Zadanie transportowe i problem komiwojażera Tadeusz Trzaskalik
3.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zbilansowane zadanie transportowe Rozwiązanie początkowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda VAM Metoda kąta północno-zachodniego Metoda potencjałów Bilansowanie zadania niezbilansowanego Fikcyjny dostawca Fikcyjny odbiorca Degeneracja w zadaniu transportowym Problem komiwojażera Algorytm genetyczny T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 2
3.. Wprowadzenie Zadanie transportowe Mamy ustaloną liczbę dostawców i odbiorców, znamy podaż każdego dostawcy i zapotrzebowanie każdego odbiorcy w ustalonym odcinku czasu oraz koszty jednostkowe transportu pomiędzy poszczególnymi dostawcami i odbiorcami, proporcjonalnie do ilości przewiezionego towaru. Należy znaleźć taki plan przewozów, który minimalizuje łączny ich koszt T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3
3.. Wprowadzenie Problem komiwojażera Mamy n miast, które należy odwiedzić w dowolnej kolejności, rozpoczynając podróż z miasta o numerze i wracając c do niego, przy czym każde z miast można odwiedzić dokładnie jeden raz. Znając wszystkie odległości miedzy miastami należy znaleźć trasę przejazdu o minimalnej długości. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 4
3.2. Zadanie transportowe i jego własności 3.2.. Zadanie transportowe w ujęciu programowania liniowego (/3) Przykład 3. Miejscowość O O 2 O 3 4 7 2 2 3 D D 2 3 5 D 3 6 7 9 D D 2 D 3 6 9 4 7 3 5 7 O O 2 5 O 3 45 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5
3.2. Zadanie transportowe i jego własności 3.2.. Zadanie transportowe w ujęciu programowania liniowego (2/3) Model matematyczny Cel Określenie planu przewozów, który minimalizuje łączny koszt. Zmienne decyzyjne x - planowany przewóz na trasie od D do O x 2 - planowany przewóz na trasie od D do O2 x 3 - planowany przewóz na trasie od D do O3 x 2 - planowany przewóz na trasie od D2 do O x 22 - planowany przewóz na trasie od D2 do O2 x 23 - planowany przewóz na trasie od D2 do O3 x 3 - planowany przewóz na trasie od D3 do O x 32 - planowany przewóz na trasie od D3 do O2 x 33 - planowany przewóz na trasie od D3 do O3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 6
3.2. Zadanie transportowe i jego własności 3.2.. Zadanie transportowe w ujęciu programowania liniowego (3/3) Model matematyczny (c.d.) Funkcja celu f (x, x 2, x 3, x 2, x 22, x 23, x 3,x 32, x 33 ) = x +4x 2 +7x 3 + +3x 2 +5x 22 +x 23 +6x 3 +7x 32 +9x 33 min Ograniczenia x +x 2 +x 3 = 2 x 2 +x 22 +x 23 = 2 x 3 +x 32 +x 33 = 3 Rozwiązanie optymalne x,..., x 33 x +x 2 +x 3 = x 2 +x 22 +x 32 = 5 x 3 +x 23 +x 33 = 45 x = 5 x 2 = x 3 = 5 x 2 = 5 x 22 = 5 x 23 = x 3 = x 32 = x 33 = 3 Minimalny koszt transportu wynosi 47. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 7
oblem komiwojażera c - wektor funkcji celu, A - macierz współczynników, b - wektor warunków ograniczających, x - wektor zmiennych. min = x b Ax cx c c x b Ax cx = = przy czym max 3.2. Zadanie transportowe i jego własności 3.2.2. Zadanie dualne do zadania transportowego (/7) Postać macierzowa zadania prymalnego 3. Zadanie transportowe i pro T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 8 x - wektor zmiennych. = 33 32 3 23 22 2 3 2 x x x x x x x x x x [ ] 9 7 6 5 3 7 4 = c = A = 45 5 3 2 2 b
3.2. Zadanie transportowe i jego własności 3.2.2. Zadanie dualne do zadania transportowego (2/7) Zasady tworzenia zadania dualnego Zadanie prymalne (ZP) Zadanie dualne (ZD) cx max yb min Ax = b ya c x y dowolne y = [ y y y y y ] 2 3 4 5 y6 Przyjmujemy, że y = [u, v] u wektor zmiennych ZD odpowiadających dostawcom, v wektor zmiennych ZD odpowiadających odbiorcom. u = [ u u ] 2 u3 y = v [ v v ] 2 v3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 9 = [ u u u v v ] 2 3 2 v3
3.2. Zadanie transportowe i jego własności 3.2.2. Zadanie dualne do zadania transportowego (3/7) Postać zadania dualnego yb = [ u u2 u3 v v2 v3] 2 = 2u + 2u2 + 3u3 + v + 5v2 + 45v3 min 2 3 5 45 4 ya = [ u u2 u3 v v2 v3 ] 7 5 3 = c 7 6 9 u u u + v 2 + v 3 + v 3 6 u u u + v2 2 + v2 3 + v2 4 5 7 + v3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem u u u 2 + v3 3 + v3 7 9
3.2. Zadanie transportowe i jego własności 3.2.2. Zadanie dualne do zadania transportowego (4/7) Zadanie prymalne i dualne zestawienie Zadanie prymalne x 4x 2 7x 3 3x 2 5x 22 x 23 6x 3 7x 32 9x 33 max Zadanie dualne x +x 2 +x 3 = 2 x +x 2 +x 3 = x 2 +x 22 +x 23 = 2 x 2 +x 22 +x 32 = 5 x 3 +x 32 +x 33 = 3 x 3 +x 23 +x 33 = 45 x,..., x 33 2u + 2u 2 + 3u 3 + v + 5v 2 + 45v 3 min u + v + u + v 2 + 4 u + v 3 + 7 u 2 + v + 3 u 2 + v 2 + 5 u 2 + v 3 + u 3 + v + 6 u 3 + v 2 + 7 u 3 + v 3 + 9 u, u 2, u 3, v, v 2, v 3 - dowolne T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem
3.2. Zadanie transportowe i jego własności 3.2.2. Zadanie dualne do zadania transportowego (5/7) Zależności między zmiennymi i warunkami ograniczającymi x odpowiada warunkowi u + v + x 2 odpowiada warunkowi u + v 2 + 4 x 3 odpowiada warunkowi u + v 3 + 7 x 2 odpowiada warunkowi u 2 + v + 3 x 22 odpowiada warunkowi u 2 + v 2 + 5 x 23 odpowiada warunkowi u 2 + v 3 + x 3 odpowiada warunkowi u 3 + v + 6 x 32 odpowiada warunkowi u 3 + v 2 + 7 x 33 odpowiada warunkowi u 3 + v 3 + 9 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 2
3.2. Zadanie transportowe i jego własności 3.2.2. Zadanie dualne do zadania transportowego (6/7) Twierdzenie o komplementarności czyli: stąd: (u + v + ) x = (u 2 + v + 3) x 2 = (u 3 + v + 6) x 3 = (ya c) = ([u, v] A c) x = (u + v 3 + 7) x 3 = (u 2 + v 3 + ) x 23 = (u 3 + v 3 + 9) x 33 = (u + v 2 + 4) x 2 = (u 2 + v 2 + 5) x 22 = (u 3 + v 2 + 7) x 32 = T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3
3.2. Zadanie transportowe i jego własności 3.2.2. Zadanie dualne do zadania transportowego (7/7) Wnioski z twierdzenia o komplementarności Jeżeli x >, to u + v + = Jeżeli x 2 >, to u + v 2 + 4 = Jeżeli x 3 >, to u + v 3 + 7 = Jeżeli x 2 >, to u 2 + v + 3 = Jeżeli x 22 >, to u 2 + v 2 + 5 = Jeżeli x 23 >, to u 2 + v 3 + = Jeżeli x 3 >, to u 3 + v + 6 = Jeżeli x 32 >, to u 3 + v 2 + 7 = Jeżeli x 33 >, to u 3 + v 3 + 9 = T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 4
3.2. Zadanie transportowe i jego własności 3.2.3. Sformułowanie zadania transportowego (/) Zbilansowane zadanie transportowe Oznaczenia m - liczba dostawców, n - liczba odbiorców, a i - podaż i -tego dostawcy (i =,...,m), b j - popyt j -tego odbiorcy (j =,...,n), x ij - ilość towaru przewieziona od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy, c ij - koszt przewozu jednostki towaru od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy. Sformułowanie zadania n x = a ij j= m x ij = i= b i j m m i= n i= j= n a i = b j= c ij x ij min dla i =,...,m dla j =,...,n j x ij T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5
3.3. Pierwsze dopuszczalne rozwiązanie bazowe 3.3.. Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów (/7) Definicje X = Rozwiązanie bazowe Węzły bazowe Linia Wielkość przewozu Macierz przewozów Podaż i popyt po modyfikacji _ Macierz kosztów C = 3 6 4 5 7 7 9 - zawiera n + m - zmiennych bazowych - odpowiadają zmiennym bazowym - węzły ustalonego wiersza lub ustalonej kolumny x ij = min (a i,b j ) a i = a i x ij b j = b j x ij T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 6
3.3. Pierwsze dopuszczalne rozwiązanie bazowe 3.3.. Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów (2/7) Przebieg obliczeń Rozwiązanie początkowe Podaż 2 2 3 5 45 Popyt Macierz kosztów jednostkowych 4 7 3 5 6 7 9 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 7
3.3. Pierwsze dopuszczalne rozwiązanie bazowe 3.3.. Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów (3/7) Przebieg obliczeń (c.d.) Rozwiązanie początkowe Podaż 2 3 5 5 45 Popyt Macierz kosztów jednostkowych 4 7 3 5 6 7 9 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 8
3.3. Pierwsze dopuszczalne rozwiązanie bazowe 3.3.. Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów (4/7) Przebieg obliczeń (c.d.) Rozwiązanie początkowe Podaż 5 2 5 3 5 45 Popyt Macierz kosztów jednostkowych 4 7 3 5 6 7 9 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 9
3.3. Pierwsze dopuszczalne rozwiązanie bazowe 3.3.. Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów (5/7) Przebieg obliczeń (c.d.) Rozwiązanie początkowe Podaż 5 5 3 3 45 5 Popyt Macierz kosztów jednostkowych 4 7 3 5 6 7 9 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 2
3.3. Pierwsze dopuszczalne rozwiązanie bazowe 3.3.. Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów (6/7) Przebieg obliczeń (c.d.) Rozwiązanie początkowe Podaż 5 5 5 3 5 Popyt Macierz kosztów jednostkowych 4 7 3 5 6 7 9 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 2
3.3. Pierwsze dopuszczalne rozwiązanie bazowe 3.3.. Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów (7/7) Przebieg obliczeń (c.d.) Rozwiązanie początkowe Podaż 5 5 3 Macierz kosztów jednostkowych 4 7 3 5 6 7 9 Popyt T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 22
3.3. Pierwsze dopuszczalne rozwiązanie bazowe 3.3.2. Metoda VAM (/3) Przebieg obliczeń Rozwiązanie początkowe Podaż 2 2 3 5 45 Popyt Macierz kosztów jednostkowych 4 7 3 5 6 7 9 2 2 Różnice w wierszach Różnice w kolumnach T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 23 3 2
3.3. Pierwsze dopuszczalne rozwiązanie bazowe 3.3.2. Metoda VAM (2/3) Przebieg obliczeń (c.d.) Rozwiązanie początkowe Podaż 5 2 5 3 5 45 Macierz kosztów jednostkowych 4 7 3 5 Popyt Różnice w wierszach 6 7 9 2-2 Różnice w kolumnach T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 24 3 6
3.3. Pierwsze dopuszczalne rozwiązanie bazowe 3.3.2. Metoda VAM (3/3) Przebieg obliczeń (c.d.) Rozwiązanie początkowe 5 5 3 45 Macierz kosztów jednostkowych 4 7 3 5 6 7 9 - - - Podaż 5 Popyt T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 25 3 Różnice w wierszach - - - Różnice w kolumnach
3.3. Pierwsze dopuszczalne rozwiązanie bazowe 3.3.3. Metoda kąta północno-zachodniego (/) Przebieg obliczeń Rozwiązanie początkowe Podaż (metoda kąta północno-zachodniego) 5 5 3 Popyt T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 26
3.4. Metoda potencjałów Szkic algorytmu. Znaleźć pierwsze, dopuszczalne rozwiązanie bazowe. 2. Ocenić, czy jest ono optymalne, czy też nie. 3. Jeżeli nie jest optymalne, wyznaczyć nowe sąsiednie rozwiązanie bazowe. W tym celu należy: - wybrać zmienną wchodzącą do bazy, - wybrać zmienną usuwaną z bazy, - znaleźć rozwiązanie bazowe odpowiadające bazie sąsiedniej 4. Jeżeli otrzymane rozwiązanie jest optymalne, zakończyć postępowanie. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 27
3.4. Metoda potencjałów 3.4.. Badanie optymalności rozwiązania (/3) Konstrukcja układu równań Rozwiązanie początkowe (metoda minimalnego elementu) Podaż 5 5 3 Popyt Ponieważ x >, więc u + v + = Ponieważ x 2 >, więc u + v 2 + 4 = Ponieważ x 22 >, więc u 2 + v 2 + 5 = Ponieważ x 23 >, więc u 2 + v 3 + = Ponieważ x 33 >, więc u 3 + v 3 + 9 = T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 28 u = a, v = a u 2 = + a, v 2 = 4 a u 3 = + a, v 3 = a
3.4. Metoda potencjałów 3.4.. Badanie optymalności rozwiązania (2/3) Wskaźniki optymalności C = 3 6 4 5 7 7 9 c ij = u i + v j + c ij c = u + v + = a + ( a) + = c 2 = u + v 2 + 4 = a + ( 4 a) + 4 = c 3 = u + v 3 + 7 = a + ( a) + 7 = 3 c 2 = u 2 + v + 3 = ( + a) + ( a) + 3 = c 22 = u 2 + v 2 + 5 = ( + a) + ( 4 a) + 5 = c 23 = u 2 + v 3 + = ( + a) + ( a) + = c 3 = u 3 + v + 6 = ( + a) + ( a) + 6 = 6 c 32 = u 3 + v 2 + 7 = ( + a) + ( 4 a) + 7 = 4 c 33 = u 3 + v 3 + 9 = ( + a) + ( a) + 9 = u = a, v = a u 2 = + a, v 2 = 4 a u 3 = + a, v 3 = a 3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 29 C' = 6 4
3.4. Metoda potencjałów 3.4.. Badanie optymalności rozwiązania (3/3) Kryterium optymalności Jeżeli wartości wszystkich wskaźników optymalności są dodatnie lub równe zeru, wtedy rozpatrywane rozwiązanie jest optymalne. Jeżeli choć jeden ze wskaźników optymalności jest ujemny, wtedy istnieje możliwość poprawy tego rozwiązania. C' = 6 4 3 Istnieje możliwość poprawy rozwiązania początkowego. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3
3.4. Metoda potencjałów 3.4.2. Wybór zmiennej wprowadzanej do bazy (/) Kryterium wejścia W macierzy wskaźników optymalności znajdujemy element najmniejszy. Odpowiadającą mu zmienną wprowadzamy do nowej bazy. Jeżeli najmniejszej wartości wskaźnika optymalności odpowiada więcej niż jedna zmienna, to do nowej bazy wprowadzamy zmienną o najmniejszym numerze wiersza, a gdy numer wiersza dla dwóch zmiennych jest taki sam, wówczas do nowej bazy wprowadzamy zmienną o najmniejszym numerze kolumny. C' = 6 4 3 Do bazy wprowadzamy zmienną x 3. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3
3.4. Metoda potencjałów 3.4.3. Wybór zmiennej opuszczającej bazę (/) Kryterium wyjścia 5 5 45 + + 9 6 4 45 Półcykl dodatni: węzły (2, 2), (, 3) Półcykl ujemny: węzły (, 2), (2, 3) Bazę opuszcza ta zmienna należąca do półcyklu ujemnego, dla której wielkość przewozu w dotychczasowym rozwiązaniu jest minimalna. W przypadku niejednoznaczności postępujemy tak samo, jak w przypadku wystąpienia niejednoznaczności w kryterium wejścia. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 32
3.4. Metoda potencjałów 3.4.4. Przejście do rozwiązania bazowego sąsiedniego (/) Wyznaczenie cyklu Rozwiązanie początkowe (metoda minimalnego elementu) + 5 + 5 3 Nowe rozwiązanie dopuszczalne (iteracja ) 5 5 3 Wartość funkcji celu 5 Wartość funkcji celu 48 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 33
3.4. Metoda potencjałów 3.4.5. Kolejne iteracje (/6) Iteracja 2 Macierz wskaźników optymalności 3 6 4 Układ równań: u + v = u + v 3 3 = u 2 + v 2 = u 2 + v 3 = u 3 + v 3 = Rozwiązanie: u =, v =, u 2 = 3, v 2 = 3, u 3 = 3, v 3 = 3. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 34
3.4. Metoda potencjałów 3.4.5. Kolejne iteracje (2/6) Iteracja 2 (c.d.) Dotychczasowa macierz wskaźników optymalności 3 6 4 3 3 Nowa macierz wskaźników optymalności 3 2 3 4 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 35 u i 3 3 v j
3.4. Metoda potencjałów 3.4.5. Kolejne iteracje (3/6) Iteracja 2 (c.d.) Rozwiązanie dopuszczalne Podaż + 2 + 5 5 2 3 3 5 45 Popyt Macierz wskaźników optymalności 3 2 3 4 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 36
3.4. Metoda potencjałów 3.4.5. Kolejne iteracje (4/6) Iteracja 2 (c.d.) Dotychczasowe rozwiązanie dopuszczalne + + 5 5 3 5 45 Nowe rozwiązanie dopuszczalne 5 5 5 5 3 Podaż T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 37 2 2 3 Popyt Wartość funkcji celu (iteracja 2) 47
3.4. Metoda potencjałów 3.4.5. Kolejne iteracje (5/6) Iteracja 3 Macierz wskaźników optymalności 3 2 3 4 Układ równań u + v = u + v 3 = u 2 + v 2 = u 2 + v 2 = u 3 + v 3 = T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 38 Rozwiązanie: u =, v =, u 2 = 2, v 2 = 2, u 3 =, v 3 =.
3.4. Metoda potencjałów 3.4.5. Kolejne iteracje (6/6) Iteracja 3 (c.d.) Dotychczasowa macierz wskaźników optymalności 3 2 3 4 2 Nowa macierz wskaźników optymalności 2 3 2 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 39 u i 2 v j
3.4. Metoda potencjałów 3.4.6. Degeneracja w zadaniu transportowym (/9) Przykład 3.2 a =, a 2 =2, a 3 =3 b =, b 2 =2, b 3 =3 Rozwiązanie początkowe (metoda kąta północno-zachodniego) 2 2 3 C 3 = 7 3 2 4 6 3 4 5 Podaż T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 4 2 3 Popyt
3.4. Metoda potencjałów 3.4.6. Degeneracja w zadaniu transportowym (2/9) Rozwiązania początkowe 2 2 3 3 2 3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 4
3.4. Metoda potencjałów 3.4.6. Degeneracja w zadaniu transportowym (3/9) Iteracja u + v + 7 = u + v 2 + 4 = u 2 + v 2 + 6 = u 2 + v 3 + = u 3 + v 3 + 5 = Macierz kosztów jednostkowych 7 4 4 3 6 2 3 5 u =, v = 7 u 2 = 2, v 2 = 4 u 3 = 6, v 3 = 7 4 v j Macierz wskaźników optymalności 5 6 7 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 42 u i 2 6
3.4. Metoda potencjałów 3.4.6. Degeneracja w zadaniu transportowym (4/9) Iteracja (c.d.) Rozwiązanie początkowe Początkowa + wartość funkcji 2 + celu + 3 34 Nowe rozwiązanie dopuszczalne 2 Wartość funkcji celu (iteracja ) 23 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 43
3.4. Metoda potencjałów 3.4.6. Degeneracja w zadaniu transportowym (5/9) Iteracja 2 Dotychczasowa macierz wskaźników optymalności 5 6 7 Nowa macierz wskaźników optymalności 5 5 7 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 44 u i v j
3.4. Metoda potencjałów 3.4.6. Degeneracja w zadaniu transportowym (6/9) Iteracja 2 (c.d.) Rozwiązanie początkowe + + 2 Nowe rozwiązanie dopuszczalne 2 Początkowa wartość funkcji celu 23 Wartość funkcji celu (iteracja 2) 6 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 45
3.4. Metoda potencjałów 3.4.6. Degeneracja w zadaniu transportowym (7/9) Iteracja 3 Dotychczasowa macierz wskaźników optymalności 5 5 7 7 7 Nowa macierz wskaźników optymalności 4 2 5 7 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 46 u i 7 7 v j
3.4. Metoda potencjałów 3.4.6. Degeneracja w zadaniu transportowym (8/9) Iteracja 3 (c.d.) Rozwiązanie początkowe + 2 + Nowe rozwiązanie dopuszczalne 2 2 2 Początkowa wartość funkcji celu 6 Wartość funkcji celu (iteracja 3) 4 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 47
3.4. Metoda potencjałów 3.4.6. Degeneracja w zadaniu transportowym (9/9) Iteracja 4 Dotychczasowa macierz wskaźników optymalności 4 2 5 7 2 2 2 Nowa macierz wskaźników optymalności 6 2 5 7 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 48 u i 2 2 v j
3.4. Metoda potencjałów 3.4.7. Reguły postępowania w rozwiązywaniu zadania transportowego (/) Algorytm. Uzyskanie pierwszego rozwiązania bazowego. 2. Wyznaczenie wskaźników optymalności. 3. Badanie optymalności rozwiązania. 4. Wybór zmiennej wprowadzanej do bazy. 5. Konstrukcja cyklu. 6. Wybór zmiennej opuszczającej bazę. 7. Przejście do rozwiązania bazowego sąsiedniego. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 49
3.5. Bilansowanie zadania transportowego 3.5.. Podaż przewyższa popyt (/2) Fikcyjny odbiorca m i= n a i > b j= a = 25, a 2 = 2, a 3 = 3 b =, b 2 = 5, b 3 = 45 4 7 C = 3 5 6 7 9 b 4 = (a + a 2 + a 3 ) (b + b 2 + b 3 ) = (25 + 2 + 3) ( + 5 + 45) = 5 j T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5
3.5. Bilansowanie zadania transportowego 3.5.. Podaż przewyższa popyt (2/2) Fikcyjny odbiorca (c.d.) Rozwiązanie początkowe (metoda minimalnego elementu) 5 5 3 5 45 Macierz kosztów jednostkowych 4 7 3 5 6 7 9 Rozwiązanie optymalne 5 x = x 2 = x 3 = 5 x 4 = x 2 = x 22 = 5 x 23 = x 24 = 5 x 3 = x 32 = x 33 = 3 x 34 = Optymalna wartość funkcji celu jest równa 46. 5 Podaż 25 2 3 Popyt Wartość funkcji celu 5 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5
3.5. Bilansowanie zadania transportowego 3.5.2. Popyt przewyższa podaż (/2) Fikcyjny dostawca m i= n a i < b j= a = 2, a 2 = 2, a 3 = 3 b =, b 2 = 5, b 3 = 5 4 7 C = 3 5 6 7 9 a 4 = (b + b 2 + b 3 ) (a + a 2 + a 3 ) = ( + 5 + 5) (2 + 2 + 3) = 5 j T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 52
3.5. Bilansowanie zadania transportowego 3.5.2. Popyt przewyższa podaż (2/2) Fikcyjny dostawca (c.d.) Rozwiązanie początkowe Rozwiązanie początkowe (metoda VAM) Podaż 2 5 5 2 3 3 5 5 5 5 Popyt Nowa macierz wskaźników optymalności 4 7 3 5 6 7 9 Rozwiązanie optymalne x = x 2 = x 3 = x 2 = x 22 = 5 x 23 = 5 x 3 = x 32 = x 33 = 3 x 4 = x 42 = x 43 = 5 Optymalna wartość funkcji celu jest równa 47. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 53
3.6. Problem komiwojażera 3.6.. Problem komiwojażera a zagadnienie transportowe (/4) Przykład 3.5 Komiwojażer wyjeżdża z miasta i ma odwiedzić miasta o numerach 2, 3, 4 i 5, Do każdego z nich przyjeżdża dokładnie jeden raz, po czym wraca do miasta. Szukamy trasy najkrótszej. Miasto 2 3 4 5 2 5 2 9 3 2 9 2 4 5 2 5 2 2 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 54
3.6. Problem komiwojażera 3.6.. Problem komiwojażera a zagadnienie transportowe (2/4) Modelowanie trasy przejazdu x ij = gdy planowany jest przejazd na trasie od i do j w przeciwnym przypadku Trasa przejazdu -2-3-4-5- x 2 =, x 23 =, x 34 =, x 45 =, x 5 =, pozostałe x ij = Miasto 2 3 4 5-2 - 3-4 - 5 - T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 55
3.6. Problem komiwojażera 3.6.. Problem komiwojażera a zagadnienie transportowe (3/4) Model transportowy Zadanie o 5 dostawcach i 5 odbiorcach Miasto 2 3 4 5 Podaż 2 5 2 9 3 2 9 2 4 5 2 5 2 2 Popyt T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 56
3.6. Problem komiwojażera 3.6.. Problem komiwojażera a zagadnienie transportowe (4/4) Model transportowy (c.d.) Rozwiązanie: x 2 =, x 25 =, x 34 =, x 43 =, x 5 = ; pozostałe zmienne są równe. Optymalna wartość funkcji celu wynosi 52. 2 3 5 4 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 57
3.6. Problem komiwojażera 3.6.2. Zadanie komiwojażera jako zadanie programowania całkowitoliczbowego (/5) Model matematyczny Funkcja celu: f(x 2,x 3,x 4,x 5,x 2,x 23,x 24,x 25,x 3,x 32,x 34,x 35,x 4,x 42,x 43,x 45,x 5,x 52,x 53,x 54 ) = = x 2 + 2x 3 + 5x 4 + x 5 + x 2 + 9x 23 + x 24 + x 25 + 2x 3 + 9x 32 + + x 34 + 2x 35 + 5x 4 + x 42 + x 43 + 2x 45 + x 5 + x 52 + 2x 53 + 2x 54 min Warunki ograniczające jednokrotny wyjazd z każdego miasta (3.) (3-5) jednokrotny wjazd do każdego miasta (3.6) (3.2) eliminacja cyklów między miastami (3.2) (3.3) wszystkie zmienne x ij są zmiennymi binarnymi x ij {;} dla i,j =,...,5. (3.3) T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 58
3.6. Problem komiwojażera 3.6.2. Zadanie komiwojażera jako zadanie programowania całkowitoliczbowego (2/5) Jednokrotny wyjazd z miasta i Miasto x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = (3.) Miasto 2 x 2 + x 23 + x 24 + x 25 = (3.2) Miasto 3 x 3 + x 32 + x 34 + x 35 = (3.3) Miasto 4 x 4 + x 42 + x 43 + x 45 = (3.4) Miasto 5 x 5 + x 52 +x 53 + x 54 = (3.5) T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 59
3.6. Problem komiwojażera 3.6.2. Zadanie komiwojażera jako zadanie programowania całkowitoliczbowego (3/5) Jednokrotny wjazd do miasta i Miasto x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = (3.6) Miasto 2 x 2 + x 32 + x 42 + x 52 = (3.7) Miasto 3 x 3 + x 23 + x 43 + x 53 = (3.8) Miasto 4 x 4 + x 24 + x 34 + x 54 = (3.9) Miasto 5 x 5 + x 25 + x 35 + x 45 = (3.2) T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 6
3.6. Problem komiwojażera 3.6.2. Zadanie komiwojażera jako zadanie programowania całkowitoliczbowego (4/5) Eliminacja cyklów pomiędzy miastami Miasta i 2: x 2 + x 2 (3.2) Miasta i 3: x 3 + x 3 (3.22) Miasta i 4: x 4 + x 4 (3.23) Miasta i 5: x 5 + x 5 (3.24) Miasta 2 i 3: x 23 + x 32 (3.25) Miasta 2 i 4 x 24 + x 42 (3.26) Miasta 2 i 5 x 25 + x 52 (3.27) Miasta 3 i 4 x 34 + x 43 (3.28) Miasta 3 i 5 x 35 + x 53 (3.29) Miasta 4 i 5 x 45 + x 54 (3.3) T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 6
3.6. Problem komiwojażera 3.6.2. Zadanie komiwojażera jako zadanie programowania całkowitoliczbowego (5/5) Rozwiązanie optymalne x 5 =, x 2 =, x 34 =, x 42 =, x 53 =, pozostałe zmiennych x ij =. Optymalna wartość funkcji celu jest równa 53. Zapis tabelaryczny x 2 x 3 x 4 x 5 x 2 x 23 x 24 x 25 x 3 x 32 x 34 x 35 x 4 x 42 x 43 x 45 x 5 x 52 x 53 x 54 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 62
3.6. Problem komiwojażera 3.6.3. Mechanizmy działania algorytmu genetycznego (/) Podstawowe pojęcia populacja populacja początkowa chromosom gen funkcja przystosowania selekcja krzyżowanie mutacja warunek końca algorytmu T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 63
3.6. Problem komiwojażera 3.6.4. Symulacja działania algorytmu genetycznego (/9) Populacja początkowa Chromosom x 2 x 3 x 4 x 5 x 2 x 23 x 24 x 25 x 3 x 32 x 34 x 35 x 4 x 42 x 43 x 45 x 5 x 52 x 53 x 54 C C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C 2 3 5 4 C 2 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 64 2 3 5 4
3.6. Problem komiwojażera 3.6.4. Symulacja działania algorytmu genetycznego (2/9) Populacja początkowa (c.d.) 2 2 2 3 3 3 5 4 5 4 5 4 C C 2 C 3 2 2 2 3 3 3 5 4 5 4 5 4 C 4 C 5 C 6 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 65
3.6. Problem komiwojażera 3.6.4. Symulacja działania algorytmu genetycznego (3/9) Wartości funkcji przystosowania Chromosom Numery naruszonych ograniczeń C (3.2), (3.3), (3.4), (3.7), (3.8), (3.9), (3.2), (3.25), (3.27) Długość Odcinków Kara Wartość funkcji przystosowania 9 9 C 2 (3.4), (3.2) 5 2 25 C 3 (3.6), (3.7) 69 2 269 C 4 (3.3), (3.6), (3.8), (3.9), (3.26) 5 5 55 C 5 (3.3), (3.4), (3.5), (3.6), (3.7), (3.2), (3.24) 85 7 785 C 6 (3.3), (3.6), (3.9), (3.2) 64 4 464 Suma 3428 Średnia wartość funkcji przystosowania wynosi 3428 : 6 = 57,33. Najlepsza wartość funkcji przystosowania w tej populacji wynosi 25. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 66
3.6. Problem komiwojażera 3.6.4. Symulacja działania algorytmu genetycznego (4/9) Prawdopodobieństwo selekcji Chromosom Wartość funkcji przystosowania Odwrotność wartości funkcji przystosowania Suma odwrotności funkcji przystosowania Prawdopodobieństwo selekcji C 9,97,3863,6544 7% C 2 25,4,288536 29% C 3 269,3775,26856 27% C 4 55,849,395 3% C 5 785,2739,989 9% C 6 464,2552,5546 5% T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 67
3.6. Problem komiwojażera 3.6.4. Symulacja działania algorytmu genetycznego (5/9) Selekcja i krzyżowanie Wylosowane chromosomy Chromosom x 2 x 3 x 4 x 5 x 2 x 23 x 24 x 25 x 3 x 32 x 34 x 35 x 4 x 42 x 43 x 45 x 5 x 52 x 53 x 54 PK C 5 C 2 C 6 C 2 3 C 4 C 3 7 Nowa populacja po krzyżowaniu Chromosom x 2 x 3 x 4 x 5 x 2 x 23 x 24 x 25 x 3 x 32 x 34 x 35 x 4 x 42 x 43 x 45 x 5 x 52 x 53 x 54 C 2 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 68
3.6. Problem komiwojażera 3.6.4. Symulacja działania algorytmu genetycznego (6/9) Mutacja Prawdopodobieństwo mutacji = /. Chromosom x 2 x 3 x 4 x 5 x 2 x 23 x 24 x 25 x 3 x 32 x 34 x 35 x 4 x 42 x 43 x 45 x 5 x 52 x 53 x 54 C 24 C 24 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 69
3.6. Problem komiwojażera 3.6.4. Symulacja działania algorytmu genetycznego (7/9) Populacja początkowa dla następnej iteracji Chromosom x 2 x 3 x 4 x 5 x 2 x 23 x 24 x 25 x 3 x 32 x 34 x 35 x 4 x 42 x 43 x 45 x 5 x 52 x 53 x 54 C 2 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26 2 C 3 2 5 4 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 7
3.6. Problem komiwojażera 3.6.4. Symulacja działania algorytmu genetycznego (8/9) Populacja początkowa dla następnej iteracji (c.d.) 2 2 2 3 3 3 5 4 5 4 5 4 C 2 C 22 C 23 2 2 2 3 3 3 5 4 5 4 5 4 C 24 C 25 C 26 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 7
3.6. Problem komiwojażera 3.6.4. Symulacja działania algorytmu genetycznego (9/9) Wartości funkcji przystawania Chromosom Numery naruszonych ograniczeń Długość trasy Kara Wartość funkcji przystosowania C 2 72 72 C 22 (3.4), (3.5), (3.7), (3.9) 77 4 477 C 23 (3.4), (3.2) 5 2 25 C 24 (3.2), (3.4), (3.8), (3.2) 3 4 43 C 25 (3.3), (3.6), (3.26) 43 3 343 C 26 (3.6), (3.7), (3.8), (3.9), (3.3) 77 5 577 Średnia wartość funkcji przystosowania wynosi 358,33 Suma 25 Najlepsza wartość funkcji przystosowania w tej populacji wynosi 72 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 72
3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego 3.7.. Minimalizacja pustych przebiegów (/7) Przykład 3.6 Mamy układ ośmiu miast, między którymi istnieją połączenia komunikacyjne. Z każdego z nich wywozi się i do każdego przywozi określoną masę towarową wykorzystując do przewozu samochody o tej samej ładowności. Odległości między miastami: 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7 8 35 25 9 32 8 38 345 3 4 35 32 7 44 24 245 295 35 385 65 27 52 55 4 48 4 35 48 65 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 73
3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego 3.7.. Minimalizacja pustych przebiegów (2/7) Przykład 3.6 (c.d.) Przewidywany przewóz masy towaru, mierzony liczbą samochodów: Przywóz do mias sta i w i 2 3 4 5 6 7 8 Wywóz z miasta i 2 3 4 5 6 7 8 2 8 9 6 7 9 4 2 5 9 6 4 8 9 3 2 5 6 3 8 9 7 4 3 7 6 8 8 6 2 8 8 9 6 9 6 2 8 7 6 4 3 9 2 4 3 6 3 4 2 9 85 67 8 58 73 34 38 Znaleźć plan przewozów minimalizujących puste przebiegi. p i 7 74 6 68 7 39 32 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 74
3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego 3.7.. Minimalizacja pustych przebiegów (3/7) Nadwyżka/niedobór samochodów w kolejnych miastach p i 7 74 6 68 7 39 32 w i 9 85 67 8 58 73 34 38 w i 9 4 7 9 2 5 6 a nadwyżka samochodów w mieście (dostawca pierwszy), a 2 nadwyżka samochodów w mieście 3 (dostawca drugi), a 3 nadwyżka samochodów w mieście 5, (dostawca trzeci), a 4 nadwyżka samochodów w mieście 7 (dostawca czwarty), b niedobór samochodów w mieście 2 (odbiorca pierwszy), b 2 niedobór samochodów w mieście 4 (odbiorca drugi), b 3 niedobór samochodów w mieście 6 (odbiorca trzeci), b 4 niedobór samochodów w mieście 8 (odbiorca czwarty). T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 75
3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego 3.7.. Minimalizacja pustych przebiegów (4/7) Podaż i popyt na puste samochody dostawca b a 35 odbiorca b 2 b 3 b 4 9 8 345 a 2 3 24 295 385 a 3 35 65 4 4 7 52 35 65 a 4 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 76
3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego 3.7.. Minimalizacja pustych przebiegów (5/7) Model matematyczny Cel określenie takiego planu przewozów, który minimalizuje łączną liczbę kilometrów pustych przebiegów. Zmienne decyzyjne Liczba pustych przebiegów: x z miasta do miasta 2, x 2 z miasta do miasta 4, x 3 z miasta do miasta 6, x 4 z miasta do miasta 8, x 2 z miasta 2 do miasta 2, x 22 z miasta 2 do miasta 4, x 23 z miasta 2 do miasta 6, x 24 z miasta 2 do miasta 8, x 3 z miasta 3 do miasta 2, x 32 z miasta 3 do miasta 4, x 33 z miasta 3 do miasta 6, x 34 z miasta 3 do miasta 8, x 4 z miasta 4 do miasta 2, x 42 z miasta 4 do miasta 4, x 43 z miasta 4 do miasta 6, x 44 z miasta 4 do miasta 8. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 77
3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego 3.7.. Minimalizacja pustych przebiegów (6/7) Model matematyczny (c.d.) Funkcja celu f(x, x 2, x 3, x 4, x 2, x 22, x 23, x 24, x 3, x 32, x 33, x 34, x 4, x 42, x 43, x 44 )= = 35x + 9x 2 + 8x 3 + 345x 4 + + 3x 2 + 24x 22 + 295x 23 + 385x 24 + + 35x 3 + 65x 32 + 4x 33 + 4x 34 + + 7x 4 + 52x 42 + 35x 43 + 65x 44 min Ograniczenia dostawca : x + x 2 + x 3 + x 4 = 9 dostawca 2: x 2 + x 22 + x 23 + x 24 = 7 dostawca 3: x 3 + x 32 + x 33 + x 34 = dostawca 4: x 4 + x 42 + x 43 + x 44 = 5 Warunki nieujemności odbiorca : x + x 2 + x 3 + x 4 = 4 odbiorca 2: x 2 + x 22 + x 32 + x 42 = 9 odbiorca 3: x 3 + x 23 + x 33 + x 43 = 2 odbiorca 4: x 4 + x 24 + x 34 + x 44 = 6 x, x 2, x 3, x 4, x 2, x 22, x 23, x 24, x 3, x 32, x 33,x 34, x 4, x 42, x 43, x 44 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 78
3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego 3.7.. Minimalizacja pustych przebiegów (7/7) Rozwiązanie optymalne x = 2 x 2 = 5 x 3 = 2 x 4 = x 2 = 7 x 22 = x 23 = x 24 = x 3 = x 32 = 4 x 33 = x 34 = 6 x 4 = 5 x 42 = x 43 = x 44 = Optymalna wartość funkcji celu : 69 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 79
3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego 3.7.2. Zagadnienie transportowo-produkcyjne (/4) Przykład 3.7 Zdolności produkcyjne zakładów: 4, 5, 3 Zapotrzebowanie odbiorców: 45,, 3, 35 Jednostkowe koszty produkcji: 4, 3, Jednostkowe koszty transportu 4 C = 3 8 3 2 3 2 7 5 9 4 Jednostkowe koszty produkcji i transportu Znaleźć taki plan produkcji, by zminimalizować łączne koszty produkcji i transportu. J = T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 8 8 6 9 7 5 4 6 6 5 2 5
3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego 3.7.2. Zagadnienie transportowo-produkcyjne (2/4) Model matematyczny Cel Minimalizacja łącznych kosztów produkcji i transportu. Zmienne decyzyjne Ilość produktu wytworzona: x - przez zakład dla odbiorcy x 2 - przez zakład dla odbiorcy 2 x 3 - przez zakład dla odbiorcy 3 x 4 - przez zakład dla odbiorcy 4 x 2 - przez zakład 2 dla odbiorcy x 22 - przez zakład 2 dla odbiorcy 2 x 23 - przez zakład 2 dla odbiorcy 3 x 24 - przez zakład 2 dla odbiorcy 4 x 3 - przez zakład 3 dla odbiorcy x 32 - przez zakład 3 dla odbiorcy 2 x 33 - przez zakład 3 dla odbiorcy 3 x 34 - przez zakład 3 dla odbiorcy 4 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 8
3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego 3.7.2. Zagadnienie transportowo-produkcyjne (3/4) Model matematyczny Funkcja celu f(x, x 2, x 3, x 4, x 2, x 22, x 23, x 24, x 3, x 32, x 33, x 34 ) = = 8x + 7x 2 + 6x 3 + 5x 4 + + 6x 2 + 4x 22 + x 23 + 2x 24 + + 9x 3 + 4x 32 + x 33 + 2x 34 min Ograniczenia zakład : x + x 2 + x 3 + x 4 = 4 zakład 2: x 2 + x 22 + x 23 + x 24 = 5 zakład 3: x 3 + x 32 + x 33 + x 34 = 3 Warunki nieujemności odbiorca : x + x 2 + x 3 + x 4 = 45 odbiorca 2: x 2 + x 22 + x 32 + x 42 = odbiorca 3: x 3 + x 23 + x 33 + x 43 = 3 odbiorca 4: x 4 + x 24 + x 34 + x 44 = 35 x, x 2, x 3, x 4, x 2, x 22, x 23, x 24, x 3, x 32, x 33,x 34, x 4, x 42, x 43, x 44 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 82
3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego 3.7.2. Zagadnienie transportowo-produkcyjne (4/4) Rozwiązanie optymalne x = x 2 = x 3 = 3 x 4 = x 2 = 45 x 22 = 5 x 23 = x 24 = x 3 = x 32 = 5 x 33 = x 34 = 25 Optymalna wartość funkcji celu jest równa 665 Plan przewozów odbiorca odbiorca 2 odbiorca 3 odbiorca 4 3 45 5 5 25 Produkcja zakład zakład 2 zakład 3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 83 4 5 3
3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego 3.7.3. Zagadnienie przydziału (/5) Przykład 3.8 Czas pracy doradców firmy consultingowej : X - 4 godz., Y - 4 godz., Z - 2 godz. Wymagania czasowe nowych kontraktów: Klient Liczba godzin A 65 B 5 C 8 D 7 Stawki godzinowe: Doradca X Y Z Klient A 9 5 Klient B,5 3 4,5 Klient C 2,5 4 Klient D 2 3 W jaki sposób przydzielić doradcom kontrakty tak, by łączny koszt ich realizacji był najmniejszy? T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 84
3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego 3.7.3. Zagadnienie przydziału (2/5) Model matematyczny Cel Minimalizacja kosztów wynagrodzenia doradców. Zmienne decyzyjne Liczba godzin pracy: x - doradcy X dla klienta A, x 2 - doradcy X dla klienta B, x 3 - doradcy X dla klienta C, x 4 - doradcy X dla klienta D, x 5 - doradcy X dla fikcyjnego klienta E, x 2 - doradcy Y dla klienta A, x 22 - doradcy Y dla klienta B, x 23 - doradcy Y dla klienta C, x 24 - doradcy Y dla klienta D, x 25 - doradcy Y dla fikcyjnego klienta E, x 3 - doradcy Z dla klienta A, x 32 - doradcy Z dla klienta B, x 33 - doradcy Z dla klienta C, x 34 - doradcy Z dla klienta D, x 35 - doradcy Z dla fikcyjnego klienta E. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 85
3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego 3.7.3. Zagadnienie przydziału (3/5) Model matematyczny (c.d.) Funkcja celu f(x, x 2, x 3, x 4, x 5, x 2, x 22, x 23, x 24, x 25, x 3, x 32, x 33, x 34, x 35 ) = = 9x + 5x 2 + 2x 3 + x 4 + x 4 + + x 2 + 3x 22 + 5x 23 + 2x 24 + x 25 + + 5x 3 + 45x 32 + 4x 33 + 3x 34 + x 35 min Ograniczenia dla doradcy X: x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 4 dla doradcy Y: x 2 + x 22 + x 23 + x 24 + x 25 4 dla doradcy Z: x 3 + x 32 + x 33 + x 34 + x 35 2 Warunki nieujemności dla zmiennych decyzyjnych dla klienta A: x + x 2 + x 3 = 65 dla klienta B: x 2 + x 22 + x 32 = 5 dla klienta C: x 3 + x 23 + x 33 = 8 dla klienta D: x 4 + x 24 + x 34 = 7 dla klienta E: x 5 + x 25 + x 35 = 35 x, x 2, x 3, x 4, x 5, x 2, x 22, x 23, x 24, x 25, x 3, x 32, x 33, x 34, x 35 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 86
3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego 3.7.3. Zagadnienie przydziału (5/5) Rozwiązanie optymalne x = 4 x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x 2 = 25 x 22 = 35 x 23 = 8 x 24 = x 25 = x 3 = x 32 = 5 x 33 = x 34 = 7 x 35 = 35 Optymalna wartość funkcji celu jest równa 437,5 Doradca X Y Z Klient A 4 25 Klient B 35 5 Klient C T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 87 8 Klient D 7
Pora na relaks T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 88 3. Zadanie transportowe i problem komiwojażera