Wykład 6 Własności wielomianów ortogonalnych Wszystkie znane rodziny wielomianów ortogonalnych dzielą pewne wspólne cechy: 1) definicja za pomocą wzoru różniczkowego, jawnej sumy lub funkcji tworzącej; 2) definicja poprzez wzór rekurencyjny lub równanie różniczkowe; 3) relacja ortogonalności dla pewnego przedziału i funkcji wagowej.
Wielomiany Legendre a Definicja 6.1. (wielomiany Legendre a) Wielomian Legendre a stopnia n oznaczamy symbolem P n i dla dowolnej rzeczywistej wartości zmiennej x określamy jego wartość wzorem: n N P n (x) = 1 2 n n! d n dx n (x 2 1) n. Twierdzenie 6.1. Wielomiany Legendre a tworzą układ ortogonalny na przedziale 1, 1 względem normy L 2 z wagą w określoną dla dowolnego x wzorem w(x) = 1: m n (P m, P n ) = 1 1 P m (x)p n (x)dx = 0. Wielomiany Legendre a Fakt 6.1. Dla wielomianów Legendre a prawdziwe są następujące wzory: n N P n (x) = [ n 2] k=0 P 0 (x) = 1, P 1 (x) = x, ( 1) k (2n 2k)! 2 n k!(n k)!(n 2k)! x n 2k, n=1,2,... P n+1 (x) = 2n+1 n+1 xp n(x) n n+1 P n 1(x).
Wielomiany Legendre a Przykład 6.1. (baza wielomianów Legendre a) Niech m = 3. P 0 (x) = 1, P 1 (x) = x, P 2 (x) = 3 2 x 2 1 2, P 3 (x) = 5 2 x 3 3 2 x. Wielomiany Hermite a Definicja 6.2. (wielomiany Hermite a) Wielomian Hermite a stopnia n oznaczamy symbolem H n i dla dowolnej rzeczywistej wartości zmiennej x określamy jego wartość wzorem: n N H n (x) = ( 1) n e x2 d n dx n e x2. Twierdzenie 6.2. Wielomiany Hermite a tworzą układ ortogonalny na przedziale (, ) względem normy L 2 z wagą w określoną dla dowolnego x wzorem w(x) = e x2 : m n (H m, H n ) = e x2 H m (x)h n (x)dx = 0.
Wielomiany Hermite a Fakt 6.2. Dla wielomianów Hermite a prawdziwe są następujące wzory: n N P n (x) = [ n 2] k=0 H 0 (x) = 1, H 1 (x) = 2x, ( 1) k n! k!(n 2k)! (2x)n 2k, n=1,2,... H n+1 (x) = 2xH n (x) 2nH n 1 (x). Wielomiany Hermite a Przykład 6.2. (baza wielomianów Hermite a) Niech m = 3. P 0 (x) = 1, P 1 (x) = 2x, P 2 (x) = 4x 2 2, P 3 (x) = 8x 3 12x.
Uogólnione wielomiany Laguerre a Definicja 6.3. (uogólnione wielomiany Laguerre a) Uogólniony wielomian Laguerre a stopnia n oznaczamy symbolem L α n i dla dowolnej rzeczywistej wartości zmiennej x oraz parametru α > 1 określamy jego wartość wzorem n N L α n (x) = e x x α n! d n dx n (e x x n+α ). Twierdzenie 6.3. Uogólnione wielomiany Laguerrea a tworzą układ ortogonalny na przedziale 0, ) względem normy L 2 z wagą w(x) = e x x α : m n (L α m, L α n ) = 0 e x x α L α m(x)l α n (x)dx = 0. Uogólnione wielomiany Laguerre a Fakt 6.3. Dla uogólnionych wielomianów Laguerre a prawdziwe są następujące wzory: n N L α n (x) = n k=0 Γ(n + α + 1) Γ(k + α + 1) ( x) k k!(n k)!, gdzie dla wszystkich k < n iloraz funkcji Γ możemy zastąpić iloczynem (n + α)(n + α 1)... [n + α (n k 1)], L α 0 (x) = 1, L α 1 (x) = 1 + α x, n=1,2,... L α 1+2n+α x n+1 (x) = n+1 L α n (x) n+α n+1 Lα n 1.
Uogólnione wielomiany Laguerre a Przykład 6.3. (baza uogólnionych wielomianów Laguerre a) Niech m = 3 i α = 1 2. L 1 2 0 (x) = 1, L 1 2 1 (x) = x + 1 2, L 1 2 2 (x) = 1 2 x 2 3 2 x + 3 8, L 1 2 3 (x) = 1 6 x 3 + 5 4 x 2 15 8 x + 5 16. Normalizacja bazy Wyrażenia na funkcje ortonormalne są zazwyczaj istotnie bardziej skomplikowane w stosunku do wyrażeń na funkcje ortogonalne. Fakt 6.4. Niech {ϕ i } i=0,...,m będzie dowolnym układem liniowo niezależnym (ortogonalnym). Niech {f i } i=0,...,m będzie układem zdefiniowanym następująco : i=0,...,m f i = ϕ i ϕ i. Układ {f i } i=0,...,m jest liniowo niezależny i unormowany do 1 (ortonormalny).
Normalizacja bazy Przykład 6.4. (unormowana baza wielomianów Legendre a) Niech m = 3. P 0 (x) = P 1 (x) = 2 2, 6 2 x, P 2 (x) = 3 10 x 2 4 P 3 (x) = 5 14 4 10 4, x 3 3 14 x. 4 Ortogonalizacja Grama-Schmidta Fakt 6.5. Niech ϕ 0,..., ϕ m będzie układem liniowo niezależnym. Tworzymy ortogonalny układ f 0,..., f m poprzez następujące postępowanie iteracyjne: i=0 f 0 = ϕ 0 i=1 f 1 = α 0 f 0 + ϕ 1 (f 1, f 0 ) = 0 i=2 f 2 = α 0 f 0 + α 1 f 1 + ϕ 2 (f 2, f 0 ) = 0 (f 2, f 1 ) = 0 i=3 f 3 = α 0 f 0 + α 1 f 1 + α 2 f 2 + ϕ 3 (f 3, f 0 ) = 0 (f 3, f 1 ) = 0 (f 3, f 2 ) = 0 itd.
Ortogonalizacja Grama-Schmidta Przykład 6.5. (zortogonalizowana baza jednomianów) Jeżeli zastosujemy procedurę ortogonalizacji Grama-Schmidta do bazy ϕ 0 (x) = 1, ϕ 1 (x) = x, ϕ 2 (x) = x 2, nieortogonalnej na przedziale 1, 1 z funkcją wagową w(x) = 1, to otrzymamy następującą ortogonalną bazę: f 0 (x) = 1, f 1 (x) = x, f 2 (x) = x 2 1 3. Ortogonalna relacja rekurencyjna Twierdzenie 6.4. Dla każdego m 0, funkcji wagowej w oraz przedziału a, b istnieje związany z nimi układ ortogonalny wielomianów ϕ 0,..., ϕ m określony jednoznacznie, z dokładnością do dowolnych niezerowych współczynników wiodących A 0,..., A m, następującymi wzorami: ϕ 1 (x) = 0, ϕ 0 (x) = A 0, n=0,...,m 1 α n = A n+1 A n, n=0,...,m 1 β n = (xϕ n,ϕ n ) ϕ n 2, n=0,...,m 1 γ n = α n ϕ n 2 α n 1 ϕ n 1 2, n=0,...,m 1 ϕ n+1 (x) = α n (x β n )ϕ n (x) γ n ϕ n 1 (x).
Ortogonalna relacja rekurencyjna Przykład 6.6. (ortogonalna baza wielomianów) Niech m = 2, a, b = 0, 1, w(x) = 1 i A 0 = A 1 = A 2 = 5. Na mocy twierdzenia 6.4 otrzymujemy następującą ortogonalną bazę wielomianów: ϕ 0 (x) = 5, ϕ 1 (x) = 5x 5 2, ϕ 2 (x) = 5x 2 5x + 5 6. Transformacje przedziałów Definicja 6.4. (transformacje przedziałów) Niech x a, b i niech t 1, 1. Mamy następującą parę bijekcji tr : a, b 1, 1 i tr 1 : 1, 1 a, b zdefiniowaną poniższymi wzorami: x a,b tr (x) = t 1,1 tr 1 (t) = 2x (a + b), b a (b a) t + (a + b). 2
Transformacje przedziałów Uwaga. 1) Funkcje tr i tr 1 mają następujące własności: x a, b tr (x) 1, 1, t 1, 1 tr 1 (t) a, b. 2) Wprowadzenie oznaczeń x = tr 1 (t) i t = tr (x) pozwala nam przejść w zagadnieniu aproksymacji od dowolnego przedziału a, b do przedziału ortogonalności wielomianów Legendre a. Niech będzie dana funkcja f (x) dla x a, b i niech będą dane funkcje bazowe ϕ 0 (t) = P 0 (t),..., ϕ m (t) = P m (t) dla t 1, 1. Chcemy aproksymować funkcję f na przedziale a, b wykorzystując własność ortogonalności wielomianów Legendre a na przedziale 1, 1. W tym celu korzystamy z własności funkcji tr 1 i definiujemy nową funkcję g na przedziale 1, 1 kładąc: f (x) = f ( ) tr 1 (t) = g (t). Funkcję g możemy już aproksymować ortogonalnymi wielomianami Legendre a, bo g jest określone na właściwym dla nich przedziale ortogonalności.
Mamy teraz standardowe wzory aproksymacji średniokwadratowej dla przypadku ortogonalnego (z uwzględnieniem, że iloczyny skalarne są liczone dla funkcji wagowej i przedziału ortogonalności właściwych dla wielomianów Legendre a): c k = (g, P k), k = 0,..., m, (P k, P k ) m G (t) = c j P j (t). j=0 Wykorzystujemy teraz własności funkcji tr i otrzymujemy wzór na funkcję F określoną na przedziale a, b : G (t) = m c j P j (t) = j=0 m c j P j (tr (x)) = F (x). j=0 Uzyskana w ten sposób funkcja F jest szukaną przez nas aproksymacją funkcji f na przedziale a, b i została ona wyznaczona z wykorzystaniem ortogonalności wielomianów Legendre a na przedziale 1, 1.