II Matematyka 2 stopnia( 3W). Logika i podstawy matematyki. Janusz Czelakowski. Wykład 8. Arytmetyka

Transkrypt

1 II Matematyka 2 stopnia( 3W). Logika i podstawy matematyki Janusz Czelakowski Wykład 8. Arytmetyka Jak dobrze wiadomo, jednym z kluczowych praw zachodzących w dziedzinie liczb naturalnych jest Zasada Indukcji. Powiada ona, Ŝe jeŝeli P(n) jest dowolną własnością liczb naturalnych, to zdanie (IP) P(0) ( n)(p (n) P (n + 1)) ( n)p (n) jest prawdziwe dla liczb naturalnych. Czym jest jednak własność P? JeŜeli weźmiemy P(n) : JeŜeli dana osoba ma n włosów na głowie, to osoba ta jest prawie łysa, to zapewne uznamy prawdziwość zdań P(0) oraz ( n)(p (n) P (n + 1)). JeŜeli zatem uznajemy prawdziwość (IP), to prawdziwe jest zdanie ( n)p (n), co jest jawnym absurdem. Zatem naleŝy zachować pewną ostroŝność przy definiowaniu własności liczb naturalnych. MoŜna powiedzieć, Ŝe P powinno być własnością o treści matematycznej, pozbawioną nieostrych terminów w rodzaju bycie prawie łysym. Co to znaczy? Rozwiązania są dwa. Pierwsze polega na utoŝsamieniu własności liczb naturalnych z podzbiorem zbioru liczb naturalnych. W efekcie otrzymujemy Zasadę Indukcji Zupełnej: (CIP) Dla kaŝdego podzbioru X N, jeŝeli 0 N oraz dla kaŝdej liczby n N, n X implikuje n + 1 X, to X = N. (CIP) nie jest zdaniem pierwszego rzędu, poniewaŝ występuje tu kwantyfikator ogólny wiąŝący zmienną X przebiegającą wszystkie podzbiory zbioru N liczb naturalnych. W formułach pierwszego rzędu dopuszczalna jest jedynie kwantyfikacja po indywiduach, tj. elementach uniwersum (w tym przypadku po liczbach naturalnych), a nie po podzbiorach uniwersum. (9) jest przykładem zdania drugiego rzędu. Rodzi to powaŝne trudności natury logicznej, o czym niŝej. Inne rozwiązanie polega na przyjęciu za własności liczb naturalnych formuł pierwszego rzędu (z parametrami) ze ściśle określonego języka L opisującego liczby naturalne. Jaki to ma być język? PoniŜej przedstawimy garść uwag. Niech L będzie językiem i niech A będzie modelem dla L. Niech σ (x 1,, x m, y 1,, y n ) będzie ustaloną formułą o zmiennych wolnych x 1,, x m, y 1,, y n. Piszemy: y = y 1,, y n. Niech ponadto e = e 1,, e n będzie ustalonym ciągiem elementów A długości n. Definiujemy m-argumentową relacje na zbiorze A: R σ, e := { a 1,, a m A m : A σ (x 1,, x m, y 1,, y n ) [a 1,, a m, e 1,, e n ] R σ, e nazywamy relacją (parametycznie) definiowalną w modelu A przez σ (przy ustalonych wartościach parametrów y 1,, y n, tj. gdy nadano im wartości e = e 1,, e n ). Ile jest relacji definiowalnych w modelu A? Nie więcej niŝ formuł języka i skończonych ciągów e elementów modelu A. Zatem, jeŝeli język L jest przeliczalny i model A jest przeliczalny, istnieje co najwyŝej א 0 definiowalnych relacji na A. 1

2 W szczególnym przypadku, gdy m = 1, tj., gdy σ = σ (x, y 1,, y n ), relacja definiowalna przez σ (przy ustalonej wartości parametrów) jest 1-argumentowa, a wiec jest podzbiorem zbioru A. Mówimy wtedy o definiowalnych podzbiorach modelu A. Zatem, gdy L jest przeliczalny i model A jest przeliczalny, istnieje co najwyŝej א 0 definiowalnych podzbiorów modelu A. Zatem: m-argumentowa relacja R na A jest parametrycznie definiowalna w A, gdy istnieją formuła σ (x 1,, x m, y 1,, y n ) języka L oraz ciąg e = e 1,, e n elementów modelu takie, Ŝe R = R σ, e. Podzbiór X A jest parametrycznie definiowalny w A, gdy istnieją formuła σ (x, y 1,, y n ) języka L oraz ciąg e = e 1,, e n elementów modelu takie, Ŝe X = {a A : A σ (x, y 1,, y n ) [a, e 1,, e n ]}. Język arytmetyki L = {+,, S, 0} liczy 4 elementy, gdzie + i są binarnymi symbolami funkcyjnymi (symbolami dodawania i mnoŝenia), S jest unarnym symbolem funkcyjnym (symbolem operacji następnika), 0 jest symbole stałej (cyfrą zero). Elementarna arytmetyka Peany posiada następujące aksjomaty: (1) ( x) (0 S(x)) (zero nie ma poprzednika) (2) ( xy)(s(x) S(y) x y) (operacja następnika jest funkcją róŝnowartościową) (3) ( x) (x + 0 x) (4) ( xy)( x + S(y) S(x + y)) (5) ( x) (x 0 0) (6) ( xy)( x S(y) (x y) + x) oraz, dla kaŝdej formuły ϕ (x, y 1,, y n ) języka L w której zmienna x nie występuje jako zmienna związana, następujący aksjomat: (7 ϕ ) ( y 1,, y n )(ϕ (0, y 1,, y n ) ( x)(ϕ (x, y 1,, y n ) ϕ (S(x), y 1,, y n )) ( x)(ϕ (x, y 1,, y n ) ). (3) i (4) tworzą rekurencyjną definicję dodawania wyraŝoną w terminach 0 i S, natomiast (5) i (6) stanowią rekurencyjną definicję mnoŝenia w terminach 0, S i +. Nieskończona lista aksjomatów (7 ϕ ), po jednym dla kaŝdej formuły ϕ (x, y 1,, y n ), nazywa się schematem indukcji. Podformuła ϕ (S(x), y 1,, y n ) formuly (7 ϕ ) jest skrótem dla ϕ (x /S(x), y 1,, y n ). Podobnym skrótem jest podformuła ϕ (0, y 1,, y n ). Nieskończony zbiór złoŝony ze wszystkich powyŝszych aksjomatów nazywamy elementarna arytmetyką Peany i oznaczamy przez PA. Standardowy model arytmetyki N = (N; +,, S, 0) jest utworzony ze zbioru N liczb naturalnych (z zerem) i wyposaŝony w zwykłe operacje dodawania + i mnoŝenia liczb naturalnych oraz operację następnika S, przyporządkowującą kaŝdej liczbie n liczbę 2

3 n + 1. Ponadto wyróŝniona jest liczba zero jako stała. N jest modelem arytmetyki; jednak dowód tego faktu wymaga uŝycia środków logicznych silniejszych niŝ arytmetyka Peany (o tym później). Wszystkie inne modele arytmetyki Peany nie-izomorficzne z N nazywamy modelami niestandardowymi. Niech A = (A; +,, S, 0) będzie dowolnym modelem arytmetyki Peany. (Elementy zbioru A nie muszą być liczbami naturalnymi. 0 jest zerem w sensie A.) Dla zadanej formuły ϕ (x, y 1,, y n ) i ustalonego ciągu e = e 1,, e n elementów uniwersum A definiujemy Schemat indukcji pociąga, Ŝe: X ϕ, e := {a A : A ϕ (x, y 1,, y n ) [a, e 1,, e n ]}. (8 ϕ, e ) jeŝeli 0 X ϕ, e oraz dla kaŝdego a A, a X ϕ, e implikuje S(a) X ϕ, e, to X ϕ, e = A. Innymi słowy, znana ze szkoły zasada indukcji obowiązuje dla zbiorów definiowalnych w A. W szczególności, zasada indukcji obowiązuje dla definiowalnych zbiorów liczb naturalnych w standardowym modelu N. Jednak wiadomo, Ŝe w modelu standardowym zachodzi mocniejsza wersja zasady indukcji, zwana Zasadą Indukcji Zupełnej: (CIP) Dla kaŝdego podzbioru X N, jeŝeli 0 N oraz dla kaŝdej liczby n N, n X implikuje S(n) X, to X = N. Zdanie drugiego rzędu (CI) jest prawdziwe w modelu standardowym, nie jest jednak w pełni wyraŝone przez zdania elementarne. Mówiąc krótko, w elementarnej arytmetyce Peany dopuszczalna jest indukcja po podzbiorach definiowalnych modelu standardowego, a nie po wszystkich podzbiorów. Podzbiorów definiowalnych zbioru N jest przeliczalnie duŝo, natomiast wszystkich podzbiorów kontinuum. Zatem schemat (7 ϕ ) jest słabszy od zasady (9) (i to istotnie jak pokaŝemy dalej). W efekcie, istnieją niestandardowe modele arytmetyki. Niech Def N) będzie (przeliczalnym) zbiorem wszystkich definiowalnych podzbiorów zbioru liczb naturalnych N w standardowym modelu arytmetyki. (By wykazać, Ŝe Def N) jest faktycznie zbiorem, potrzebny jest aksjomat podzbiorów teorii Zermelo-Fraenkla.) Niech H będzie (jakąkolwiek) bijekcją ze zbioru N na zbiór Def N). (Bijekcja z N na Def N) oczywiście istnieje, bo oba zbiory są przeliczalne.) Definiujemy podzbiór A H N : dla dowolnej liczby naturalnej n, (*) n A H df n H(n). A H nie jest definiowalnym podzbiorem N. Istotnie, gdyby A H był definiowalny w N, to A H = H(n 0 ) dla pewnej liczby n 0. Stąd i na podstawie (*) otrzymujemy: n 0 H(n 0 ) n 0 A H n 0 H(n 0 ). Sprzeczność. A zatem zbiór A H nie jest definiowalny. Wynik powyŝszy moŝna uznać za paradoksalny: A H nie jest definiowalnym podzbiorem N, a przecieŝ prawa strona równowaŝności (*) jest formułą, która, w sposób całkowicie jasny i zrozumiały, definiuje tenŝe zbiór A H. 3

4 Rozwiązanie powyŝszego paradoksu jest proste formuła definiująca zbiór A H (tj. wyraŝająca prawa stronę równowaŝności (*)) nie jest formułą pierwszego rzędu języka arytmetyki, lecz języka teorii mnogości. PowyŜszy przykład jest ilustracją tzw. metody przekątniowej, wynalezionej przez Cantora, jako sposobu definiowania pojęć matematycznych. Znalazła ona szerokie zastosowanie w podstawach matematyki. Zupełną elementarną teorią liczb nazywamy zbiór wszystkich zdań pierwszego rzędu języka L prawdziwych w modelu standardowym, tj. zbiór Th(N). Zbiór konsekwencji zdaniowych C Sent (PA) jest podzbiorem zbioru Th(N) (poniewaŝ wszystkie aksjomaty PA są prawdziwe w N). Czy zachodzi równość C Sent (PA) = Th(N)? Odnotujmy tu podstawowy wynik: Twierdzenie 8.1. (Gödel 1931). Elementarna arytmetyka Peany PA jest teorią niezupełną. PoniewaŜ teoria Th(N) jest zupełna, z Twierdzenia Gödla wynika, Ŝe teoria zamknięta C Sent (PA) jest właściwym podzbiorem zbioru Th(N). MoŜna powiedzieć, Ŝe powyŝsze aksjomaty są za słabe, by wyprowadzić z nich wszystkie prawa teorii liczb, tj. wszystkie zdania naleŝące do Th(N). Jak moŝna próbować temu zaradzić? Jedna opcja to dodać nowe, nieznane dotąd aksjomaty do arytmetyki Peany. Tu czeka nas zimny prysznic: Twierdzenie 8.2. JeŜeli teoria T jest niesprzecznym rozszerzeniem elementarnej arytmetyki Peany przez dodanie skończonej liczby nowych aksjomatów (lub szerzej rekurencyjnej listy nowych aksjomatów), to T nie jest teoria zupełną. W myśl powyŝszego twierdzenia, nie ma moŝliwości przedstawienia wszystkich elementarnych praw teorii liczb w postaci rekurencyjnego systemu aksjomatycznego. (O rekurencyjności nie mówiliśmy dotąd; z grubsza, rekurencyjność zbioru aksjomatów polega na ustalenie pewnego algorytmu numerującego elementy tego zbioru w taki sposób, by w skończonej liczbie kroków algorytm pozwalał orzec, czy z góry zadane zdanie jest aksjomatem, czy nim nie jest. Np. powyŝszy zbiór aksjomatów elementarnej arytmetyki Peany jest rekurencyjny.) Z twierdzenia powyŝszego wynika, Ŝe zupełna teoria liczb nie posiada rekurencyjnego zbioru aksjomatów, a w szczególności nie jest ona skończonym rozszerzeniem PA. Mówiąc krótko - struktura zbioru Th(N) jest zbyt skomplikowana, by poddawała się rekurencyjnej aksjomatyzacji. W szczególności otrzymujemy, Ŝe teoria Th(N) nie jest skończenie aksjomatyzowalna. Istotnie, gdyby była, to dodając jej aksjomaty ϕ 1,, ϕ n do PA, otrzymalibyśmy, Ŝe zupełna teoria liczb jest skończonym rozszerzeniem PA. Lecz wtedy, zgodnie z powyŝszym twierdzeniem, Th(N) nie jest teorią zupełną, co jest wykluczone. Druga opcja, to zrezygnować ze schematu indukcji i wprowadzić zasadę indukcji zupełnej. Lecz wtedy wkraczamy na teren języków drugiego rzędu i trudności czysto logicznej natury. Problem w tym, Ŝe nie moŝna Ŝadną miarą określić logiki drugiego rzędu (tj., obowiązującej w zbiorze formuł drugiego rzędu) w postaci skodyfikowanego, rekurencyjnego systemu aksjomatów logicznych i reguł wnioskowania adekwatnego dla operacji logicznego wynikania (drugiego rzędu). Znaczy to, Ŝe dla logiki klasycznej drugiego rzędu nie ma odpowiednika Twierdzenia o Pełności dla logiki elementarne. (Jest to wniosek z pewnego innego twierdzenia Gödla.) W efekcie, nie istnieje rekurencyjny system aksjomatów drugiego rzędu, z którego moŝna wyprowadzić wszystkie elementarne prawa teorii liczb, tj. elementy zbioru Th(N). 4

5 Jeszcze inna opcją jest wprowadzenie niefinitystycznych reguł inferencji. Lecz wtedy pojęcie dowodu, przedstawione w Wykładzie 3, nie ma juŝ finitystycznego charakteru, tzn. dopuścić naleŝy dowody nieskończonej długości. (Długość dowodu jest wtedy przeliczalną liczba porządkową.) Najbardziej znanym rozwiązaniem jest wprowadzenie tzw. ω-reguły, obowiązującej w zbiorze formuł pierwszego rzędu języka arytmetyki. ω-reguła jest zbiorem wszystkich nieskończonych instrukcji postaci: Z nieskończonego zbioru przesłanek ϕ (0, y 1,, y n ), ϕ (1, y 1,, y n ), ϕ (2, y 1,, y n ),. wnioskuj ( x)ϕ (x, y 1,, y n ), gdzie ϕ (x, y 1,, y n ) jest dowolną formuła pierwszego rzędu języka L, natomiast 1, 2, 3 są kolejnymi liczebnikami: 1 := S (0), 2 := S (1), 3:= S (2) itd. ( ω-reguły nie naleŝy mylić ze schematem indukcji (7 ϕ ).) Niech X będzie zbiorem zdań języka arytmetyki. Powiemy, ze X jest zamknięty na ω- regułę, gdy dla dowolnej formuły ϕ (x) w jednej zmiennej wolnej x, jeŝeli wszystkie zdania z nieskończonej listy ϕ (0), ϕ (1), ϕ (2),. naleŝą do X, to zdanie ( x)ϕ (x) teŝ naleŝy do X. Kluczowa jest następująca obserwacja pochodząca od Grzegorczyka, Mostowskiego i Rylla-Nardzewskiego: Twierdzenie 8.3. Th(N) jest najmniejszym zbiorem zdań X języka arytmetyki zamkniętym na ω-regułę takim, Ŝe PA X. Innymi słowy, poprzez domknięcie zbioru PA na ω-regułę otrzymujemy wszystkie prawa zupełnej elementarnej teorii liczb.. Arytmetyka Peany PA jest zadana przez nieskończona listę aksjomatów (1) (6) oraz (7 ϕ ), gdzie ϕ przebiega formuły języka arytmetyki. Powstaje pytanie, czy powyŝszy zbiór aksjomatów moŝna zastąpić innym, lecz skończonym zbiorem. Innymi słowy pytamy, czy arytmetyka Peany jest skończenie aksjomatyzowalna. Odpowiedź jest zawarta w następującym twierdzeniu: Twierdzenie 8.4. (Ryll- Nardzewski 1952). PA nie jest skończenie aksjomatyzowalna. Dowód wykorzystuje niestandardowe modele arytmetyko Peany. Dodajmy, Ŝe pierwszy niestandardowy model arytmetyki elementarnej Peany został podany przez Skolema w roku Wymienimy kilka interesujących podteorii PA. JeŜeli zastąpimy schemat indukcji (7 ϕ ), pojedynczym aksjomatem (Q) ( x) (x 0 ( y)(x S(y)), to otrzymujemy skończenie aksjomatyzowalną teorię, oznaczona przez Q. Z Twierdzeń otrzymujemy, Ŝe: Zarówno Q jak i kaŝde jej skończone rozszerzenie nie jest zupełne. 5

6 JeŜeli L = {S, 0} jest fragmentem języka L otrzymanym przez odrzucenie symboli + oraz, to podteoria teorii PA zadana aksjomatami (1) i (2) oraz schematem (7 ϕ ) ograniczonym do formuł ϕ języka L, jest juŝ zupełna. Nazywa się ją teorią następnika. Nie jest ona skończenie aksjomatyzowalna. Addytywna teoria liczb (zwana teŝ arytmetyką Pressburgera) jest teorią zdefiniowaną aksjomatycznie w języku L := {+, S, 0} (bez symbolu mnoŝenia ). Jej aksjomatami sa zdania (1) (4) wraz ze schematem (7 ϕ ) ograniczonym do formuł ϕ języka L. Addytywna teoria liczb nie jest skończenie aksjomatyzowalna. Twierdzenie 8.5. (Pressburger 1929). Addytywna teoria liczb jest zupełna. Innymi słowy, wszystkie prawa teorii liczb wysłowione bez uŝycia symbolu mnoŝenia dają się wyprowadzić z powyŝszych aksjomatów addytywnej teorii liczb. 6