Egzamin wstępny z Matematyki 1 lipca 2011 r.

Transkrypt

1 Egzamin wstępny z Matematyki 1 lipca 011 r. 1. Mamy 6 elementów. Ile jest możliwych permutacji tych elementów jeśli: a) wszystkie elementy są różne, b) dwa elementy wśród nich są identyczne, a wszystkie pozostałe są różne? c) dwa elementy są identyczne, a pozostałe cztery elementy są inne, ale sobie równe? 10 punktów. Ile rozwiązań w przedziale 0, ma równanie sin x cos x? Podać te rozwiązania. 10 punktów 3. Rozwiązać nierówność: 11 x x Obliczyć sumę siódmego i ósmego wyrazu ciągu geometrycznego, którego iloraz wynosi 1 q, a suma czwartego, piątego i szóstego wyrazu równa się Dana jest funkcja f ( x) x 3x 4. Narysować wykres funkcji g( x) f ( x), a następnie odczytać z wykresu najmniejszą nieujemną wartość rzeczywistą, spełniającą nierówność g ( x) W trapezie o podstawach a i b ( a>b) suma kątów przy podstawie a jest równa. Obliczyć długość odcinka łączącego środki podstaw trapezu. 5 punktów Zadanie należy rozwiązać na arkuszu egzaminacyjnym w polach oznaczonych odpowiednimi numerami zadań. Treści zadań prosimy nie przepisywać. Jeżeli w określonym polu zabraknie miejsca, zadanie można dokończyć na ostatniej stronie, w polu miejsce dodatkowe. Kartki brudnopisu nie oddaje się i nie będzie on sprawdzany.

2 w dniu 3 lipca 01 r Rozwiązać nierówność: x 7x 1x 0.. Rozwiązać równanie: 3 cos x sin x Zmiana notowań funduszy AXB od poniedziałku do piątku przedstawiała się następująco: poniedziałek wtorek środa czwartek piątek -% -1% +1,5% +1,5% +0,% Przed otwarciem giełdy w poniedziałek wartość posiadanych funduszy AXB pana CD wynosiła zł. Jaką wartość mają fundusze AXB pana CD w piątek po zamknięciu notowań? 4. Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji danej wzorem f 8 x x) x (, w przedziale x 1,. 5. Liczby x, y, z są odpowiednio trzecim, szóstym i dziewiątym wyrazem ciągu arytmetycznego. Wykazać, że liczby 11, 11, 11 są kolejnymi wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego. 0 pkt. x y z 6. Punkty (-,1) i (6,5) są przeciwległymi wierzchołkami rombu o polu równym 0. Obliczyć współrzędne pozostałych wierzchołków rombu. 0 pkt. numerami zadań. Treści zadań prosimy nie przepisywać. Jeżeli w określonym polu zabraknie miejsca, zadanie można dokończyć na ostatniej stronie. Kartki brudnopisu nie oddaje się i nie będzie ona oceniana. Czas trwania egzaminu 150 minut.

3 w dniu lipca 013 r. 7. Dla jakich wartości parametrów a i b wielomian P(x) = x 6 + ax + b jest podzielny przez x - 4? 8. W wycinek koła o promieniu R i kącie ostrym wpisano okrąg. Obliczyć jego promień. 0 pkt. 9. Pan AB wpłacił do banku XY zł na dwa lata. Kapitalizacja w tym banku jest miesięczna, a roczne oprocentowanie wynosi 6%. Ile po latach wynoszą oszczędności pana AB? 10. Rozwiązać równanie: x = Dla jakich wartości parametru p dziedziną funkcji f ( x) ( p 1) x 1 ( p 1) x jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych? 0 pkt. 1. Długość boku czworościanu foremnego zwiększono o 15%. O ile procent wzrosła objętość tego czworościanu? numerami zadań. Treści zadań prosimy nie przepisywać. Jeżeli w określonym polu zabraknie miejsca, zadanie można dokończyć na ostatniej stronie. Kartki brudnopisu nie oddaje się i nie będzie ona oceniana. Czas trwania egzaminu 150 minut.

4 w dniu 1 lipca 014 r. 1. Dana jest funkcja y = x + x + 1 a. Znaleźć największą i najmniejszą wartość tej funkcji w przedziale < 0,3 >. b. Czy liczba 3 należy do zbioru wartości tej funkcji? Odpowiedź uzasadnić.. Narysować na płaszczyźnie zbiory A, B, A B I B\A, jeżeli A = {(X, Y): 0 < x y < 1}, B = {(x, y): 1 < x + y < 4} 3. Dany jest kwadrat ABCD. Na bokach AB i BC wyznaczono odpowiednio takie punkty E i F, że AE : EB = : 1 oraz BC : BF = 3:1. Jaką częścią pola kwadratu ABCD jest pole figury o wierzchołkach AEFCD? 4. Wiedząc, że jednym z pierwiastków wielomianu W x = x 3 + ax 3x + 6 jest liczba 3, znaleźć pozostałe pierwiastki tego wielomianu oraz sumę odwrotności tych pierwiastków i odwrotność sumy pierwiastków. 5. Zabytkowy pociąg odbywa turystyczny kurs w terenie górskim. Z miejscowości A do miejscowości B (w dół) jedzie ze swoją normalną prędkością, zaś z miejscowości B do miejscowości A (tą samą trasą ale w górę) jedzie z prędkością równą /3 prędkości na trasie od A do B. O ile procent prędkość średnia na całej trasie (to znaczy z A do B i z powrotem) różni się od prędkości na trasie z A do B? 6. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym stosunek wysokości ostrosłupa do długości krawędzi podstawy równy kest /3. a. Obliczyć sinus kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy. b. Obliczyć stosunek długości promienia kuli wpisanej w ten ostrosłup do długości krawędzi jego podstawy. numerami zadań. Treści zadań prosimy nie przepisywać. Jeżeli w określonym polu zabraknie miejsca, zadanie można dokończyć na ostatniej stronie. Kartki brudnopisu nie oddaje się i nie będzie ona oceniana. Czas trwania egzaminu 150 minut.

5 w dniu 1 lipca 015 r. 1. Dana jest funkcja zmiennej rzeczywistej x określona wzorem y = x + 1 x + 1. a) Naszkicować wykres tej funkcji. b) Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość tej funkcji w przedziale (,0). c) Wyznaczyć przedziały monotoniczności tej funkcji.. Zmieszano pewną ilość 10-procentowego roztworu kwasu siarkowego z pewną ilością roztworu 35-procentowego i otrzymano roztwór 5-procentowy. Gdyby każdego roztworu wziąć o 5 l mniej to otrzymano by roztwór 30-procentowy. Po ile litrów każdego roztworu wzięto do pierwszej mieszaniny? 3. Rozwiązać równanie cos x sin x = cos x. 4. Dla jakiej wartości rzeczywistego parametru α wielomian W(x) = x 4 αx 3 + 3x + αx 4 przy dzieleniu przez dwumian Q(x) = x + daję resztę równą 48? Wyznaczyć wszystkie pierwiastki wielomianu W(x) dla tej wartości α. 5. Dany jest trójkąt ABC taki, że AB = 13, BC = 1, AC = 5. Obliczyć odległość środka okręgu opisanego na trójkącie ABC od punktu przecięcia dwusiecznej kąta ACB z bokiem AB. 6. Dany jest pewien sześcian. Na każdej z trzech krawędzi wychodzących ze wspólnego ustalonego wierzchołka wybrano punkt będący środkiem tej krawędzi i przez te środki przeprowadzono płaszczyznę odcinając od sześcianu pewien ostrosłup. Obliczyć stosunek promienia kuli wpisanej w tak otrzymany ostrosłup do promienia kuli opisanej na sześcianie. numerami zadań. Treści zadań prosimy nie przepisywać. Jeżeli w określonym polu zabraknie miejsca, zadanie można dokończyć na ostatniej stronie. Kartki brudnopisu nie oddaje się i nie będzie ona oceniana. Czas trwania egzaminu 10 minut.

6 w dniu 30 czerwca 016 r. d) Na płaszczyźnie dane są zbiory A = {(x, y): y x 16} oraz B = {(x, y): x + y 8 4}. Naszkicować zbiory A, B, A B. e) Sześcian wykonany z białego drewna pomalowano na czerwono, a następnie podzielono go na n 3 przystających małych sześcianów (gdzie n jest liczbą całkowitą większą od ). Spośród tych sześcianów wylosowano jeden. Wyznaczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowany sześcian ma co najmniej dwie ściany czerwone. f) Rozwiązać równanie sin x 1 = tg x sin x tg x g) Jeśli kwadrat pewniej dwucyfrowej liczby naturalnej podzielimy przez połowę tej liczby i dodamy 18, a otrzymany wynik podzielimy przez, to otrzymamy liczbę dwucyfrową utworzoną z tych samych cyfr, lecz ustawionych w odwrotnej kolejności. Znaleźć tę liczbę, jeśli wiadomo, że kwadrat sumy jej cyfr jest o 1 większy od sumy kwadratów jej cyfr. h) Rozwiązać nierówność log (x 3) (3x 7x + 3) < i) Dany jest czworościan, którego podstawą jest trójkąt równoboczny o boku a. Jedna ze ścian bocznych czworościanu jest przystająca do podstawy i prostopadła do niej. Obliczyć objętość i pole powierzchni całkowitej czworościanu oraz promień kuli wpisanej w ten czworościan. numerami zadań. Treści zadań prosimy nie przepisywać. Jeżeli w określonym polu zabraknie miejsca, zadanie można dokończyć na ostatniej stronie. Kartki brudnopisu nie oddaje się i nie będzie ona oceniana. Czas trwania egzaminu 10 minut.