MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 896-77X 44, s. 49-56, Gliwice 0 WYZNACZANIE SIŁ MIĘŚNIOWYCH I REAKCJI W SAWACH KOŃCZYNY DOLNEJ PODCZAS NASKOKU I ODBICIA KRZYSZO DRAPAŁA, KRZYSZO DZIEWIECKI, ZENON MAZUR, WOJCIECH BLAJER Instytut Mechaniki Stosowane i Enegetyki, Wydział Mechaniczny, Politechnika Radomska e-mail: dapala.kzysztof@o.pl; {kzysztof.dziewiecki; z.mazu; w.blae}@p.adom.pl Steszczenie. W atykule opisano metodę wyznaczania popzez ozwiązanie zadania symulaci dynamiczne odwotne sił mięśniowych i eakci w stawach kończyny dolne podczas naskoku i odbicia z edne nogi. Kończynę wydzielono z ciała człowieka i zamodelowano ako płaski łańcuch kinematyczny zaczepiony w stawie biodowym, steowany za pomocą dziewięciu sił mięśniowych. Danymi weściowymi dla symulaci są chaakteystyki kinematyczne uchu (pomiezone metodami fotogametycznymi) oaz, w fazie kontaktu z podłożem, eakce od podłoża na stopę (zmiezone na platfomie dynamometyczne). Pzedstawiono zaówno naistotniesze elementy zbudowanego modelu obliczeniowego ak i wybane wyniki symulaci dynamiczne odwotne analizowanego skoku.. WSĘP Symulaca dynamiczna odwotna czynności motoycznych człowieka, powadzona z wykozystaniem modeli mięśniowo-szkieletowych oaz danych ekspeymentalnych, est podstawową techniką bezinwazynego szacowania sił mięśniowych oaz obciążeń zewnętznych i wewnętznych w takcie tych czynności. Danymi weściowymi dla takich symulaci są chaakteystyki kinematyczne badanych czynności, otzymywane popzez eestacę (za pomocą układu kame cyfowych) położeń w czasie odpowiednich punktów (makeów) na ciele człowieka oaz ich dalszą obóbkę numeyczną. Możliwa est też eestaca niektóych eakci zewnętznych, na pzykład eakci z podłożem (platfoma dynamometyczna). Analiza skoków koncentue swoą uwagę na obciążeniach kończyn dolnych. Dla potzeb analizy badanego skoku kończynę dolną wydzielono z ciała człowieka, a następnie zamodelowano ako płaski łańcuch kinematyczny składaący się z tzech członów sztywnych (udo, podudzie, stopa), połączonych pzegubowo w stawach kolanowym oaz skokowym. Układ ten zaczepiono następnie pzegubowo (staw biodowy) do uchome podstawy (tułów), któe uch est znany (pomiay fotogametyczne). Podłoże, z któym kontaktue się stopa, modelowane est ako nieskończenie sztywne. Analizowany skok na edne nodze (ys. ) obemue fazę lotu (naskok), kontakt z podłożem (lądowanie i odbicie) i znów fazę lotu (wyskok). Danymi niezbędnymi dla symulaci dynamiczne odwotne są chaakteystyki kinematyczne uchu (pomiezone metodami fotogametycznymi i obobione numeycznie [8]) oaz, w fazie kontaktu
50 K. DRAPAŁA, K. DZIEWIECKI, Z. MAZUR, W. BLAJER z podłożem, zmiezone eakce zewnętzne (lądowanie i odbicie wykonywane est na platfomie dynamometyczne). Rys.. Wybane kady z filmu eestuącego naskok i odbicie z platfomy dynamometyczne. MODEL MAEMAYCZNY Budowa modelu człowieka (bądź też ego wydzielone części) obemue podział na człony, taktowane ako ciała sztywne połączone pzegubowo, oaz wyodębnienie odpowiednie liczby mięśni (lub gup mięśni) szkieletowych odpowiedzialnych za ealizacę analizowanego uchu. W pacy zbudowano model kończyny dolne złożony z tzech członów (udo, podudzie, stopa). Identyfikacę modelu paamety masowo-geometyczne (długości członów, masy, momenty bezwładności i położenia śodków mas), sposób działania i miesca pzyłożenia sił mięśniowych oaz pzekoe fizologiczne mięśni pzepowadzono na podstawie danych liteatuowych [-4] (tabele, wzoy egesi) i częściowo pomiaów bezpośednich (masa ciała, wybane wymiay zewnętzne). Analizowany skok potaktowano ako uch płaski, ealizowany w płaszczyźnie stzałkowe. Model wydzielone kończyny dolne składa się z b sztywnych członów połączonych pzegubowo w k stawach. Układ ma stopnie swobody. Podczas kontaktu z podłożem na stopę oddziałuą eakce [ R R M ] spowadzone do punktu A stopy ( ys. ). x y A Y z y H (t) x H (t) z H z 4 4 z 4 K 6 5 A X Rys.. Współzędne więzów i siły eakci więzów w stawach kończyny dolne z 5 5 6
WYZNACZANIE SIŁ MIĘŚNIOWYCH I REAKCJI W SAWACH KOŃCZYNY DOLNEJ 5 Do opisu położenia układu użyto n b 9 współzędnych absolutnych członów p [ xc yc xc yc xc yc ], na któe składaą się współzędne śodków mas członów w inecalnym układzie XY oaz kąty odchylenia członów od pionu (ys. ). Ruch członów skępowany est l k 6 więzami połączeń w stawach, a w fazie kontaktu z podłożem na stopę działaą dodatkowo eakce od podłoża. Równania więzów we współzędnych absolutnych p maą postać z ( p) 0 i definiuą zablokowane kieunki (poziomy i pionowy) pzemieszczeń względnych w stawach. Dynamiczne ównaniu uchu układu we współzędnych p maą postać gdzie g M p f C ( p) C ( p) f ( p) g M p f est złożeniem niezależnych ównań uchu dla członów swobodnych pod działaniem tylko sił gawitacynych. Siły biene, wynikaące z więzów połączeń, epezentue wekto uogólnionych sił eakci więzów f C,gdzie C / p est l n wymiaową maciezą więzów, a [ 4 5 6] est wektoem (fizycznych) sił eakci w stawach (ys. ). Analogiczne okeślenia dotyczą wektoa uogólnionych sił eakci w wyniku kontaktu z podłożem f C (w fazie lotu 0 ) oaz uogólnionych sił steowania fu Bu, gdzie B est ( n m) wymiaową maciezą dystybuci paametów steowania u [ u... u m ] na kieunki p. Wszystkie składniki ównania wypowadza się elatywnie posto, edynie wyznaczenie maciezy wpływu sił mięśniowych B wymaga więce zabiegów. Podstawowym poblemem est zdefiniowanie linii działania oaz punktów wpowadzania sił mięśniowych do odpowiednich członów. Dla wyodębnionych mięśni (lub gup mięśni) linie działania sił mięśniowych są postymi wyznaczanymi pzez punkty ich pzyczepów do układu kostnego (punkty O oaz I ). Pzy takim założeniu mogą poawiać się (osobliwe) położenia kątowe członów, pzy któych amiona działania sił mięśniowych względem osi obotu w stawach osiągać mogą badzo małe (zeowe) watości. Konsekwencą tego est poawienie się badzo dużych sił mięśniowych. W celu uniknięcia tych osobliwości punkty wpowadzenia sił mięśniowych zastępowane są pzez efektywne punkty wpowadzenia tych sił, wynikaące z uwzględnienia złożonego chaakteu oplatania pzez mięsień pewnych stuktu ' '' ' '' anatomicznych w postaci toebki stawowe lub innych mięśni (punkty O O oaz I I ). u, W zeczywistości mięsień (ścięgno mięśniowe) geneuący moment w stawie opiea się bowiem często na toebce stawowe. W związku z tym amię działania siły mięśniowe nie osiąga nigdy watości ówne zeu, lecz pozostae zawsze na pewnym poziomie (ścięgno oplata staw z zachowaniem pewnego pomienia zapewniaącego niezeowe amię działania siły względem osi stawu). W ten sposób zachowywane są niezeowe amiona działania sił mięśniowych względem stawów w każde konfiguaci kątów stawowych. Dana siła mięśniowa może mieć chaakte siły ednostawowe, gdy miesca e wpowadzenia należą do członów połączonych w ednym stawie, lub wielostawowe, gdy miesca e wpowadzenia należą do członów niebędących bezpośednio połączonych [-,7,9]. Na potzeby te pacy pzyęto niedeteministyczny model steowania [] kończyną dolną za pomocą dziewięciu sił mięśniowych. Zastosowany model układu mięśniowego pezentue ys..,
5 K. DRAPAŁA, K. DZIEWIECKI, Z. MAZUR, W. BLAJER a) b) c) O m 9 H O O m m 8 m m m 6 m 4 m 5 O 6 I 6 K A 6 m 7 ' I 6 I I ' = I '' ' = ',, I I = I O d) O 9 9 9 I' 9 O 4 4 4 I'' 4 4 O 5 I 9 O 7 7 5 O 8 8 8 I' 8 I 8 () () 5 4 I () () ' 4 = I' 5 () 7 () I' 7 I 4 () I 7 () = I 5 () Rys.. Model steowania kończyną dolną za pomocą sił mięśniowych Jako paamety steowania wybano napężenia mięśni A pcsa / A,,..., m, gdzie A ( ) est pzekoem fizologicznym mięśnia. Zależność na uogólnioną siłę steuącą pzymie wówczas postać f B u, gdzie (,..., ) u A diag A A9, a B B A est ( n m) -wymiaową maciezą dystybuci paametów steowania u [... 9] na kieunki p. Dla dane chwili czasu t, dla któe znane są pzebiegi p(t ) oaz (t), ednoznaczne wyznaczenie (t) z ównania nie est możliwe (steowanie nadmiaowe). Rozwiązanie można uzyskać z zastosowaniem metod optymalizacynych. Pzedtem ednak należy zzutować dynamiczne ównania uchu we współzędnych absolutnych na k kieunki współzędnych stawowych (współzędnych niezależnych). Wybó współzędnych niezależnych q nie est ednoznaczny. Dla ozważanego modelu aconalnym wyboem est q ] [, gdzie i są kątami oientuącymi poszczególne człony względem pionu. Punktem wyścia dla takiego postępowania są składniki ównań uchu we współzędnych absolutnych oaz zależności między n współzędnymi absolutnymi p oaz k współzędnymi niezależnymi q, będące ównaniami więzów połączeń w stawach w postaci ozwikłane [5,7]. W zastosowaniu do ozpatywanego modelu ównania te, na poziomie położeń i pędkości, maą postaci p g( q) ( t) p D( q) q ( t) gdzie D g / q est maciezą o wymiaze n k, a ( t ) [ xh ( t) yh ( t) ] są współzędnymi pzegubu H (stawu biodowego) w inecalnym układzie odniesienia XY. Po
WYZNACZANIE SIŁ MIĘŚNIOWYCH I REAKCJI W SAWACH KOŃCZYNY DOLNEJ 5 obustonnym pzemnożeniu ównania pzez D, zostae wyeliminowany składnik wpływu sił eakci w stawach, bo D C 0 [5,7]. Poszukiwane ównanie pzymue postać D B A D p f C ) () ( M g Równanie () pozwala na wyznaczenie, metodą optymalizaci statyczne, poszukiwanych pzebiegów sił mięśniowych, pzy wyboze napężeń mięśni ako paametów steowania, Zagadnienie optymalizacyne pzedstawia się następuąco minimalizu tak,by oaz D B A D min J ( ) ( M p f C ) (4) max g gdzie J ( ) est odpowiednią funkcą celu, a min i max są dopuszczalnymi fizologicznie minimalnymi i maksymalnymi watościami napężeń w mięśniach. W ten sposób znadowane są pzebiegi (t), któe minimalizuą J ( ), spełniaą waunek wynikaący z ównań dynamicznych D B A D M p f C ) oaz mieszczą się w zakesie ( g min max. Za funkcę celu pzyęto sumę kwadatów napężeń mięśni, któa uzasadnia fizologicznie dystybucę sił mięśniowych [,]. J ( ) l (5) Z uwzględnieniem oddziaływania tak obliczonych sił mięśniowych wyznaczane są następnie pzebiegi sił eakci w stawach. Do ich wyznaczenia posłużono się metodą ozszezonych współzędnych złączowych [7]. Idea metody polega na tym, że tadycyne ównania więzów połączeń w postaci ozwikłane, związki między współzędnymi absolutnymi a niezależnymi, p g( q, t), uzupełnia się o zależność od współzędnych więzów z, czyli p g( q, z, t), gdzie z [ z... z l ] oznaczaą zablokowane kieunki pzemieszczeń względnych w połączeniach (ys. ), uzupełniaące definiowane pze q kieunki dopuszczane pzez więzy. Zależność od z est wpowadzana tylko dla wygeneowania maciezy E takie, że g g p q z D( q) q E( q) z q z z 0 z 0 (6) Zależność na wyznaczenie eakci w stawach kończyny dolne, [... 6 ], uzyskue się następnie popzez zzutowanie ównań uchu do l -wymiaowe podpzestzeni definiowane pzez kolumny E, czyli pzez lewostonne pzemnożenie tych ównań pzez E, a więc E [ fg CRR B Au M p] (7)
54 K. DRAPAŁA, K. DZIEWIECKI, Z. MAZUR, W. BLAJER Otzymue się w ten sposób zależność pozwalaącą na efektywne wyznaczenie eakci w stawach ozpatywane kończyny dolne. Dla otzymania (t) niezbędne są uzyskane na podstawie pomiaów chaakteystyki kinematyczne p (t) i p(t ), zmiezone na platfomie dynamometyczne pzebiegi (t) oaz obliczone wcześnie pzebiegi u (t).. WYBRANE WYNIKI SYMULACJI DYNAMICZNEJ ODWRONEJ Pezentowane wyniki symulaci dynamiczne odwotne odnoszą się do fazy lotu tuż pzed lądowaniem na edne nodze ( t 0. ), fazy kontaktu z podłożem ( 0. t 0. 48 ) oaz fazy lotu po odbiciu ( t 0. 48 ). Poniże pzedstawiono (ys. 4) watości oszacowanych sił mięśniowych wybanych czteech mięśni (gup mięsni): dwóch postowników stawu kolanowego ectus femois, vastus (late. medi. intemed.), ednego postownika stawu skokowego solueus oaz ednego postownika stawu biodowego gluteus (maximus, medius, minimus). Mięśnie te maą ilościowo nawiększy udział w ealizaci badanego skoku na edne nodze. Są odpowiedzialne za wyhamowanie układu w czasie kontaktu z podłożem (bezpośednio po fazie lotu) oaz odbicie i znów pzeście do fazy lotu. Chaakteystyczny est wzost watości chaakteystyk czasowych sił mięśniowych podczas kontaktu zawodnika z podłożem oaz zauważalne piki sił mięśniowych spowodowane wpływem eakci od podłoża. 0.5 i [MPa] 0.4 0. H vastus gluteus vastus (late. medi. intemed.) ectus femois (R) K 5000 i[n] 4000 000 vastus gluteus soleus 0. gluteus (maximus, medius, minimus) soleus 000 0. 0 ec. fem. soleus (SOL) 0. 0. 0.4 0.5 t[s] 0.6 A 000 ec. fem. 0 t[s] 0. 0. 0.4 0.5 0.6 Rys. 4. Wyniki symulaci dynamiczne odwotne dla wybanych mięśni kończyny dolne 000 6000 [N] [N] 500 000 R y 4000 500 R x 000 0 0. 0. 0.4 0.5 0.6 0 t [s] t [s] 0. 0. 0.4 0.5 0.6 Rys 5. Pzebiegi eakci od podłoża (pomia) na tle wyznaczonych eakci w stawie skokowym oaz kolanowym
WYZNACZANIE SIŁ MIĘŚNIOWYCH I REAKCJI W SAWACH KOŃCZYNY DOLNEJ 55 Siły ozwiane w mięśniach nie tylko geneuą momenty sił w stawach wymagane do ealizaci badanego uchu, wpływaą one ównież na watości sił eakci w stawach. Na ys. 5 pzedstawiono obliczone pzebiegi eakci w stawie skokowym oaz kolanowym na tle eakci od podłoża zmiezonych na platfomie dynamometyczne, odpowiednio składowe poziome oaz pionowe. Jak łatwo zauważyć, w ozpatywanym pzypadku eakce w stawach są kilkukotnie większe niż siły eakci od podłoża na stopę. Pzyczyną tego wzostu est działanie sił mięśniowych, któe zawsze wpływaą na poziom obciążeń wewnętznych []. 4. WNIOSKI Dla ozpatywanego w pacy modelu kończyny dolne wydzielone z ciała człowieka danymi weściowymi dla ozwiązania zadania symulaci dynamiczne odwotne muszą być, opócz chaakteystyk kinematycznych badanego uchu, ównież zmiezone siły eakci działaące na stopę. Możliwe est wówczas efektywne wyznaczenie pzebiegu sił mięśniowych oaz eakci w stawach kończyny dolne bez uwzględniania dynamiki uchu całego ciała. Bak znaomości eakci od podłoża wymusza stosowanie modelu całego ciała człowieka, umożliwiaącego obliczenie eakci zewnętznych metodami symulaci dynamiczne odwotne [7], co est pocesem badzie pacochłonnym i zbędnym w pzypadku analizy skoncentowane wyłącznie na obciążeniach kończyny dolne. Zapoponowany model może być łatwo adaptowany ównież w kończynie góne, zaczepione w pouszaącym się znanym uchem stawie bakowym [6], pzy uwzględnieniu adekwatnego modelu działaących tam sił mięśniowych. Zaletą zapoponowanego modelu matematycznego est ego postota oaz efektywność. LIERAURA. Zatsiosky V.M.: Kinetics of human motion. Human Kinetics,00.. Winte D.A.: Biomechanics and moto contol of human movement. New Yok: John Wiley & Sons, 005.. Yamaguchi G..: Dynamic modeling of musculoskeletal motion. Kluwe 00. 4. eszeska D., Świtoński E., Gzik M.: Biomechanika naządu uchu człowieka. Radom: Wyd. Nauk. IE-PIB, 0. 5. Blae W.: Metody dynamiki układów wieloczłonowych. Radom: Wyd. Pol. Radomskie, 998. 6. Blae W., Czaplicki A., Dziewiecki K., Mazu Z.: Influence of selected modeling and computational issues on muscle foce estimates. Multibody System Dynamics 00, 4, p. 47-49. 7. Blae W.: Poblemy dynamiki w biomechanice. W: Mechanika techniczna pod ed. R. Będzińskiego, t. XII: Biomechanika. Cz. V. Waszawa: Komitet Mechaniki PAN, IPP PAN, 0, s. 64 484. 8. Dziewiecki K. Mazu Z., Blae W.: Uwagi o sposobach obóbki danych kinematycznych dla zadań symulaci dynamiczne odwotne układów biomechanicznych. Aktualne Poblemy Biomechaniki 0, n 5, s. 89-94. 9. Roy R.R, Edgeton V.R.: Skeletal muscle achitectue and pefomance. In: P.V. Komi (ed.) Stength and Powe in Spot. Blackwell 99, p. 5-9.
56 K. DRAPAŁA, K. DZIEWIECKI, Z. MAZUR, W. BLAJER DEERMINAION O MUSCLE ORCES AND JOIN REACIONS IN LOWER LIMB DURING ONE-LEG JUMP Summay. he pape developes an effective method fo the detemination of muscle foces and oint eaction foces in the lowe limb, developed as the invese dynamics simulation duing one-leg ump composed as a sequence of a shot flight phase (hudle fom one leg to anothe), one-leg contact phase with the gound (landing and take-off), and anothe flight phase (ballistic flight afte the take-off). he main steps of the developed fomulation ae shotly pesented, and selected simulation esults of the sample movement ae epoted. Publikaca est wynikiem pacy naukowe finansowane pzez Ministestwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego ze śodków na naukę na ok 0 ako poekt badawczy N 97//M.