napisał Michał Wierzbici Równanie Fresnela W anizotropowych ryształach optycznych zależność między wetorami inducji i natężenia pola eletrycznego (równanie materiałowe) jest następująca = ϵ 0 ˆϵ E (1) gdzie ˆϵ jest tensorem względnej przenialności eletrycznej ryształu. Przy odpowiednim wyborze osi uładu współrzędnych artezjańsich względem ierunów rystalograficznych ryształu tensor ˆϵ ma postać diagonalną: ˆϵ = ϵ 1 0 0 0 ϵ 2 0 0 0 ϵ 3 Załóżmy, że w rysztale rozchodzi się monochromatyczna płasa fala eletromagnetyczna postaci gdzie faza fali wynosi E( r, t) = E 0 e iφ, B( r, t) = B 0 e iφ (3) (2) φ = r ωt (4) Pola eletromagnetyczne muszą spełniać równania Maxwella: 1. Prawo Faraday a E = B t 2. Prawo Ampera z prądem przesunięcia B = µ 0 t 3. Prawa Gaussa = 0, B = 0 Załadamy, że ryształ nie ma własności magnetycznych oraz że jest obojętny eletrycznie. Podstawiając wzory (3) do równań Maxwella otrzymujemy uład równań dla amplitud pól: 1
E 0 = ω B 0, B 0 = µ 0 ω 0 (5) 0 = 0, B 0 = 0 (6) Ze wzorów (5) wynia, że wetory inducji pola magnetycznego B i eletrycznego są prostopadłe do ierunu propagacji fali. Ze wzoru (1) wynia, że w rysztale anizotropowym wetor natężenia pola eletrycznego E ma inny ierune niż wetor inducji. Wetor natężenia pola eletrycznego fali nie jest więc prostopadły do ierunu propagacji fali. Kierune przenoszenia energii prze falę eletgromagnetyczną zadaje wetor Poyntinga: S = 1 µ 0 E B (7) Kierune przenoszenia energii S jest inny niż ierune propagacji fali. E B S Rysune 1: Wzajemna orientacja wetorów pola Na podstawie wzorów (5) obliczmy wyrażenie: ( E 0 ) = ω B 0 = ω 2 µ 0 ϵ 0 ˆϵ E 0 (8) Wartość wetora falowego możemy zapisać ta ja dla dieletrya izotropowego: = n ω2 c 2 (9) gdzie n jest współczynniiem załamania dieletrya. Równanie (8) przyjmuje postać n 2 e ( e E 0 ) = ˆϵ E 0 (10) gdzie wersor e = /. Wyonując podwójny iloczyn wetorowy równanie (10) możemy zapisać jao: n 2 [ e ( e E 0 ) E 0 ] + ˆϵ E 0 = 0 (11) 2
Jest to równanie Fresnela. la zadanego ierunu e propagacji fali na jego podstawie można wyznaczyć współczynni załamania n i ierune polaryzacji fali E 0. Równanie Fresnela można zapisać w postaci macierzowej 1 : gdzie macierz (diada) ˆM wynosi ˆM E 0 = 0 (12) ˆM = n 2 ( e e ˆ1) + ˆϵ (13) Równanie (13) jest uładem trzech równań liniowych jednorodnych ze względu na sładowe wetora E 0. Waruniem jego rozwiązalności jest znianie wyznacznia Kryształ jednoosiowy det [ n 2 ( e e ˆ1) + ˆϵ ] = 0 (14) Założmy, że dwie sładowe tensora przenialności eletrycznej ˆϵ są równe. Niech ϵ 1 0 0 ˆϵ = 0 ϵ 1 0 (15) 0 0 ϵ 2 Własności dieletryczne ryształu nie zmieniają się przy jego obrocie woół osi z artezjańsiego uładu współrzędnych. Zapisując sładowe artezjańsie wersora e we współrzędnych sferycznych: możemy obliczyć 2 wyznaczni (14). Wynosi on e = [ cos φ sin θ, sin φ sin θ, cos θ ] (16) det = (n 2 ϵ 1 ) [n 2 (ϵ 1 sin 2 θ + ϵ 2 cos 2 θ) ϵ 1 ϵ 2 ] = 0 (17) Ja widać wyznaczni równania Fresnela nie zależy od ąta φ uładu sferycznego. Możemy więc ograniczyć się do ierunu propagacji fali leżącego w płaszczyźnie x, z dla φ = 0. Zwyczajny (ang. ordinary) współczynni załamania ryształu nie zależy od ierunu propagacji fali i wynosi n 2 o = ϵ 1 (18) 1 W nietórych siążach równanie Fresnela zapisuje się jao równanie macierzowe na wartości własne λ = 1/n 2. 2 W programie Mathematica iloczyn diadyczny wetorów a i b zapisujemy jao Outer[Times,a,b], macierzą jednostową 3 3 jest IdentityMatrix[3], a wyznaczni macierzy M oblicza funcja et[m]. 3
z θ Rysune 2: Współczynnii załamania w rysztale jednoosiowym Nadzwyczajny (ang. extraordinary) współczynni załamania zależy od ąta θ pomiędzy ieruniem propagacji i osią z uładu współrzędnych: n 2 e(θ) = ϵ 1 ϵ 2 ϵ 1 sin 2 θ + ϵ 2 cos 2 θ Łatwo sprawdzić, że n 2 e(0) = ϵ 1 oraz n 2 e(π/2) = ϵ 2. la ierunu propagacji wzdłuż osi z oba współczynnii załamania są sobie równe. Oś z nazywamy osią optyczną ryształu. Sładowe wetora n e e w płaszczyźnie φ = 0, równe (19) spełniają równanie elipsy x = n e sin θ, z = n e cos θ (20) x 2 ϵ 2 + z2 ϵ 1 = 1 (21) Równanie (14) jest waruniem oniecznym na istnienie rozwiązania uładu równań (12). Podstawiając do niego znalezione wyrażenia na współczynnii załamania możemy obliczyć wetor E 0 polaryzacji fali, a taże wetor 0 prostopadły do ierunu biegu fali. 1. W przypadu fali zwyczajnej E 0 [0, 1, 0], co oznacza polaryzację fali w ierunu y, prostopadłym do płaszczyzny rysunu 2. 2. W przypadu fali nadzwyczajnej E 0 [ϵ 2 cos θ, 0, ϵ 1 sin θ] co oznacza polaryzację fali w płaszczyźnie rysunu 2. Wetor inducji eletrycznej 0 ˆϵ E 0 4
[cos θ, 0, sin θ]. Łatwo zauważyć, że jest on prostopadły do wersora propagacji fali e = [cos θ, 0, sin θ]. Kryształ dwuosiowy W ta zwanym rysztale dwuosiowym ażda sładowa diagonalna tensor przenialności eletrycznej ma inną wartość: ˆϵ = ϵ 1 0 0 0 ϵ 2 0 0 0 ϵ 3 Równanie Fresnela przyjmuje prostą postać w płaszczyźnie x, z dla φ = 0. Przyjmując wersor ierunu propagacji fali w postaci: (22) e = [sin θ, 0, cos θ] (23) Wyznaczni (14) przy pomocy programu Mathematica daje się zapisać jao: det = (n 2 ϵ 2 ) [n 2 (ϵ 1 sin 2 θ + ϵ 3 cos 2 θ) ϵ 1 ϵ 3 ] (24) Zwyczajny współczynni załamania wynosi Nadzwyczajny współczynni załamania wynosi n 2 e = n 2 o = ϵ 2 (25) ϵ 1 ϵ 3 ϵ 1 sin 2 θ + ϵ 3 cos 2 θ Równość współczynniów załamania zachodzi dla ąta θ 0 spełniającego równanie 3 sin 2 θ 0 = ϵ 3 ϵ1 ϵ 2 (27) ϵ 2 ϵ 1 ϵ 3 Jeśli fala propaguje się w płaszczyźnie x, z pod atem θ 0 do osi z to oba współczynnii załamania są sobie równe. W płaszczyźnie x, z ryształu wystepują więc dwie osie optyczne, obie pod ątem θ 0 do osi z. Rozwiązania równania (12) są następujące: 1. la fali zwyczajnej E 0 0 [0, 1, 0]. Polaryzacja prostopadła do płaszczyzny rysunu 3. 2. la fali nadzwyczajnej E 0 [ϵ 3 cos θ, 0, ϵ 1 sin θ], 0 [cos θ, 0, sin θ]. Polaryzacja w płaszczyźnie rysunu 3. 3 Równanie to ma rozwiązanie jeśli ϵ 1 > ϵ 3 > ϵ 2 albo ϵ 1 < ϵ 3 < ϵ 2. (26) 5
θ 0 z θ 0 Rysune 3: Współczynnii załamania w rysztale dwuosiowym, w płaszczyźnie x, z zawierającej osie optyczne. la ogólnego ierunu propagacji fali przy φ 0 wygodniej jest zapisać wersor e w postaci artezjańsiej: e = [x, y, z], x 2 + y 2 + z 2 = 1 (28) Wyznaczni (14) równania Fresnela prowadzi wówczas do następującego równania biwadratowego na współczynni załamania n: gdzie an 4 + bn 2 + c = 0 (29) a = ϵ 1 x 2 + ϵ 2 y 2 + ϵ 3 z 2 b = ϵ 1 ϵ 2 (x 2 + y 2 ) ϵ 2 ϵ 3 (y 2 + z 2 ) ϵ 3 ϵ 1 (z 2 + x 2 ) c = ϵ 1 ϵ 2 ϵ 3 (30) elta równania wadratowego (29) jest różna od zera, co oznacza że dwa współczynnii załamania są zawsze różne od siebie. Wetory inducji 0 dla obu współczynniów załamania są zawsze prostopadłe do ierunu propagacji fali zgodnie z równaniem (6). Są one taże zawsze prostopadłe (ortogonalne) do siebie nawzajem, gdyż macierz M w równaniu (12) jest hermitowsa. la ogólnego ierunu propagacji fali nie są one jedna zorientowane względem płaszczyzny rysunu 3. Wetory natężenia pola eletrycznego E 0 odpowiadające obu współczynniom załamania nie są do siebie prostopadłe i nie są prostopadłe do ierunu propagacji. 6
z θ Rysune 4: Współczynnii załamania w rysztale dwuosiowym, w płaszczyźnie nie zawierającej osi optycznych. 7