Analiza funkcjonalna w zastosowaniach praktycznych

Transkrypt

1 Analiza funkcjonalna w zastosowaniach praktycznych Modelowanie stacjonarnych systemów liniowych dr hab. inż. Grzegorz Ciesielski, prof. PŁ, mgr inż. Rafał Wojciechowski, mgr inż. Andrzej Albrecht prof. G. Ciesielski, mgr inż. R. Wojciechowski, mgr inż. A. Albrecht 1

2 Modelowanie systemów Modelowanie systemów- jedno z fundamentalnych narzędzi analityków oraz inżynierów umożliwiającym poznanie cech i zachowań rozpatrywanych systemów Modelowanie jest jednym z najbardziej złożonych zadań inżynierskich uwzględniającym rzeczywiste zachowania układów będące częstokroć skrajnie różne od matematycznych opisów zachowań idealnych prof. G. Ciesielski, mgr inż. R. Wojciechowski, mgr inż. A. Albrecht 2

3 Modelowanie systemu φ Modelowanie systemu φ Zadanie modelowania dowolnego systemu φ- proces mający na celu wyznaczenie matematycznego modelu systemu obejmujący identyfikację strukturalną dającą w wyniku strukturę poszukiwanego systemu identyfikację parametryczną modelu pokazującą, w jaki sposób wyznaczać parametry struktury będącej wynikiem identyfikacji strukturalnej prof. G. Ciesielski, mgr inż. R. Wojciechowski, mgr inż. A. Albrecht 3

4 Zadanie modelowania systemów prof. G. Ciesielski, mgr inż. R. Wojciechowski, mgr inż. A. Albrecht 4

5 Zadanie identyfikacji parametryczej prof. G. Ciesielski, mgr inż. R. Wojciechowski, mgr inż. A. Albrecht 5

6 Wielomiany ortogonalne Laguerre a Wielomiany ortogonalne zajmują szczególne miejsce wśród operatorów wykorzystywanych do celów modelowania systemów w drodze aproksymacji UogólnionewielomianyLaguerre al (α) n (x) są rozwiązaniem uogólnionego równania różniczkowego Laguerre a postaci: n N α R x 2 L (α) n (x) x 2 +(α+1 x) L(α) n (x) x +nl (α) n (x)=0 prof. G. Ciesielski, mgr inż. R. Wojciechowski, mgr inż. A. Albrecht 6

7 Wielomiany Laguerre a L n (x) x prof. G. Ciesielski, mgr inż. R. Wojciechowski, mgr inż. A. Albrecht 7

8 Wykaz wielomianów Laguerre a n L n(x) x+1 ( x 2 4x+2 ) ( x 3 +9x 2 18x+6 ) ( x 4 16x 3 +72x 2 96x+24 ) ( x 5 +25x 4 200x x 2 600x+120 ) ( 6 x 6 36x x x x x+720 ) prof. G. Ciesielski, mgr inż. R. Wojciechowski, mgr inż. A. Albrecht 8

9 Wyliczanie wartości wielomianów Laguerre a Wartość wielomianu Laguerre a stopnia n + 1 w dowolnym punkcie może być wyrażona w postaci relacji rekurencyjnej zależnej od dwóch poprzednich wielomianów Laguerre a stopnianorazn 1: (n+1)l (α) n+1 (x)=(2n+1 x)l(α) n (x) nl (α) n 1 (x) prof. G. Ciesielski, mgr inż. R. Wojciechowski, mgr inż. A. Albrecht 9

10 Wyznaczanie parametrów wielomianów Laguerre a Parametry wielomianu Laguerre a stopnia n możliwe są do wyznaczenia za pomocą relacji rekurencyjnej zależnej od współczynników dwóch poprzednich wielomianów Laguerre a stopnian 1orazn 2: L n [i]= 1 n ((2n 1)L n 1[i]+( n+1)l n 2 [i] L n 1 [i 1]) prof. G. Ciesielski, mgr inż. R. Wojciechowski, mgr inż. A. Albrecht 10

11 Koncepcja schematu Hornera Jeśli dany jest wielomian W(x)=a 0 +a 1 x+a 2 x a n 1 x n 1 +a n x n, to dla obliczenia jego wartości dla zadanego x bezpośrednio z podanego wzoru należy wykonać (n 1)+n=n(n+1)/2mnożeń, ndodawań prof. G. Ciesielski, mgr inż. R. Wojciechowski, mgr inż. A. Albrecht 11

12 Koncepcja schematu Hornera Przekształcenie poprzedniej reprezenetacji wielomianu W(x) do równoważnej postaci W(x)=a 0 +x(a 1 +x(a x(a n 1 +xa n )...)) pokazuje, że wystarczy jedynie nmnożeń, ndodawań prof. G. Ciesielski, mgr inż. R. Wojciechowski, mgr inż. A. Albrecht 12

13 Schemat Hornera, przykład Dany jest wielomian: W(x)=2x4 5x2+4x+1. Należypoliczyćjegowartośćwpunkciex= 3 2. Przekształceniepostaciwielomianuzgodniezeschematem Hornera W(x)=2x 4 5x 2 +4x+1=x(x(x(x 2+0) 5)+4)+1 Obliczeniewartościwielomianuwpunkciex= 3 2 ( ) 3 W = 3 ( ( ( ) ) ) = 47 8 prof. G. Ciesielski, mgr inż. R. Wojciechowski, mgr inż. A. Albrecht 13

14 Algorytm Hornera, cz. 1 Dla wielomianu W(x) przekształconego zgodnie ze schematem Hornera, definiujemy: b n :=a n b n 1 := a n 1 +b n x... b 0 := a 0 +b 1 x prof. G. Ciesielski, mgr inż. R. Wojciechowski, mgr inż. A. Albrecht 14

15 Algorytm Hornera, cz. 2 Popodstawieniudob n dowielomianuw(x),otrzymujemy: W(x) = a 0 +x(a 1 +x(a x(a n 1 +b n x))) W(x) = a 0 +x(a 1 +x(a x(b n 1 )))... W(x) = a 0 +x(b 1 ) W(x) = b 0 prof. G. Ciesielski, mgr inż. R. Wojciechowski, mgr inż. A. Albrecht 15

16 Ćwiczenia 1. Należy napisać funkcję realizującą algorytm Hornera w środowisku Matlab. 2. Należy napisać funkcję wyznaczającą współczynniki wielomianu Laguerre a stopnia n w środowisku Matlab. prof. G. Ciesielski, mgr inż. R. Wojciechowski, mgr inż. A. Albrecht 16