Notatki do wyk ladu z logiki

Notatki do wyk ladu z logiki Jerzy Tyszkiewicz r.akad. 1999/2000 c 2000 by Jerzy Tyszkiewicz 1 Struktury i algebry Definicje sygnatury, struktury, algebry jak w skrypcie [Tiu]. Sygnatura relacyjna to taka, w której zbiory Σ F n s puste. Struktura relacyjna to struktura nad sygnatur relacyjna. Jeśli o sygnaturze mówimy, że jest skończona lub nie, to mamy na myśli liczbe jej symboli, czyli moc zbioru n 0 ΣF n n 1 ΣR n. Jeśli mówimy o strukturze, że jest nieskończona, skończona, parzysta, itd., to mamy na myśli moc jej uniwersum. Definicja 1 (Izomorfizm). Niech A, B bed dwiema strukturami sygnatury Σ. Przekszta lcenie h : A B jest izomorfizmem z A w B, jeśli h jest bijekcja, a ponadto dla każdego f Σ F n oraz każdych a 1,..., a n A zachodzi f B (h(a 1 ),..., h(a n )) = h(f A (a 1,..., a n )), oraz dla każdego r Σ R n oraz każdych a 1,..., a n A zachodzi r B (h(a 1 ),..., h(a n )) wtw r A (a 1,..., a n ). Jeśli A i B s izomorficzne, to piszemy A = B, a jeśli h jest izomorfizmem, to możemy to zaznaczyć, piszac h : A = B. Definicja 2 (Podstruktura indukowana). Jeśli A jest struktur relacyjna oraz = B A, to struktura A B tej samej sygnatury Σ co A, nazywana podstruktur indukowan przez B w A, jest określona nastepuj aco: uniwersum tej struktury to B, zaś dla każdego r Σ R n r A B = r A B n. Definicja podalgebry generowanej oraz twierdzenie o istnieniu jak w skrypcie [Tiu]. 1

Definicja 3 (Cześciowy izomorfizm). Jeśli A, B s strukturami relacyjnymi tej samej sygnatury Σ, A A, B B oraz funkcja h : A B jest izomorfizmem podstruktur indukowanych h : A A = B B, to mówimy, że h jest cześciowym izomorfizmem z A w B, przy czym jego dziedzina dom(h) = A oraz obraz rg(h) = B. Na zasadzie konwencji jest cześciowym izomorfizmem z A w B o pustej dziedzinie i pustym obrazie. Dla dwóch cześciowych izomorfizmów g, h z A w B piszemy g h gdy dom(g) dom(h) oraz g(a) = h(a) dla wszystkich a dom(g). Równoważnie, gdy obie funkcje g i h uważamy za zbiory par, to g h oznacza, że g jest zawarte jako zbiór w h. Definicja 4 (Skończony izomorfizm). Dwie struktury relacyjne tej samej sygnatury s skończenie izomorficzne, A = fin B, gdy istnieje rodzina {I n /n ω} sp lniajaca 1 Każdy I n jest niepustym zbiorem cz eściowych izomorfizmów z A w B. Tam Dla każdego h I n+1 oraz każdego a A istnieje g I n takie, że h g oraz a dom(g). Z powrotem Dla każdego h I n+1 oraz każdego b B istnieje g I n takie, że h g oraz b rg(g). Nieformalnie: I n to rodzina cześciowych izomorfizmów, które mog być rozszerzone n krotnie o dowolne elementy w dziedzinie i obrazie, a kolejne rozszeerzenia leż w I n 1,..., I 0. Jeśli {I n } ma trzy powyższe w lasności, to piszemy {I n } : A = fin B. Fakt 5. 1. Jeśli A = B, to A = fin B. 2. Jeśli = fin B oraz A jest zbiorem skończonym, to A = B. Definicja 6 (m-izomorfizm). Niech m bedzie liczb naturalna. Dwie struktury relacyjne tej samej sygnatury s m-izomorficzne, A = m B, gdy istnieje rodzina {I n /n m} spe lnijac warunki 1, (Tam) i (Z powrotem). Niech Σ bedzie sygnatur relacyjn i niech A, B bed strukturami sygnatury Σ. Dla uproszczenia zak ladamy, że A B =. Definicja 7 (Gra G(A, B)). Gra Ehrenfeuchta G(A, B) jest rozgrywana przez dwóch graczy, oznaczanych I i II. Gre rozpoczyna I, który wybiera liczbe naturaln m liczbe rund w grze. W i-tej rundzie (i = 1,..., m) najpierw wykonuje ruch gracz I, wybierajac jedn ze struktur oraz jeden z elementów jej uniwersum. Jest on oznaczany a i jeśli pochodzi z A, zaś b i, jeśli z B. Jako drugi wykonuje ruch gracz II, 2

który musi w pozosta lej strukturze (czyli w A, jesśli I wybra l element w B, oraz w B, jeśli I wybra l element w A) i oznacza go a i lub b i, zależnie od tego, skad wybiera l. W ciagu m rund wybrane zostaj elementy a 1,..., a m A oraz b 1,..., b m B. Gracz I wygrywa rozgrywke, jeśli funkcja h = { a i, b i / i = 1,..., m} nie jest cześciowym izomorfizmem z A w B. W przeciwnym wypadku wygrywa gracz II. Definicja 8 (Gra G m (A, B)). Gra G m (A, B) jest bardzo podobna do gry G(A, B), z tym, że sk lada si e zawsze z m rund. Zatem gracz I nie ma już prawa wyboru ilości rund w grze. Gracz II ma strategie wygywajac w grze G(A, B) (G m (A, B), odpowiednio), jeśli może wygrać każd rozgrywke, niezależnie od posunieć gracza I. Twierdzenie 9 (Ehrenfeucht). w grze G(A, B) wtw A = fin B. 1. Gracz II ma strategie wygrywajac 2. Gracz II ma strategie wygrywajac w grze G m (A, B) wtw A = m B. 2 Logika pierwszego rz edu Definicja 10 (Logika pierwszego rzedu). Definicja termu, formu ly atomowej, formu ly, zbioru zmiennych wolnych danego termu lub formu ly oraz zdania jak w skrypcie [Tiu], z t różnica, że definicja z wyk ladu jest oparta o negacje, alternatywe i, a nie implikacje, i, jak w skrypcie. Dodatkowo określamy range kwantyfikatorow QR(ϕ) formu ly ϕ jak nastepuje: QR( ) = QR(t 1 = t 2 ) = QR(r(t 1,..., t k ) = 0 dla dowolnych termów t 1,..., t k oraz r Σ R k. QR(ϕ ψ) = max(qr(ϕ), QR(ψ)) QR( ϕ) = QR(ϕ) QR( xϕ) = 1 + QR(ϕ). Intuicyjnie QR to g l ebokość zagnieżdżenia kwantyfikatorów w formule. Definicja 11 (Wartościowanie). Definicja wartościowania jest taka, jak w [Tiu], z tym wyjatkiem, że zmodyfikowane wartościowanie vx a my oznaczamy v(a/x). 3

Definicja 12. Wartość t[v] termu t w strukturze A przy wartościowniu v określamy jak w [Tiu], z tym, że pomijamy A w notacji. Relacje A = ϕ[v] określamy jak w [Tiu], znowu z t różnica, że definicja z wyk ladu jest oparta o negacje, alternatywe i, a nie implikacje, i, jak w skrypcie. Podobnie definiujemy spe lnialność, tautologie, bycie modelem. Definicja 13 (Teoria, elementarna równoważność). Dwie struktry A i B tej samej sygnatury s elementarnie równoważne, A B, gdy dla każdego zdania ϕ logiki pierwszego rzedu na t same synatura, co A i B, (A = ϕ wtw B = ϕ.) Dwie struktry A i B tej samej sygnatury s m-elementarnie równoważne, A m B, gdy dla każdego zdania ϕ logiki pierwszego rzedu na t same synatura, co A i B, oraz o randze kwantyfikatorowej nie przekraczajacej m, A = ϕ wtw B = ϕ. Fakt 14. A B wtw (A m B dla każdego naturalnego m). 2.1 Definiowalność, aksjomatyzowalność i tw. Fraïssé Twierdzenie 15 (Fraïssé). Niech Σ bedzie dowoln sygnatur relacyjna zawierajac skończenie wiele symboli, oraz niech A, B bed dowolnymi strukturami nad Σ. 1. dla każdego m N, ( A m B wtw A = m B) 2. A B wtw A = fin B. Definicja 16. Jeśli A = ϕ, to mówimy, że A jest modelem ϕ. Jeśli jest zbiorem formu l oraz A = ϕ dla każdego ϕ, to piszemy A = i mówimy, że A jest modelem. Jeśli A jest klas struktur, to piszemy A = ϕ jeśli A = ϕ dla każdego A A. Notacja A = powinna być jasna. Klase wszystkich modeli danego zbioru formu l oznaczamy Mod( ), zaś zbiór wszystkich zdań prawdziwych w zadanej klasie A oznaczamy T h(a) i nazywamy teori A. Jeśli powyżej A i/lub jest zbiorem jednoelementowym, to w notacji opuszczamy nawiasy {... }. Stad Mod(ϕ) i T h(a). Fakt 17. A B wtw T h(a) = T h(b). Definicja 18 (Aksomatyzowalność, definiowalność). Klasa struktur A jest aksjomatyzowalna gdy istnieje zbiór formu l taki, że A = Mod( ). Jeśli ponadto można znaleźć takie jednoelementowe, to mówimy,że klasa A jest definiowalna. [W literaturze definiowalność cz esto jest określana jako skończona aksjomatyzowalność.] 4

Twierdzenie 19. Jeśli A = B, to A B. 1. Klasa czaściowych porzadków jest de- Przyk lady 20 (Pozytywne). finiowalna. 2. Klasa liniowych porzadków jest definiowalna. 3. Klasa liniowych porzadków gestych jest definiowalna. Dla dowodzenia przyk ladów negatywnych wykorzystamy Stwierdzenie 21. Niech A bedzie klas struktur. 1. Jeśli dla każdego m N istniej A A oraz A / A takie, że A = m A, to A nie jest definiowalna. 2. Jeśli istniej A A oraz A aksjomatyzowalna. / A takie, że A = A, to A nie jest Przyk lady 22 (Negatywne). 1. Dla żadnej sygnatury Σ, klasa F(Σ) wszystkich struktur skończonych sygnatury Σ nie jest definiowalna. [W istocie nie jest ona nawet aksjomatyzowalna, dowód poznamy poźniej.] 2. Klasa liniowych porzadków dobrych nie jest aksjomatyzowalna. Czasami chcemy badać tylko definiowalność i aksjomatyzowalność wśród struktur skończonych. Definicja 23 (Definiowalność i aksjomatyzowalność klas struktur skończonych). Klasa wszystkich skończonych modeli zbioru formu l jest oznaczana Mod fin ( ), przy czym piszemy Mod fin (ϕ) na oznaczenie Mod fin ({ϕ}). Klasa A struktur skończonych jest aksjomatyzowalna wśród struktur skończonych jeśli istnieje taka, że A = Mod fin ( ). Klasa A struktur skończonych jest definiowalna wśród struktur skończonych jeśli istnieje taka formu la ϕ, że A = Mod fin (ϕ). Lemat 24. Dla dowolnej skończonej struktury A nad skończon sygnatura istnieje zdanie ϕ A takie, że dla każdego B B = ϕ wtw B = A. Inaczej mówiac, klasa {B / B = A} jest definiowalna, i to nie tylko wśród struktur skończonych. Twierdzenie 25. Niech sygnatura Σ zawiera skończenie wiele symboli. Wówczas dla dowolnej klasy modeli skończonych, zamkni etej na izomorfizm 1 istnieje zbiór zdań logiki pierwszego rz edu taki, że Mod fin ( ) = A. Innymi s lowy, każda klasa struktur skończonych jest aksomatyzowalna wśród struktur skończonych. 1 Tzn., jeśli A A i B = B, to B A 5

Przyk lady 26 (Ostatni negatywny). Dla żadnej sygnatury Σ, klasa wszystkich struktur skończonych sygnatury Σ o parzystej liczbie elementów uniwersum nie jest definiowalna. 2.2 System hilbertowski Patrz [Tiu] 2.3 Zwartość Twierdzenie 27 (O zwartości). Dla dowolnego zbioru formu l logiki pierwszego rz edu, jeśli każdy skończony podzbiór ma mmodel, to też ma model. Twierdzenie 28 (Górne Löwenheima-Skolema-Tarskiego). Dla dowolnego zbioru formu l sygnatury Σ, jeśli ma model nieskończony A, to ma model dowolnie dużej mocy A. Poniższy wniosek należy porównać z Lematem 24. Wniosek 29. Dla żadnego nieskończonego A nie istnieje zdanie ϕ A takie, że dla każdego B B = ϕ wtw B = A. Inaczej mówiac, klasa {B / B = A} nie jest definiowalna (ani nawet, jak wynika z twierdzenia powyżej, aksjomatyzowalna). Fakt 30. Dla żadnej sygnatury Σ, klasa F(Σ) wszystkich struktur skończonych sygnatury Σ nie jest aksjomatyzowalna. Poprzednio, w przyk ladzie 22.1, pokazaliśmy, używajac tw. Fraïssé, że ta klasa F(Σ) nie jest definiowalna. 2.4 Teorie badane aksjomatycznie Przyk lady dwóch takich teorii, arytmetyki Peano, oznaczanej P A (tak samo oznacza sie jej zbiór aksjomatów), oraz teorii mnogości Zermelo-Fraenkla z akjomatem wyboru ZF C znajduj sie w skrypcie [Tiu]. Tutaj przedyskutujemy krótko tylko poniższy pozorny paradoks. Twierdzenie 31 (Paradoks Skolema-Löwenheima). Jeśli teoria mnogości ZF C jest niesprzeczna, to ma model przeliczalny. Dowód. Wynika natychmiast z tw. Skolema-Löwenheima. Paradoksalność tego twierdzenia bierze sie stad, że w teorii ZF C z latwościa daje sie udowodnić istnienie zbioru nieprzeliczalnego (przez kombinacje aksjomatu nieskończoności z aksjomatem istnienia zbioru potegowego, 6

a nstepnie pos lugujac sie formalnym analogonem dowodu tw. Cantora X < P(X) ). Tymczasem, w modelu przeliczalnym A nad sygnatura zawierajac tylko symbol, dla każdego elementu x z uniwersum A tego modelu istnieje co najwyżej przeliczlnie wiele elementów y z A takich, że y A x. Zatem, ogladane z zewnatrz, wszystkie zbiory w A s skończone lub przeliczalne. Kluczem do rozwiazani paradoksu jest fraza,,z zewnatrz. Otóż istnieje różnica pomiedzy tym, co widzimy z zewnatrz, a tym co sie dzieje w modelu. Dowód twierdzenia Cantora przeprowadznoy formalnie w systemie ZF C gwarantuje, że funkcje z X w P(X) nie s,,na, ale to sie odnosi tylko do funkcji (czyli zbiorów par), które same s elementami modelu A. Tak wiec dwa zbiory, które, ogladane z zewnatrz, wydaj sie przeliczalne (a wiec równej mocy), w wewnetrznym sensie modelu A mog być różnej mocy. Podobnie ca le A, które, ogladane z zewnatrz, jest zbiorem, w sensie wewnetrznym zbiorem nie jest (tj., dok ladnie, nie ma takiego x w A, że dla każdego y z A zachodzi y A x), bo by loby zbiorem wszystkich zbiorów, a taki nie istnieje. Wiecej, w modelu A istniej zbiory, które same s (w wewnetrznym sensie A) modelami ZF C, przy czym niektóre z nich s przeliczalne, a niektóre nie. Ten lańcuch,,model w modelu ciagnie sie dalej, a rozszerzajac go krok wstecz, zaczynamy domniemywać, że my sami żyjemy w jakimś modelu teorii mnogości i obserwujemy A, podobnie jak mieszkańcy A obserwuj modele teorii mnogości obecne w samym A. Jaki jest ten model? Czy istnieje coś na kszta lt standardowego modelu teorii mnogości? Jest to pytanie otwarte, i to raczej w filozoficznym niż matematycznym sensie. Jedno wiadomo na pewno: aksjomaty ZF C nie opisuja teorii mnogości wystarczajaco dok ladnie, byśmy dziś mogli powiedzieć, jak taki model mia lby wygladać. Opis oferowany przez ZF C odpowiada swoja dok ladności poziomowi naszych intuicji o tym, czym jest zbiór. Jak niewiele wiemy, ilustruje poniższy przyk lad. Zdanie CH to s lawna hipoteza continuuum, która orzeka, że najmniejsz moc nieprzeliczaln jest c, czyli, inaczej mówiac, że nie ma żadnej trzeciej mocy pomiedzy ℵ 0 i c. Zdanie CH daje sie bez specjalnego trudu zapisać w logice pierwszego rzedu. Twierdzenie 32 (Gödel). Jeśli ZF C jest niesprzeczna, to ZF C H CH. Twierdzenie 33 (Cohen). Jeśli ZF C jest niesprzeczna, to ZF C H CH. Zatem ZF C nie rozstrzyga, czy hipoteza continuum zachodzi, czy nie. Jedynym rozwiazaniem jest do l aczenie albo CH albo CH jako nowego aksjomatu (lub innych aksjomatów, z których jedno bad x drugie zdanie da sie 7

wyprowadzić). W tej chwili nie ma żadnych wyników wspierajacych nasze intuicje, na któr wersje w tej hipotetczynej standardowej teorii mnogości należa loby sie zdecydować. 2.5 Tw. Gödla o niezupe lności Zbiór napisów S = {s 0, s 1,... } nad skończonym alfabetem A daje sie generować algorytmicznie, gdy istnieje pewien program (dla ustalenia uwagi: napisany w Pascalu), który dzia lajac na idealnym komputerze o nieograniczonej ilości pamieci (dynamicznej, nieograniczonej d lugości s lowa, nieograniczonej wielkości liczb w typie integer, itd.), dla danej wejściowej n typu integer i spe lniajacej warunek n 0, wypisuje na wyjściu napis s n. Zbiór napisów S = {s 0, s 1,... } nad skończonym alfabetem Q jest rozstrzygalny algorytmicznie, gdy istnieje pewien program który dzia lajac na idealnym komputerze jak wyżej, dla danej wejściowej w ciagu znaków nad alfabetem Q, zawsze sie zatrzymuje i wypisuje na wyjściu napis,,tak jeśli w S oraz,,nie, jeśli w / S. Twierdzenie 34 (Gödel). Dla każdego systemu aksjomatów nad sygnatura Σ, który jest niesprzeczny, zawiera w sobie arytmetyke Peano (lub z którego jej aksjomaty daj sie wyprowadzić), oraz który daje sie generować algorytmicznie, istnieje zdanie ϕ nad taże sygnatur Σ, takie, że H ϕ oraz H ϕ. Dowód. (Szkic dla P A.) Zak ladamy, że jest niesprzeczny. Lemat 35 (o β-funkcji, Gödel). Istnieje funkcja β : ω ω ω ω taka, że: 1. Dla każdego ciagu ā = a 0,..., a r liczb naturalnych istniej liczby naturalne t, p (stanowiace kod ciagu ā w sensie β) takie, że dla każdego 0 i r β(t, p, i) = a i. 2. Istnieje formu la arytmetyki χ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) taka, że N = χ[t, p, i, a] wtw β(t, p, i) = a. Lemat 36. Jeśli zbiór zdań nad Σ daje sie generować algorytmicznie, to zbiór Cn( ) = {ϕ zdanie nad Σ / H ϕ} też daje sie generować algorytmicznie. Lemat 37. Jeśli zbiór zdań nad Σ daje si e generować algorytmicznie, oraz dla każdego zdania ϕ nad Σ, zachodzi H ϕ lub H ϕ, to zbiór Cn( ) jest rozstrzygalny algorytmicznie. 8

Numerem Gödla programu P w Pascalu jest każda para n P = t P, p P taka, że n P koduje w sensie funkcji β z Lematu 35 ciag kodów ASCII kolejnych symboli programu P. Twierdzenie 38. Zbiór HALT liczb naturalnych zdefiniowany jako HALT = {n P / program P zatrzymuje si e dla danych wejściowych n P, p P } nie jest algorytmicznie rozstrzygalny. Lemat 39. Dla każdego programu P w Pascalu można efektywnie skonstruować zdanie ϕ P w j ezyku arytmetyki takie, że P A H ϕ P wtw P zatrzymuje si e dla danych wejściowych n P, p P. Co za tym idzie, jeśli Cn(P A) jest algorytmicznie rozstrzygalny, to HALT też. Kombinacja lematów 37 i 39 oraz twierdzenia 38 pokazuje, że P A nie może spe lniać za lożeń lematu 37, z czego wynika twierdzenie o niezupe lności. 3 Rozszerzenia logiki pierwszego rz edu 3.1 Logika drugiego rz edu Ustalamy sygnature Σ i definiujemy logike drugiego rzedu nad sygnatur Σ. W tym celu do zbiru zmiennych X w logice pierwszego rzedu dodajemy zbiory V i = {X1 i, Xi 2,... }, i = 1, 2,... zmiennych drugiego rz edu (inaczej: relacyjnych). Zmienne z V i bed przyjmowa ly wartości bed ace relacjami i-argumentowymi. Dodajemy też do regu l tworzenia formu l logiki pierwszego rzedu nowe regu ly: Wszystkie formu ly logiki pierwszego rzedu s formu lami logiki drugiego rzedu. Jeśli t 1,..., t i s termami, oraz Xn i V i, to Xn(t i 1,..., t i ) jest formu l logiki drugiego rzedu.. Jeśli Xn i V i oraz ϕ jest formu l logiki drugiego rzedu, to Xn i ϕ też jest formu l logiki drugiego rzedu. Ponadto wszystkie regu ly tworzenia formu l logiki pierwszego rzedu z innych, prostszych formu l logiki pierwszego rzedu sa, w identycznej postaci, regu lami tworzenia formu l logiki drugiego rzedu z prostszych formu l logiki drugiego rzedu. 9

Skróty notacyjne wprowadzamy podobnie jak w logice pierwszego rzedu, np. Xn i ϕ oznacza Xn i ϕ. Jeśli chodzi o wartościowania, to s one bardziej skomplikowane, niż w logice pierwszego rzedu. Wartościowanie w strukturze A = A,..., nad Σ to ciag v = v, v 1, v 2,... funkcji, gdzie v : X A v 1 : V 1 P(A)... :... v i : V i P(A i )... :... (jak w logice pierwszego rz edu) A = ϕ[ v] określamy przez podanie warunków dla regu l, których nie by lo w logice pierwszego rz edu. A = X i n(t 1,..., t i )[ v] wtw t 1 [v],..., t i [v] v i (X i n). A = X i n ϕ[ v] wtw istnieje B P(A i ) takie, że dla v = v, v 1,..., v i 1, v i (B/X i n), v i+1,..., gdzie zachodzi A = ϕ[ v ]. v(b/x i n)(x i m) = { v(x i m) B jeśli m m wpp. W logice drugiego rz edu można definiować i aksjomatyzować poj ecia niedefiniowalne i nieaksjomatyzowalne w logice pierwszego rz edu. Przyk lad. Klasa dobrych porzadków nad sygnatur z lożon z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego jest definiowalna zdaniem, które jest koniunkcj aksjomatów liniowych porzadków do napisania których wystarcza logika pierwszego rzedu) oraz warunku ϕ fin X 1 (( xx 1 (x) ( xx 1 (x) y(x 1 (x) y x)))). Przyk lad. Dla każdego Σ, klasa wszystkich struktur skończonych sygnatury Σ jest definiowalna zdaniem X 2 (ϕ ψ), gdzie ϕ orzeka, że X 2 jest relacja porzadku liniowego, zaś ψ orzeka, że X 2 jest relacj dobrego porzadku (podobnym sposobem, jak w poprzednim przyk ladzie). 10

Przyk lad. Klasa struktur co najwyżej przeliczalnych sygnatury jest definiowalna zdaniem X 2 ((ϕ) ( X 1 (ψ ξ))), gdzie ϕ orzeka, że X 2 jest liniowym porzadkiem, ψ orzeka, że X 1 jest w tym porzadku odcinkiem poczatkowym, zaś ξ orzeka, że X 1 jest zbiorem skończonym (podobnym sposobem, co w poprzednim przyk ladzie). W sumie ca le zdanie orzeka, że istnieje porzadek liniowy na uniwersum ca lej struktury, którego każdy odcinek poczatkowy jest skończony. Dla struktur skończonych i przeliczalnych taki porzadek zawsze istnieje, a dla nieprzeliczalnych nigdy. Wniosek 40. 1. Twierdzenie o zwartości nie zachodzi dla logiki drugiego rzedu, tj., istnieje zbiór zdań logiki drugiego rzedu, który nie jest spe lnialny, choć każdy jego skończony podzbiór jest spe lnialny. 2. Twierdzenie Skolema-Löwenheima nia zachodzi dla logiki drugiego rz edu, tj., istnieje zdanie tej logiki, które ma model przeliczalny, ale nie ma modelu nieprzeliczalnego, oraz zdanie,które ma model nieprzeliczalny, ale nie ma modelu przeliczalnego. Dowód. 1. = {ϕ fin, ϕ 1, ϕ 2,... }, gdzie ϕ n to x 1... x n i j x i x j. 2. Pierwszym zdaniem jest to z ostatniego przyk ladu, a drugim jego negacja. Podstawow wad logiki drugiego rzedu jest jej semantyczna niejasność, zwiazan z niedostatkiem naszych intuicji o tym, czym jest zbiór. Ten problem dotyka logiki drugiego rzedu, bo umoźliwia on kwantyfikacje po podzbiorach uniwersum. Tytu lem przyk ladu, nie tak trudno (posi lkujac sie powyźszymi przyk ladami) jest napisać w logice drugiego rzedu zdanie, które jest tautologi (czyli jest prawdziwe we wszystkich modelach) wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi hipoteza continuum (patrz strona 7). 3.2 Logika nieskończona L ω1 ω. Aby zdefiniować logike L ω1 ω z nieskończenie d lugimi formu lami, do spójników logiki pierwszego rzedu dodajemy nowy spójnik, zaś do regu l tworzenia formu l nowa, nieskończon regu l e: Wszystkie formu ly logiki pierwszego rzedu s formu lami logiki L ω1 ω. Jeśli Φ jest przeliczalnym zbiorem formu l logiki L ω1 ω, to nieskończona alternatywa Φ jest formu l logiki L ω1 ω. Ponadto wszystkie regu ly tworzenia formu l logiki pierwszego rzedu z innych, prostszych formu l logiki pierwszego rzedu sa, w identycznej postaci, regu lami tworzenia formu l logiki L ω1 ω z prostszych formu l tejźe logiki. 11

Semantyk e musimy analogicznie rozszerzyć o jeden, dodatkowy warunek dla nieskończonej alternatywy: A = Φ wtw A = ϕ dla pewnego ϕ Φ. Przyk lad. Dla każdego Σ, klasa wszystkich struktur skończonych sygnatury Σ jest definiowalna zdaniem {ϕ n / n ω}, gdzie ϕ n jest negacja zdania ϕ n+1, zdefiniowanego w dowodzie Wniosku 40, punkt 2. Przyk lad. Kaźda klasa A struktur skończonych nad dowoln skończona sygnatur Σ i zamkniet na izomorfizm, jest definiowalna. Niech dla danego A nad Σ, ϕ A bedzie zdaniem, zdefiniowanym w Lemacie 24. Wtedy zdanie {ϕa / A A} definiuje A (chwila namys lu jest niezbedna, by zauwaźyć, źe ta alternatywa jest istotnie przeliczalna, mimo nieprzeliczalności A (które w istocie nie jest nawet zbiorem, tylko klas w laściwa). Jednak zbiór ten jest przeliczalny, bo w ogóle zdań postaci ϕ A jest tylko przeliczalnie wiele.) Za pomoc pierwszego przyk ladu dostajemy, z dowodem analogicznym jak dla logiki drugiego rzedu, poniźszy Wniosek 41. Twierdzenie o zwartości nie zachodzi dla L ω1 ω. Zachodzi jednak Twierdzenie 42 (Twierdzenie Skolema-Löwenheima dla L ω1 ω). Kaźde spe lnialne zdanie L ω1 ω ma model skończony lub przeliczalny. Ale: 1. Istnieje zbiór zdań L ω1 ω, który ma model nieskończony, ale nie ma modelu przeliczalnego. 2. Istnieje zdanie L ω1 ω, które ma model przeliczalny, ale nie ma modelu nieprzeliczalnego. 3.3 Logiki z uogólnionymi kwantyfikatorami Dla dowolnej w lasności Q struktur nad ustalon skończon sygnatur Σ (w lasność na potrzeby tych rozwarzań jest utoźsamiana z klas A Q struktur tej sygnatury, zamkniet na izomorfizm; naleźy te klase rozumieć jako klase tych stuktur, które w lasność Q posiadaja) istnieje precyzyjnie określony sposób do l aczeni tej w lasności do logiki pierwszego rzedu, tak aby, otrzymujac now logike F O(Q), w lasność Q by la w niej wyraźalna (tj., aby klasa A Q by la definiowalna). Nie podamy tu precyzyjnej definicji, która jest d luga i dość zagmatwana, a oprzemy sie tylko na przyk ladach. 12

Przyk lad. Kwantyfikator istnieje nieprzeliczalnie wiele jest intuicyjnie latwy do pojecia. Ten kwantyfikator prowadzi do logiki, dla której twierdzenie Skolema-Löwenheima nie zachodzi. Przyk lad. Kwantyfikator istnieje skończenie wiele wiele jest równie intuicyjny. Ten kwantyfikator z kolei prowadzi do logiki, dla której twierdzenie o zwartości nie zachodzi. Przyk lad. Bardziej skomplikowanym kwantyfikatorem jest kwantyfikator przechodniego domkniecia, oznaczany T C. Kwantyfikator ten wiaźe jednocześnie dwie zmienne (i tym sie róźni zasadniczo od poprzednich dwóch, jak teź od i ): (T C(xy) ϕ). Jeśli chodzi o semantyke, to mamy A = (T C(x, y) ϕ)[v] wtw relacja dwuargumentowa na A określona jako { a, b / A = ϕ[v(a/x)(b/y)]} jest przechodnia. Globalnie trudno jest mówić o w lasnościach logik z uogólnionymi kwantyfikatorami, bo, uźywajac jako kontrprzyk ladu specjalnie do tego celu dobranego uogólnionego kwantyfikatora, moźna obalić w laściwie dowolne sensowne twierdzenie, które mia loby szanse zachodzi o takich logikach. 3.4 Gry To, co pozostaje z repertuaru środków dostepnych do badania klas definiowalnych i aksjomatyzowalnych w logikach, o których w tym rozdziale mówiliśmy, to gry w stylu gier Ehrenfeuchta. S one znane dla wszystkich tu wymienionych logik, i wielu innych, o których nie mówiliśmy. Te metody, których mogliśmy zamiennie uźywać dla logiki pierwszego rzedu, czyli twierdzenie o zwartości i twierdzenie Skolema-Löwenheima, w wiekszości wypadków dla mocniejszych logik nie dzia laja. Jak sie zaraz przekonamy, jest po temu powaźny powód. 3.5 Porównywanie si ly logik W ca lowicie abstrakcyjnym sensie logika to system L = L, = L, gdzie L to funkcja, która kaźdej sygnaturze Σ przyporzadkowuje zbiór L(Σ) zdań L nad Σ, zaś = L jest relacj pomiedzy zdaniami L i strukturami. Wymagania a takie: s Jeśli Σ Σ, to L(Σ) L(Σ ). Jeśli A = L ϕ, to dla pewnej sygnatury Σ, A jest struktur nad Σ, oraz ϕ L(Σ). Jeśli A = B, to A = L ϕ wtw B = L ϕ. 13

Jeśli Σ Σ, ϕ L(Σ), A jest struktur nad Σ, to A = L ϕ wtw A Σ = ϕ. Oznaczjac Mod(Σ, L, ϕ) = {A nad Σ / A = L ϕ}, piszemy L L (logika L jest co najmniej tak silna, jak L) wtw dla kaźdego Σ i kaźdego ϕ L(Σ) istnieje ψ L (Σ) takie, źe Mod(Σ, L, ϕ) = Mod(Σ, L, ψ). (Inaczej: L L wtw kaźda klasa struktur kaźdej sygnatury, definiowalna w L, jest teź definiowalna w L.) Dalej, piszemy L L wtw L L oraz L L. W końcu, L < L wtw L L, ale L L. Uźywajac tej notacji moźemy coś powiedzieć o logikach, któr poznaliśmy (wliczajac w to zaleźności, które juź znaliśmy, ale nie znaliśmy notacji, w której moźnaby je wyrazić). Twierdzenie 43. 1. L ω1 ω SO. 2. SO L ω1 ω. 3. F O < SO. 4. F O < L ω1 ω. 5. DL akaźdego uogólnionego kwantyfikatora Q0 istnieje uogólniony kwantyfikator Q 1 taki, źe F O(Q 0 ) < F O(Q 1 ). 6. F O < SO. 7. F O < L ω1 ω. 3.6 I. Twierdzenie Lindströma W tym rozdziale dopuszczamytylko sygnatury relacyjne. Po odpowiednim przeformu lowaniu, twierdzenie tu przedstawione zachodzi takźe dla sygnatur z symbolami funkcyjnymi. Mówimy, źe logika L jest zamkni eta na operacje boole owskie, gdy Dla kaźdego Σ i kaźdego ϕ L(Σ) istnieje ψ L(Σ) takie, źe A = L ψ wtw A = L ϕ. Dla kaźego Σ i kaźdych ϕ, ψ L(Σ) istnieje ξ L(Σ) takie, źe A = L ξ wtw (A = L ϕ) lub A = L ψ. 14

Powyźsze warunki mówia, źe w ramach logiki L dysponujemy negacj dowolnego zdania oraz alternatyw dowolnych dwóch zdań. Mówimy, źe logika L jest zamkniet na relatywizacje, gdy Dla kaźdego Σ i kaźdego ϕ L(Σ) oraz nowego symbolu jednoargumentowej relacji U / Σ istnieje ψ L(Σ {U}) takie, źe A, U A = L ψ wtw A U A = L ϕ. Nieformalnie, ψ orzeka o podstrukturze w A, indukowane przez podzbiór U A A te sam w lasność, co ϕ o ca lych strukturach ψ jest relatywizacja ϕ do elementów spe lniajacych formu l e U(x). Logika L jest regularna, jeśli jest zamkniet na operacje boole owskie i relatywizacje. Logika L spe lnia twierdznie Skolema-Löwenheima wtw kaźde spe lnialne zdanie L ma model skończony lub przeliczalny. Logika L spe lnia twierdznie o zwartości wtw kaźdy zbiór zdań L, którego kaźdy skończony podzbiór jest spe lnialny, sam jest spe lnialny. Twierdzenie 44 (I. Twierdzenie Lindströma). Jeśli L jest logik regularna taka, źe F O L, L spe lnia twierdznie Skolema-Löwenheima, L spe lnia twierdznie o zwartości, to F O L. 4 Algebra uniwersalna 4.1 Twierdzenie Birkhoffa Zajmujemy sie wy l acznie sygnaturami algebraicznymi i algebrami. Ograniczamy też jezyk: zajmujemy sie wy l acznie aksjomatyzowalności za pomoca zdań postaci x 1... x n t 1 (x 1... x n ) = t 2 (x 1... x n ), zwanych równościami. (Zapis t(x 1,... x n ) oznacza, że zbiór zmiennych wolnych termu t jest zawarty w zbiorze {x 1,... x n }.) Ponieważ A = x 1... x n t 1 = t 2 wtw A = t 1 = t 2, zwyczajowo pomija si e kwantyfikatory w zapisie równości. Twierdzenie 45 (Birkhoff). Dla dowolnej klasy A algebr równoważne sa warunki: 15

1. Istnieje zbiór równości, który aksjomatyzuje A, tj., A = Mod( ). 2. A jest zamkni eta na obrazy homomorficzne, podalgebry i produkty uogólnione. Definicje pojeć użytych w powyższym twierdzeniu, jak też jego dowoód, znajduj sie w skrypcie [Tiu]. 4.2 Unifikacja Algorytmiczny problem unifikacji, jak również algorytm unifikacji, sa dok ladnie przedstawione w skrypcie [Tiu]. 4.3 System dedukcyjny logiki równościowej Dla danego termu t nad Σ, zbiór podtermów t jest to najmniejszy zbiór termów T taki, że t T oraz dla każdego n ω i każdego f Σ F n, jeśli f(t 1... t n ) T, to także t 1,..., t n T. Zbiór równości jest zamkniety na wymiane, jeśli dla każdej równości t = s T i każdego termu r oraz r(s/t) termu otrzymanego z r przez zamiane każdego wystapienie t jako podtermu w r na wystapienie s, równość r = r(s/t). Zbiór równości jest zamkniety na podstawienie, jeśli dla każdej równości t = s T i każdego podstawienia v : X F T (Σ, X) (definicja patrz [Tiu]), t[v] = s[v] T. (t[v] i s[v] s obliczane w algebrze termów F T (Σ, X), wiec s termami; co za tym idzie, t[v] = s[v] jest równości nad Σ, jak być powinno.) Dla danego zbioru równości nad Σ, zbiór konsekwancji równościowych Cn eq ( ) to najmniejszy zbiór równości E, zawierajacy oraz taki, że 1. t = t E dla każdego t nad Σ. 2. Jeśli t = s E, to s = t E. 3. Jeśli t = s, s = r E, to t = r E. 4. E jest zamkni ety na wymian e. 5. E jest zamkni ety na podstawienia. Twierdzenie 46. Dla każdej równości t = s nad Σ i każdego zbioru równości nad Σ, = t = s wtw t = s Cn eq ( ). 16

Dla zbioru równości nad Σ i równości t = s nad Σ piszemy eq t = s wtw istnieje ciag t 1 = s 1,..., t n = s + n równości nad Σ taki, że każda równość w tym ciagu albo jest elementem, albo zosta la uzyskana z wcześniejszych równości w tym ciagu za pomoc jednej z operacji wymienionych w definicji Cn eq ( ), a ponadto t n to t oraz s n to s. Wniosek 47 (Birkhoff). Dla każdej równości t = s nad Σ i każdego zbioru równości nad Σ, = t = s wtw eq t = s. 4.4 Kraty, kraty kongruencji, termy Malcewa Definicja kongruencji, aksjomaty krat i krat rozdzielnych jako struktur algebraicznych patrz [Tiu]. Znamy dwa rodzaje krat te pierwsze to struktury algebraiczne spe lniajace wyżej wspomniane aksjomaty równściowe. Te drugie to cześciowe porzadki, w których każde dwa elementy maj kres dolny i kres górny. Dla kraty algebraicznej A = A, A, A zdefiniujmy a A b wtw a A b = a oraz A := A, A. Analogicznie, dla kraty porzadkowej A = A, A, zdefiniujmy a A b := inf(a, b) oraz a A b := sup(a, b), a nastepnie A := A, A, A. Twierdzenie 48. 1. A = A, A, A jest krat algebraiczn wtw A jest krat porzadkow a. 2. A = A, A, jest krat porzadkow wtw A jest krat algebraiczna. 3. Dla każdej kraty algebraicznej A zachodzi A = A. 4. Dla każdej kraty porzadkowej A zachodzi A = A. Wobec powyższego, mówiac o kratach można swobodnie wybierać jezyk, którym sie pos lugujemy: albo jezyk cześciowych porzadków, albo jezyk algebry. Twierdzenie 49. Dla dowolnej algebry A nad dowoln sygnatur σ, zbiór kongruencji A, oznaczany Con(A), jest krat ze wzgledu na relacje. Okazuje sie, że algebraiczne w lasności kraty Con(A) zawieraj w sobie ogromn ilość informacji o istotnych w lasnościach algebry A. Odkrywanie tych powiazań stanowi obecnie jeden z najbardziej rozwinietych dzia lów badań w algebrze uniwersalnej. Tytu lem przyk ladu omówimy tu wyniki dotyczace warunków Malcewa. Rozmaitość algebr V nazywamy Kongruencyjnie rozdzielna, gdy dla każdej algebry A V krata Con(A) jest rozdzielna. 17

Kongruencyjnie permutowalna, gdy dla każdej algebry A V i każdych dwóch kongruencji r, r Con(A) zachodzi r s = s r. (Definicja z lożenia relacji: patrz [Tiu].) Twierdzenie 50 (Malcew). Rozmaitość V nad Σ jest kongruecyjnie permutowalna wtw istnieje term p(x, y, z) nad Σ taki, że w V spe lnione sa równości p(x, x, y) = y p(x, y, y) = x Twierdzenie 51 (Malcew). Jeśli dla rozmaitości V nad Σ istnieje term M(x, y, z) nad Σ taki, że w V spe lnione s równości M(x, x, y) = M(x, y, x) = M(y, x, x) = x, to V jest kongruencyjnie rozdzielna. To ostatnie twierdzenie może być ulepszone do pe lnej równoważności: Twierdzenie 52 (Jónsson). Rozmaitość V nad Σ jest kongruecyjnie rozdzielna wtw istniej n ω oraz termy p i (x, y, z), i = 0,..., n nad Σ takie, że w V spe lnione s równości p i (x, y, x) = x p 0 (x, y, z) = x p n (x, y, z) = z p i (x, x, y) = p i+1 (x, x, y) p i (x, y, y) = p i+1 (x, y, y) 0 i n i parzyste i nieparzyste Twierdzenie 53 (Pixley). Rozmaitość V nad Σ jest kongruecyjnie permutowalna i zarazem kongruencyjnie rozdzielna (o takich V mówi sie, że sa kongruencyjnie arytmetyczne) wtw istnieje term m(x, y, z) nad Σ taki, że w V spe lnione s równości Bibliografia m(x, y, x) = m(x, y, y) = m(y, y, x) = x. [Tiu] Jerzy Tiuryn, Wst ep do teorii mnogości i logiki, skrypt, Uniwersytet Warszawski. 18