równania trzech prostych zawierających wysokości trójkąta. (2) Znajdź pole sześciokąta o wierzchołkach (1, 3), ( 1, 4), ( 3, 1), ( 1, 2), (0, 5), (4, 2). (3) Porównaj kąty trójkąta w przestrzeni o wierzchołkach ( 2, 2, 0), (3, 2, 2), ( 2, 5, 1). Jakie jest jego pole powierzchni? Znajdź równania prostych zawierających wysokości trójkąta. (4) Rozważmy w przestrzeni punkty (2, 3, 0), ( 1, 0, 2), (3, 1, 0), ( 3, 1, 1), (1, 1, 4). Czym jest figura o wierzchołkach w tych punktach? Jaka jest jej objętość i pole powierzchni? 9. Układy równań. W poniższych zadaniach proszę przećwiczyć wszystkie znane metody (tam, gdzie to możliwe) rozwiązywania układów równań. (1) Rozwiąż układy 7x + 4y = 2, 5x + 3y = 4, x + 2y = 1, y + 2z = 3, z + 2x = 4, x + 3y + 2z = 1, 3x + 4y z = 11, 2x + y 5z = 16,
x y z = 1, 3x + y + 2z = 2, x + 3y + 4z = 0, 2x + 2y z + t = 1, x y z + 3t = 2, 3x + 5y 4z t = 0. (2) Wyznacz ile rozwiązań dla jakich p ma układ równań (3) Dla jakich p rozwiązania (x, y) układu równań znaku? 2x + y = p, x 3y = 1, p 2 x 2y = p, y 2x = 1. są liczbami tego samego 1. Policz wartość Zestaw E.10. ( 1 i 3) 7 (2 i)(i + 3) 2. 2. Znajdź zbiór liczb zespolonych spełniających zależność Im (z + i) 2 > Im z 2. 3. Rozwiąż równanie z 2 3z + 3 = i. 4. Znajdź funkcje trygonometryczne kąta pomiędzy przekątnymi równoległoboku ABCD, gdzie A = ( 6, 3), B = (0, 5), C = (14, 7). Jaka jest jego powierzchnia? 5. Znajdź pole powierzchni trójkąta w przestrzeni o wierzchołkach (1, 0, 2), (2, 2, 0), (0, 0, 1). 6. Jaka jest objętość czworościanu o wierzchołkach (1, 1, 1), ( 1, 1, 1), (1, 1, 1), ( 1, 1, 1)? 7. Rozwiąż układ równań x 2y = 1, y 2z = 5, z 2x = 4. 8. Znajdź taką wartość parametru p, że poniższy układ ma wiele rozwiązań i rozwiąż go px + y + z = 1, (p + 1)x y + 2z = 5, x 4y pz = 2. (1) Policz poniższe granice ciągów ( n + 6 n + 2 n); ( 1 n 2 + 1 + 1 n 2 + 2 +... + 1 n 2 + n ); (1 + 1 n ) n 2 10. Granice ciagów i funkcji. 2 2 n ; (1 + 2n 3 n + 4 n 5 n ); ( n 2 + 1 n); sin(π n 2 + 1); ( 1 n4 + 1 + 2 n4 + 2 +... + (n 2 + 4n + 1) n2 2 (n + 2) 2n2 4n+4 ; (n + 4) n n 2 ; n 4 n + 5 (n 2 2n)(ln(n + 1) ln n) ; n n4 + n ); 3 n (2 n ) 2. (2) Policz dla poniższych funkcji granice (granice jednostronne) we wszystkich punktach na końcach przedziałów, na których funkcje są określone (również w ± ). Jeśli granice nie istnieją, uzasadnij to. x 3 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 1 ; sin x sin 2x ; 1 + x 1 x ; 2x x 2 3x + 2 ; x(x 3) tg 3x x 2 ; x 2 + x x 3 x.
11. Funkcje ciągłe. Asymptoty. (1) Znajdź wszystkie asymptoty poniższych funkcji: x 3 3x 2, x 2 4 sin x arctg x x 2, sin x 3 sin x 2 x(x + arctg x). x 7 (2) Znajdź takie liczby A, B, żeby funkcje poniższe były ciągłe. x + sin x f(x) = 2 1 dla x > 1 sin x dla x (0, π) x(π x) f(x) = x 2 + Ax + B dla x 1 Ax + B dla x (0, π) 12. Pochodne. (1) Policz dla podanych funkcji pochodne w punktach, gdzie funkcja jest różniczkowalna. tg(x 2 x); ln x x ; x 2 + x x 1 ; 2cos x ; (2) Policz pierwszą, drugą i trzecią pochodną funkcji: x 2 e x ; sin x 2 ; 1 + sin 2 x; e x2 cos x; (x + 1) (x 1). x + 2 x 2. (3) Znajdź styczne do funkcji z poprzedniego zadania w punktach, odpowiednio: (1, e), ( π, 0), (1, 3). (4) Policz pochodne cząstkowe funkcji: f(x, y, z) = x 2 y + xyz 2 xz3 y 2 ; x 1 x y f(x, y) = x + y ; 13. Pochodne. Zastosowania. (1) Znajdź dla poniższych funkcji wszystkie ekstrema lokalne. x 3 x; sin x f(x, y) = xy sin y ; f(x, y, z) = x2y z. x 2 + 1 x 2 ; tg(x2 x); x ln x; 2 cos x ; xe 1 x ; x 2 x2. (2) Policz z reguły de L Hospitala granice: ( x x 1 1 ) ; ln x x ln x + (sin 1x + 1 ) ; (3) Znajdź ekstrema lokalne i globalne funkcji: sin x dla x [ π, 0], x 3 3x 2 ; f(x) = x cos x sin x x 0 sin x x x 1 dla x (0, π); f(x) = sin x ( ; 1 + sin 1 x. x + x) x + sin x 2 1 dla x > 1, x 2 + x 1 dla x 1. (4) Znajdź prostą taką przechodzącą przez punkt (2,7), która tworzy z dodatnimi półosiami układu współrzędnych trójkąt o najmniejszym polu. (5) Znajdź wymiary pojemnika w kształcie walca (puszka), który przy pojemności 1l ma najmniejszą możliwą powierzchnię. (6) Znajdź wymiary pojemnika w kształcie walca z jedną podstawą (coś jak szklanka), który przy pojemności 1l ma najmniejszą możliwą powierzchnię. (7) Znajdź prostokąt i trójkąt wpisane w koło o promieniu 1, które mają największe możliwe pole powierzchni. 14. Badanie funkcji. Zbadaj poniższe funkcje i narysuj możliwie dokładnie ich wykresy. x 2 + 1 1 + x 1 x x 2 ; tg(x2 x); x ln x;. 2x
15. Zadania przygotowawcze. (1) Policz granice w nieskończoności poniższych ciągów a n = 3 n 3 + 3n n; b n = ( ) n 2 n 3 n 1 1 ; n 2 + 1 cn = 5n 6 n 6 n 7 n. (2) Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji 2x 3 3x 2 36x 8 oraz (x 3) 2 e x na przedziale [ 2, 5]. (3) Zbadaj funkcje x ln x ; x 3 1 x ; sin x sin2 x. (4) Znajdź prostokąt wpisany w trójkąt o wierzchołkach A = (0, 0), B = (1, 1) i = (3, 0), którego dwa wierzchołki leżą na odcinku AC, dwa pozostałe na odcinkach AB i BC, i który ma możliwie największe pole powierzchni. (1) Znajdź poniższe granice ( n 4 + 2n 2 + 4n + 8 n 2 1); 6 maja 2008. ( ) n 2 n 2 tg 3x ; n 2 + 2n x π sin 5x ; x 0 +(sin x + cos x) 1 x (2) Znajdź asymptoty funkcji f(x) = x2 sin x oraz styczną do wykresu w punkcie (π, π). e 2x (3) Policz drugą pochodną funkcji sin 3x. (4) Znajdź ekstrema lokalne oraz wartość największą i najmniejszą funkcji (x + 1) 4 x 2. (5) Zbadaj funkcję f(x) = x i naszkicuj jej wykres. x 2 1 (6) Znajdź taki punkt (x, y) na odcinku łączącym punkty (3, 0) i (0, 6), aby prostokąt o wierzchołkach (0, 0), (x, 0), (x, y), (0, y) miał możliwie największe pole powierzchni. (1) Policz poniższe całki. 5x 3 + 6x 2 + 7x + 8 + 9 x sin 2 2x 5x + 3 + 1 5x + 3 16. Całki. I. 3 5x x 3 3 x 5 3 5x x 2 + 3x + 4 2x 2 x 1 e 2x 4 e x + 2 x 4 x 3 + 2x 2 x 2 dx. (2) Policz poniższe całki korzystając ze wzoru na całkowanie przez części. x 2 sin 2x x 3 ln x x sin x cos x e 3x cos 2x dx. (1) Policz poniższe całki. 1 x 2 2x + 2 17. Całki. II. x x 2 2x + 2 1 x 4 16 x 4 x 3 1 dx. (2) Policz poniższe całki korzystając ze wzoru na całkowanie przez podstawienie. 1 + e 2x sin 3x 1 + e4x 2 5 cos 3x (x 2 1) x + 2 x 3 x 2 cos x sin(sin x) dx. 1 x 8 1 2x 2
18. Całki. III. Policz poniższe całki korzystając ze wzoru na całkowanie przez podstawienie 1 0 1 1 x 3 1 x 8 1 + e 2x 1 + e4x π 0 2 1 (x 2 1) x + 2 cos x sin(sin x) używając podstawień następujących (nie wszystkie są dobre!): 1 2 1 2 t = e x, t = e 2x, t = e 4x, t = sin x, t = cos x, x 2 1 2x 2 dx t = x + 2, t = x + 2, t = x 4, t = x 8, t = 1 x 8, t = 1 x 8, t = x 2, t = 1 2x 2, t = 1 2x 2. 19. Statystyka. (1) Dla podanych poniżej danych policz parametry z wykładu (wartość średnia, mediana, dominanta, kwartyle, odchylenie przeciętne, odchylenie standardowe, współczynniki zmienności...) (a) Dane liczbowe: 1, 2, 3, 2, 3, 4, 0, 5, 1, 4, 3, 4. (b) Szereg rozdzielczy punktowy: (c) Szereg rozdzielczy przedziałowy: wartość 0 2 4 6 8 10 liczba danych 3 9 13 6 3 1 przedział wartości [0, 2) [2, 4) [4, 6) [6, 8) [8, 10) [10, 12) liczba danych 1 2 3 6 6 2 (2) Samochód poruszał się na przez pewien czas ze średnią prędkością 40 km/h. Następny, dwukrotnie dłuższy, odcinek czasu przebyty został ze średnią prędkością o połowę większą. Droga powrotna zaś przebyta została z prędkością 55 km/h. Jaka była średnia prędkość tam i z powrotem? Jaka byłaby średnia prędkość, gdyby okazało się, że na każdym odcinku średnia prędkość była o 10 km/h większa? (3) Przybliżone gęstość zaludnienia oraz całkowitą liczbę ludności krajów beneluksu przedstawia poniższa tabelka. Jakie jest średnie zaludnienie beneluksu? kraj Belgia Holandia Luksemburg liczba ludności 10 mln 15,5 mln 0,5 mln gęstość zaludnienia 350 os/km 2 400 os/km 2 200 os/km 2 19. Zastosowania całek. (1) Znajdź pole powierzchni figury ograniczonej krzywymi y = 2 x 2, y = x 3 2x, y = x, która zawiera punkt (0, 1). (2) Znajdź pole powierzchni figury ograniczonej krzywymi y = sin x, y = tg x, która zawiera 2 na brzegu punkt (0, 0). (3) Znajdź objętość figur na rysunku. Pierwsza ma podstawę w kształcie trójkąta prostokątnego o bokach 30, 40, 50, wysokości 5, której boczne ściany nachylone są pod kątem 60. Druga ma podstawę w kształcie prostokąta o bokach 60 i 80, wysokość 10 i ściany boczne nachylone pod kątem 45.
20. Statystyka, cd. (1) Na podstawie poniższej tabelki podaj stosunek liczby kobiet i mężczyzn w całej populacji Polski. Wiedząc, że średni czas życia mieszkańca Polski wynosi 75,19, w tym kobiet 79,44, znajdź średni czas życia mężczyzn. wiek stosunek płci 0 14 lat 15,5% 1,05 mężczyzn/kobiet 15 64 lat 71,1% 0,99 mężczyzn/kobiet ponad 64 lata 13,3% 0,62 mężczyzn/kobiet (2) Na podstawie poniższych danych znajdź całkowity i średni wzrost PKB w latach 2001 2007. rok 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 wzrost PKB 1,0% 1,4% 3,8% 5,3% 3,5% 6,2% 6,5%