Numer zadania... Etapy rozwizania zadania Przeksztacenie wzoru funkcji do danej postaci f ( x) lub f ( x) x x. I sposób rozwizania podpunktu b). Zapisanie wzoru funkcji w postaci sumy OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY f ( x) p Liczba punktów p 3. x p.3 Zapisanie nierównoci p 3 0. Rozwizanie powyszej nierównoci:.4 p, 3 3,.. II sposób rozwizania podpunktu b) Obliczenie pochodnej funkcji f (x) : f ( x) 3 p x p, x p 3 p i zapisanie nierównoci x p 0 pozwalajcej wyznaczy szukany zbiór wartoci parametru p. Uwagi dla sprawdzajcego pkt za wykonanie dzielenia ( px 3) : ( x p) p( x p) p 3 lub wykorzystanie innej metody, która doprowadzi do zapisania wyraenia w postaci sumy, np. p( x p) p 3 f ( x). x p pkt za zapisanie funkcji w postaci homograficznej: p 3 f ( x) p. x p pkt przyznajemy za obliczenie pochodnej, pkt za zapisanie nierównoci.
.3.4. Stwierdzenie, e x p 0 3 p 0. i zapisanie nierównoci Rozwizanie nierównoci 3 p 0 : 3 3 p,,. III sposób rozwizania podpunktu b) z zastosowaniem definicji funkcji malejcej. la dowolnych x, x p, takich, e x x funkcja f jest malejca gdy f ( x) f ( x ) 0. Obliczenie rónicy f ( x) f ( x ) : pkt zapisanie zaoe. pkt doprowadzenie rónicy f ( x) f ( x ) do postaci iloczynowej...3.4..3.4 p ( x x) 3( x x ) ( x x)( p 3) f ( x) f ( x ). ( x p)( x p) ( x p)( x p) Analiza znaku uamka: ( x p) 0, ( x p) 0 i ( x x) 0 dla kadego x, x p,. Zapisanie nierównoci p 3 0. Rozwizanie nierównoci 3 3 p,,. p 3 0 : IV sposób rozwizania podpunktu b) Zapisanie warunku wystarczajcego na to, eby funkcja f bya malejca w przedziale p, : f p p. Zapisanie warunku p p 3 p. p p Rozwizanie nierównoci 3 3 p,,. f p p w postaci: p 3 0 : Zauwaenie, e wyraenie f ( x) f ( x ) przyjmuje warto ujemn gdy p 3 0.
. 3....3 Wyznaczenie pierwiastków trójmianu y x 8x : x, x 6. Rozwaenie moliwych przypadków cigów geometrycznych, które mog by rosnce:,,6,,6,6, k k, k, Wyznaczenie wszystkich wartoci k, dla których cig jest rosncy: k lub k 3 lub k 8. 3 3. Zapisanie wzoru funkcji f : f x x 3. 3.3 f x 6 0: f x 4 lub f x 4 z niewiadom f x 6 0 Rozwizanie równania Podanie rozwiza równania z niewiadom x: x lub x 6. 6 log. f x. 3 pkt za rozwizanie kadego z przypadków. Jeli zdajcy nie odrzuci rozwizania k 3, nie przyznajemy punktu. pkt za wykorzystanie definicji logarytmu i zapisanie równania log p 4. pkt za wyznaczenie podstawy logarytmu. Za bezporednie podanie wzoru funkcji przyznajemy pkt. Zdajcy moe od razu zapisa alternatyw równa : log x 4 lub log x 4. 3
4 4. 4. Sporzdzenie poprawnego rysunku, na którym, np.: oznacza punkt stycznoci okrgu z przeciwprostoktn, E,F s punktami stycznoci przyprostoktnych AC i BC trójkta z okrgiem. (odcinek C nie zawiera rednicy okrgu wpisanego w dany trójkt). C F E Zdajcy otrzymuje punkt jeli narysuje trójkt z zaznaczonymi dobrymi ktami i wpisanym okrgiem. O B A 4. Wykorzystanie wasnoci : rodek okrgu wpisanego w trójkt ley w punkcie przecicia dwusiecznych jego któw. FBO jest prostoktny i FBO 30. OF 3 std OB 3. 4.3 Obliczenie dugo odcinka FB z FBO : FB 3. 4.4 Obliczenie dugo odcinka CB: CB CF FB 3 3. 4.5 Obliczenie dugo odcinka B: B BF 3. Z wasnoci trójkta opisanego na okrgu.
4.6 Zastosowanie wzoru cosinusów w odcinka C: C CB B CB B cos 60 CB do obliczenie dugoci C 3 3 3 3 3 3 3 3, C 3 3. II sposób rozwizania. Sporzdzenie rysunku. C, Jeeli bd jest spowodowany tym, e punkty C, O, s wspóliniowe i zdajcy korzysta z twierdzenia Pitagorasa w trójkcie CB, wtedy nie przyznajemy punktów. 5 E 4. F O 4. B A Skorzystanie z tego, e CE CF r (czworokt CFOE jest 4. kwadratem) oraz ze wzoru na dugo promienia okrgu wpisanego AC BC AB w trójkt CE CF. Przyjcie oznacze, np. a BC i zapisanie tej równoci w postaci: a a 3 a a 3 3.
6 4.3 Obliczenie 3 BC a 3 3. 3 Obliczenie AC 3 3 3, np. z wykorzystaniem funkcji 4.4 trygonometrycznych w trójkcie ABC. 4.5 Obliczenie AE A 3 3. 4.6 Zastosowanie wzoru cosinusów w trójkcie CA i obliczenie dugoci C : C AC A AC A cos 30 3 C 33 3 3 3 33 3 3 3 3 3 C 3 3. III sposób rozwizania ( z wykorzystaniem Sporzdzenie rysunku. C, CO ). 4. 4. F E O B A
4. 4.3 4.4 Obliczenie miary FO : (wykorzystanie miary któw czworokta FOB) FO 90 60 360, FO 0. Zauwaenie, e FOC 45 i obliczenie CO 45 0 65. Obliczenie dugoci odcinka OC. (OC przektna kwadratu o boku dugoci 3 ). OC 3 6. 7 4.5 Wykorzystanie wzoru redukcyjnego: cos65 cos5. Zastosowanie wzoru cosinusów w CO : 4.6 C OC O OC O cos65 Obliczenie dugoci odcinka C: C 6 3 6 3 cos5,. Zdajcy moe pozostawi wynik w takiej postaci: 9 6 cos5, lub odczyta warto cosinusa z tablic i poda wynik liczbowy. C 9 6 cos5.
8 4. IV sposób rozwizania. Sporzdzenie rysunku. C F O 4. 4. 4.3 B Oznaczmy AB a. Z wasnoci trójkta ABC wynika, e a a 3 BC, AC. Wyznaczenie pola trójkta ABC (z zastosowaniem wzoru: S pr, gdzie p a b c i r jest promieniem okrgu wpisanego w 3 a a 3 AC BC a 3 ten trójkt): a. 8 Wyznaczenie AB a z powyszej równoci: A 4.4 4.5 3 3 4a a, AB a 6 3. Wyznaczenie dugoci odcinka B: a B BF CF 3 3 3 3.
4.6 4. Zastosowanie wzoru cosinusów w trójkcie CB do wyznaczenia dugoci odcinka C: V sposób rozwizania. Sporzdzenie rysunku. C R C CB B CB B cos 60 O P. 9 4. 4. 4.3 4.4 B Wykorzystanie wasnoci : rodek okrgu wpisanego w trójkt ley w punkcie przecicia dwusiecznych jego któw. Wyznaczenie O 3 3 A z trójkta AO: tg5 std A A A tg5. Wyznaczenie B z trójkta BO: B 3. 3 P A tg5 O B 3 B tg30 (z trójkta prostoktnego PA, w którym PA 60 ). std A
0 4.5 4.6 B 3 3 3 R (z trójkta prostoktnego BR, w którym BR 60 ). Wyznaczenie dugoci odcinka C z trójkta prostoktnego CR: 3 7 C R RC. 4tg 5 4 VI sposób rozwizania. Sporzdzenie rysunku. C E 4. F 4. 4. Obliczenie miary kta ON: ON 30. 4.3 4.4 B M N O N Wyznaczenia N z trójkta prostoktnego ON: sin 30 O, 3 3 N i ON O 3. 3 CM CF FM 3 ON 3. A
4.5 4.6 3 3 3 M N MN OF. Wyznaczenie C z twierdzenia Pitagorasa w trójkcie CM: 3 3 3 C CM M 3 3 3, C 3 3. VII sposób rozwizania. Sporzdzenie rysunku. C Zdajcy otrzymuje punkt jeli narysuje trójkt z zaznaczonymi dobrymi ktami i wpisanym okrgiem. E 4. F O 4. B G A 4. 4.3 Wykorzystanie wasnoci : rodek okrgu wpisanego w trójkt ley w punkcie przecicia dwusiecznych jego któw. FBO (lub BO ) jest prostoktny i FBO 30. OF 3 std OB 3. Obliczenie dugoci odcinków FB z FB 3 i B 3. FBO i B z BO : 4.4 Obliczenie dugo odcinka CB: CB CF FB 3 3.
5. 6. 4.5 4.6 5. 5. Obliczenie dugoci odcinków BG i CG i G: 3 3 BC BG, 3 3 3 3 BC CG, 3 3 G B BG. Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa BGC do obliczenie dugoci odcinka C: C CG G 33 3 3 3 C 3 3, C 3 3. Sporzdzenie wykresu funkcji (skorzystanie z definicji wartoci bezwzgldnej i sporzdzenie wykresu albo naszkicowanie wykresu funkcji g( x) x x, a nastpnie naszkicowanie wykresu funkcji f ( x) g( x ) ). Wskazanie kadego punktu, w którym istnieje ekstremum lokalne funkcji f i okrelenie rodzaju ekstremum: minimum lokalne dla x 0, maksimum lokalne dla x oraz x. 0, 6. 6. Wyznaczenie wspórzdnych punktu : 6. Wyznaczenie wspórzdnych punktów A i B: A 3, 0, B 6, 0 6.3 Wyznaczenie dugoci odcinka C: C 3. 6.4 Obliczenie pola trapezu: P ABC 9 3 6 36. Zdajcy moe rozpatrzy dwa przypadki i za kady poprawnie rozwizany otrzymuje pkt. Jeli jest prawidowy rysunek to zdajcy otrzymuje pkt. Przyznajemy punkt jeli, np. - rysunek jest prawidowy tylko po jednej stronie osi Oy, - gdy zdajcy nie wybra tej czci wykresu, która jest prawidowa (pozostawi niepotrzebne czci wykresu).
7. 8. 7. Wyznaczenie cos x z danego równania: cos x 0 lub cos x. Wybranie i zapisanie rozwiza nalecych do przedziau 0, : 7. 7. 7. 3 5 x, x, x3, x4. 3 3 II sposób rozwizania. 3 Rozwizanie równania gdy cos x 0 : x lub x. Rozwizanie równania gdy cos x 0 : pkt - za doprowadzenie równania do najprostszej postaci cos x. 5 pkt za rozwizanie: x lub x. 3 3, 3 poprawnego znaku pochodnej: (+). 8. Zaznaczenie w przedziale 8. Zapisanie, e mimo poprawienia bdu w tej tabeli umieszczone w niej dane nie pozwalaj stwierdzi dokadnie ile miejsc zerowych ma funkcja f: mog by, 3 albo 4 miejsca zerowe (zdajcy sporzdza rysunki lub przedstawia sowne uzasadnienie). 3 Jeli zdajcy podzieli równanie obustronnie przez cos x, bez komentarza dostaje 0 pkt. Jeli zdajcy w 7. podzieli równanie przez cos x ale poprawnie rozwiza otrzymane w ten sposób równanie otrzymuje pkt. Zdajcy moe poda odpowied w stopniach. pkt jeli zdajcy poda odpowied nie pozwala, pkt jeli poda odpowied nie pozwala, bo moe mie lub 3 lub 4 miejsca zerowe (poprawnie wskazuje dwie róne liczby miejsc zerowych, ale nie pokazuje, jak wyglda wykres funkcji). 3 pkt jeli poda odpowied i narysuje dwa wykresy lub pokazuje, e np. w przedziale 3, funkcja moe mie 0 miejsc zerowych lub miejsce zerowe. 3
4 9. 0.. 9. 9. 0. 0. Obliczenie prawdopodobiestwa P( A B) : P( A B) P( A) P( A \ B) 0,. ( pkt za pokazanie metody, pkt za obliczenia) Obliczenie iloczynu prawdopodobiestw P( A) P( B) i zapisanie, e dane zdarzenia s niezalene: P ( A) P( B) 0,5 0,4 0,. Obliczenie rónicy dwóch kolejnych wyrazów w postaci ogólnej: an an p i stwierdzenie, e cig a n jest arytmetyczny. Obliczenie danej sumy dwudziestu jeden wyrazów danego cigu: a0 a40 S 40 S9 400 66 34 lub 34. b by stay: p p 0. 0.3 Zapisanie warunku na to aby cig n Wyznaczenie wszystkich wartoci p, dla których cig b n jest stay: 0.4 p lub p.. Wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego: n, n...3 Wyznaczenie zbioru rozwiza nierównoci 3 x nx n 0 : n, n. Wyznaczenie najwikszej liczby cakowitej speniajcej nierówno i zapisanie wzoru funkcji f : n, f ( n ) n, dla n. pkt za przedstawienie metody, pkt za wykonanie oblicze.
. C. A. B 5. Zauwaenie, e trójkt ABC jest prostoktny i kt ABC ma miar 60. Zapisanie pola zacieniowanej figury jako odpowiedniej rónicy pól:. np. deltoidu ABC i wypukego wycinka koowego BC..3 Obliczenie pola deltoidu ABC: PABC 64 3..4 Obliczenie pola zacieniowanej figury: P f 64 3 3. Za prawidowe rozwizanie kadego z zada inn metod od przedstawionej w schemacie przyznajemy maksymaln liczb punktów.