Symulacyjne metody wyceny opcji amerykańskich

Transkrypt

1 Metody wyceny Piotr Małecki promotor: dr hab. Rafał Weron Instytut Matematyki i Informatyki Politechniki Wrocławskiej Wrocław, 0 lipca 009

2 Metody wyceny Drzewko S 0 S t S t S 3 t S t St St 3 S t St St 3 S 3 t St 3 St 33 Wykładniczy wzrost kosztów obliczeniowych wraz ze wzrostem liczby punktów, w których można wykonać opcję. Dwa asymptotycznie nieobciążone estymatory ceny opcji: górny i dolny. Konstrukcja 90% przedziału ufności dla wartości opcji. Prosta kontrola błędu obliczeniowego poprzez zwiększenie liczby węzłów wychodzących z danego wierzchołka.

3 Średnia Metody wyceny

4 Metody wyceny Odchylenie standardowe średniej

5 90% przedział ufności Metody wyceny

6 Macierz stochastyczna Metody wyceny S 0 St W, S W, t W, S W W,3 W t 3,,3 W, W S, t W, St W, S t 3 W,3 W,3 W,3 W,3 W,3 S W,3 St 3 W,3 3 W,3 t St 3 3

7 Metody wyceny Konieczność przechowywania w pamięci wszystkich trajektorii. Trzy estymatory ceny akcji: górny, dolny i złożony. Wprowadzenie rekurencyjnej definicji dolnego i złożonego estymatora. Wyprowadzenie wzorów na funkcje wagowe oparte na gęstościach procesu ceny akcji. Konstrukcja 90% przedziału ufności dla ceny opcji. Zwężanie się przedziału ufności wraz ze wzrostem liczby generowanych trajektorii.

8 Metody wyceny Założenie,że funkcja opisująca zdyskontowane przyszłe zyski jest elementem przestrzeni L. Aproksymacja współczynników przy funkcjach bazowych za pomocą metody najmniejszych kwadratów dla trajektorii będących w cenie. Wykorzystanie jako funkcji bazowych ważonych wielomianów Legendre a, Lagueere a, Czebyszewa i Hermite a. Użycie przy aproksymacji standardowych wielomianów, x, x,..., z odpowiednimi wagami. Wprowadzenie rekurencyjnej definicji algorytmu.

9 Metody wyceny Porównanie wielomianów

10 Metody wyceny Porównanie wielomianów

11 Porównanie cen opcji Metody wyceny Porównanie metod Czasy symulacji Estymatory, złożony oraz obliczony metodą drzewek dwumianowych, poza nielicznymi przypadkami, zawierają się w 90% przedziałach ufności otrzymanych metodami i dla odpowiednio dużej liczby trajektorii oraz liczby węzłów drzewka. Ponadto różnice w otrzymanej cenie opcji dla wyżej wymieniowych estymatorów są niewielkie. Wraz ze wzrostem liczby trajektorii i wierzchołków drzewka błąd standardowy średniej maleje. Błąd standardowy średniej złożonego estymatora jest minimalnie mniejszy niż estymatorów. Ceny opcji europejskich są zazwyczaj mniejsze niż analogicznych amerykańskich.

12 Czasy symulacji Metody wyceny Porównanie metod Czasy symulacji n RT b = 0 b = 50 b = s 0 s 34 s s 3 min 3 s 55 min 5 min 56 s h 53 min > 60h n m=000 m=5000 m=0000 MG MG MG 3. s 0 s s 0 s min 5 s 0.0 s 0 0 s 0 s 3 min 8 s 0.03 s 3 min 35 s 0.5 s 00 5 s 0.09 s 8 min 3 s 0. s h 4 min 0.3 s

13 Metody wyceny

14 Metody wyceny Dziękuję za uwagę!