PROGNOZOWANIE FINANSOWYCH SZEREGÓW CZASOWYCH

SSof Polsk, el. (1) 4843, (61) 414151, info@ssof.pl, www.ssof.pl PROGNOZOWANIE FINANSOWYCH SZEREGÓW CZASOWYCH Andrzej Sokołowski Akdemi Ekonomiczn w Krkowie, Zkłd Sysyki W oprcowniu ym przedswiono pewną grupę podswowych modeli wykorzysywnych przy prognozowniu finnsowych szeregów czsowych orz przykłd nlizy konkrenego szeregu czsowego. Skłdnik losowy obecny we wszyskich zjwiskch ekonomicznych jes reprezenowny przez proces sochsyczny, czyli ciąg zmiennych losowych o jednkowych rozkłdch prwdopodobieńsw, zleżnych od nielosowego prmeru, kóry reprezenuje czs. W lierurze przedmiou i zsosownich spoyk się wiele kls modeli wykorzysywnych do opisu i prognozowni zjwisk finnsowych. Rozsądne przedswienie ich w jednej, krókiej prezencji jes niemożliwe, dlego wybrno ylko (i k dość liczną) pewną grupę modeli określoną przez nsępujące wrunki: zmienn czsow jes zmienną skokową, więc modelowne dne doyczą równoodległych momenów lub okresów czsu, rozprujemy kszłownie się ylko jednej wielkości, czyli mmy do czynieni z jednowymirowymi procesmi sochsycznymi, prezenujemy u ylko modele liniowe, czyli kie, w kórych wielkość zjwisk powiązn jes funkcją liniową z impulsmi losowymi. Modele wyjściowe Biły szum Biły szum o ciąg niezleżnych zmiennych losowych o jednkowych rozkłdch prwdopodobieńsw ze skończonymi wrościmi przecięnymi i wrincjmi. Jeżeli są o rozkłdy normlne z wrością przecięną zero, o mmy do czynieni z gussowskim biłym szumem. Tki proces czyso losowy m wrości funkcji uokorelcji równe zeru dl kżdego opóźnieni. Uzyskne z próby oceny funkcji uokorelcji nie są oczywiście równe zeru, jednk n ogół różnią się od niego niezncznie. Copyrigh SSof Polsk, 3 Kopiownie lub powielnie w jkikolwiek sposób bez zgody SSof Polsk Sp. z o.o. zbronione 55

SSof Polsk, el. (1) 4843, (61) 414151, info@ssof.pl, www.ssof.pl Liniowy szereg czsowy Szereg czsowy nzywny jes liniowym, jeżeli możn go zpisć w posci r i= = µ + ψ, i i gdzie µ jes wrością przecięną szeregu, biłym szumem, współczynnik ψ =. Srukur dynmiczn szeregu zleży od wrości współczynników ψ i, kóre nzywne są eż wgmi. Modele scjonrne Model uoregresji AR(p) Jeżeli wrość szeregu jes skorelown ze swoją poprzednią wrością, o rozsądnym modelem jes równnie r φ +. = + φ 1 r 1 Jes o model uoregresji rzędu 1, co zpisujemy jko AR(1). W opisie szeregu możemy sięgć głębiej w przeszłość, powiedzmy p jednosek czsu wsecz. Wówczs mmy do czynieni z modelem uoregresji rzędu p, czyli AR(p). r + = φ + φ1r 1 +... + φ pr p. Do idenyfikcji rzędu modelu przydn jes funkcj uokorelcji cząskowej, kór przyjmuje wrości nieisonie różne od zer dl opóźnień większych od p. Przy pomocy kiego modelu prognozę buduje się krok po kroku, poprzez rekurencyjne podswinie wrości. Przy scjonrnych procesch AR(p) prognoz k zmierz do przecięnej wrości procesu, wrincj błędu prognozy zmierz do wrincji procesu. Model średniej ruchomej MA(q) Proces średniej ruchomej jes uogólnieniem biłego szumu, powsjącym poprzez wygłdzenie go pewnego rodzju jednosronną średnią ruchomą o nierównych wgch. Proces MA(q) jes zwsze (słbo) scjonrny. Jeden z możliwych sposobów zpisu kiego modelu o r = c + θ... θ 1 1 Wrość przecięn kiego procesu jes równ c. Do idenyfikcji rzędu procesu wykorzysuje się funkcję uokorelcji, kórej osni wrość isonie większ od zer wskzuje n rząd q. Prognozę przy pomocy modelu MA(q) uzyskuje się n drodze rekurencyjnej, przy czym brdzo szybko zmierz on do wrości przecięnej procesu. q q 56 Copyrigh SSof Polsk, 3 Kopiownie lub powielnie w jkikolwiek sposób bez zgody SSof Polsk Sp. z o.o. zbronione

SSof Polsk, el. (1) 4843, (61) 414151, info@ssof.pl, www.ssof.pl Model ARMA(p,q) Model en łączy idee modeli średniej ruchomej i uoregresji. Ogólny zpis modelu może być przedswiony jko r = φ p q + φir i + i= 1 i= 1 Θ Do idenyfikcji skłdowych procesu możn wykorzysć rozszerzoną funkcję uokorelcji (EACF). Njpierw wyznczmy modele AR o corz większym rzędzie, dl ich resz liczymy funkcje uokorelcji. Wyniki przedswimy w posci beli dwudzielczej, kórej wiersze odpowidją rzędowi uoregresji, kolumny rzędowi średniej ruchomej. Nieisone uokorelcje, oznczne przez zero, powinny w ej beli uworzyć rójką, kórego lewy górny wierzchołek wskzuje włściwe prmery p orz q. Proces ARMA prognozujemy nlogicznie jk procesy omwine uprzednio, n drodze obliczeń rekurencyjnych. i i Modele niescjonrne Błądzenie przypdkowe Szereg czsowy określny jes minem błądzeni przypdkowego, jeżeli jego przebieg jes generowny nsępującym modelem p = p 1 +, gdzie p jes wrością srową procesu, zś biłym szumem. Jeżeli biły szum m rozkłd symeryczny z wrością przecięną zero, o prwdopodobieńswo ego, że szereg w nsępnej obserwcji pójdzie w górę, jes kie smo, że pójdzie w dół. Błądzenie przypdkowe z dryfem W wielu szeregch finnsowych opisujących kszłownie się logrymów sóp zwrou zuwżono wysępownie dodniej wrości przecięnej, zzwyczj o młej wielkości. Ozncz o, że model odpowiedni dl kiej syucji m posć p µ +. = + p 1 Wielkość µ jes wrością przecięną różnicy ( p p 1) i nzywn jes dryfem. Reprezenuje on n przykłd rend, jki wysępuje w logrymie p. Model ARIMA(p,d,q) Większość ekonomicznych szeregów czsowych o relizcje procesów niescjonrnych. Typową niescjonrnością jes obecność rendu. Możemy go wyeliminowć przez różnicownie. Kroność (sopień, rząd) różnicowni określony jes przez sopień wielominu opisującego rend. W modelu ARIMA en sopień różnicowni oznczony jes przez d. Copyrigh SSof Polsk, 3 Kopiownie lub powielnie w jkikolwiek sposób bez zgody SSof Polsk Sp. z o.o. zbronione 57

SSof Polsk, el. (1) 4843, (61) 414151, info@ssof.pl, www.ssof.pl Sezonowy model ARIMA(p,d,q)(P,D,Q) Whni okresowe wysępujące w szeregu eż snowią pewien rodzj niescjonrności, w kżdym rzie są skłdnikiem regulrnym, kóry powinien zosć wyeliminowny z szeregu przed próbą oszcowni miesznego modelu uoregresji średniej ruchomej. Whni regulrne eliminuje się poprzez różnicownie sezonowe, wyliczjąc ( y y s ), gdzie s jes okresem (długością) whni regulrnego. Rząd różnicowni sezonowego oznczony jes przez D. Model ARFIMA(p,d,q) Model en jes nzywny modelem z długą pmięcią. Jes uogólnieniem procesu ARIMA poprzez dopuszczenie, by rząd różnicowni d był liczbą niecłkowią. Zzwyczj rozwż się -,5<d<,5. Wrunkowe modele heeroskedsyczne Tego ypu modele są wykorzysywne w ekonomerii do modelowni kszłowni się zmienności (voliliy) sóp zwrou. Zmienność jes mierzon wrunkową wrincją. M znczenie również w szcowniu wrości nrżonej n ryzyko (vlue risk). W modelch jednowymirowych zkłd się, że logrymy sopy zwrou (r ) nie są niezleżne w czsie, choć przyjmuje się wysępownie ylko uokorelcji niskich rzędów. Wrunkowość obecn w ych modelch ozncz, że wrość przecięn i wrincj procesu mogą być wyrżone wzormi µ = E( r F 1 ), σ = V ( r F ) czyli są uwrunkowne informcjmi dosępnymi w momencie (-1). Model ARCH(m) Model en zkłd, że odchyleni od wrości przecięnej sóp zwrou ( ) mogą być objśnione przez funkcję kwdrową ich wrości opóźnionych. Mmy zem σ = σ ε = α + α 1 1 1 + +... α m m Przez { ε } oznczmy ciąg niezleżnych zmiennych losowych o jednkowym rozkłdzie z wrością zero i wrincją 1. Njczęściej przyjmuje się u sndrdowy rozkłd normlny lub sndryzowny rozkłd Suden. 58 Copyrigh SSof Polsk, 3 Kopiownie lub powielnie w jkikolwiek sposób bez zgody SSof Polsk Sp. z o.o. zbronione

SSof Polsk, el. (1) 4843, (61) 414151, info@ssof.pl, www.ssof.pl Model GARCH(m,s) W ym podejściu zkłd się, że przy opisie kszłowni się logrymów sóp zwrou główne równnie procesu może być zpisne jko proces ARMA. Przyjmując, że o logrym sóp zwrou, od kórego odjęo wrość średnią, mmy mx( m, s) σ = σ ε = α + m s α i i + i= 1 j= 1 Złożenie ( α + ) < 1 powoduje, że bezwrunkow wrincj jes skończon, i= 1 i β i wrunkow wrincj σ zmieni się w czsie. Isnieją pewne specjlne wersje omwinego modelu. I k model IGARCH jes odpowiednikiem modelu ARIMA dl niejednorodnej wrincji procesu. Z kolei model GARCH-M (M o skró od in men) opisuje syucje, w kórych poziom sóp zwrou zleży od zmienności, czyli do powyższych równń dochodzi relcj β r = µ + cσ +. Wykłdniczy model EGARCH uwzględni różny wpływ ε, w zleżności od ego, czy relizcj ego procesu jes dodni czy ujemn. Model CHARMA To podejście wykorzysuje losowe współczynniki, kóre kszłują zchownie się wrunkowej wrincji. Model m posć r = µ + = δ + δ +... + δ j σ j. + η, 1 1 m m gdzie { η } jes gussowskim biłym szumem, zś { δ } = {( δ1,..., δ m )'} jes ciągiem wekorów losowych o jednkowych rozkłdch i zerowych wrościch przecięnych. Podobną konsrukcją jes model RCA, czyli model uoregresji z losowymi prmermi. W CHARMA zmienność zleży od opóźnionych wrości, zś w RCA, od opóźnionych wrości r. Model SV Jes o model zmienności sochsycznej (sochsic voliliy), w kórym wykorzysuje się opóźnione logrymy wrincji. Wygodny zpis uzyskujemy poprzez użycie operor m opóźnieni wsecznego B, kórego dziłnie możn opisć jko ( 1 B ) y = y y m. W ej konwencji model SV m posć = σ ε m 1 m ( 1 α B... α B ) ln( σ ) = α + v. Copyrigh SSof Polsk, 3 Kopiownie lub powielnie w jkikolwiek sposób bez zgody SSof Polsk Sp. z o.o. zbronione 59

SSof Polsk, el. (1) 4843, (61) 414151, info@ssof.pl, www.ssof.pl W ym modelu mmy dw niezleżne skłdniki losowe ε orz v, kóre są procesmi gussowskimi, lecz pierwszy z nich m wrincję 1, drugi wrincję słą, le niekoniecznie równą jedności. Anliz indeksu giełdy w Amserdmie Szereg czsowy obejmuje dne z okres od 6 syczni 1986 roku do końc 1987 roku i zosł udosępniony przez P.H.Frnses i D. vn Dijk, uorów książki Non-liner ime series models in empiricl finnce (Cmbrigde Universiy Press, ). 11 1 9 8 7 AMSTEOE 6 5 4 3 1 1/6/1986 8/17/1987 3/7/1989 11/5/199 6/15/199 1/4/1994 9/4/1995 4/14/1997 1/7/1986 6/6/1988 1/15/199 8/6/1991 4/5/1993 11/14/1994 6/4/1996 Rys. 1. Wrości indeksu giełdy w Amserdmie 8 1 6 8 4 6 4 AMSTEOE - - -4-4 -6-6 -8-8 4 6 8 1 1 14 16 18 4 6 8 3 3-1 Numery obserwcji Rys.. Drugie różnice indeksu giełdy w Amserdmie 6 Copyrigh SSof Polsk, 3 Kopiownie lub powielnie w jkikolwiek sposób bez zgody SSof Polsk Sp. z o.o. zbronione

SSof Polsk, el. (1) 4843, (61) 414151, info@ssof.pl, www.ssof.pl Tydzień w ym szeregu rw od poniedziłku do piąku. W przypdku świą, w kórych giełd nie funkcjonuje, przyjęo wrość z dni poprzedniego. Dzięki ym zbiegom szereg chrkeryzuje się regulrnością próbkowni, umożliwijącą nlizę whń okresowych. Jk widć n rysunku 1, w szeregu wysąpił rend wykłdniczy, kóry jednk złmł się przy końcu nlizownego okresu. W celu wyeliminowni ego rendu zsosowno dwukrone różnicownie rzędu pierwszego, orzymując szereg przedswiony n rysunku. Srukurę hrmoniczną ego szeregu możn rozpoznć poprzez nlizę funkcji uokorelcji (rysunek 3). Widzimy, że proces chrkeryzuje się brdzo mocną ujemną uokorelcją rzędu pierwszego, co ozncz, że bezpośrednio po wzrosch nsępują spdki i n odwró. Związki nie ogrniczją się do wpływu dzień po dniu, gdyż również wiele uokorelcji rzędów wyższych od jedności wykzuje isoność sysyczną. Wro zwrócić uwgę n o, iż nwe brdzo młe współczynniki korelcji okzują się isone sysycznie, co jes spowodowne znczną długością szeregu czsowego, kórym dysponujemy. Jednym z dopuszczlnych modeli ARIMA, kóre uzyskno w rkcie nlizy ego szeregu jes ARIMA(9,,), więc model, kóry posid ylko część uoregresyjną. Jeżeli przez y oznczymy drugie różnice oryginlnego szeregu, o oszcowny model możn zpisć jko y =,9318y 1,8638y,777 y 3,7786y 4,6587y 5,5534y,518y,369y,133y. 6 7 8 Wszyskie prmery są wysoce isone sysycznie, gdyż wszyskie wrości p są mniejsze od,1. 9 Opóźn Kor. S.E 1 -,487,179 -,6,179 3 +,63,179 4 -,14,179 5 +,56,179 6 +,7,179 7 -,85,179 8 +,1,179 9 +,91,179 1 -,78,179 11 +,74,178 1 -,4,178 13 -,17,178 14 -,7,178 15 +,45,178 16 -,5,178 17 -,6,178 18 +,11,178 19 +,9,178 +,5,178 1 +,57,178 -,111,178 96,, 3 +,65,178 973,, 4 +,8,178 975,7, 5 -,77,178 994,3, -1, -,5,,5 1, Q 74,4, 744,5, 756,8, 79,3, 8,, 8,5, 85,3, 85,8, 851,8, 871,1, 888,5, 89,3, 891,3, 891,4, 897,9, 96,, 98,3, 98,7, 98,9, 91,8, 91,1, p Rys. 3. Funkcj uokorelcji drugich różnic szeregu Przedswiony model wysrczjąco dobrze opisuje kszłownie się przecięnego poziomu indeksu giełdy w Amserdmie. Anliz resz pokzuje, że o, co pozosje, jes losowe. Copyrigh SSof Polsk, 3 Kopiownie lub powielnie w jkikolwiek sposób bez zgody SSof Polsk Sp. z o.o. zbronione 61

SSof Polsk, el. (1) 4843, (61) 414151, info@ssof.pl, www.ssof.pl Funkcj uokorelcji resz, przedswion n rysunku 3, m brdzo młe wrości dl wszyskich widocznych opóźnień, szczególnie dl ich młych wrości. Rozkłd resz, kóry widć n Rysunku 4 m kszł nieco odbiegjący od rozkłdu normlnego. Jes więcej brdzo młych resz, niż o wynik z rozkłdu normlnego co jes zjwiskiem korzysnym. Z kolei pojwiją się brdzo duże (co do modułu) reszy. Jes o związne z niejednorodnością wrincji, kórą możemy zobserwowć n rysunku, gdy zmienność zdecydownie rośnie przy końcu nlizownego okresu. Nleży więc poddć modelowniu heeroskedsyczny skłdnik losowy. W ym celu obliczono kwdry resz modelu ARIMA dl szeregu oryginlnego i dl ych kwdrów poszukiwno dekwnego modelu. Okzł się nim model ARIMA(,,). Oceny prmerów ego modelu zmieszczono w beli 1. Opóźn Kor. S.E 1 -,,179 -,5,179 3 -,55,179 4 -,4,179 5 -,45,179 6 -,45,179 7 -,15,179 8 -,4,179 9 -,47,179 1 -,73,179 11 +,96,178 1 +,1,178 13 -,,178 14 -,43,178 15 -,4,178 16 -,86,178 17 -,84,178 18 -,4,178 19 +,53,178 +,6,178 1 +,48,178 -,39,178 3 +,46,178 187,3, 4 -,8,178 187,5, 5 -,8,178 8,4, -1, -,5,,5 1, Q 1,57,13 1,1,63 19,47, 4,4,1 3,71, 36,99, 37,7, 39,46, 46,4, 63,14, 9,9, 93,44, 93,46, 99,9, 11,1, 14,3, 146,6, 148,4, 157,4, 168,6, 175,7, 18,4, p Rys. 4. Funkcj uokorelcji resz 1 1 8 Liczb resz 6 4 Rys. 5. Rozkłd resz 6 Copyrigh SSof Polsk, 3 Kopiownie lub powielnie w jkikolwiek sposób bez zgody SSof Polsk Sp. z o.o. zbronione

SSof Polsk, el. (1) 4843, (61) 414151, info@ssof.pl, www.ssof.pl Tbel 1. Oceny prmerów modelu dl wrincji skłdnik reszowego Prmer Ocen Wrość p wyrz wolny 4,48935,178 p(1),3436,15 p,6451, q(1),359,56 q,48877, 1 8 Rys. 6. Prognozy wyznczone z modelu ARIMA(9,,) 6 4 - -4 3 31 3 33 34 35 36 37 38 39 31 311 31 313 314 315 Rys. 7. Prognoz poziomu odchyleni sndrdowego Copyrigh SSof Polsk, 3 Kopiownie lub powielnie w jkikolwiek sposób bez zgody SSof Polsk Sp. z o.o. zbronione 63

SSof Polsk, el. (1) 4843, (61) 414151, info@ssof.pl, www.ssof.pl Oszcowne modele mogą zosć wykorzysne do prognozowni. N rysunku 6 przedswiono prognozę uzyskną n podswie modelu ARIMA(9,,) dl oryginlnych wrości indeksu giełdy w Amserdmie. Dl większej przejrzysości rysunek en zwier ylko wrości z końc nlizownego okresu. Z szeregu empirycznego widć, że wrincj mimo wszysko wydje się sbilizowć. Rysunek 7 przedswi prognozy odchyleni sndrdowego wyznczone z modelu ARIMA(,,), kóry doyczy kwdrów resz, nłożone n szereg czsowy wrości resz. Dlego prognoz znjduje się ylko po dodniej sronie wrości szeregu. Nsz model, kóry opisuje kszłownie się wrunkowej niejednorodnej wrincji, jes modelem GARCH(,). 64 Copyrigh SSof Polsk, 3 Kopiownie lub powielnie w jkikolwiek sposób bez zgody SSof Polsk Sp. z o.o. zbronione