PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony

Transkrypt

1 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 1 PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI poziom rozszerzony ZNI ZMKNIĘTE W każdym z zadań 1.. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0 1) ane są proste l 1 : y = 2x 28, l 2 : y = 1 2 x 1, l 3 : y = 1 3 x + 2 i l : 9x 13y 58 = 0. Wszystkie one przechodzą przez punkt (18, 8).. Prosta l 3 jest obrazem prostej l w symetrii względem prostej l 2.. Prosta l jest obrazem prostej l 2 w symetrii względem prostej l 3.. Prosta l 2 jest obrazem prostej l 1 w symetrii względem prostej l.. Prosta l 1 jest obrazem prostej l 3 w symetrii względem prostej l. Zadanie 2. (0 1) Niech a = log 2 3 i b = log 5 3. Wtedy. log = a b. log = 2a + 2b ab. log 3 = a + b. log 3 = ab Zadanie 3. (0 1) Wyrażenie sin a + 3cos a nie może osiągnąć większej wartości niż wtedy, gdy. α = 1 6 π. α = 1 3 π. α = 1 2 π. α = 5 3 π Zadanie. (0 1) Rzucamy 8 razy kostką. Spośród poniższych zdarzeń wybierz najbardziej prawdopodobne.. Pierwsza szóstka wypadła w pierwszym rzucie, a druga szóstka w ósmym rzucie.. Pierwsza szóstka została wyrzucona za drugim razem, a druga szóstka w siódmym rzucie.. Pierwsza szóstka wypadła przy trzecim rzucie, a druga szóstka w szóstym rzucie.. Pierwsza szóstka wypadła w czwartym rzucie, a druga szóstka w piątym. ZNI Z KOOWNĄ OPOWIEZIĄ W zadaniach 5. i 6. zakoduj we wskazanym miejscu wynik zgodnie z poleceniem. Zadanie 5. (0 2) Kod składa się z czterech znaków, wśród których musi być przynajmniej jedna cyfra i przynajmniej jedna duża i jedna mała litera. Na klawiaturze jest 26 liter i 10 cyfr. Ile kodów można w ten sposób utworzyć? Wpisz w kratki trzy pierwsze (od lewej strony) cyfry odpowiedzi.

2 2 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony Zadanie 6. (0 2) wa różne rozwiązania równania x 2 11x + 1 = 0 to x 1 i x 2. ez rozwiązywania tego równania oblicz wartość (x 1 ) 5 + (x 2 ) 5. Zakoduj występujące w obliczonej liczbie różne cyfry od najmniejszej do największej. Zadanie 7. (0 2) Rozwiąż nierówność ZNI OTWRTE 2xx ( + 3) x + 3 dla x 2 i x 5. ( x + 2)( x 5) ( x + 2)( x 5) Zadanie 8. (0 2) W niewypukłym czworokącie dane są długości boków: =, = 3, = 5, = 6 oraz kąt wklęsły = 300. Na rysunku kąt oznaczony został jako x. a) Oblicz cos x. b) Oblicz pole czworokąta. 6 x Zadanie 9. (0 3) Udowodnij, że wyrażenie W(n) = (n 2 10n + 2)(n 2 8n + 15) jest dla każdego n = 0, 1, 2, 3,... podzielne przez największy wspólny dzielnik W(0) i W(7). Zadanie 10. (0 3) a) Na ile sposobów można dojść z S do F zgodnie z kierunkiem strzałek? b) Na ile sposobów można dojść z S do F zgodnie z kierunkiem strzałek, a potem wrócić przeciwnie do kierunku strzałek do S inną drogą? S F E

3 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 3 Zadanie 11. (0 3) Na pewną groźną chorobę choruje 1% całej populacji. Przygotowano tani i łatwy w użyciu test na tę chorobę. Test jest wygodny, ale nie jest w pełni dokładny. Test wykrywa chorobę u chorej osoby tylko w 99% przypadków, natomiast test może wskazać, że osoba jest chora, nawet jeśli osoba jest zdrowa, ale zdarza się to tylko w 2% przypadków. a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że osoba jest zdrowa, mimo że test był dodatni? b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że jeśli test był ujemny, to testowana osoba była chora? Zadanie 12. (0 3) a) Udowodnij, że prosta l: 3x + y 19 = 0 jest styczna do okręgów o 1 i o 2, gdzie o 1 : (x 2) 2 + (y 2) 2 = 1 oraz o 2 : (x 6) 2 + (y ) 2 = 9. b) Obie proste y = 1 i x = 3 są styczne do obu okręgów. Naszkicuj rysunek okręgów o 1 i o 2, prostej l, prostej y = 1 i prostej x = 3 w układzie współrzędnych. Znajdź równanie czwartej prostej stycznej do okręgów o 1 i o 2. Narysuj ją. Zadanie 13. (0 3) Udowodnij, że czworokąt mający kolejne boki o długości 21, 15, 7 i 13 może być trapezem. Oblicz jego pole. Zadanie 1. (0 3) Pierwszy odcinek koła o polu P 1 powstał z okręgu o środku O i promieniu r = OR 1 = OS 1 po odcięciu odcinkiem R 1 S 1. rugi odcinek koła powstał następująco: prosta prostopadła do półprostej OR S 1 1 S i przechodząca przez S 1 przecina półprostą 2 S 3 OR 1 w punkcie R 2. Odcinek S 2 R 2 odcina od koła o środku w O i promieniu OR 2 = OS 2 odcinek o polu P 2. Po zatoczeniu łuku o środku w O i promieniu OR 2 powstaje punkt S 3 na O R 3 R 2 R 1 półprostej OS 1 itd. powstaje nieskończony ciąg odcinków coraz mniejszych kół. Oblicz sumę nieskończonej liczby wszystkich tych odcinków kół i określ ją jako funkcję a (wyrażonego w radianach) i r.

4 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony Zadanie 15. (0 ) Od czworościanu foremnego o krawędzi odcięto płaszczyzną przechodzącą przez punkt na krawędzi, punkt na krawędzi i na krawędzi ostrosłup, przy czym = 3, = 2, = 1. a) Oblicz objętość ostrosłupa i. b) Oblicz wysokość ostrosłupa, gdy za jego podstawę przyjmiemy. Zadanie 16. (0 ) W trójkącie zaznaczono punkt na boku, tak że : = 1 : 2, i punkt na boku, tak że : = 3 : 1. Odcinki i przecinają się w punkcie. Prosta przecina odcinek w punkcie. Pole trójkąta jest równe 1. a) Oblicz pole trójkąta. b) Oblicz stosunek :. 1 Zadanie 17. (0 ) Pole powierzchni całkowitej stożka to π. a) Jaka jest możliwie największa objętość takiego stożka? b) Jakim trójkątem jest przekrój osiowy stożka o największej objętości? Zadanie 18. (0 ) W graniastosłupie prostym prostokątnym EFGH krawędzie podstawy mają długość 3 i ( =, = 3), a wysokość 10. odatkowo wyróżnione są trzy punkty: punkt na krawędzi F w odległości 3 od wierzchołka, punkt na krawędzi G w odległości 7 od wierzchołka i punkt na krawędzi H w odległości od wierzchołka. a) Udowodnij, że płaszczyzna przecina krawędź E w punkcie. b) Oblicz pole przekroju graniastosłupa EFGH płaszczyzną. c) Oblicz cosinus kąta między płaszczyzną i płaszczyzną podstawy. d) Oblicz objętość mniejszej części graniastosłupa powstałej z przecięcia płaszczyzną. E H G F Zadanie 19. (0 ) a) Jeśli na trójkącie opiszemy okrąg, to z każdego łuku, na który podzieliły okrąg wierzchołki tego trójkąta, widać trójkąt pod pewnym kątem (zobacz na rysunku poniżej). Udowodnij, że a + b = g b + g = a a + g = b

5 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 5 b) Udowodnij, że jeśli n-kąt da się wpisać w okrąg, to suma kątów, pod jakimi widać ten czworokąt z łuków, na które wierzchołki czworokąta podzieliły okrąg, jest o 180 większa niż suma wszystkich wewnętrznych kątów tego n-kąta (na rysunku poniżej po prawej stronie narysowany jest n-kąt, gdy n = ). a) b)