Matematyka A kolokwium 6 kwietnia 7 r., godz. 8:5 : Starałem się nie popełniać błędów, ale jeśli są, będę wdzięczny za wieści o nich Mam też nadzieję, że niektórzy studenci zechcą zrozumieć poniższy tekst, w końcu kilka dni wolnych, a może warto spróbować coś zrozumieć. Po rozwiązaniu zadania piątego są jakieś uwagi.... (5 p.) Znaleźć wszystkie takie liczby zespolone z, że z 3 + z + 5z 6 = ) 7. (5 p.) Obliczyć ( 3 + i ) ( oraz 3 i Rozwiązanie. Mamy 3 + + 5 6 = i wobec tego = z 3 + z + 5z 6 = =(z )(z + 4z + 3) = (z ) ( (z + ) + 9 ). Liczby:, + 3i, 3i są pierwiastkami. ( ) ( ( 3+i = (cos π + i sin π)) 6 6 = 4(cos π π +i sin ) = 4(cos 5π+i sin 5π) = 4 ) 3 i = 6 6 3 3 =5 5 3i.. ( p.) Znaleźć wszystkie takie liczby zespolone z, że z 4 + + z z =. Rozwiązanie. = z 4 + + z z = z 4 ( ) + z 4, czyli suma odległości liczby z 4 od liczb i jest równa, a to oznacza, że liczba z 4 znajduje się na odcinku o końcach i, więc jest liczbą niedodatnią o wartości bezwzględnej nie większej od. Wynika stąd od razu, że liczba z musi być postaci r ( ) cos π+kπ + sin π+kπ 4 4, przy czym k oznacza tu dowolną liczbę całkowitą, a r liczbę nieujemną, nie większą od 4. Ponieważ liczby, których argumenty różnią się o π (o tej samej wartości bezwzględnej) pokrywają się, więc wystarczy rozpatrywać cztery kolejne liczby całkowite, np. ; ; ; 3. Otrzymujemy więc rozwiązania r(cos π 4 + i sin π 4 ), r(cos 3π 4 + i sin 3π 4 ), r(cos 5π 4 + i sin 5π 4 ) oraz r(cos 7π 4 + i sin 7π 4 ). Geometrycznie zbiór rozwiązań to suma czterech odcinków o długości 4, wychodzących z punktu pod kątami π 4, 3π 4, 5π 4 i 7π 4 do dodatniej półosi rzeczywistej. 3. ( p.) Niech O b edzie zbiorem złożonym ze wszystkich takich liczb zespolonych z, że 5 + 8i z = 7. Naszkicować w układzie współrz ednych zbiór O. ( p.) Opisać równaniem (zespolonym lub rzeczywistym) i naszkicować zbiór Q złożony ze wszystkich takich liczb zespolonych z, że z O. (3 p.) Opisać równaniem (zespolonym lub rzeczywistym) i naszkicować zbiór P złożony ze wszystkich takich liczb zespolonych i z, że z O. (4 p.) Znaleźć wszystkie elementy zbioru O P. Rozwiązanie. Zbiór O to oczywiście okrąg, którego środkiem jest punkt 5 + 8i, a promieniem liczba 7. Mamy 5 + 8 = 7, bo 7 5 = (7 5)(7 + 5) = 3 = 6 = 8. Przecina on oś rzeczywistą w punktach i 3, a oś urojoną w punktach i 8i. Q to zbiór symetryczny do O względem osi rzeczywistej, więc okrąg o środku 5 + 8i = 5 8i i promieniu 7. Zbiór P powstaje ze zbioru Q przez obrót wokół punktu o π w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, więc okrąg o środku i(5 8i) = 8 5i i promieniu 7. Przecina on oś rzeczywistą w punktach i 6, a oś urojoną w punktach i 3i. Jego równanie to 8 5i z = 7. Przyjmij, że z = x+yi, x, y R. Jeśli z = x+yi jest punktem wspólnym P i O, to spełnione są równości ( 8 x) +( 5 y) = 7 oraz (5 x) +(8 y) = 7. Po ich odjęciu stronami i skorzystaniu z wzoru u v = (u v)(u+v)
otrzymujemy ( 3)(7 x)+( 3)( 7 y) =, co po podzieleniu przez 3, redukcji i podzieleniu przez daje równość x+y =, czyli y = x. Wstawiwszy to do pierwszego równania otrzymujemy 7 = (5 x) + (8 y) = (5 x) + (8 + x) = 5 + 8 3x + 6x + x, czyli = 4x + x, więc x = i x = 7, zatem punktami wspólnymi tych okręgów są liczby zespolone oraz 7 7i. Możemy więc zapisać tę odpowiedź w postaci O P = {, 7 7i}, ale poprzednie zdanie też można uznać za zakończenie rozwiązania. 4. Niech M =, v = (, w = ( p.) Obliczyć M v, w M oraz u M. ( p.) Znaleźć wartości własne macierzy M. ) (, u = ( p.) Znaleźć wektory własne macierzy M odpowiadające jej wartościom własnym. ( p.) Znaleźć wartości własne macierzy M, M 4 i M 7. ( p.) Znaleźć wartości i wektory własne macierzy M. ( p.) Niech F (v) = Mv. Czy przekształcenie F jest obrotem lub symetrią przestrzeni? 6 Rozwiązanie. Mamy M v = = = 3, zatem = 3 v 3 jest wektorem własnym macierzy M odpowiadającym wartości własnej 3. Mamy dalej w M = ( ) ( ) ( ) = = 3 9 oraz u M = = = 3 3 = 3. Szukamy wartości własnych macierzy M, które są, jak wiadomo, pierwiastkami wielomianu charakterystycznego: 5 λ 4 λ = λ = (5 λ) λ + λ 4 λ = λ = (5 λ)(λ + ) + λ + 4 4( ( λ)) = (5 λ)(λ + ) + λ 3 4(λ ) = = λ 3 + 5λ 8λ + 6 = (3 λ)(λ λ + ) = (3 λ)((λ ) + ) = (3 λ)((λ ) i ) = =(3 λ)(λ i)(λ + i), zatem pierwiastkami wielomianu charakterystycznego są liczby 3 (co wiemy już od dawna), +i oraz i. Wektory własne odpowiadające wartości własnej 3 mają postać x z, z, co sprawdziliśmy wcześniej. Jeśli y jest wektorem własnym odpowiadającym z + i, to zachodzą równości 5x y 4z = ( + i)x, x + y + z = ( + i)y oraz x y z = ( + i)z, czyli (4 i)x y 4z =, x iy +z = oraz x y (+i)z =. Mnożąc drugą z ostatniej trójki przez i dodając wynik do trzeciej otrzymujemy = (+i)y +( i)z = i( i+)y +( i)z = ).
=( i)( iy + z), więc z = iy. Wtedy x = iy + z = iy. Wynika stąd, że wektory własne i odpowiadające wartości własnej + i wyglądają tak: y, y. Macierz M jest rzeczywista. i i Stąd wynika od razu, że wektor y odpowiada wartości własnej i = + i. i Zauważmy. że jeśli M v = λv, to M v = M(λv) = λmv = λ v, więc λ jest wartością własną M z wektorem własnym v. Analogicznie dowodzimy, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi równość M n v = λ n v. Jeśli M ma macierz odwrotną i Mv = λv, to v = M Mv = λm v. Wynika stąd w szczególności, że Mv nie jest wektorem zerowym, więc również λ. Pozwala to napisać równość M v = λ v, więc λ jest wartością własną macierzy M, a wektorem jej odpowiadającym jest v. Wobec tego jeśli M jest macierzą odwracalną i M v = λv, v, to dla każdej liczby całkowitej n zachodzi równość M n v = λ n v. Wartościami macierzy własnymi M są liczby 3, +i = i oraz i = +i, macierzy M liczby 3 = 9, ( + i) = i oraz ( i) = i, macierzy M 4 liczby 3 4 = 8, ( + i) 4 = (i) = 4 oraz ( i) 4 = ( i) = 4. Mamy też 7 = + 6 6, zatem wartościami własnymi macierzy M 7 są liczby 3 7, ( + i) 7 = ( + i) ( + i) 6 = ( + i)( 4) 54 = ( + i) 8 oraz ( i) 7 = ( i) 8. Przekształcenie x M x nie jest izometrią, czyli nie zachowuje odległości, bo, 3, odległość punktu punktów M i M 5. ( p.) Niech M = 5 9 4 7 jest 3 razy większa. od punktu. Znaleźć wartości własne macierzy M. jest równa 5, a odległość ( p.) Znaleźć wektory własne macierzy M odpowiadające jej wartościom własnym. ( p.) Znaleźć wartości własne macierzy M, M 3 i M. ( p.) Niech F (v) = Mv. Czy przekształcenie F jest obrotem lub symetrią płaszczyzny? ( p.) Znaleźć macierz M. 5 λ 9 Rozwiązanie. Mamy = 4 7 λ = (5 λ)( 7 λ) + 36 = + λ + λ = ( + λ), ( ) x zatem jedyną wartością własną tej macierzy jest liczba. Jeśli jest wektorem własnym y
odpowiadającym liczbie, to 5x 9y = x i 4x 7y = y. Każde z tych równań jest równoważne ( ) 3x równaniu x = 3y, zatem wektory własne mają postać, x. Stąd wynika, że ( ) n x 5 9 jest wartością własną macierzy M n dla dowolnego całkowitego n. Ponieważ =, więc 4 7 det(m n ) = ( det(m) ) n =. Stąd i z tego, że iloczyn wartości własnych jest równy iloczynowi wartości własnych macierzy, wynika, że drugą wartością własną macierzy M n jest liczba ( ) n. Mamy też M = 5 9 = 5 9 5 9 8 =, zatem 4 7 4 7 4 7 8 3 8 8 3 36 M 4 = =, a stąd wynika, że 8 3 8 3 6 5 3 36 3 36 47 7 M 8 = = i wreszcie 6 5 6 5 3 49 8 47 7 59 9 M = = 8 3 3 49 4 6 5 Przekształcenie F izometrią nie jest, bo F = i F =, więc odległość 4 punktów i jest równa więc jest różna od odległości punktów F i F równej 5 + 4. Zadanie zostało rozwiązane, ale jeszcze słowo komentarza. Znajdowanie macierzy M może być uproszczone, jeśli mamy ochotę coś zauważyć. Wiemy już, że M = 5 9 8, M =, M 3 = 7 7 3 36, M 4 =. 4 7 8 3 9 6 5 Jeśli zgodzimy się, że czasem warto zaryzykować formułując jakieś przypuszczenie, to w tym wypadku nasuwa się, że być może lewe górne rogi sa wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy 6, w którym jakiś złośliwiec pozamieniał znaki. Podobnie prawe dole rogi. Ale również prawe górne, tylko tym razem w charakterze różnicy pojawia się liczba 9, a dla lewych dolnych różnicą zdaje się być liczba 4. Prowadzi to do przypuszczenia: M n = ( ) n 6n 9n. Nietrudno 4n (6n + ) sprawdzić, że jest tak dla n =,, 3, 4. Jeśli jest tak dla pewnej liczby naturalnej n, to M n+ = =M n M = ( ) n 6n 9n 5 9 6n 5 9n + 9 = ( ) n = 4n (6n + ) 4 7 4n 4 6n + 7 6(n + ) 9(n + ) =( ) n, a to oznacza, że jeśli hipoteza jest prawdziwa dla pewnej liczby naturalnej n, to jest też prawdziwa dla n +, więc z prawdziwości dla n = 4 4(n + ) 6(n + ) wynika prawdziwość dla n = 5, potem dla n = 6 itd. Jest więc prawdziwa dla wszystkich liczb natural-
nych n, a nam wystarcza jej prawdziwość dla n =. Otrzymujemy M = ( ) 9 6 9 59 9 =. 4 (6 + ) 4 6) Można nieco inaczej. Mamy M = 5 9 = + 6 9 = I+N. Ostatnia 4 7 4 6 równość definiuje macierz N. Mamy N = 6 9 6 9 =. Oczywiście 4 6 4 6 ( I)N = N( I) = N. Stąd wynika, że M = ( I + N)( I + N) = ( I) N = I N, M 3 = (I N)( I + N) = I + N + N = I + 3N. Ogólnie M n = ( ) n I + n( ) n N. Zatem M = I N = 6 9 59 9 =. Jak widać zapis macierzowy w tym 4 6 4 6 wypadku upraszcza nieco przekształcenia. W dodatku otrzymujemy ogólniejszy wynik.