Częściowo przemienne grafy bezkontekstowe

Transkrypt

1 Częściowo przemienne grfy ezkontekstowe Wojciech Czerwiński utorefert rozprwy doktorskiej Temtem rozprwy jest kls częściowo przemiennych grfów ezkontekstowych. Jest to model oliczeń odzwierciedljący zrówno rekurencyjne jk i współieżne zchowni progrmów. W dziedzinie utomtycznej weryfikcji i nlizy progrmów istnieje zpotrzeownie n systemy, które potrfią modelowć różne spekty progrmów przy okzji posidją dore włsności lgorytmiczne. Wydje się, że jesteśmy wciąż n początku drogi ku efektywnej utomtycznej weryfikcji, nie mniej jednk niektóre techniki stosowne są już w przemyśle. Rezultty przestwione w tej prcy są podzielone n dwie główne części. Pierwsz z nich skupi się n wyrżlności dnego modelu, drug przestwi metody jego nlizy. Część lgorytmiczn dotyczy głównie prolemów osiąglności orz sprwdzni równowżności. Grfy ezkontekstowe. Jednym z powszechnie znnych formlizmów w teorii języków i utomtów są grmtyki ezkontekstowe. Njwygodniejsze z punktu widzeni weryfikcji i nlizy systemów są grmtyki w postci Greich. Grmtyk w postci Greich skłd się z nieterminli, liter lfetu orz produkcji postci: X X 1... X k, (1) gdzie X, X 1,..., X k są nieterminlmi, zś jest literą lfetu. Dozwolone są produkcje postci X ε. Dl grmtyki ezkontekstowej możemy w sposó nturlny zdefiniowć grf konfigurcji. Jest to grf etykietowny 1, którego wierzchołkmi są wszystkie konfigurcje (czyli w tym wypdku słow złożone z nieterminli) krwędzie odpowidją produkcjom. Tki grf nzywmy grfem ezkontekstowym, klsę grfów grfmi ezkontekstowymi. Przykłd 1 Jko ilustrcję rozwżmy nstępującą grmtykę ezkontekstową w postci Greich z dwom nieterminlmi: i B, trzem litermi:, i s 1 W rzeczywistości jest multigrf, gdyż może istnieć wiele krwędzi, etykietownych różnymi litermi, pomiędzy prą tych smych wierzchołków. Nie mniej jednk w tym tekście używmy terminu grf. 1

2 orz trzem produkcjmi Przykłdowy wywód słow 2 s 2 to B s ε B ε. B BB s BB B ε, język generowny przez tę grmtykę dl nieterminl początkowego to ziór słów postci n s n dl n 0. Grf konfigurcji jest nstępujący: B BB... s s s ε B BB... Grfy ezkontekstowe są uwżne z podstwowy model rekursji w progrmch. Produkcj X Y Z jest interpretown jko wywołnie rekurencyjne procesu potomnego w stnie Y z procesu w stnie X. Po zkończeniu procesu potomnego proces pierwotny rozpocznie dlsze oliczenie w stnie Z. Produkcj t może yć zoserwown z zewnątrz systemu jko zdrzenie typu. Przemienne grfy ezkontekstowe. Modelem rdzo podonym do grmtyk ezkontekstowych są mniej znne przemienne grmtyki ezkontekstowe. One tkże skłdją się z nieterminli, liter orz produkcji postci (1). Różnicą jest interpretcj produkcji: pomijmy ogrniczenie dotyczące lewostronności wywodu. Intuicyjnie porządek nieterminli w produkcji jest tu nieistotny, tk jky yły one zupełnie przemienne. Języki definiowlne przez tkie grmtyki nzywmy przemiennymi językmi ezkontekstowymi. W tym wypdku konfigurcją jest multiziór nieterminli zmist słow złożonego z nieterminli, gdyż kolejność nie gr roli. Dltego wierzchołki grfu konfigurcji to multiziory nieterminli, krwędzie jk poprzednio odpowidją produkcjom. Tk określony ziór grfów nzywmy przemiennymi grfmi ezkontekstowymi. Przemienne grfy ezkontekstowe służą jko podstwowy model współieżności. Produkcj X Y Z jest interpretown jko instrukcj wywołn przez proces w stnie X. kutkuje on przejściem do stnu Y orz powołniem procesu potomnego rozpoczynjącego oliczenie w stnie Z. Poz systemem widoczne jest tylko, że nstąpiło zdrzenie typu Ogólniejsze klsy grfów. Opisne powyżej grfy ezkontekstowe (dlej zwne sekwencyjnymi) orz przemienne grfy ezkontekstowe są szczególnymi przypdkmi klsy systemów zwnych PR (Process Rewrite ystems) zproponownej przez R. Myr w 1997 roku [14]. Przedstwił on w jednolity sposó 2

3 szereg znnych kls systemów nieskończenie stnowych, między innymi: sekwencyjne i przemienne grfy ezkontekstowe, grfy utomtów ze stosem, sieci Petriego itd. Jedną z podkls PR są grfy PA, rdzo nturlne uogólnienie zrówno sekwencyjnych jk i przemiennych grfów ezkontekstowych. Grmtyk PA skłd się ze skończonych ziorów nieterminli, liter i produkcji postci X t, gdzie t jest termem zwierjącym nieterminle w liścich (jko symoli zerorgumentowych) orz dwie opercje dwurgumentowe: złożeni sekwencyjnego ; i złożeni równoległego. Konfigurcjmi w tym systemie są termy. Złożenie sekwencyjne t 1 ; t 2 interpretowne jest jko wykonnie njpierw opercji dotyczących termu t 1, potem termu t 2, złożenie równoległe t 1 t 2 jko równoczesne przetwrznie ou termów. Wierzchołki termu, które w dnym momencie możn przetwrzć to te liście, których żden przodek nie jest drugim rgumentem złożeni sekwencyjnego. Innymi słowy intuicyjnie nie istnieje opercj, któr koniecznie musi yć wykonn wcześniej. Aplikcj produkcji do tkiego liści poleg n zstąpieniu liści prwą stroną produkcji. Grf konfigurcji określmy nlogicznie jk w poprzednich rozdziłch, wierzchołki to termy, krwędzie odpowidją produkcjom. Grfy PA odzwierciedlją zrówno mechnizmy rekurencyjne jk i współieżne, w związku z czym dorze ndją się jko model do tkich oliczeń. Prolemem są jednk ich włsności lgorytmiczne. Wiele pytń m w tym wypdku złożoność oliczeniową wyższą niż dl sekwencyjnych lu przemiennych grfów ezkontekstowych. Między innymi ten fkt motywuje poszukiwnie innej nturlnej wspólnej ndklsy ou kls grfów ezkontekstowych. Częściowo przemienne grfy ezkontekstowe. Jk wspominliśmy powyżej produkcje zrówno w sekwencyjnych jk i przemiennych grfch ezkontekstowych mją tę smą postć (1): X X 1... X k, le inną interpretcję. W pierwszy przypdku nieterminle nie mogę się w ogóle zmienić miejscmi, w drugim wszystkie nieterminle mogą się zmienić miejscmi (więc istotny jest tylko multiziór nieterminli). T oserwcj pozwl n ogólniejszą definicję pozwljącą niektórym prom nieterminli zmienić się ze soą, innym nie. Pomysł ten jest zczerpnięty z teorii śldów [15, 16, 7], któr d włsności języków słów w sytucji, gdy pozwolimy niektórym literom (terminlom) zmienić się ze soą. Wrto jednk podkreślić, że te dw podejści różnią się między soą: teori śldów d częściową przemienność n poziomie liter, prezentowny pomysł d ją n poziomie nieterminli. Częściowo przemienn grmtyk ezkontekstow skłd się ze skończonego zioru nieterminli V, skończonego zioru liter lfetu Σ, skończenie wielu produkcji postci (1) orz dodtkowo symetrycznej, przeciwzwrotnej relcji 3

4 niezleżności I V V. Powiemy, że dw nieterminle X i Y są niezleżne gdy (X, Y ) I. Dl ułtwieni definiujemy tkże relcję zleżności D V V jko D = (V V ) \ I i mówimy, że X i Y są zleżne gdy (X, Y ) D. Relcj D jest ztem symetryczn i zwrotn. Dw słow złożone z nieterminli nzwiemy równowżnymi gdy jedno może yć przeksztłcone n drugie poprzez ciąg opercji zmin pr sąsiednich, niezleżnych nieterminli. Innymi słowy relcj t, I, jest zdefiniown jko njmniejsz relcj równowżności zwierjąc pry (α X Y β, α Y X β) dl wszystkich pr nieterminli (X, Y ) I orz słów α, β V. Konfigurcją w tym systemie jk kls strkcji relcji I. Zuwżmy, że t definicj odpowid słowu dl sekwencyjnych grfów ezkontekstowych i multiziorowi dl przemiennych grfów ezkontekstowych. Nturlną reprezentcją konfigurcji jest porządek częściowy, w którym nieterminl X jest większy od nieterminl Y gdy w kżdym słowie z rozwżnej klsy strkcji ten konkretny X jest wcześniej w słowie niż ten konkretny Y. Ay tk się zdrzyło lo nieterminle X i Y muszą yć zleżne lo musi istnieć sekwencj nieterminli Z 1,..., Z k tk, że X jest zleżny z Z 1, Z i jest zleżny z Z i+1 dl i {1,..., k 1} orz Z k jest zleżny z Y. Przykłd 2 Dl zilustrowni powyższego pojęci rozwżmy słowo w = CABACDE orz relcję D zwierjącą pry (A, B), (B, C), (C, D), (D, E) i symetryczne orz pry identycznościowe. Wówczs grficzn ilustrcj konfigurcji [w] I wygląd nstępująco C C B E A A D Rysunek 1: Konfigurcj [w] I dl w = CABACDE Grf konfigurcji jest zdefiniowny nturlnie. Wierzchołki to konfigurcje, krwędzie są postci [X α] I [γ α] I dl pewnej produkcji X γ nleżącej do zioru. Odpowidjące języki nzywmy częściowo przemiennymi językmi ezkontekstowymi, grfy częściowo przemiennymi grfmi ezkontekstowymi. Przechodni relcj zleżności. Zkłdjąc przechodniość relcji zleżności otrzymujemy model, który wydje się mieć ciekwsze nwet włsności niż 4

5 poprzedni. Zuwżmy owiem, że dl częściowo przemiennych grfów ezkontekstowych relcj zleżności zwsze jest zwrotn i symetryczn, więc przy powyższym złożeniu stje się on relcją równowżności. Klsę strkcji tej relcji nzwiemy wątkiem. Kżdy nieterminl jest wówczs zleżny z nieterminlmi z tego smego wątku, niezleżny zś od nieterminli z innych wątków. Zuwżmy, że w tej sytucji digrm z Rysunku 2 stje się ziorem niezleżnych liniowych porządków. Konfigurcj jest ztem krotką słów, po jednym słowie dl kżdego wątku. Powyższą klsę n potrzey tego utorefertu ędziemy nzywć w skrócie przechodnimi grfmi (lu językmi) ezkontekstowymi. Przykłd 3 Dl ilustrcji rozwżmy nstępującą grmtykę P P ā ε P c B B C C c ε ε z początkowym nieterminlem orz wątkmi {, P }, {B} nd {C}. Przykłdowym wywodem dl słow ācc jest P P P ā P P CP P C CC c C c ε, gdzie dl uproszczeni zmist kls strkcji wypisujemy ich reprezentntów, konkretne słow. Zuwżmy, że kżdy wywód m prefiks postci... P n ā P n orz z P n może yć wyprowdzony dowolny przeplot słów n i c n. Ztem język dl powyższej grmtyki to n ā ( n c n ), n0 gdzie przez u w oznczmy ziór przeplotów słów u i w. Przechodnie grfy ezkontekstowe są równowżne rdzo nturlnemu modelowi utomtu. Bezstnowy utomt wielostosowy jest rdzo podony do zwykłego utomtu ze stosem, z tą tylko różnicą, że m wiele stosów i tylko jeden stn. Poniewż od stnu nic nie zleży, to ignorujemy go w dlszych rozwżnich. Automt w pojedynczym kroku czyt jedną literę z wejści i wyier niedeterministycznie pewną produkcję. W wyniku produkcji pewien symol stosowy jest zdejmowny kilk innych (yć może z różnych stosów) jest wkłdne n odpowiednie stosy. Odpowiedniość między przechodnimi grfmi ezkontekstowymi ezstnowymi utomtmi wielostosowymi jest nturln. W utomcie stosy odpowidją wątkom symole stosowe nieterminlom. 5

6 Rezultty Rozprw doktorsk skupi się n dniu włsności częściowo przemiennych grfów ezkontekstowych orz ich wżnej podklsy przechodnich grfów ezkontekstowych. Wyniki przedstwione w prcy podzielone są n trzy części. Pierwsz część porównuje wyrżlność opisywnych dwóch kls orz innych modeli posidjących zrówno współieżne jk i sekwencyjne włsności. Drug część dotyczy prolemu osiąglności. Osttni d rozstrzyglność prolemu równowżności dwóch konfigurcji w częściowo przemiennych grfie ezkontekstowym. Wyrżlność. Ay pokzć, że pewn kls struktur K 1 m wyrżlność nie mniejszą niż drug kls struktur K 2 stndrdowo szuk się struktury w K 1 tkiej, któr nie m soie równowżnej w K 2. W zleżności od tego jką dmy równowżność możemy otrzymć różne odpowiedzi. W przypdku grfów etykietownych nturlnym wyorem może yć dorze znn równowżność językow, le tkże inne rodzje równowżności semntycznych. Jedną z njwżnych jest równowżność isymulcyjn [17, 18], któr jko relcj jest zwrt w równowżności językowej. Bdnych yło również wiele innych, zwrtych pomiędzy równowżnością językową isymulcyjną, znnych pod wspólną nzwą spektrum vn Gleek [8]. W prcy doktorskiej opisne jest porównnie wyrżlności częściowo przemiennych grfów ezkontekstowych, ich podklsy przechodnich grfów ezkontekstowych i innych, znnych wcześniej modeli łączących sekwencyjność ze współieżnością. Większość kls okzuje się yć nieporównywlnymi, tkie rezultty są njmocniejsze w wypdku njwiększych relcji. Między innymi dltego podczs dni wyrżlności dn jest wyrżlność językow opisnych kls. Rozprw pokzuje, że dne klsy grfów ezkontekstowych są nieporównywlne z klsą języków grfów PA orz z klsą języków ezkontekstowych domkniętych ze względu n relcję przemienności n literch. Formlnie, osttni kls zwier wszystkie języki postci: {w : u L w I u}, gdzie L jest pewnym językiem ezkontekstowym nd lfetem Σ, I Σ Σ symetryczną relcją niezleżności, I njmniejszą relcją równowżności zwierjącą wszystkie pry słów (u w, u w) dl u, w Σ, (, ) I. Wyniki dotyczące wyrżlności są njtrudniejszą technicznie częścią opisywnego rozdziłu. Część z nich udło się uzyskć z pomocą lemtów o pompowniu oprcownych specjlnie dl dnych kls. Inne jednk wydją się wymgć rdziej sutelnej nlizy. W rozdzile dotyczącym wyrżlności rozwżne są tkże inne spekty kls częściowo przemiennych języków ezkontekstowych orz przechodnich języków ezkontekstowych. 6

7 Zdne są włsności domknięci. Oie klsy są zmknięte n opercje sumy i przeplotu. Pierwsz z nich jest też zmknięt n konktencję, orzy homomorficzne orz sustytucję. Drug nie jest zmknięt n konktencję, w przypdku orzów homomorficznych i sustytucji nie znmy odpowiedzi, jednk przypuszczmy, że również nie posid tej włsności. Oie klsy nie posidją włsności zmknięci n odwrotne orzy homomorficzne i przecięci z językmi regulrnymi. Powyższe fkty nie wymgją skomplikownych metod, dosyć stndrdowe techniki dostrczją odpowiedzi. Osttnim wynikiem w tym rozdzile jest oprcownie wspomninych wyżej lemtów o pompowniu. Dl częściowo przemiennych języków ezkontekstowych rzmi on: Lemt 1 Dl dowolnego częściowo przemiennego język ezkontekstowego L istnieje stł N N tk, że jeśli w L, gdzie w > N to istnieją słow x, y, z, s, t tkie, że 1. w x ((s (y t)) z), 2. 1 s y t N orz 3. m 0, x s m y t m z L. Lemt ten przypomin nlogiczny dl ezkontekstowych, jedyną różnicą jest to, że zmist równości w = x s y t z mmy w x ((s (y t)) z), czyli zmist infiksów otrzymujemy specyficznie wyrne podciągi słow w. Powyższy lemt orz lemty dl kls języków regulrnych, ezkontekstowych i przemiennych ezkontekstowych dją się przedstwić w ogólnym jednolitym schemcie. Oecność sekwencyjności w języku powoduje wystąpienie dwóch miejsc pompowni, oecność równoległości zś owocuje wyierniem podciągów zmist infiksów. ytucję ilustruje rysunek cz. przem. j. ezk. j. ezkontekstowe przem. j. ezk. 2 pozycje j. regulrne powtrzny podciąg pompujące 1 pozycj pompując powtrzny infiks Prolem osiąglności. Powyżej wspomnieliśmy, że przechodnie grfy ezkontekstowe posidją nturlny odpowidjący model utomtu, ezstnowy 7

8 utomt wielostosowy. W rozprwie rozwżmy prolem osiąglności dl ogólnych utomtów wielostosowych. W szczególności rozwiązujemy prolem dl przypdku ezstnowego, w którym złożoność oliczeniow jest lepsz niż w ogólności. Automty wielostosowe są zupełne w sensie Turing, co skutkuje nierozstrzyglnością prolemu osiąglności. Okzuje się jednk, że po niewielkich ogrniczenich ich mocy prolem stje się rozstrzyglny, w wielu przypdkch nwet NP-zupełny. Rozwżliśmy dw rodzje ogrniczeń. Pierwsze z nich to unormownie: symol stosowy jest unormowny jeżeli jego język jest niepusty, utomt jest unormowny jeśli kżdy symol stosowy jest unormowny. Drugi rodzj to ogrniczeni n strukturę stnów. Automt jest sły, jeżeli istnieje liniowy porządek n stnch tki, że dl kżdego przejści utomtu q q stn q jest mniejszy lu równy stnowi q w rozwżnym porządku. Innymi słowy nie m nietrywilnych pętli w strukturze stnów. Njprostszym wrintem osiąglności jest pytnie o możliwość osiągnięci konfigurcji końcowej t z konfigurcji początkowej s. My rozwżliśmy prolem w nieco większej ogólności, dl początkowego zioru konfigurcji orz końcowego zioru konfigurcji T. Przy złożeniu, że i T są ziormi regulrnymi wiele prolemów ndl miło dorą złożoność. Okzło się, że dopuszczenie regulrnego zioru początkowego zzwyczj nie pogrsz złożoności w stosunku do pojedynczego stnu początkowego. Dltego przedstwimy wyniki przy złożeniu, że ziór początkowy jest dowolnym ziorem regulrnym. Główne rezultty są skrótowo przedstwione w poniższej teli. Reg singleton Reg Reg ezstnowy sły unormowny NP-zupełność rozstrzyglność nierozstrzyglność nieunormowny NP-zupełność nierozstrzyglność rozstrzyglność nierozstrzyglność Równowżność isymulcyjn. Równowżność isymulcyjn jest jedną z fundmentlnych równowżności semntycznych [17, 18]. Jest njrdziej odróżnijącą spośród wszystkich równowżności w spektrum vn Gleek, równocześnie często jedyną rozstrzyglną (grfy ezkontekstowe [9], przemienne grfy ezkontekstowe [13]). Równowżność isymulcyjn może yć widziln jko t włściw dl systemów niedeterministycznych, tk jk równowżność językow jest włściw dl systemów deterministycznych. Rozwżmy grf o ziorze wierzchołków V i krwędzich etykietownych lfetem Σ. Relcj R V V jest isymulcją jeżeli dl wszystkich pr wierzchołków (p, q) R nstępujące wrunki są spełnione: dl kżdej litery Σ i dl kżdej krwędzi p q q tk, że (p, q ) R p istnieje krwędź 8

9 dl kżdej litery Σ i dl kżdej krwędzi q q istnieje krwędź p p tk, że (p, q ) R um isymulcji jest również isymulcją, więc dl dnego grfu istnieje njwiększ relcj isymulcji, on włśnie nzywn jest równowżnością isymulcyjną i oznczn p q. Był on dn intensywnie dl różnych kls Process Rewrite ystems [19]. Njczęstszym pytniem jest: dny grf G i dw jego wierzchołki p i q; rozstrzygnij, czy p q. Dl unormownych grfów ezkontekstowych orz unormownych przemiennych grfów ezkontekstowych prolem ten jest rozstrzyglny w czsie wielominowym [11, 12]. Dl grfów PA njlepszy znny lgorytm jest podwójnie wykłdniczy [10]. Głównym wynikiem w rozprwie dotyczącym isymulcji jest lgorytm wielominowy rozstrzygjący równowżność isymulcyjną w podklsie przechodnich grfów ezkontekstowych. Klsę tę nzywmy rozłączną, jest on ndklsą zrówno sekwencyjnych jk i przemiennych grfów ezkontekstowych. Zletą lgorytmu jest jednolite przedstwienie lgorytmów dl sekwencyjnych i przemiennych grfów ezkontekstowych. Poprzednio istniejące lgorytmy dl tych kls istotnie się różniły. Przedstwimy też nowy lgorytm dl grfów ezkontekstowych, uwżną dptcję powyższego dl tego przypdku. Jest on jest njszyszym znnym do tej pory, dził w czsie O(n 4 polylog(n)) 2. Dodtkowo, w podklsie grmtyk prostych, czyli deterministycznych grmtyk ezkontekstowych, lgorytm m złożoność O(n 3 polylog(n)), któr jest również njlepszą do tej pory znną. Ide lgorytmu opier się n oliczniu relcji równowżności isymulcyjnej poprzez przyliżnie się do niej z góry, podonie zresztą jk w niektórych poprzednich prcch. Jko pierwszy krok znjdown jest relcj 0 ędąc ogrniczeniem górnym szuknej. Nstępnie w kżdej itercji z k wyliczn jest pewn poprwk k+1, nie większ niż poprzedni relcj, le wciąż nie mniejsz niż równowżności isymulcyjnej. Algorytm zprojektowny jest w ten sposó, y zgwrntowć, że gdy punkt stły oliczeń zostnie osiągnięty, czyli k = k+1 to ędzie nim dokłdnie szukn równowżność, k =. Zrówno początkow relcj, jk i wszystkie pośrednie są zdefiniowne n potencjlnie nieskończonym ziorze V. Ay w trkcie lgorytmu utrzymywć je w pmięci potrzen jest pewn ich skończon reprezentcj. Istotną techniczną trudnością yło wykznie, że w przypdku klsy trktowlnej kżd pośredni relcj dje się reprezentowć w tki sposó. Zostło to osiągnięte przez pokznie tzw. włsności jednozncznego rozkłdu. Ay zpewnić dorą złożoność oliczeniową konieczne yło zstosownie pewnych optymlizcji. Oiekty musiły yć trzymne w skompresownej formie, opercje dokonywne n nich nie mogły wymgć rozkompresowni. W tym celu użyliśmy lgorytmu, który pozwl przechowywni rodziny słów orz szykie wykonywnie opercji n nich [1]. Dozwolone opercje, m.in. test 2 Złożoność t jest liczon przy powszechnie stosownym złożeniu, że opercje tomowe nwet n dużych liczch wykonywne są w czsie stłym. 9

10 n równość orz konktencj dwóch znnych słów wykonywne są w czsie O(n polylog(n)). Prolem pozostje otwrty dl klsy unormownych grfów częściowo przemiennych. Nie jest znny żden rezultt dotyczący rozstrzyglności. Nierozstrzyglny jest jedynie prolem isymulcji dl nieunormownych częściowo przemiennych grfów ezkontekstowych z ε-przejścimi. Rezultt ten może yć prosto uzyskny przez dostosownie konstrukcji z prcy [20]. Prezentcj wyników. Wyniki opisne w rozprwie doktorskiej zostły opulikowne w kilku prcch. Rezultty opisywne w rozdzile dotyczącym wyrżlności znjdują się w [6]. Bdni dotyczące prolemu osiąglności przestwione zostły w [4]. Algorytm dotyczący rozstrzygni równowżności isymulcyjnej w klsie trktowlnych przechodnich grfów ezkontekstowych jest opisny w [2, 3]. Poprzedni wersj lgorytmu dl klsy grfów ezkontekstowych, dziłjąc w czsie O(n 5 ) zostł przedstwion w [5]. Aktuln wersj, dziłjąc w czsie O(n 4 polylog(n)) nie jest jeszcze opulikown. Litertur [1] tephen Alstrup, Gerth tølting Brodl, nd Theis Ruhe. Pttern mtching in dynmic texts. In ODA, pges , [2] Wojciech Czerwinski, iylle B. Fröschle, nd lwomir Lsot. Prtillycommuttive context-free processes. In CONCUR, pges , [3] Wojciech Czerwinski, iylle B. Fröschle, nd lwomir Lsot. Prtillycommuttive context-free processes: Expressiility nd trctility. Inf. Comput., 209(5): , [4] Wojciech Czerwiński, Piotr Hofmn, nd łwomir Lsot. Rechility prolem for wek multi-pushdown utomt. Accepted to CONCUR 2012., [5] Wojciech Czerwinski nd lwomir Lsot. Fst equivlence-checking for normed context-free processes. In FTTC, pges , [6] Wojciech Czerwiński nd łwomir Lsot. Prtilly-commuttive contextfree lnguges. Almost sumitted to EXPRE 2012, [7] Volker Diekert nd Grzegorz Rozenerg, editors. Book of Trces. World cientific, ingpore, [8] R.J. vn Gleek. The liner time rnching time spectrum I; the semntics of concrete, sequentil processes. In J.A. Bergstr, A. Ponse, nd.a. molk, editors, Hndook of Process Alger, chpter 1, pges Elsevier,

11 [9] Jn Friso Groote nd Hns Hüttel. Undecidle equivlences for sic process lger. Inf. Comput., 115(2): , [10] Yorm Hirshfeld nd Mrk Jerrum. Bisimultion equivnlence is decidle for normed process lger. In ICALP, pges , [11] Yorm Hirshfeld, Mrk Jerrum, nd Fron Moller. A polynomil lgorithm for deciding isimilrity of normed context-free processes. Theor. Comput. ci., 158(1&2): , [12] Yorm Hirshfeld, Mrk Jerrum, nd Fron Moller. A polynomil-time lgorithm for deciding isimultion equivlence of normed sic prllel processes. Mthemticl tructures in Computer cience, 6(3): , [13] Hns Hüttel. Undecidle equivlences for sic prllel processes. In TAC, pges , [14] Richrd Myr. Process rewrite systems. Electr. Notes Theor. Comput. ci., 7: , [15] Antoni W. Mzurkiewicz. Trce theory. In Advnces in Petri Nets, pges , [16] Antoni W. Mzurkiewicz. Bsic notions of trce theory. In REX Workshop, pges , [17] Roin Milner. A Clculus of Communicting ystems, volume 92 of Lecture Notes in Computer cience. pringer, [18] Dvid Michel Ritchie Prk. Concurrency nd utomt on infinite sequences. In Theoreticl Computer cience, pges , [19] Jirí r. Rodmp of infinite results. Bulletin of the EATC, 78: , see lso n updted online version on sr/rodmp/. [20] Jirí r. Undecidility of wek isimilrity for PA-processes. In Developments in Lnguge Theory, pges ,