Optymalizacja kosztów transportu w sferze logistyki zaopatrzenia

Transkrypt

1 SZKUTNIK Joanna 1 ZIÓŁKOWSKI Jarosław 2 Optymalizacja kosztów transportu w sferze logistyki zaopatrzenia WSTĘP Zagadnienie transportowe jest szczególnym rodzajem zadania programowania liniowego. Polega na zaplanowaniu przemieszczania towarów od dostawców do odbiorców w taki sposób aby łączne koszty transportu były jak najmniejsze. Aby zadanie miało rozwiązanie dopuszczalne, łączna podaż musi zaspokoić zagregowany popyt. [4] Duża efektywność algorytmu transportowego jest główną przyczyną jego częstych zastosowań. Ukazanie problemu transportowego z matematycznego punktu widzenia polega na sformułowaniu celu działania jako funkcji zmiennych decyzyjnych. Na podstawie rozpatrywanej sytuacji decyzyjnej należy wskazać warunki ograniczające oraz sformułować je w postaci równań. [2] W okresie ćwiczeń lub działań bojowych szybko zmieniająca się sytuacja na polu walki oraz wysokie tempo działań powodują, że odległości trasy dowozu zaopatrzenia stale się zmieniają. Utrudnia to organizację przewozów i prowadzenie racjonalnej gospodarki transportowej oraz wymaga od dowódców i sztabów wysiłku organizacyjnego. Szczególnego znaczenia nabiera umiejętność optymalizacji pracy transportu samochodowego oraz wykorzystywania teorii ekonomicznych do rozwiązywania problemów transportowych według różnych kryteriów np. kosztów. [1] 1. ZBILANSOWANE ZADANIE TRANSPORTOWE Zbilansowane zadanie transportowe odnosi się do równości pomiędzy zagregowanym popytem a zagregowaną podażą. Znane jest zapotrzebowanie każdego odbiorcy i zasoby każdego dostawcy. Dystrybucję produktu należy zaplanować tak, aby koszt transportu był jak najmniejszy. Przyjęto następujące oznaczenia: a zasób i tego dostawcy, a i 0, i 1, m, i b zapotrzebowanie j j tego odbiorcy, b i 0, j 1, n, c ij jednostkowy koszt transportu na trasie od i tego dostawcy do j tego odbiorcy, i 1, m; j 1, n. Funkcja celu przyjmuje postać c min przy warunkach: n j 1 x ij a i gdzie i 1, m oraz x ij b j gdzie m i 1 m n i 1 j 1 ij xij j 1, n, x 0 wielkość przewozu na trasie od i tego dostawcy do j tego odbiorcy. ij Z przyjętych założeń wynika, że łączny popyt jest równy łącznej podaży, zatem m i 1 m a i b 1.1. Metoda kąta północno zachodniego Zadanie polega na wyznaczeniu optymalnego rozwiązania następującego zagadnienia transportowego: Cztery Regionalne Bazy Logistyczne dysponują odpowiednio 30, 25, 40,35 skrzynkami amunicji. Natomiast pięciu odbiorców zlokalizowanych w różnych miastach Polski składa zamówienie na odpowiednio 20,15, 25,37,33 skrzynki. Należy jak najmniejszym kosztem dostarczyć wszystkie skrzynki amunicji znając koszty transportu od dostawcy do poszczególnych j 1 j. [3] 1 Wojskowa Akademia Techniczna, ul. Gen. Sylwestra Kaliskiego 2, , Warszawa, Polska, Tel: , jszkutnik@onet.eu 2 Wojskowa Akademia Techniczna, ul. Gen. Sylwestra Kaliskiego 2, , Warszawa, Polska, Tel: , jziolkowski@wat.edu.pl 6015

2 odbiorców. Koszty zostały obliczone na podstawie Rozkazu nr 40 Szefa Inspektoratu Wsparcia Sił Zbrojnych z dnia 28 lutego 2014 r. Przewóz ma być zrealizowany samochodem średniej ładowności wysokiej mobilności STAR 266M dla którego jednostkowy wskaźnik kosztów amortyzacji wynosi 3,93 zł., jednostkowy wskaźnik kosztów utrzymania wynosi 3,70 zł. natomiast jednostkowy wskaźnik kosztów MPS wynosi 2,37 zł.. Ogółem jednostkowy wskaźnik kosztów eksploatacji przypadający na jednostkę eksploatacji wynosi 10 zł. Dane liczbowe zostały zaprezentowane w tabeli 1. Tab. 1. Dane liczbowe dotyczące zagadnienia transportowego [Opracowanie własne] Regionalne Bazy Logistyczne Kraków Wałcz Warszawa Wrocław Ilość w magazynie Potrzeby I Bat. Zmech. Rzeszów Bat. Dow. Wielonarodowej Brygady Lublin Baza Lotnictwa Taktycznego Łask Bryg. Kawalerii Pancernej Świętoszów Baza Lotnictwa Transportowego Powidz 33 Na początku należy przygotować tabelę o wymiarze n kolumn (liczba dostawców) oraz m wierszy (liczba odbiorców). Warunki ograniczające: x11 x12 x13 x14 20 x11 x21 x31 x41 x51 30 x21 x22 x23 x24 15 x12 x22 x32 x42 x52 25 x31 x32 x33 x34 25 oraz x13 x23 x33 x43 x53 40 x41 x42 x43 x44 37 x15 x25 x35 x45 x55 35 x51 x52 x53 x54 33 Wypełnianie tabeli należy rozpocząć w pierwszej komórce lewego narożnika. Odpowiada jej pewna wartość podaży i popytu. Należy wybrać wartość mniejszą spośród nich i wpisać w pole odpowiadające pierwszej komórce co zaprezentowano w tabeli 2. Tab. 2. Tabela na wyniki [Opracowanie własne] Wpisaną wartość należy odjąć zarówno od podaży jak i popytu. Dla pierwszej komórki podaż wynosi 30, popyt przyjmuje wartość 20. Mniejszą z nich jest 20 więc tę wartość należy wpisać do pierwszej komórki. Tą samą wartość odjęto od podaży ( ) i popytu ( ). Następnie należy ustalić, która z wartości popytu czy podaży osiąga wartość 0. W sytuacji gdy popyt wynosi 0 wówczas w danym wierszu w resztę komórek należy wpisać 0. Jeżeli wyzerowałaby się podaż wówczas należałoby wpisać 0 w pozostałe komórki danej kolumny. W tym przypadku popyt osiągnął wartość 0 więc pozostałe komórki pierwszego wiersza wypełniono zerami, wyniki obrazuje tabela

3 Tab. 3. Minimum (30, 20) = 20 [Opracowanie własne] Postępując analogicznie w kolejnych krokach można uzyskać rozwiązanie dopuszczalne przedstawione w tabeli 4. Tab. 4. Tabela ukazująca rozwiązanie dopuszczalne [Opracowanie własne] Elementy zerowe nazywa się elementami niebazowymi. Natomiast elementami bazowymi nazywa się wszystkie elementy niezerowe. Ponadto elementów bazowych powinno być m n 1 czyli wówczas rozwiązanie jest zdegenerowane. W przeciwnym wypadku rozwiązanie będzie niezdegenerowane co uniemożliwi sprawdzenie optymalności metodą potencjałów. W celu wyznaczenia kosztu uzyskanego metodą kąta północno zachodniego należy wyznaczyć sumę iloczynów elementów bazowych i odpowiadających im kosztów wynikających z treści zadania. Funkcja celu przyjmuje postać: m n i 1 j 1 c ij x ij x x x x x x x x Uwzględniając wyznaczone rozwiązanie bazowe otrzymano: Uzyskano koszt transportu równy Metoda najmniejszego elementu Pierwsza tabela będzie zawierała wyniki natomiast druga koszty wynikające z treści zadania. Należy przygotować dwie tabele o wymiarze n kolumn i m wierszy (tabela 5). Tab. 5. Tabela na wyniki oraz tabela kosztów wynikających z treści zadania [Opracowanie własne] W pierwszym wierszu wskazano komórkę o najmniejszym koszcie transportu. Odpowiada jej pewna wartość popytu oraz podaży. Wybrano wartość mniejszą spośród nich a następnie pomniejszono o tę wartość popyt i podaż. Najniższym kosztem w pierwszym wierszu jest 1780 o popycie wynoszącym 20 i podaży 30. Wartością mniejszą jest 20. Należy sprawdzić, która wartość podaży czy popytu po przekształceniu będzie równa 0. W rozpatrywanym zagadnieniu popyt wynosi 0 więc pozostałe komórki w danym wierszu należy uzupełnić zerami. Tabela 6 przedstawia wyniki uzyskane po zastosowaniu przedstawionego schematu. 6017

4 Tab. 6. Tabela przedstawiająca wartość najmniejszą w wierszu pierwszym oraz zmiany wartości popytu i podaży [Opracowanie własne] Postępując analogicznie pomijając pola wypełnione 0 w kolejnych krokach można otrzymać rozwiązanie dopuszczalne. Tabela 7 prezentuje konsekwencje stosowanych przekształceń oraz tabelę kosztów. Tab. 7. Rozwiązanie dopuszczalne oraz tabela kosztów [Opracowanie własne] W ten sposób wyznaczono rozwiązanie dopuszczalne, lecz nie jest ono zdegenerowane. Uwzględniając wyznaczone rozwiązanie bazowe otrzymano: Uzyskano koszt transportu równy Metoda VAM Metoda VAM uwzględnia macierz kosztów dzięki czemu umożliwia uzyskanie niskiego kosztu rozwiązania. Podobnie jak w metodzie najmniejszego elementu należy przygotować dwie tabele o wymiarze n kolumn i m wierszy, gdzie: m oznacza liczbę odbiorców, n oznacza liczbę dostawców. Tabela 8 zawiera komórki na wyniki oraz koszty transportu wynikające z treści zadania. Tab. 8. Tabela na wyniki oraz tabela kosztów [Opracowanie własne] W każdej kolumnie należy wskazać dwie najmniejsze wartości, następnie obliczyć różnicę pomiędzy nimi odejmując mniejszą od większej. Otrzymane w ten sposób wyniki (wskaźniki) należy wpisać w puste komórki tabeli wiersza pierwszego. To samo należy uczynić dla wierszy zaś otrzymane wyniki wpisać w puste pola kolumny 5. Następnie wskazać najwyższą spośród obliczonych wartości. W sytuacji gdy najwyższy wskaźnik odpowiada wierszowi należy w tym wierszu wskazać najmniejszy koszt. Jeśli najwyższym wskaźnikiem byłaby liczba zawarta w kolumnie wówczas należy odszukać najniższą wartość kosztu w odpowiadającej jej kolumnie. Uzyskane wyniki zostały zobrazowane w tabeli

5 Tab. 9. Tabela przedstawiająca wartości liczbowe otrzymane po wykorzystaniu opisanego schematu [Opracowanie własne] W analizowanym zagadnieniu najwyższym wskaźnikiem jest W tabeli na wyniki należy odnaleźć komórkę odpowiadającą pozycji minimalnego kosztu. Jest to pole dla którego popyt wynosi 37 zaś podaż 35. Należy wybrać mniejszą spośród nich i wpisać w miejsce odpowiadające wartości kosztu 1380 po czym o wartość 35 pomniejszyć popyt i podaż. W rozpatrywanym problemie osiągnięto wartość 0 w podaży zatem pozostałe komórki w kolumnie przyjmują wartość 0. Wykonane przekształcenia przedstawia tabela 10. Tab. 10. Tabela ukazująca zmiany wartości popytu oraz podaży [Opracowanie własne] Po wykreśleniu z tabeli kosztów kolumn lub wierszy uzupełnionych zerami i ponownym obliczeniu wskaźników zgodnie z przedstawionym schematem w kolejnych krokach uzyskano następujące rozwiązanie dopuszczalne, które zaprezentowano w tabeli 11. Tab. 11. Tabela zawierająca rozwiązanie dopuszczalne oraz koszty transportu wynikające z treści zadania [Opracowanie własne] Wyznaczone rozwiązanie jest zdegenerowane. Koszt transportu wynosi: METODA E - PERTURBACJI Tabela 12 przedstawia rozwiązania dopuszczalne otrzymane trzema metodami. Tab. 12. Rozwiązania dopuszczalne otrzymane trzema metodami [Opracowanie własne] 1) met. kąta pn. zach. 2) met. najmn. elementu 3) met. VAM

6 Metoda e perturbacji jest stosowana w celu pozbycia się niezdegenerowania rozwiązania dopuszczalnego i polega na: Krok 1. Dodaniu do każdego odbiorcy pomijalnie małej liczby. Krok 2. Dodaniu do ostatniego dostawcy pomijalnie małej liczby pomnożonej przez ilość odbiorców. Krok 3. Rozwiązaniu zadania transportowego dowolną metodą. Tabela 13 przedstawia zmiany wartości popytu oraz podaży po zastosowaniu kroku 1 i 2. Tab. 13. Zbiór danych wejściowych z uwzględnieniem liczby [Opracowanie własne] W celu pozbycia się niezdegenerowania rozwiązania otrzymanego metodą najmniejszego elementu zastosowano metodę e perturbacji. Tabela 14 zawiera ostateczne rozwiązanie. Tab. 14. Tabela zawierająca rozwiązanie dopuszczalne [Opracowanie własne] Metoda e perturbacji umożliwiła uzyskanie rozwiązania zdegenerowanego ponieważ elementów bazowych jest 8, zgodnie z założeniem został spełniony warunek konieczny. Rozwiązanie uzyskane metodą e perturbacji ma nadal taką samą wartość kosztów transportu równą SPRAWDZANIE OPTYMALNOŚCI ROZWIĄZANIA DOPUSZCZALNEGO Metoda potencjałów ma na celu sprawdzenie optymalności rozwiązania dopuszczalnego zdegenerowanego otrzymanego metodą: kąta północno zachodniego, najmniejszego elementu, VAM. a) SPRAWDZENIE OPTYMALNOŚCI ROZWIĄZANIA UZYSKANEGO METODĄ KĄTA PÓŁNOCNO ZACHODNIEGO Bazując na zestawie danych wejściowych oraz rozwiązaniu dopuszczalnym uzyskanym metodą kąta północno zachodniego w pierwszej kolejności przygotowano tabelę na wyniki w taki sposób aby komórki odpowiadające wartościom podaży i popytu pozostały puste. Uzupełniono koszty transportu w polach stanowiących elementy bazowe. Przyjęto, że wartość potencjału Y 1 0. Należy odnaleźć koszt odpowiadający temu potencjałowi. Następnie obliczyć potencjał X 1 będący różnicą kosztu i potencjału Y 1. W zadaniu otrzymano X Y Należy odszukać w kolumnie odpowiadającej X 1 kolejnego kosztu oraz wyznaczyć wartość Y 2. Potencjał Y 2 odpowiadający wyznaczonemu kosztowi należy obliczyć jako różnicę kosztu 2730 i potencjału X 1. W celu wyznaczenia pozostałych potencjałów powtórzono procedurę. Pozostałe pola należy wypełnić sumami potencjałów X Y gdzie i 1,2, n natomiast j 1,2, m, pamiętając, że i j 6020

7 m oznacza liczbę odbiorców, zaś n liczbę dostawców. Wyniki zastosowanych przekształceń przedstawia tabela 15. Tab. 15. Zestawienie kosztów pośrednich oraz kosztów wynikających z treści zadania [Opracowanie własne] X1 = 1780 X2 = 4930 X3 = 3250 X4 = X Y Y1 = Y2 = Y3 = Y4 = Y5 = Kolejnym etapem jest wyznaczenie wskaźników optymalności rozumianych jako różnica pomiędzy kosztami pośrednimi a kosztami. Wyniki zobrazowano w tabeli 16. Tab. 16. Wartości wskaźników optymalności dla rozwiązania uzyskanego metodą kąta północno zachodniego [Opracowanie własne] Wśród wyznaczonych wskaźników występują liczby dodatnie, co oznacza, że rozwiązanie nie jest optymalne. Budowa cyklu prowadzi do uzyskania rozwiązania dopuszczalnego o niższym koszcie. Pierwszy element cyklu dodatniego odpowiada maksymalnemu wskaźnikowi optymalności. W wierszu zawierającym element cyklu dodatniego należy wskazać taki element, który będzie miał odpowiednik w kolumnie. Procedurę należy powtórzyć do momentu zamknięcia cyklu. Następnie należy wskazać najmniejszą wartość spośród elementów cyklu ujemnego i odjąć tę wartość od wszystkich elementów cyklu ujemnego oraz dodać do wszystkich elementów cyklu dodatniego. Tabela 17 przedstawia zbudowany cykl oraz nowe rozwiązanie dopuszczalne. Tab. 17. Budowa cyklu oraz nowe rozwiązanie dopuszczalne [Opracowanie własne] Koszt obecnego rozwiązania wynosi Otrzymany koszt jest niższy, zatem rozwiązanie jest lepsze. Powtarzając trzykrotnie procedurę uzyskano nowe rozwiązanie. Tabela 18 zawiera rozwiązanie dopuszczalne oraz ostateczne wskaźniki optymalności. Tab. 18. Nowe rozwiązanie dopuszczalne oraz wskaźniki optymalności [Opracowanie własne] X Y

8 Wszystkie wartości wskaźników optymalności są niedodatnie więc otrzymane rozwiązanie jest optymalne. Koszt rozwiązania wynosi b) SPRAWDZENIE OPTYMALNOŚCI ROZWIĄZANIA UZYSKANEGO METODĄ NAJMNIEJSZEGO ELEMENTU Tabela 19 przedstawia rozwiązanie dopuszczalne uzyskane metodą najmniejszego elementu po zastosowaniu metody e perturbacji oraz wyliczone wartości potencjałów. Tab. 19. Rozwiązanie uzyskane w wyniku zastosowania metody e perturbacji oraz wartości potencjałów [Opracowanie własne] Wykorzystując trzykrotnie zaprezentowany schemat postępowania otrzymano nowe rozwiązanie dopuszczalne co zobrazowano w tabeli 20. Tab. 20. Tabela ukazująca cykl oraz nowe rozwiązanie dopuszczalne [Opracowanie własne] Koszt nowego rozwiązania wynosi Wyliczone potencjały oraz wskaźniki optymalności przedstawia tabela 21. Tab. 21. Wyliczone potencjały oraz wskaźniki optymalności [Opracowanie własne] Wszystkie wartości współczynników optymalności są niedodatnie zatem otrzymane rozwiązanie jest optymalne. c) SPRAWDZENIE OPTYMALNOŚCI ROZWIĄZANIA UZYSKANEGO METODĄ VAM Tabela 22 prezentuje rozwiązanie dopuszczalne uzyskane metodą VAM. Tab. 22. Rozwiązanie dopuszczalne otrzymane w wyniku zastosowania metody VAM [Opracowanie własne]

9 Koszt rozwiązania uzyskany metodą VAM wynosi Należy dokonać sprawdzenia wartości wskaźników optymalności. Wartości liczbowe przeprowadzonych obliczeń zobrazowano w tabeli 23. Tab. 23. Wyliczone potencjały oraz wskaźniki optymalności [Opracowanie własne] Wszystkie wskaźniki optymalności są niedodatnie zatem otrzymane rozwiązanie jest optymalne. Tabela 24 prezentuje zestawienie końcowych kosztów transportu oraz efekt zastosowania metody potencjałów prowadzącej do uzyskania rozwiązania optymalnego. Tab. 24. Porównanie metod i kosztów otrzymanych rozwiązań [Opracowanie własne] METODA kąta pn. zach. najmn. elementu VAM pierwsze rozwiązanie rozw. po e - perturbacji ROZWIĄZANIE PO ZASTOSOWANIU METODY POTENCJAŁÓW 1 poprawa rozwiązania poprawa rozwiązania poprawa rozwiązania poprawa rozwiązania WNIOSKI Celem niniejszego artykułu było zaprezentowanie efektywności oraz złożoności obliczeniowej różnych metod optymalizacji kosztów transportu samochodowego w przewozach krajowych. W pracy przedstawiono różne sposoby wyznaczania optymalnych rozwiązań zagadnienia transportowego prowadzące do osiągnięcia minimalnej wartości funkcji celu. Z przeprowadzonych obliczeń wynika, że najbardziej czasochłonną metodą jest metoda kąta północno zachodniego. Aby uzyskać rozwiązanie optymalne należało czterokrotnie optymalizować rozwiązanie dopuszczalne. Optymalny koszt transportu wynosi Najmniejszą złożonością obliczeniową charakteryzuje się metoda VAM dla której optymalną wartość kosztów transportu otrzymano w pierwszym kroku. Streszczenie W artykule opisano przykład rozwiązania problemu transportowego różnymi metodami. W oparciu o dane liczbowe przedstawiono sposób postępowania prowadzący do uzyskania rozwiązania i optymalizacji kosztów transportu w sferze logistyki zaopatrzenia. Cel pracy, jakim było zaprezentowanie efektywności metod: kąta północno zachodniego, najmniejszego elementu oraz VAM z ekonomicznego punku widzenia został osiągnięty. Słowa kluczowe: zagadnienie transportowe, optymalizacja, metoda e perturbacji, metoda potencjałów Title of the paper Optimization of transport costs inbound logistics sphere Abstract Examples of soluting the transportation problems by using several methods were presented in the article. In accordance to collected datas, some algorithms enabling the user to reach the solutions were described. These were the solutions that performed costs connected with transport of inbound logistics sphere. The aim of this article was to present effectiveness of such methods as: north west angle, the least element and VAM, solutions made by all of them were examined and finally the aim was accomplished. Keywords: transport issue, optimization, e perturbation method, potential method 6023

10 BIBLIOGRAFIA 1. Cygan Z., Podstawy ekonomiki transportu samochodowego w wojsku, Wydawnictwo MON, Warszawa Grabowski W., Programowanie matematyczne, PWE, Warszawa Gruszczyński M., Kuszewski T., Podgórska M., Ekonometria i badania operacyjne, PWN, Warszawa Stadnicki J., Teoria i praktyka rozwiązywania zadań optymalizacji z przykładami zastosowań technicznych, WNT, Warszawa Rozkaz Nr 40 Szefa Inspektoratu Wsparcia Sił Zbrojnych z dnia 28 lutego 2014 r. 6024