Obiczanie naprężeń tycznych wywołanych momentem kręcającym w przekrojach: kołowym, pierścieniowym, protokątnym 7 Wprowadzenie Do obiczenia naprężeń tycznych wywołanych momentem kręcającym w przekrojach kołowych (ry. 7. i pierścieniowych (ry. 7., w dowonym punkcie oddaonym od oi pręta o wiekość ρ, toujemy poniżzą zaeżność τ( ρ ρ I gdzie: moment kręcający, I biegunowy moment bezwładności przekroju poprzecznego, ρ odegłość punktu od oi pręta (promień. Naprężenia tyczne mają wartości proporcjonane do wiekości promienia ρ i ą do niego protopadłe. Stąd wnioek, że makymane naprężenia tyczne τ max wytąpią na zewnętrznym konturze przekroju. Ich wartość możemy okreśić w oparciu o zaeżność τ max k W gdzie: moment kręcający, W wkaźnik wytrzymałości na kręcanie, k naprężenia dopuzczane na kręcanie. Ry. 7.. Ry. 7.. Kąt kręcenia wału wyznaczamy okreśamy natępująco gdzie: moment kręcający, długość wału ub pręta, I φ I moduł prężytości poprzecznej moduł Kirchhoffa, biegunowy moment bezwładności przekroju poprzecznego
7. Obiczanie naprężeń tycznych wywołanych momentem kręcającym w przekrojach... 7. Wartości I oraz W da pozczegónych przekrojów ą natępujące: przekrój kołowy przekrój pierścieniowy I I π ( D d W W π ( D d D Rozkład naprężeń tycznych da przekroju protokątnego przedtawiono na ry. 7.. akymane wartości τ max wytępują w połowie dłużzego boku, natomiat w połowie krótzego boku naprężenia oiągają wartość τ *. Do obiczenia naprężeń tycznych τ max i τ * oraz kąta kręcenia pręta φ toujemy zaeżności τ max k W τ * ητ max φ I gdzie: moment kręcający, W wkaźnik wytrzymałości na kręcanie, k I Wiekości naprężenia dopuzczane na kręcanie, długość pręta, moduł prężytości poprzecznej, wkaźnik ztywności przekroju na kręcanie. W i I okreśamy natępująco W α b I β b Ry. 7.. Wartości wpółczynników α, β i η ą zaeżne od wymiarów przekroju (tounku wyokości h do zerokości b. Niektóre wartości zetawiono w tabei 7.. Tabea 7.. Wartości wpółczynników α, β i η w zaeżności o tounku tounek h / b h / b [],5 6 8 α,8,6,9,8,5,7,56, β,,9,57,79,,7,56, η,,859,795,75,75,7,7,7 [] Dyąg Z., Jakubowicz A., Orłoś Z.: Wytrzymałość materiałów. Tom I, WNT, Warzawa 999.
7. Obiczanie naprężeń tycznych wywołanych momentem kręcającym w przekrojach... 7. Zadanie 7.. [] Wał obciążono momentami kręcającymi, i (ry. 7.. Wyznaczyć wartość momentu napędzającego oraz dobrać średnice pozczegónych odcinków wału d, d i d. Da przyjętych średnic okreśić całkowity kąt kręcenia wału φ. Dane: kn m ; kn m ;,5 kn m ; k Pa ; 8, Pa. oment napędzający jet równy,5 6 kn Wykre momentów kręcających przedtawiono na ryunku. Pozczegóne odcinki wału kręcane ą momentami odcinek (,6 m 6,5 kn m odcinek (, m 6,5,5 kn m odcinek (,5 m,5 kn m Obiczamy średnice pozczegónych odcinków wału odcinek odcinek odcinek d d d τ max m W k k d π k 6,5 9, m π k 6 π,5 76,8 m π k 6 π,5 57,59 m π k 6 π Dobieramy średnice pozczegónych odcinków wału: Ry. 7.. 9, mm 76,8 mm 57,59 mm d 95 mm d 78 mm d 58 mm Całkowity kąt kręcenia wału jet równy umie kątów kręcenia pozczegónych odcinków φ φ φ φ I I I π d d d π 8, 6,5,6,5,,5,5 8,9,9,78,58 rad,8
7. Obiczanie naprężeń tycznych wywołanych momentem kręcającym w przekrojach... 7. Zadanie 7.. [] Obiczyć dopuzczaną wartość momentu, jakim można obciążyć wał pokazany na ry. 7.5. Da przyjętej wartości momentu obiczyć całkowity kąt kręcenia wału. Dane: d mm ; mm ; k 7 Pa ; 8,5 Pa. Ry. 7.5. Jak widać na ryunku 7.5, najbardziej obciążonym odcinkiem wału jet odcinek duży moment i mała średnica. Obiczenia dopuzczanej wartości momentu przeprowadzimy jedynie da tego odcinka. Z warunku wytrzymałościowego mamy τ max k Wk W k 8 k π 7 95 N mm 9,5 N m 8 Do dazych obiczeń przyjmijmy 9 N m. Obiczmy całkowity kąt kręcenia wału φ φ φ φ I I 9 5,7 8,5 π I π(d π(d rad,7
7. Obiczanie naprężeń tycznych wywołanych momentem kręcającym w przekrojach... 7.5 Zadanie 7.. Obiczyć dopuzczaną wartość momentu, jakim można obciążyć wał pokazany na ry. 7.6 oraz obiczyć całkowity kąt kręcenia wału. Dane: d ; ; k ;. Ry. 7.6. W niniejzym zadaniu naeży rozpatrzyć przynajmniej dwa odcinki wału, tj. i, gdyż trudno wkazać odcinek najbardziej obciążony. Na odcinku działa więkzy moment, a wał jet pełny, natomiat na odcinku wał jet wydrążony, ae obciążony dwukrotnie mniejzym momentem. Z warunku wytrzymałościowego mamy da odcinka da odcinka τ max k W k W π(d k k π[(d d d 5 Jak widać, mniejze obciążenie może przenieść odcinek dopuzczana wartość momentu jet równa Obiczmy całkowity kąt kręcenia wału φ φ 5 φ φ I 5 I k k d I ] k k k π(d π(d π [(d d ] Dodatnia wartość kąta kręcenia świadczy o tym, że końcowy przekrój wału (A-A obróci ię w kierunku przeciwnym niż kierunek momentu (jego kierunek przyjęiśmy za ujemny.
7. Obiczanie naprężeń tycznych wywołanych momentem kręcającym w przekrojach... 7.6 Zadanie 7.. Obiczyć makymaną wartość momentu, jakim można obciążyć utwierdzony obutronnie pręt (ry. 7.7. Dane: d ;. Warunek równowagi momentów kręcających wzgędem oi pręta jet natępujący (zgodnie z ryunkiem Σ A B A B Jak widać, mamy do czynienia z układem jednokrotnie tatycznie nie wyznaczanym (dwie niewiadome i jedno równanie Drugi równanie okreśimy na podtawie kątów kręcenia odcinków pręta amy zatem φ A -B φ φ φ A -B I I Ry. 7.7. Obiczamy wartości momentów I I A B π(d π(d A i B 8 A 8 8 A 8 B akymaną wartość momentu wyznaczymy podobnie jak zadaniach 7. i 7.. Z warunku wytrzymałościowego mamy da odcinka da odcinka B 8 π(d 8 8 k k π(d k k akymana wartość momentu, jakim można obciążyć pręt, jet równa 8 k
7. Obiczanie naprężeń tycznych wywołanych momentem kręcającym w przekrojach... 7.7 Zadanie 7.5. Obiczyć makymaną wartość momentu, jakim można obciążyć utwierdzony pręt o przekroju kwadratowym wymiary a a (ry. 7.8. Wyniki porównać z przypadkiem kręcania dwóch prętów o przekroju protokątnym (ry. 7.9. Porównać kąty kręcenia prętów (w obu przypadkach przy obciążeniu momentem. Dane: a ; ; k ;. Ry. 7.8. Ry. 7.9. akymaną wartość momentu wyznaczymy z warunku wytrzymałościowego da przekrojów protokątnych τ max W W k k α b k przypadek jednego pręta o przekroju kwadratowym zgodnie z tabeą, da tounku h / b wpółczynnik α, 8 Imax, 8a przypadek dwóch prętów o przekroju protokątnym zgodnie z tabeą, da tounku h / b wpółczynnik α, 9 Porównujemy wyniki II max k,9 a II max, a II max, a k,59 Imax,8a k Dwa pręty o przekroju protokątnym mają mogą przenieść niecałe 6% momentu jakim można obciążyć pręt o przekroju kwadratowym. k k Do obiczenia kątów kręcenia wykorzytamy poniżzą zaeżność φ I φ β b
7. Obiczanie naprężeń tycznych wywołanych momentem kręcającym w przekrojach... 7.8 przypadek jednego pręta o przekroju kwadratowym zgodnie z tabeą 7., da tounku h / b wpółczynnik β, φ I,, a a przypadek dwóch prętów o przekroju protokątnym zgodnie z tabeą 7., da tounku h / b wpółczynnik β, 57 φ II,57 a,57 a Porównujemy wyniki φ φ II I,57, a a,5 Dwa pręty o przekroju protokątnym kręciłyby ię o kąt prawie,5 razy więkzy niż pręt o przekroju kwadratowym obciążony takim amym momentem kręcającym. Literatura [] Dyąg Z., Jakubowicz A., Orłoś Z.: Wytrzymałość materiałów. Tom I, WNT, Warzawa 999. [] Niezgodzińki.E., Niezgodzińki T.: Zadania z wytrzymałości materiałów, WNT, Warzawa 997. [] Banaiak., roman K., Trombki.: Zbiór zadań z wytrzymałości materiałów, PWN, Warzawa 99.