4.2. Automat skończony

Podobne dokumenty
4.5 Deterministyczne i zupełne automaty Moore a i Mealy ego

ZADANIA AUTOMATY I JĘZYKI FORMALNE AUTOMATY SKOŃCZONE

Matematyczne Podstawy Informatyki

JĘZYKI FORMALNE I AUTOMATY SKOŃCZONE

4.3. Przekształcenia automatów skończonych

Języki, automaty i obliczenia

1 Wprowadzenie do automatów

4.6. Gramatyki regularne

Przekształcenia automatów skończonych

bezkontekstowa generujac X 010 0X0.

Lista 4 Deterministyczne i niedeterministyczne automaty

Gramatyki regularne. Teoria automatów i języków formalnych. Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

Podstawy układów logicznych

Algebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna

Przechadzka Bajtusia - omówienie zadania

Zbiory wyznaczone przez funkcje zdaniowe

Programy współbieżne

Kodowanie liczb. Kodowanie stałopozycyjne liczb całkowitych. Niech liczba całkowita a ma w systemie dwójkowym postać: Kod prosty

4. RACHUNEK WEKTOROWY

INSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane?

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:

R O Z D Z I A Ł I I I

SZTUCZNA INTELIGENCJA

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

Całki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju

Wykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

Częściowo przemienne grafy bezkontekstowe

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI

PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski

PEWNIK DEDEKINDA i jego najprostsze konsekwencje

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych

Wyrównanie sieci niwelacyjnej

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

1. Wstęp. Pojęcie grafu przepływowego. Niech pewien system liniowy będzie opisany układem liniowych równań algebraicznych

Weryfikacja modelowa jest analizą statyczną logiki modalnej

STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

a a a b M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I

Pierwiastek z liczby zespolonej

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 15. CAŁKI OZNACZONE. Egzaminy I termin poniedziałek :00 Aula B sala 12B Wydział Informatyki

Minimalizacja automatu

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

Gramatyki regularne i bezkontekstowe. Spis treści. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu.

Część 2 7. METODA MIESZANA 1 7. METODA MIESZANA

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

Piotr Stefaniak. Materiały uzupełniające do wykładu Matematyka

RBD Relacyjne Bazy Danych

PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b,

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,

Analiza Matematyczna (część II)

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 2 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

ezyki Automaty i Obliczenia (nieformalne notatki)

ezyki Automaty i Obliczenia (nieformalne notatki)

Od lewej: piramida Chefrena, Wielki Sfinks, piramida Cheopsa.

Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)

Laura Opalska. Klasa 1. Gimnazjum nr 1 z Oddziałami Integracyjnym i Sportowymi im. Bł. Salomei w Skale

Wprowadzenie: Do czego służą wektory?

Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa

Badanie regularności w słowach

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

Automat ze stosem. Języki formalne i automaty. Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki

Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte

Wymagania kl. 2. Uczeń:

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy

Metoda sił jest sposobem rozwiązywania układów statycznie niewyznaczalnych, czyli układów o nadliczbowych więzach (zewnętrznych i wewnętrznych).

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Wprowadzenie do Sieci Neuronowych Łańcuchy Markowa

Niewymierność i przestępność Materiały do warsztatów na WWW6

MATEMATYKA Wykład 4 (Funkcje) przyporządkowany został dokładnie jeden element

Wykład z matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 1. Literatura PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH

1 Definicja całki oznaczonej

Wprowadzenie do Sieci Neuronowych Łańcuchy Markowa

Hipoteza Černego, czyli jak zaciekawić ucznia teorią grafów

Matematyka stosowana i metody numeryczne

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI

RACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Scenariusz lekcji matematyki w kl. VI.

1 Ułamki zwykłe i dziesiętne

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

1.5. Iloczyn wektorowy. Definicja oraz k. Niech i

Wykład 3: Transformata Fouriera

Legenda. Optymalizacja wielopoziomowa Inne typy bramek logicznych System funkcjonalnie pełny

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Transkrypt:

4.2. Automt skończony Przykłd: Rozwżmy język nd lfetem inrnym T = {0, } skłdjący się z łńcuchów zero-jedynkowych o tej włsności, że licz zer w kżdym łńcuchu jest przyst i licz jedynek w kżdym łńcuchu też jest przyst. Wszystkie łńcuchy inrne możemy podzielić n cztery grupy: S łńcuchy z przystą liczą jedynek i przystą liczą zer, A łńcuchy z przystą liczą jedynek i nieprzystą liczą zer, B łńcuchy z nieprzystą liczą jedynek i przystą liczą zer, C łńcuchy z nieprzystą liczą jedynek i nieprzystą liczą zer. Anlizujemy łńcuch zero-jedynkowy symol po symolu od lewej strony. Przed rozpoczęciem nlizy jesteśmy w grupie S (łńcuch pusty zwier zero jedynek i tyleż zer, więc licz jedynek i licz zer w tym łńcuchu są przyste). Jeśli pierwszym symolem jest jedynk przechodzimy do grupy A (wtedy licz jedynek jest nieprzyst, licz zer jest dlej przyst), zś jeśli pierwszym symolem jest zero przechodzimy do grupy B (wtedy licz zer jest nieprzyst, licz jedynek jest dlej przyst). Zpisujemy to w postci produkcji: S A 0B Dlej nlizujemy podonie kolejne symole łńcuch. Np. jeśli jesteśmy w grupie A i przeczytmy zero przechodzimy do grupy C, w której zrówno licz jedynek, jk i zer są nieprzyste (odpowiedni zpis: A 0C). Proces nlizy łńcuch możn zilustrowć w postci poniższego grfu: S prz. 0 prz. A nieprz. 0 prz. 0 0 0 0 B prz. 0 nieprz. C nieprz. 0 nieprz. Wreszcie, gdy przeczytliśmy cły łńcuch, sprwdzmy, czy ztrzymliśmy się w grupie S. Jeśli tk dny łńcuch spełni nłożony nń wrunek przystej liczy jedynek i przystej liczy zer.

Wówczs nleży wyeliminowć z wyprowdzeni symol S (odpowiedni zpis: S ε). Osttecznie grmtyk nszego język m postć: S A 0B ε A S 0C B C 0S C B 0A Opisn procedur i zmieszczony powyżej rysunek ilustrują włściwie nie tyle proces konstruowni grmtyki dl pewnego język, co proces odpowidni n pytnie: czy dny łńcuch jest słowem nleżącym do dnego język. Jest to pewien (w nszym przypdku deterministyczny) lgorytm postępowni, polegjący n czytniu dnego łńcuch symol po symolu i przechodzeni od jednego stnu do drugiego. Stny reprezentowne są przez kółk (węzły grfu), zś przejści pomiędzy stnmi, to skierowne krwędzie, opisne (etykietowne) odpowiednimi symolmi lfetu, z którego pochodzą symole łńcuch. Jeden ze stnów jest wyróżniony jko stn początkowy (n rysunku jest to stn oznczony krótką strzłką dochodząc do niego z zewnątrz). Od tego stnu zwsze rozpoczynmy wędrówkę po grfie. Niektóre stny są trktowne jko stny końcowe kceptujące (są one zznczone kółkmi rysownymi podwójną linią). Jeśli w trkcie nszej wędrówki po grfie ztrzymmy się w tkim stnie, to kceptujemy dny łńcuch, jeśli ztrzymmy się w stnie nie ędącym stnem końcowym nie kceptujemy nlizownego łńcuch. Ztrzymnie się w nszym przypdku może yć tylko spowodowne przeczytniem dnego słow do końc i stwierdzeniem, że już nic nie pozostło do przeczytni. Opisny powyżej lgorytm nosi nzwę utomtu skończonego ( dokłdnie deterministycznego i zupełnego utomtu skończonego). Okzuje się, że językmi, które mogą yć kceptowne przez tego typu utomty są języki regulrne (ziory regulrne) i tylko one. Pewnym potwierdzeniem tej reguły jest fkt, że otrzymn w nszym przykłdzie grmtyk jest grmtyką prwostronnie liniową. Skąd pochodzi nzw utomt? Możemy soie wyorzić, że nsz lgorytm to pseudourządzenie dysponujące tśmą wejściową, n której zpisny jest dny łńcuch i nd którą może poruszć się głowic odczytując pojedyncze symole. Głowic m tylko możliwość ruchu w prwo, tzn. od początku łńcuch ku jego końcowi. Kżdorzowo głowic przesuw się tylko o jeden symol. W kżdym kroku głowic widzi tylko jeden symol n tśmie. W kżdym momencie utomt chrkteryzowny jest przez ktulny stn (licz możliwych stnów jest skończon). Automt posid swoje sterownie (jest ono zdefiniowne przez tzw. funkcję przejść utomtu), które n podstwie ktulnego stnu i symolu czytnego przez głowicę, określ nstępny stn w nstępnym kroku. Początkowo głowic ustwion jest n pierwszym symolu dnego łńcuch, zś utomt znjduje się w stnie początkowym. Kżdy krok prcy utomtu to: odczytnie przez głowicę symolu z tśmy wejściowej, określenie nowego stnu i przesunięcie głowicy o jedną pozycję w prwo n tśmie wejściowej. Kroki są powtrzne tk długo, jk długo możn. Automt ztrzym się, gdy np. przeczytł wejście do końc lu z innych powodów nie jest w stnie wykonć żdnego kroku. Ztrzymnie się utomtu w stnie nleżącym do grupy stnów końcowych ozncz kceptcję czytnego łńcuch i stwierdzenie, że łńcuch zpisny n tśmie wejściowej jest słowem nleżącym do język kceptownego przez utomt. Ztrzymnie się nszego utomtu (w jego wersji deterministycznej i zupełnej) w stnie nie ędącym stnem końcowym ozncz rk kceptcji dnego łńcuch.

Formln definicj utomtu skończonego Automtem skończonym nzywmy piątkę A = < T, Q, F, q o, δ >, gdzie: T ziór symoli terminlnych (lfet wejściowy) Q ziór stnów, #Q < F Q ziór stnów końcowych q o Q stn początkowy δ funkcj przejści δ: Q ( T {ε})! 2 Q konfigurcj (q i,) q i przed wykonniem kroku konfigurcj (q j,) q i po wykonniu kroku Konfigurcj utomtu to dwójk: (q, w), gdzie q jest ktulnym stnem, zś w jest nieprzeczytną przez utomt częścią słow zpisnego n tśmie wejściowej W T* q Q Konfigurcj początkow : q 0 Konfigurcj końcow ( kceptując ): q F stn końcowy

Wyprowdzenie ezpośrednie: ( q, x ) " A ( q, x ) gdzie: q,q Q, ( T {ε}), x T*, q δ(q,) Wyprowdzeni pośrednie " + * A i " A są odpowiednio przechodnim orz przechodnim i zwrotnym domknięciem relcji wyprowdzeni ezpośredniego " A : (q,w) " + A (q,w ) p o,...,p n (p i konfigurcje), tkie że: q o =(q,w), q n = (q, w ), p i " A p i+ dl i=0,,...,n- (q,w) " * A (q, w ) (q,w) " + A (q,w ) (q,w) = (q, w ) Konfigurcj lokując : (q,w) jest lokując! ( (q,w )) ((q,w) " A (q,w )) x T* jest słowem kceptownym przez utomt A (skończony) ( q F) ((q o,x) " A * (q,ε)) Język L jest kceptowny przez utomt A ( co oznczmy L(A) ) L = L(A) = { x T* x jest kceptowne przez A } Przykłd : Język regulrny opisny wyrżeniem regulrnym ( )* T={,} Q={q 0, q,q 2,q 3 ) F={q 3 } Q 0 stn początkowy δ - funkcj przejści: Stn q 0 { q 0, q } {q 0 } q {q 2 } q 2 {q 3 } strt q 0 q q 2 q 3 Anlizowne słowo : L( ( )* ) Możliwe wyprowdzeni:

( q 0, ) " ( q 0,) " ( q, ) " ( q 2, ) " ( q 3, ε) konfigurcj końcow kceptując) ( q 0, ) " ( q 0,) " ( q 0, ) " ( q 0, ) " ( q 0, ε) konfigurcj lokując o q 0 F ( q 0, ) " ( q,) konfigurcj lokując, słowo nie zostło przeczytne do końc Automt nie jest deterministyczny. Jednk istnieje wyprowdzenie (ciąg kroków), które doprowdz do konfigurcji kceptującej, więc zgodnie z definicją utomt kceptuje to słowo. Włsności utomtu skończonego Automt skończony A jest zupełny ( T) ( q Q) (#δ(q,) Automt skończony A jest deterministyczny (i) ( q Q) (#δ(q,ε) = 0) orz (ii) ( T) ( q Q) (#δ(q,) ) Automt skończony A jest deterministyczny i zupełny (i) ( q Q) (#δ(q,ε) = 0) orz (ii) ( T) ( q Q) (#δ(q,) = ) Automt skończony zupełny nzywmy utomtem Rin-Scott. Automt skończony, deterministyczny i zupełny nzywmy deterministycznym utomtem Rin-Scott Przykłd: Deterministyczny zupełny utomt kceptujący język opisny wyrżeniem regulrnym ( )* T = {, } Q = { 0,, 2, 3, } F = { 3 } q 0 = 0 δ - funkcj przejści: Stn 0 0 strt 0 2 2 3 3 0 Przypomnienie poprzedniego przykłdu : utomt niederministyczny i niezupełny 2 3 0 2 3