Elementy grafiki komputerowej. Elementy geometrii afinicznej

Podobne dokumenty
Wprowadzenie do grafiki maszynowej. Wprowadenie do geometrii maszynowej

Geometria Analityczna w Przestrzeni

Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki. Transformacje. Aleksander Denisiuk. denisjuk@matman.uwm.edu.pl

Wektory. Algebra. Aleksander Denisiuk. Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi Gdańsk

Układy równań liniowych, macierze, Google

i = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]

Algebra linowa w pigułce

ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,

Algebra liniowa z geometrią

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

Iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X

1 Macierze i wyznaczniki

Elementy geometrii analitycznej w R 3

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

Przekształcenia geometryczne w grafice komputerowej. Marek Badura

Modelowanie i Wizualizowanie 3W grafiki. Geometria 3W

Układy współrzędnych

Iloczyn wektorowy. Autorzy: Michał Góra

WYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład II

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

Układy równań i nierówności liniowych

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

Wykład 14. Elementy algebry macierzy

Wykład 4. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 25 marca Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011

1 Zbiory i działania na zbiorach.

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

Przekształcenia geometryczne. Mirosław Głowacki Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

Grafika Komputerowa. Geometria 3W

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

Funkcja liniowa i prosta podsumowanie

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5

Zadania egzaminacyjne

Przekształcenia liniowe

Macierze. Rozdział Działania na macierzach

MACIERZE I WYZNACZNIKI

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.

GRAFIKA KOMPUTEROWA podstawy matematyczne. dr inż. Hojny Marcin pokój 406, pawilon B5 Tel.

Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni

Krzywe stożkowe. Algebra. Aleksander Denisiuk

Geometria w R 3. Iloczyn skalarny wektorów

Własności wyznacznika

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

Grupy, pierścienie i ciała

Endomorfizmy liniowe

Geometria analityczna

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:

Geometria analityczna

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

Krystalochemia białek 2016/2017

2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I

Układy liniowo niezależne

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze

3. Wykład Układy równań liniowych.

Zastosowania wyznaczników

Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.

PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 3. CAŁKA POTRÓJNA

z = x + i y := e i ϕ z. cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ

= [6; 2]. Wyznacz wierzchołki tego równoległoboku.

1 Geometria analityczna

1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rachunek wektorowy - wprowadzenie. dr inż. Romuald Kędzierski

Przekształcenia liniowe

ALGEBRA Tematyka LITERATURA

R n jako przestrzeń afiniczna

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

Wektory. dr Jolanta Grala-Michalak. Teoria

Algebra liniowa. 1. Macierze.

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE

Przekształcenia liniowe

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ MACIERZE ODWZOROWAŃ LINIOWYCH

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 6.

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy

Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika

ALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze

Wykład 5. Komórka elementarna. Sieci Bravais go

Kombinacje liniowe wektorów.

Geometria Lista 0 Zadanie 1

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I gimnazjum wg programu Matematyka z plusem

Analiza funkcjonalna 1.

1 Podstawowe oznaczenia

Układy równań liniowych

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =

Informatyka Stosowana. a b c d a a b c d b b d a c c c a d b d d c b a

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

Układy równań liniowych

KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie

Transkrypt:

Elementy grafiki komputerowej. Elementy geometrii j Aleksander Denisiuk Uniwersytet Warmińsko-Mazurski Olsztyn, ul. Słoneczna 54 denisjuk@matman.uwm.edu.pl 1 / 28

Elementy geometrii j Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem http://wmii.uwm.edu.pl/~denisjuk/uwm 2 / 28

Odejmowanie punktów Różnica punktów B i A jest wektor AB. A B A = AB A = B B A = 0 (B A)+(C B) = (C A) = AC B 3 / 28

Dodanie do punktu wektora Suma punktu A oraz wektora a jest punkt B, który zgadza się z końcem wektora a, jeżeli poczatek tego wektora umieścić w A. B a A B = A+ AB (A+a 1 )+a 2 = A+(a 1 +a 2 ) Dodanie wektora nazywa się przesunięciem róznoległym 4 / 28

Kombinacja afiniczna punktów Niech dany będzie układ punktów {A 1,...,A k } oraz wagi (liczby rzeczywiste) α 1,...,α k, takie że α 1 + +α k = 1 Ustalmy dowolny punkt O Kombinacja afiniczna punkitów α 1 A 1 + +α k A k jest punkt O +α 1OA1 + +α k OA k Twierdzenie 1. Kombinacja afiniczna punktów nie zależy od wyboru punktu O 5 / 28

Układ Wybierzmy dowolny punkt O, poczatek układu Przez ten punkt poprowadźmy trzy niekomplanarne proste: Ox, Oy, Oz, osie Płaszczyzny Oxy, Oxz, Oyz Na osiach wyznaczymy niezerowe wektory: odpowiednio e 1, e 2, e 3 bazę. Dla każdego punktu A wektor OA ma jednoznaczne przedstawienie OX = xe 1 +ye 2 +ze 3 liczby x, y, z współrzędne punktu A układ jest prawym (dodatnim), jeżeli {e 1,e 2,e 3 } jest zorientoany dodatnio układ jest lewym (ujemnym), jeżeli {e 1,e 2,e 3 } jest zorientowany ujemnie kierunki na osiach, zorientowane zgodnie z wektorami bazy, nazywaja się dodatnimi. Kierunki przeciwne ujemnymi 6 / 28

Układ kartezjańskich Układ nazywa się kartezjańskim, jeżeli osie sa wzajemnie prostopadłe wektory e 1, e 2, e 3 sa jednostkowe (maja jednostkowa długość). Dalej w prezentacji prawie zawsze układ będzie prawym kartezjańskim układem Dla wektorów bazy układu kartezjańskiego czasami stosuje się oznaczenia i, j, k 7 / 28

Działania na w układzie Odejmowanie punktów: A 2 A 1 = x 2 x 1 A 1 A 2 = y 2 y 1 z 2 z 1 Dodanie wektora: x 1 +x a A 1 +a = y 1 +y a z 1 +z a Kombinacja afiniczna: α 1 A 1 + +α k A k = α 1 x 1 + +α k x k α 1 y 1 + +α k y k α 1 z 1 + +α k z k wzory sa prawidłowe w każdym układzie 8 / 28

Podział odcinka w danym stosunku Dane sa dwa punkty A 1 (x 1,y 1,z 1 ) oraz A 2 (x 2,y 2,z 2 ) Znaleźć punkt A(x,y,z), który dzieli odcinek A 1 A 2 w stosunku λ 1 : λ 2 λ 2A1 A λ 1AA2 = 0 OA = λ 2OA 1 +λ 1 OA 2 λ 1 +λ 2 x = λ 2x 1 +λ 1 x 2 λ 1 +λ 2, y = λ 2y 1 +λ 1 y 2 λ 1 +λ 2, z = λ 2z 1 +λ 1 z 2 λ 1 +λ 2. wzory sa prawidłowe w każdym układzie 9 / 28

Odległość między punktami Dane sa dwa punkty A 1 (x 1,y 1,z 1 ) oraz A 2 (x 2,y 2,z 2 ) A 1 A 2 2 = A 1 A 2 2 = (x 1 x 2 ) 2 +(y 1 y 2 ) 2 +(z 1 z 2 ) 2 wzory sa prawidłowe tylko w układzie kartezjańskim 10 / 28

Zmiana układu Niech dane będa dwa ogólne układy : (O,e 1,e 2,e 3 ) oraz (O,f 1,f 2,f 3 ) Punkt P ma współrzędne (x,y,z) względem jednego układu oraz (z,y,z ) względem drugiego. Wektory (e 1,e 2,e 3 ) maja jednoznaczne rozłożenie po e 1 = a 11 f 1 +a 21 f 2 +a 31 f 3, bazie (f 1,f 2,f 3 ): e 2 = a 12 f 1 +a 22 f 2 +a 32 f 3, e 2 = a 13 f 1 +a 23 f 2 +a 33 f 3. ( e 1 e 2 e 3 ) = ( f1 f 2 f 3 ) A Punkt O w nowym układzie ma współrzędne (x 0,y 0,z 0 ). x = a 11 x+a 12 y +a 13 z +x 0, Wówczas y = a 21 x+a 22 y +a 23 z +y 0, z = a 31 x+a 32 y +a 33 z +z 0. x x x 0 y = A y + y 0. z z z 0 11 / 28

Przekształcenia Niech dany będzie układ O,f 1,f 2,f 3 oraz punkt O i układ wektorów e 1,e 2,e 3 przekwształceniem afinicznym nawyza się x odwzorowanie P = y O +xe 1 +ye 2 +ze 3 z współrzędne punktu A po przekształceniu będa x x 0 równe A y + y 0, gdzie z z 0 ( ) ( ) e1 e 2 e 3 = f1 f 2 f 3 A (x 0,y 0,z 0 ) współrzędne wektora OO 12 / 28

Uwagi Jeżeli układ wektorów e 1,e 2,e 3 jest baza, to przekształcenie zgadza się z zamiana układu Przekwształcenie B składa się z przekształcenia linowego A i przesunięcia równoległego T u, B = T u A Wówczas przesunięcie T u oraz przekształcenie liniowe A określone sa jednoznacznie. Twierdzenie 2. Każde przkształcenie można rozłożyć w iloczyn obrotu, skalowania (o różnych współczynnikach) oraz przesunięcia równoległego Twierdzenie 3. Każde przkształcenie sztywne, które nie zmienia orientacji, jest obrotem (afnicznym) lub przesunięciem równoległym 13 / 28

Współrzędne w R 2 Trójka liczb x, y, w R (w 0) reprezentuje punkt o (x/w,y/w) R 2. (2,1) (2 : 1 : 1) (6 : 3 : 3) ( 2 : 1 : 1) 14 / 28

Współrzędne w R 3 Czwórka liczb x, y, z, w R (w 0) reprezentuje punkt o (x/w,y/w,z/w) R 3. (2,1,1) (2 : 1 : 1 : 1) (6 : 3 : 3 : 3) ( 2 : 1 : 1 : 1) 15 / 28

Macierz przekształcenia go w R 2 Niech ( B ) = T u A będzie ( przekształceniem ) afinicznym, u1 a11 a u =, A = 12. u 2 a 21 a 22 Macierz a przekształcenia B nazywa się macerz a 11 a 12 u 1 M B = a 21 a 22 u 2 0 0 1 a 11 a 12 u 1 x a 11 x+a 12 y +u 1 a 21 a 22 u 2 y = a 21 x+a 22 y +u 2 0 0 1 1 1 16 / 28

Obrót R θ = cosθ sinθ 0 sinθ cosθ 0 0 0 1 17 / 28

Skalowanie S λ1,λ 2 = λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 1 18 / 28

Przesunięcie równoległe T u1,u 2 = 1 0 u 1 0 1 u 2 0 0 1 19 / 28

Macierz przekształcenia go w R 3 a 11 a 12 a 13 u 1 a 21 a 22 a 23 u 2 a 31 a 32 a 33 u 3 0 0 0 1 a 11 a 12 a 13 u 1 x a 21 a 22 a 23 u 2 y = a 31 a 32 a 33 u 3 0 0 0 1 z 1 a 11 x+a 12 y +a 13 z +u 1 a 21 x+a 22 y +a 23 z +u 2 a 31 x+a 32 y +a 33 z +u 3 1 20 / 28

Przesunięcie równoległe Przesunięcie o wektor u = (u 1,u 2,u 3 ) 1 0 0 u 1 0 1 0 u 2 0 0 1 u 3. 0 0 0 1 21 / 28

Obrót Obrót dookoła osi wychodzacej z poczatku układu w kierunku u = (u 1,u 2,u 3 ) o kat θ stopni. Kierunek obrotu określany jest orientacja. (1 c)u 2 1 +c (1 c)u 1u 2 su 3 (1 c)u 1 u 3 +su 2 0 (1 c)u 1 u 2 +su 3 (1 c)u 2 2 +c (1 c)u 2u 3 su 1 0 (1 c)u 1 u 3 su 2 (1 c)u 2 u 3 +su 1 (1 c)u 2 3 +c 0 0 0 0 1 gdzie c = cosθ, s = sinθ., 22 / 28

Skalowanie α 1 0 0 0 0 α 2 0 0 0 0 α 3 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 symetria względem płaszczyzny 0 0 0 1 y z. 23 / 28

Jednorodność macierzy przekształcenia go Macierze A oraz λa określaj a to samo przekształcenie. 24 / 28

Macierz superpozycji przekształceń Niech dane będa dwa przekształcenia : A oraz B iloczynem (superpozycja) przekształceń A B jest przekształcenie AB(a) = A(Ba) Macierza A B jest macierz AB Dlatego zamiast A B będziemy pisać AB Macierz a przekształcenia odwrotnego do A jest macierz A 1 25 / 28

Teoria transponowana Wektory i punkty sa zapisywane jako wiersze v = (v x,v y,v z ), P = (x : y : x : w) Mnożenie przez macierz przekształcenia po prawej stronie ( ) ( ) v x v y v z M, x y z w A Macierze sa zamieniane na transponowane: przesunięcie o wektor u = (u 1,u 2,u 3 ): 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0, u 1 u 2 u 3 1 etc Mnożenie macierzy w innej kolejności Macierza A 1 A 2 będzie A 2 A 1 26 / 28

Przestrzeń Składa się z czwórek (x : y : z : w) jednorodnych w może być zerem Dwie proporcjonalne czwórki reprezentuja ten sam punkt: (x 1 : y 1 : z 1 : w 1 ) (x 2 : y 2 : z 2 : w 2 ) x 1 x 2 = y 1 y 2 = z 1 z 2 = w 1 w 2 27 / 28

Przekształcenia rzutowe Przekształceniem rzutowym (projektywicznym) nazywa się przekształcenie RP 3 RP 3 x x y z A y z, w w gdzie A jest dowolna 4 4 macierza, przy czym deta 0 28 / 28