Wykład VI Dalekie pole
Schemat przypomnienie
Musimy znać rozkład fali padającej u pad (x,y) w płaszczyźnie układu optycznego Musimy znać funkcję transmitancji układu optycznego t(x,y) Określamy falę właśnie wychodzącą z przedmiotu U wych wzorem u wych (x,y) = u pad (x,y) t(x,y) Aby obliczyć rozkład amplitudy fali na ekranie u e (x e, y e ) musimy odwołać się do jednej z całek dyfrakcyjnych. Całkujemy wielkość u wych. Aby obliczyć natężenie światła na ekranie obliczamy kwadrat modułu u e : i = u e 2.
Całka dalekiego pola - przypomnienie dy dx y y x x z i k y x z i k y x P o o o o pad o exp 2 exp, u u 2 2 0 2 2 2 y x z k o 1 2 exp 2 2 y x z k i o
Nowe zmienne
Całka dalekiego pola jest transformatą Fouriera
Obraz szczeliny prostokątnej
Przykład #2 Otwór kołowy
Otwór kołowy
r=1mm r=0,5mm r=0,25mm
Siatka dyfrakcyjna
Przypomnienie
d sin φ = mλ d sin(φ) = m n λ Bardzo prosty model każdą szczelinę reprezentuje punkt świecący znajdujący się w jej środku Teraz uwzględniamy powierzchnie szczeliny
Realizujemy schemat
Fala płaska poosiowa 1. Fala padająca
2. Funkcja transmitancji siatki
3. Fala wychodząca u x, y exp ikz t x, y wych
4. Całka dyfrakcyjna, w tym przypadku dalekiego pola
Obliczenie całki
Po faktoryzacji Ta całka da się sfaktoryzować
Część y-kowa ma postać jak dla szczeliny
Część x-owa całkuje sumę wyrażeń, więc na mocy twierdzenia liniowości możemy zamienić kolejności sumowanie z całkowaniem Każdy składnik sumy zawiera przesuniętą szczelinę. Dla szczeliny bez przesunięcia rozwiązanie znamy
Dla szczeliny przesuniętej stosujemy twierdzenie o przesunięciu
Po złożeniu rozwiązań po x i y dostajemy wzór na amplitudę fali płaskiej po przejściu przez siatkę. Jednak forma tego wyrażenia jest mało przejrzysta Powinniśmy spróbować obliczyć sumę
Wyrażenia sumy tworzą ciąg geometryczny Wzór na sumę N wyrazów ciągu geometrycznego
Po jego zastosowaniu wyrażenie na dyfrakcję na siatce przyjmie postać To jeszcze nie to, czas na dalsze przekształcenia
Przekształcenia są dość żmudne ale mamy w odwodzie systemy CAS, dla przykładu obliczenia w pakiecie Mathematica Zastosuję instrukcję ExpToTrig, czyli konwertuj postać ekspotencjalną do trygonometrycznej fx fx Uprość jak się da tak otrzymany wynik, czyli do wyniku zastosuj instrukcję Simplify
Po uproszczeniu I, żeby było weselej wróć do postaci ekspotencjalnej, ale tylko z częścią wrażenia Wynik Po dopisaniu reszty wyrażenia
Zatem Csc[ dfxn] Csc[ dfx ] sin 1 df x fx f x
Po dołożeniu części y-kowej i stałych mamy Koniec kroku czwartego
5. Obliczenie natężenia Stałe są mało istotne
szerokość szczeliny a=1mm, stała siatki d=1mm, wysokość szczeliny d=2mm, ilość szczelin N=10.
szerokość szczeliny siatki wynosi a=0,5 jej wysokość b=2, stała siatki wynosi d=4, a ilość szczelin N=10.
Czy ten wynik można uogólnić?
Można ale musimy się do tego przygotować
Transformata Fouriera fali płaskiej poosiowej ce 2πixξ dx =?
Delta Diraca Ile wynosi pole pod funkcją h(x) która jest różna od zera tylko w jednym punkcie?
Podobnie jest dla każdej funkcji hh(x) która jest różna od zera w wielu izolowanych punktach
Na początku XX wieku fizycy zatęsknili za funkcją (oznaczę ją przez (x)), która byłaby różna od zera tylko w jednym punkcie a ponadto δ x f x dx = f 0
W latach 40-tych XX wieku a głównym sprawczym był matematyk francuski Laurent Schwarzt. Schwartz uogólnił pojęcie funkcji wprowadzając tzw. dystrybucje (funkcje uogólnione). Dystrybucja jest klasą odwzorowań liniowych, które przyporządkowują funkcjom z danego zbioru funkcji testowych liczby rzeczywiste. I tak dystrybucja delta Diraca zdefiniowana jest wzorem δ x f x dx = f 0 Czasem zapisujemy ją tak δ f = f 0
delta Diraca jest liniowa Nadto mamy δ αf 1 + βf 2 = α δ f 0 + β δ f 0 δ x x 0 f x dx = f x 0 δ x = δ x δ ax = 1 a δ x
W dwóch wymiarach δ x, y f x, y dxdy = f 0,0 δ x x 0, y y 0 f x, y dxdy = f x 0, y 0
Mogę teraz odpowiedzieć na pytanie ile wynosi transformata Fouriera funkcji stałej f(x)=c. W tym celu złóżmy transformatę Fouriera z odpowiadającą jej transformatą odwrotną c = c e 2πix ξ dx e 2πixξ dξ
Jeżeli formalnie zamienimy kolejność całkowania to otrzymamy c = c e 2πi x x ξ dξ d x widać, że wyrażenie w nawiasie musi być dystrybucją delta Diraca e 2πi x x ξ dξ = δ x c δ x d x = c1 = c
Zatem transformata Fouriera funkcji stałej jest dystrybucją delta Diraca przemnożoną przez wartość funkcji. c e 2πixξ dx = c δ x
Siatka uogólniona
Regularny układ trójkątnych otworów Trian to funkcja transmitancji otworu O kształcie trójkąta
Kolejna przerwa tym razem na splot
Splot funkcji f i h
x? Splot x f x g x f h x d 0 0 1 1 1 2 3 3 3
1 1 0
Twierdzenie o splocie
Splotowy zapis funkcji transmitancji dla N- otworów Funkcja lokalizacji Funkcja lokalizacji pokazuje współrzędne środków trójkątów
Twierdzenie o splocie
Twierdzenie o uszeregowaniu Amplitudę zespoloną obrazu dyfrakcyjnego w dalekim polu, przedmiotu złożonego z układu elementarnych elementów można przedstawić jako iloczyn amplitudy zespolonej reprezentującej obraz interferencyjny funkcji lokalizacji tych elementów oraz amplitudy zespolonej reprezentującej obraz dyfrakcyjny pojedynczego elementarnego elementu
Przykład zastosowania
Badanie kryształów
Obrazy
Atom i jego obraz dyfrakcyjny
Siedmioatomowa molekuła i jej obraz dyfrakcyjny
Najważniejszy przykład
Nieograniczona siatka harmoniczna
Widmo siatki harmonicznej
Obraz siatki w mikroskopie
Wymagania Transformaty Fouriera twierdzenie o liniowości, przesunięciu i podobieństwie Twierdzenie o splocie Częstości przestrzenne Całka dalekiego pola jako rozkład na fale płaskie Twierdzenie o uszeregowaniu
Przykładowe zadanie Wskaż prawidłowe zdanie dotyczące binarnej siatki dyfrakcyjnej a) Im gęstsza jest siatka tym więcej maksimów jest widocznych na ekranie o zadanej szerokości i znajdującym się w zadanej odległości od siatki; b) im większa jest długość fali tym większy jest kąt ugięcia płaskiej fali padającej na siatkę dyfrakcyjną; c) obraz siatki można uzyskać jako iloczyn dwóch członów: opisującego ugięcie na pojedynczej szczelinie i opisującego interferencję fal rozchodzących się ze środków szczelin siatki; d) rozdzielczość siatki nie zależy od jej stałej