Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem 1 Całka potrójna po prostopadłościanie CAŁKA POTRÓJNA 2 Całka potrójna po obszarach normalnych Współrzędne walcowe 4 Współrzędne sferyczne 5 Zastosowania całek potrójnych w geometrii 1 Całka potrójna po prostopadłościanie A1 Definicja (podział prostopadłościanu) Podziałem zbiór Wykład prostopadłościanu P {( x, y) : a x b, c y d, p z q} nazywamy złożony z prostopadłościanów P1, P2,, P n, które całkowicie go wypełniają i mają parami rozłączne wnętrza tzn n k j P P1 P2 P, mes P P 0 dla k j Stosowane oznaczenia: xk, yk, zk - wymiary prostopadłościanu P k, gdzie 1 k n; 2 dk ( xk ) ( yk ) ( zk ) długość przekątnej prostopadłościanu P k, gdzie 1 k n; ( ) max{ d :1 k n} średnica podziału ; k 1
x1 y1 z1 x2 y2 z2 xn yn zn {(,, ),(,, ),,(,, )}, gdzie ( x, y, z ) P dla 1 k n zbiór punktów pośrednich podziału A2 Definicja (całka potrójną po prostopadłościanie) k k k k Niech funkcja f będzie ograniczona na prostopadłościanie P Całkę potrójną z funkcji f po prostopadłościanie P definiujemy wzorem P n f ( x, y, z) dxdydz lim f ( x, y, z )( x )( y )( z ) ( ) 0 k 1 k k k k k k o ile po prawej stronie granica jest właściwa i nie zależy od sposoby podziału prostopadłościanu P, ani od sposobu wyboru punktów pośrednich Mówimy wtedy, że funkcja f jest całkowalna po prostopadłościanie P A Twierdzenia (o liniowości całki) Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na prostopadłościanie P, to: 1) ( f ( x, y, z) g( x, y, z)) dxdydz f ( x, y, z) dxdydz g( x, y, z) dxdydz; P P P, gdzie c jest liczbą rzeczywistą 2) cf ( x, y, z) dxdydz c f ( x, y, z) dxdydz P P A+B4 Twierdzenie (o addytywności całki względem obszaru całkowania) Jeżeli funkcja f jest całkowalna na prostopadłościanie P, to dla dowolnego podziału tego prostopadłościanu na prostopadłościany PP 1, 2, które są rozłączne zachodzi f ( x, y, z) dxdydz f ( x, y, z) dxdydz f ( x, y, z) dxdydz, P P P gdzie P P P P P 1 2 1 2 1 2, mes 0 (mes=measure= objętość) A5 Twierdzenia (o zamianie całki podwójnej na całki iterowane) Jeżeli funkcja f jest całkowalna na prostopadłościanie [ a, b] [ c, d] [ p, q], to : b d q b d f ( x, y, z) dxdydz { [ f ( x, y, z) dz] dy} dx dx dy f ( x, y, z) dz [ a, b] [ c, d ] [ p, q] a c p a c p q 2
A6 Przykład Obliczyć podane całki iterowane: 1 1 2 a) dx dy ( x y z ) dz, b) dz dx cos y dy 1 0 0 0 0 0 z xz A7 Przykład Obliczyć podane całki potrójne: a) (2x y z) dxdydz, [ 1,1] [0,1] [2,4], x b dxdydz x y z x y z x y z yz ), (,, ) : 2, 1, 1, 1 2 Całka potrójna po obszarach normalnych A8 Definicja ( obszary normalne względem płaszczyzn układu) a) Obszar nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny Oxy, jeżeli można przedstawić go w postaci {( x, y, z) : d( x, y) z g( x, y), ( x, y) D xy }, gdzie jest obszarem regularnym na płaszczyźnie Oxy, a funkcje d i g są ciągłe na D xy D xy b) Obszar nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny Oxz, jeżeli można przedstawić go w postaci {( x, y, z) : ( x, z) D, p( x, z) y q( x, z)}, gdzie jest obszarem xz regularnym na płaszczyźnie Oxz, a funkcje p i q są ciągłe na c) Obszar nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny Oyz, jeżeli można przedstawić go w postaci {( x, y, z) : ( y, z) Dyz, r( y, z) x s( y, z)}, gdzie D yz jest obszarem regularnym na płaszczyźnie Oyz, a funkcje r i s są ciągłe na A+B9 Twierdzenia (całki iterowane po obszarach normalnych) a) Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze: D xz D xz D yz
{( x, y, z) : d( x, y) z g( x, y), ( x, y) D}, normalnym względem płaszczyzny Oxy, to g( x, y) f ( x, y, z) dxdydz [ f ( x, y, z) dz] dxdy D d ( x, y) przy czym jeśli obszar D {( x, y) : g( x) y h( x), a x b} jest normalnym względem osi Ox, to g( x, y) b h( x) g( x, y) f ( x, y, z) dxdydz [ f ( x, y, z) dz] dxdy dx dy f ( x, y, z) dz D d ( x, y) a g( x) d ( x, y) A10 Przykład Obliczyć podaną całkę potrójną: xydxdydz x y z x y z x y z, gdzie (,, ) : 2 4 12, 0, 0, 0 2B11 Fakt (o zamianie zmiennych w całkach potrójnych) x ( u, v, w) Niech przekształcenie y ( u, v, w) odwzorowuje różnowartościowo wnętrze z ( u, v, w) obszaru regularnego na wnętrze obszaru regularnego, funkcji,, mają ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego na pewnym obszarze otwartym zawierającym obszar, funkcja jest ciągła na obszarze oraz jakobian u v w J J ( u, v, w) det u v w u v w tego przekształcenia jest różny od zera wewnątrz obszaru Wtedy f f ( x, y, z) dxdydz f ( ( u, v, w), ( u, v, w), ( u, v, w)) J( u, v, w) du dvdw Współrzędne walcowe Położenie punku P w przestrzeni można opisać trójką liczb (, rh, ), gdzie 4
oznacza miarę kąta między rzutem promienia wodzącego punktu P na płaszczyznę Oxy, a dodatnią częścią osi Ox, 0 2 albo, oznacza odległość rzutu punktu P na płaszczyznę Oxy od początku układu współrzędnych, 0 r, oznacza odległość punktu P od płaszczyzny Oxy r h z A11 Fakt (zależność między współrzędnymi walcowymi i kartezjańskimi) Współrzędne kartezjańskie (x,y,z) punktu przestrzeni danego we współrzędnych walcowych (, rh, ) określone są wzorami x rcos y rsin z h A+B12 Fakt (jakobian przekształcenia) x x x r h cos r sin 0 y y y r h 0 0 1 z z z r h J det sin r cos 0 r cos r sin r(cos sin ) r A1 Twierdzenie (współrzędne walcowe w całce potrójnej) Niech 1) obszar we współrzędnych walcowych będzie obszarem normalnym, 5
2) funkcja f będzie ciągła na obszarze, który jest obrazem przekształceniu walcowym Wtedy przy f ( x, y, z) dxdydz f ( r cos, r sin, h) r drddh f ( r cos, r sin,z) r drddz A+B14 Przykład Wprowadzając współrzędne walcowe obliczyć podane całki po obszarach ograniczonych wskazanymi powierzchniami: a x dxdydz z x y z 2 ), : 9, 0; b zdxdydz z x y z x y ), : 8, 4 Współrzędne sferyczne Położenie punku P w przestrzeni można opisać trójką liczb (,, ), r gdzie miara kąta między rzutem promienia wodzącego punktu P na płaszczyznę Oxy, a dodatnią częścią osi Ox, 0 2 albo, miara kąta między promieniem wodzącym punktu P, a płaszczyzną Oxy,, odległość punktu P od początku układu współrzędnych, 0 r r Trójkę (,, r), nazywamy współrzędnymi sferycznymi punktu P przestrzeni A+B15 Fakt (zależność między współrzędnymi sferycznymi i kartezjańskimi) 6
Współrzędne kartezjańskie (x,y,z) punktu przestrzeni danego we współrzędnych sferycznych (,, ), określone są wzorami r x rcoscos y rsincos z rsin B16 Fakt (jakobian przekształcenia) x x x r cos cos rsin cos rcos sin y y y J det sin cos r cos cos r sin sin r sin 0 r cos z z z r 2 r cos cos r sin cos sin r cos cos sin r sin cos r 2 cos (cos sin ) r cos sin (cos sin ) 2 2 2 r cos r cos sin r cos (cos sin ) r cos 1A+B17 Twierdzenie (współrzędne sferyczne w całce potrójnej) Niech 1) obszar we współrzędnych sferycznych będzie obszarem normalnym, 2) funkcja f będzie ciągła na obszarze, który jest obrazem obszaru przy przekształceniu sferycznym Wtedy 2 f ( x, y, z) dxdydz f ( r cos cos, r sin cos, r sin ) r cos drdd 1A+B18 Przykład Wprowadzając współrzędne sferyczne obliczyć całkę potrójną: 2 z x y z dxdydz, obszar jest ograniczony powierszchniami z 0, z 4 x y 1A19 Fakt (objętość obszaru) 5 Zastosowania całek potrójnych w geometrii 7
Objętość obszaru wyraża się wzorem: dxdydz 1A+B20 Przykład Obliczyć objętość obszaru ograniczonego podanymi powierzchniami: 2 x y 9, x y z 25 Praca domowa 1 Obliczyć podaną całkę potrójną po wskazanym obszarze: ( x y 2 z) dxdydz, ( x, y, z) :x 6y 4z 12, x 0, y 0, z 0 2 Wprowadzając współrzędne walcowe obliczyć podane całki po obszarach ograniczonych wskazanymi powierzchniami a) b) x y dxdydz z x y z z ( ) x y dxdydz :, 4, 1; z x y z :, 8 y x x y 2 6, 0 Obliczyć objętości obszarów ograniczonych podanymi powierzchniami a) b) 2 x y z 16, z x y, 2 z x y 2, z 5 8