Fizyka 2 Wykład 3 1 Równanie Schrödingera Chcemy znaleźć dopuszczalne wartości energii układu fizycznego, dla którego znamy energię potencjalną. Z zasady odpowiedniości znamy postać hamiltonianu. Wybieramy reprezentację połoŝeniową i korzystamy z postulatów matematycznych. Prowadzi to do zagadnienia własnego dla operatora energii: równanie Schrödingera dla stanów stacjonarnych Od funkcji falowej u n (x) wymaga się aby była: ciągła wraz z pochodnymi nieosobliwa jednoznaczna Erwin Schrödinger 1887-1961
Fizyka 2 Wykład 3 2 Sens fizyczny funkcji falowej: Rozpatrzmy średnie połoŝenie cząstki w stanie u n (x): Uzasadnienie: bo x ˆ = x w reprezentacji połoŝeniowej a więc w rozpatrywanym przypadku kolejność działań nie jest istotna i moŝna zmienić kolejność pod całką Wniosek: n 2 u ma sens gęstości prawdopodobieństwa a warunek unormowania funkcji własnych un =1 ma prosty sens matematyczny. WaŜne: 2 dx przy takiej interpretacji faza funkcji falowej jest nie istotna i nie ma interpretacji fizycznej (!).
Fizyka 2 Wykład 3 3 Przykład: Dana jest studnia potencjału o szerokości a i nieskończenie wysokich ścianach jak na rysunku. Wewnątrz studni potencjał V(x) jest zerowy. Rozpatrzmy dozwolone energie wewnątrz tej studni. Równanie Schrödingera da się dla tej studni zapisać jako: Warunki brzegowe: Ψ(x) = 0 dla x = 0 oraz dla x = a (Wyjaśnienie: w tych punktach V(x) osiąga a pozostałe wyrazy w równaniu są skończone).
Fizyka 2 Wykład 3 4 Ogólne rozwiązanie takiego równania róŝniczkowego jest: MoŜna dobrać inna postać rozwiązania dobierając spośród moŝliwych superpozycji fal płaskich e ikx przy czym od razu widać, Ŝe B = 0 ze względu na Ψ(0) = 0. A z warunku sin(kx) x = a = 0 wynika k = n π/a dla n= 0,1,2,3,... Tyle matematyka.
Fizyka 2 Wykład 3 5 A fizyka? Rozwiązanie z k = 0 jest trywialne - studnia jest pusta Energie odpowiadające stanom n=1,2,3... są skoro ogólnie un =1 to w naszym przypadku 2 dx bo na zewnątrz studni cząstki nie ma. Aby tak było amplituda fali musi spełnić warunek (Ćwiczenie do domu: proszę to sprawdzić!!!) Rozwiązanie jest więc falą stojącą: śeby ona powstała wewnątrz studni musi zachodzić superpozycja fal biegnących w przeciwnych kierunkach oraz odbicia na krańcach studni.
Fizyka 2 Wykład 3 6
Fizyka 2 Wykład 3 7 Postulat SpostrzeŜenie Równania ruchu w mechanice kwantowej czas jest zwykłą zmienną - nie jest operatorem a) wymiar iloczynu zmiennych E t = wymiar iloczynu zmiennych x oraz p b) na mocy zasady komplementarności, w reprezentacji połoŝeniowej, gdy operatorem połoŝenia jest zmienna x to operatorem pędu jest: Czynimy więc załoŝenie: energii odpowiada operator (Uwaga: nie ma znaku - w przeciwieństwie do operatora pędu) ZałoŜenie to jest równoznaczne z równością operatorową gdzie Ĥ jest operatorem Hamiltona poznanym w poprzednim rozdziale.
Fizyka 2 Wykład 3 8 Równanie Schrödingera zaleŝne od czasu Postulat o postaci operatora energii pozwala sformułować zagadnienie niestacjonarne w mechanice kwantowej Schrödingera: gdzie opuściłem znak operatora nad zmienną połoŝenia. Równanie to jest całkowicie postulowane - jedynym jego uzasadnieniem jest zgodność z doświadczeniem. Jeśli potencjał nie jest funkcją czasu to moŝna dokonać separacji zmiennych pisząc.
Fizyka 2 Wykład 3 9 Po podstawieniu do równania Schrödingera zaleŝnego od czasu i podzieleniu obu stron przez Ψ i uporządkowaniu: Lewa stron równania jest tylko funkcją czasu. Prawa stron - tylko funkcją połoŝenia Muszą być więc równe stałej z zagadnienia stacjonarnego (zagadnienie własne operatora Hamiltona H) wynika, Ŝe stałą jest energia. Prowadzi to do separacji zmiennych. Otrzymuje się dwa równania jedno zaleŝne tylko do czasu a drugie od zmiennych przestrzennych. WaŜne: dla wszystkich zagadnień analizowanych w mechanice Schrödingera równanie dla części zaleŝnej od czasu jest identyczne! Dlatego w wielu podręcznikach, po jego omówieniu, juŝ się do niego nie wraca.
Fizyka 2 Wykład 3 10 Rozwiązaniem równania zaleŝnego tylko od czasu: jest. Ostatecznie więc rozwiązaniem zagadnienia niestacjonarnego jest gdzie n - zespół liczb kwantowych, które jednoznacznie numerują stany, ψ n jest rozwiązaniem zagadnienia stacjonarnego (patrz poprzedni rozdział).
Fizyka 2 Wykład 3 11 Przykład: Cząstka swobodna ( r ) = 0 V r Przeprowadzamy separacje zmiennych, część zaleŝna od czasu jest zawsze taka sama ale poziomy energii trzeba wyznaczyć z części przestrzennej równania Schrödingera (tj. z zagadnienia stacjonarnego): ma rozwiązania w postaci oraz energie własne
Fizyka 2 Wykład 3 12 SpostrzeŜenia: 1) dla cząstki swobodnej energia oraz pęd przyjmują wartości ciągłe 2) dla cząstki swobodnej zawsze [ H, pˆ] = 0 ˆ bo a operator pędu a stąd [, ] = 0 2 3) proszę sprawdzić (!) : gdzie Bardzo waŝny wniosek ogólny Jeśli dwa operatory komutują to mają wspólne funkcje własne. Interpretacja fizyczna: Jeśli dwa pomiary nie zakłócają się na wzajem to operatory odpowiadające tym pomiarom mają wspólne funkcje własne.
Fizyka 2 Wykład 3 13 Inny wniosek Dla cząstki swobodnej A ponadto: jak w fizyce klasycznej. Pełna funkcja falowa dla cząstki swobodnej da się zapisać jako: jest to więc fala de Broglie a o wektorze falowym oraz częstości W tzw. starej teorii kwantów fala de Broglie a była postulowana W mechanice Schrödingera postuluje się pewien aparat matematyczny i otrzymuje się właściwą postać fali de Broglie a.
Fizyka 2 Wykład 3 14 Przykład: Cząstka o masie m porusza się swobodnie po zamkniętej nici o długości L. Znaleźć poziomy energetyczne tej cząstki. Równanie ruchu ma postać: Rozwiązaniem tego równania są fale płaskie a stałą C naleŝy wyznaczyć z warunku unormowania (Proszę sobie stałą C wyznaczyć!). ψ ( x ) = Ce Nić jest zamknięta tj. a stąd wynikają dozwolone poziomy energetyczne: ikx Widać, Ŝe gdy L, widmo energii staje się quasi-ciągłe i dyskretną strukturę poziomów energetycznych moŝna pominąć.
Fizyka 2 Wykład 3 15 Przykład: Dla cząstki z poprzedniego przykładu znaleźć widmo operatora pędu. Skorzystamy z zasady komplementarności: Zbadamy komutator a więc operator energii i operator pędu w omawianym przypadku mają wspólne funkcje własne tzn.
Fizyka 2 Wykład 3 16 Paczka fal Rozwiązania w postaci funkcji harmonicznych nie mogą odpowiadać cząstkom zlokalizowanym - gęstość prawdopodobieństwa z nimi związana jest jednakowa wszędzie. Aby zbadać zachowanie się kwantowej cząstki naleŝy posłuŝyć się paczką fal. Wybierzemy funkcję widmową (amplitudę) w postaci funkcji Gaussa: Taka postać jest wygodna ze względu na łatwość dokonywania obliczeń. (Inne postacie funkcji widmowej moŝna wygenerować samemu pod adresem: http://phys.educ.ksu.edu/vqm/index.html za pomocą programu Wave Packet Explorer) {hyperlink: http://phys.educ.ksu.edu/vqm/index.html}
Fizyka 2 Wykład 3 17 Nasza funkcja falowa przyjmie postać: Dodaliśmy (płaskie) fale de Broglie a z amplitudą f(p) zaleŝną od pędu p. Proszę pamiętać, Ŝe p = ħ k, gdzie k = 2π/λ jest liczbą falową. Przykład: zamiast całkować dodajmy do siebie tylko 15 takich fal zakładając, Ŝe dla n- tej fali (n=-7,-6,...,0,...6,7) pęd p = p 0 + n p, gdzie p jest stałą. Rysunek po prawej: część rzeczywistą takiej paczki fal dla chwili t 0 i t > t 0. Widać dosyć dobrze zlokalizowaną paczkę (poza pewnym obszarem jej amplituda jest znikoma) ale obwiednia jej silnie oscyluje. Ten efekt zmniejsza się gdy składników paczki fal jest więcej.
Fizyka 2 Wykład 3 18 Stopień lokalizacji fali zaleŝy teŝ od szerokości funkcji widmowej f(p). Widać to poniŝej na wykresach części rzeczywistej i urojonej paczki fal dla dwóch róŝnych szerokości funkcji widmowej: wąska funkcja widmowa daje bardziej rozmytą paczkę. Jeszcze lepiej widać to na wykresie gęstości prawdopodobieństwa (kwadrat modułu paczki fal) po prawej gdzie pokazano te same paczki fal, odpowiednio. UWAGA: porównywać naleŝy wykresy dla t = 0 w trakcie ewolucji w czasie paczka fal poszerza się (ulega rozmyciu ).
Fizyka 2 Wykład 3 19 MoŜna scałkować wyraŝenie na paczkę falową po pędzie (po to dobraliśmy f(p) w takiej postaci aby to całkowanie było moŝliwe analitycznie) a wtedy. Funkcja eksponencjalna to fala nośna szybkozmienna w czasie i przestrzeni. Amplituda M(x,t): gdzie paczka porusza się z prędkością grupową
Fizyka 2 Wykład 3 20 Przykład: paczka falowa w spoczynku Rozpływanie się paczki fal wynika z tego, Ŝe zawiera ona zarówno fale harmoniczne o dodatnich jak i ujemnych pędach.
Fizyka 2 Wykład 3 21 Przykład: Demonstracja zasady nieoznaczoności Heisenberga Dobieramy tak funkcje widmowe dla 3 paczek aby: o ich prędkość grupowa v 0 = p 0 /m była jednakowa o o ich szerokość w pędzie σ p była róŝna w chwili t = 0 spełnione było