Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11, a 12, a 21, a 22 są znane, x i y są niewiadomymi Jeżeli pierwsze z równań pomnożymy przez a 22 a drugie przez a 12, a następnie odejmiemy drugie równanie od pierwszego, otrzymamy: Jeśli a 11 a 22 a 12 a 21 0, to Układy równań i pojęcie macierzy Analogicznie: (a 11 a 22 a 12 a 21 )x = h 1 a 22 h 2 a 12 x = h 1a 22 h 2 a 12 a 11 a 22 a 12 a 21 y = h 2a 11 h 1 a 12 a 11 a 22 a 12 a 21 Problem W jaki sposób uogólnić te wzory na przypadek układu n równań z n niewiadomymi? Użyteczne jest w tym celu pojęcie macierzy Definicja 1 Macierza A wymiaru m n nazywamy tablicę liczb: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn Pojęcie macierzy cd Macierz A (w Definicji 1) składa się z m wierszy i n kolumn Skrócony zapis: A = (a ij )(i = 1, 2,, m; j = 1, 2,, n) Jeśli m = n, to macierz jest kwadratowa, a n nazywamy jej stopniem 1
Macierze diagonalne Ważna klasa macierzy kwadratowych: macierze diagonalne (przekatniowe) postaci d 1 0 0 0 d 2 0 D = = diag(d 1, d 2,, d n ) 0 0 d n Macierz jednostkowa (identycznościowa) I n jest określona wzorem I n = diag(1, 1,, 1) Wektory i macierze Wektor kolumnowy x = (x i )(i = 1, 2,, m) : macierz składająca się z jednej kolumny x = Macierze przykłady Wektor kolumnowy x = (x i )(i = 1, 2,, m) : macierz składająca się z jednej kolumny 2 3 5, 10 2 4 3 1 3 8 0 2 5 4 6, x 1 x 2 x m 10 2 4 1 3 8 12 1 5, [ 1 0 0 1 Macierze: 3 1 (wektor kolumnowy), macierz wymiaru 3 4, macierz kwadratowa stopnia 3, macierz identycznościowa stopnia 2 Operacje na macierzach Dla macierzy A i B wymiaru m n A = (a ij )(i = 1, 2,, m; j = 1, 2,, n), B = (b ij )(i = 1, 2,, m) sumę C = (c ij )(i = 1, 2,, m; j = 1, 2,, n) określamy wzorem c ij = a ij + b ij Dla macierzy A = (a ij )(i = 1, 2,, m; j = 1, 2,, n) i B = (b jk )(i = 1, 2,, n; k = 1, 2,, p) określony jest ich iloczyn C = (c ik )(i = 1, 2,, m; k = 1, 2,, p) wzorem n c ik = a ij b jk, i = 1, 2,, m; k = 1, 2,, p j=1 ] 2
Zapis macierzowy układu równań Układ równań można zapisać w postaci: gdzie A = a 11 x + a 12 y = h 1 (1) a 21 x + a 22 y = h 2 (2) Av = h, [ ] [ a11 a 12 x, v = a 21 a 22 y ] [ ] h1, h = h 2 Wyznacznik macierzy kwadratowej Dla macierzy kwadratowej (a ij )(i = 1, 2,, 2; j = 1, 2,, 2) stopnia 2, jej wyznacznik, oznaczony symbolem A (lub det A) definiujemy wzorem: A = a 11 a 22 a 12 a 21 Dla macierzy kwadratowej A stopnia 3, A = (a ij )(i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3) jej wyznacznik definiujemy wzorem: A = a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 a 13 a 22 a 31 (3) Wyznacznik macierzy kwadratowej st n suma n! składników Wyznacznik macierzy zastosowanie do rozwiazywania układu równań Rozwiązanie układu równań (1) (2) można zapisać w postaci: gdzie x = A 1 A, y = A 2 A, [ ] h1 a A 1 = 12, h 2 a 22 [ ] a11 h A 2 = 1 a 21 h 2 Zakładamy, że A = 0 Dla układów równań z liczbą niewiadomych > 2 analogiczne wzory Inne metody rozwiazywania układów równań eliminancja Gaussa; por [Bed04, str 170 171]; metody oparte na tzw dekompozycjach macierzowych (np QR) 3
Macierze i przekształcenia płaszczyzny Przekształcenia płaszczyzny, takie jak: symetria wzgledem osi OX lub obrót o kąt α względem środka układu współrzędnych, można opisać przy użyciu macierzy stopnia 2 Np punktowi P = [ [ x y ] w wyniku obrotu płaszczyzny o kąt α zostanie przyporządkowany punkt P x = y, [ ] [ x cos α sin α y = sin α cos α ] [ x y Mnożenie macierzy odpowiada składaniu przekształceń Oznaczmy macierz obrotu o kąt α przez R α, [ ] cos α sin α R α = sin α cos α ] Macierze i przekształcenia płaszczyzny cd Można pokazać, że R α+β = R α R β dla dowolnych kątów α i β Macierz I = ( 1 0 0 1 ) odpowiada przkształceniu identycznościowemu płaszczyzny Macierz odwrotna Macierz kwadratową A nazywamy nieosobliwą, jeśli A = 0 Można pokazać, że jeśli A jest macierzą nieosobliwą stopnia n, to istnieje dokładnie jedna macierz B spełniająca równość: AB = I n Macierz B (spełniającą powyższą równość) nazywamy macierzą odwrotną do A i oznaczamy symbolem A 1 Obliczanie macierzy odwrotnej jawna postać macierzy odwrotnej można ją wyrazić wykorzystując pojęcie wyznacznika; praktyczny sposób obliczania wyznacznika macierzy odwrotnej metoda elementarna (por [Bed04, str 165]) Obliczanie macierzy odwrotnych dla macierzy kwadratowych stopnia 2 i 3 Dla macierzy nieosobliwej A = [ ] a b c d dla macierzy nieosobliwej A 1 = 1 A [ d c b a ], A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 4
mamy A 1 = 1 a22 a 23 a23 a21 A a21 a22 a 32 a 33 a 33 a 31 a 31 a 32 a13 a12 a 33 a 32 a11 a13 a 31 a 33 a12 a11 a 32 a 31 a12 a13 a 22 a 23 a13 a11 a 23 a 21 a11 a12 a 21 a 22 Zastosowanie do rozwiazywania układu równań liniowych Jesteśmy zainteresowani rozwiązaniem układu równań: Av = h, (4) gdzie A jest macierzą nieosobliwą stopnia n 2, h jest znanym wektorem n-wymiarowym, v jest n-wymiarowym wektorem niewiadomych Rozwiązaniem układu równań (4) jest v = A 1 h Obliczanie macierzy odwrotnej przy użyciu tego wzoru zalecane, gdy chcemy rozwiązać równanie (4) dla kilku wartości h (macierz A się nie zmienia) punkty Chcemy znaleźć równanie paraboli, której równanie dane jest wzorem y = ax 2 + bx + c, przechodzącej przez punkty P 1 = (x 1, y 1 ), P 2 = (x 2, y 2 ), P 3 = (x 3, y 3 ) Zakładamy, że P 1, P 2 i P 3 nie leżą na jednej prostej punkty cd Problem sprowadza się do znalezienia rozwiązania układu równań: Av = y, gdzie A = 1 x 1 x 2 1 1 x 2 x 2 2, v = c b, y = y 1 y 2 1 x 3 x 2 3 a y 3 punkty Założyliśmy, że punkty P 1, P 2, i P 3 nie leżą na jednej prostej stąd wynika, że x 1, x 2 i x 3 są różne (od siebie wzajemnie); można pokazać, że stąd wynika, że wyznacznik macierzy A jest różny od 0, a zatem do znalezienia rozwiązania układu równań można zastosować podany na wykładzie wzór na obliczanie macierzy odwrotnej do macierzy kwadratowej stopnia 3 punkty Metody algebry macierzowej znajdują zastosowanie zagadnień związanych z dopasowywaniem równań do danych (np należy dopasować parabolę do punktów P 1 = (x 1, y 1 ),, P n = (x n, y n ), gdzie n > 3) 5
Polecana literatura [Bed04] Tadeusz Bednarski, Elementy matematyki w naukach ekonomicznych, Oficyna Ekonomiczna 2004, Rozdz 5 6