Metod nmerczne Wkłd nr 9 Dr Potr Fronczk
Równn róŝnczkowe zwczne - prolem rzegowe BVP Dotcczs omwlśm prolem początkowe równ róŝnczkowe w którc dne ł wrtośc zmennc zleŝnc l c pocodne dl pewne szczególne wrtośc zmenne nezleŝne. erz nszm zdnem ędze wznczene spośród fnkc spełnącc dne równne róŝnczkowe zwczne zdefnownc w rozwŝnm oszrze tc które spełną dodtkowe wrnk n rzeg tego oszr. Wrnk tke nzwne są wrnkm rzegowm są nłoŝone n wrtośc fnkc e pocodnc w węce nŝ ednm pnkce tego oszr.
BVP są zwkle szczególnm przpdkem równń róŝnczkowc cząstkowc którc rozwąznem są fnkce czs połoŝen np. pole elektrczne rozkłd tempertr prędkość przepłw tp. t równne dfz t równne flowe Jeśl ne zleŝ od czs stn stlone równowg to otrzmem ogólną postć BVP drgego rzęd: Dne est równne w dzedzne d d f d d orz określone są w pewen sposó wrnk rzegowe.
powe form wrnków rzegowc Wrnk rzegowe Drclet Dwe wrtośc są dne edn dl drg dl. Y orz Y Wrnk rzegowe Nemnn Dwe wrtośc d/d są dne edn dl drg dl. d d D orz d d D Meszne wrnk rzegowe Ron d c c C c orz d c c C d d c c c - stłe
Metod strzłów F k d d ; Rozptrzm ogólne równne W cel ego zdskretzown przmm N / gdze N est lczą pnktów n które dzelm przedzł []. Dskretząc drgą pocodną '' O F k otrzmem równne
F k Ccem scłkowć to równne od do N węc przedstwm e w postc F k F k Czl dl Mm dne le est neznne. Znomość est równoznczn ze znomoścą dl : '
RozwŜm równne strn zczepone n o końcc. Jedną słą dzłącą n element strn est sł npręŝeń. Je wrtość w kernk ponowm F sn θ sn θ sn θ θ sn θ Zkłdąc Ŝe kąt θ są młe sn θ tg θ orz Ŝe przśpeszene element strn est proporconlne do wclen dostem m ω ρ ω ρω Dl '' ρω ' ' λ Zkłdąc Ŝe d dt otrzmlśm ρω λ λ t
' ' λ L Gd λ > to stnee rozwązne postc z wrtoścm włsnm Acos α Bsn α n π λn n... L Uwzględnąc wrnk rzegowe otrzmem neskończene wele rozwązń Gd λ n nπ sn n... L A B Uwzględnąc wrnk rzegowe otrzmem rozwązne trwlne. PonewŜ prolem fzczn ne m emnc wrtośc włsnc ne msm nlzowć przpdk λ <.
Ztem mm rozwązne równn nπ n sn n... L n π ' L L ' Werzm n L. Pocodn wnos π ' π cos π sn A kolene krok rozwązn π cosπ k F π 6 π Orz dlsze krok zgodne ze wzorem ze sld nr 6 k F
Podzelm oszr rozwązń [] n równc częśc. teor nm....95.566..5878.589. -.5878 -.. -.95 -.96.5..68.6.95.85.7.5878 -..8 -.5878 -.75.9 -.95 -.55..96.5..5. -.5 -. -.5...6.8. teor nm Podzelm oszr rozwązń [] n równc częśc.5 teor nm...5.5878.68..95.86.5.95.997..5878.587.5. -.57. -.5878 -.67.5 -.95 -.5. -.95 -.9699.5 -.5878 -.5.5..8.55.5878.76.6.95.55.65.95.96.7.5878.8.75. -.7.8 -.5878 -.7567.85 -.95 -..9 -.95 -.998.95 -.5878 -...6.5..5. -.5 -. -.5...6.8. teor nm
Zwkle ne znm wrtośc wektorów włsnc kłd. rze e zgdnąć. Przeksztłćm ogóln prolem rzegow drgego rzęd d d f d d w kłd dwóc równń perwszego rzęd: d d dl z Y w z wr. pocz. Y Y dw d f w BEZ WARUNKU POCZĄKOWEGO Msm znleźć wrnek początkow w d d α Y Innm słow msm znleźć nclene α OK krzwe w pnkce. Y α < α OK < α
Wróćm do nszego przkłd dl n L '' 6π L Przepszm to równne w postc kłd dwóc równń perwszego rzęd: α - prmetr kłd. ' w w' 6π w α Prolem początkow! Msm znleźć mesce zerowe fnkc łęd E α Zwkle powŝsz kłd równń ędzem rozwązwć edną z metod podnc n poprzednm wkłdze np. Rngego-Ktt le n rze korzstąc z metod nltcznc zwŝm Ŝe. C snπ π α.5 A ztem ne zndzem stłe C z wrnk. -.5 -....6.8.
Werzm ztem n potrze ddktk nn wrnek rzegow: Metod sekc..7.587 α α α śr α α E α E α < α α śr α śr α α 5 E α E α > α α śr śr śr - -5-5 - -6.. α śr. prwdźm: sn π.7' π cosπ.7.7 -. -. -.6 -.5 -. -9.5-9.
Metod secznc. E α E E α α α E E - E α α α α E E E E α - α α α Przpomnene: α E 5.9 α E 6.69 6.69.6 5.9 6.69 sn π.7' π cosπ.7.7 Wnosek: szk zeŝność Ŝ po perwsze terc.
Metod róŝnc skończonc W metodze te pocodne w równn róŝnczkowm zstępem róŝncm skończonm. Dzedznę rozwązń [] dzelm n N przedzłów o dłgośc - / N. - N Mm N pnktów. Dl kŝdego z nc zpsem równne róŝncowe czl równne lgerczne. Mm ztem kłd równń lgercznc któr rozwązem edną z metod omówonc n wkłdze nr.
Przkłd: d d Rozwązne nltczne: B otrzmć rozwązne nmerczne nperw dskretzem równne dl pnktów [ N ] gdze N. Werzm. N 5. Drgą pocodną moŝn przlŝć z pomocą trópnktowc róŝnc centrlnc zwkle coć nekoneczne. Mm ztem dl Zwróćm wgę Ŝe są to równn tlko dl pnktów wewnętrznc. Ukłd nsz m newdome równn:
. - - - - 5 Mcerz powŝsz est przkłdem mcerz tródgonlne. Coć powŝsz kłd moŝn rozwązć edną z metod omówonc n wkłdze np. metodą Gss to szczególn postć te mcerz pozwl zredkowć lczę olczeń z n do n. 5....
.. 6. 8. 5 6. 8 8 6 8....6.8. -. -. -. -.8 -.6 -. -..
Algortm oms dl kłdów z mcerzą tródgonlną Dn est kłd równń: c Y dl... n l w postc mcerzowe c n... c...... c......... c............... n c n n Y Y.... n Yn Algortm skłd sę z dwóc fz: Fz elmnc wprzód wkonąc dl równń od do n elmncę newdomc zskem osttne równne n z edną tlko newdomą którą moŝem wznczć. Fz elmnc wstecz korzstąc z wznczone w równn newdome wznczm z równn newdomą Ŝ do otrzmn wrtośc.
A ztem szkm scemt postc: γ Podstwąc ten scemt do równn otrzmem: Y c γ Wzncząc Y c γ γ Porównąc z otrzmem Y c γ γ γ Otrzmlśm równne rekrencne n poszkwne współcznnk γ. Współcznnk początkowe γ ne mą znczen o mnoŝone są przez. Msm eszcze znć n móc rozpocząć tercne olczne newdomc.
Podstwąc perwsze równne scemt n γ n n n do równn otrzmem: n γ n n n n n Yn Czl Wrto zwŝć Ŝe skoro n Yn nn γ n n n Y γ to wstrcz prząć n móc ezpośredno skorzstć ze wzor.
Podsmowąc: - n.. n for ; Y c..n for przkłd //n ; γ γ γ γ γ Algortm oms est nezwodn gd mcerz est dgonlne domnąc n c...
Przkłd: rdtor prętow A L B Równne opsące rozkłd tempertr wzdłŝ dłgośc pręt: d d C P ka C L c W/m/K P.6 m k W/m/K c współcznnk wnkn cepł P owód pręt k współcznnk przewodzen cepł A c pole poprzecznego przekro pręt A L.m 7K L 9K c.6 9K 5 m
d d Podzelm domenę rozwązń n 5 częśc L / 5 cm czl 5 6 5 5 6 5 czl
6 5 Mm ztem kłd równń z czterem newdomm.....6.8. 5 5 5 Rozwąząc ten kłd z pomocą lgortm oms otrzmem:
Metod róŝnc skończonc dl nelnowc równń róŝnczkowc Ncekwsze prolem współczesne fzk są nelnowe. Nelnowe prolem rzegowe dskretzem w podon sposó. Wnkem est ednk kłd nelnowc równń lgercznc. Metod rozwązwn tkc równń nelnowc omówlśm n wkłdze nr. Nrdze wdne olczenowo są w tm przpdk metod tercne. Istnee ednk potencln prolem zwązn ze zeŝnoścą scemt tercnego. Metod pnkt stłego Ukłd równń nelnowc moŝn zpsć w postc [ ][ ] [ Φ] [ ] [] mcerz współcznnków [Φ] wektor nelnowc wrzów ędącc fnkcą newdomc [] - wektor znnc welkośc stłc
[ ][ ] [ Φ] [ ] pośród wel sposoów konstrown procedr tercne werzm nprostsz [ k k ][ ] [ ] [ Φ] olczone n podstwe wcześneszego krok k Jeśl lcz pnktów est mł moŝem mcerz [] odwrócć. Jeśl ne moŝem skorzstć z metod elmnc Gss lo oms dl mcerz tródgonlne [ k [ ] [ Φ k ] [ ] ]
Przkłd: rdtor prętow Gd względnm wrz odpowedzln n wpromenowwne cepł równne opsące rozkłd tempertr wzdłŝ dłgośc pręt zsk postć: L ka P ka P d d C C C εσ ε - względn zdolność emsn σ - stł tefn-boltzmnn B A Równne zdskretzowne: B A B A
5 5 B B B B A A A A 6 B A B A B A B A k k ] [ ] [ ] [ ] [ Φ erz stosem procedrę tercną:
...6.8. krok 7 9 krok 7.9 8.897 9.78 9.855 9 krok 7.9 8.5 9.857.59 9 krok 7. 8. 9.89.56 9 8 krok krok krok krok [K] 6 8....6.8. [m]
Zkłdm [stk kwdrtow] - - [ ] ' ' Dwwmrowe zgdnene rzegowe Równne Lplce [ ] ' ' { } { } [ ] [ ] '' ''
{ } mąc wrz wznczm : Przkłd: stk Przmem początkowe przlŝene Korzstm z metod tercne Jcoego l Gss-edl szsz zeŝność.9.8.7 m m m m m m m m m m m m.6.5....
Korzstąc z metod dokłdnc np. dekompozc LU msm łoŝć mcerz o rozmrze lnowm n n. Wnosek: Msm wprowdzć ndeksowne równń odpowdącc pnktom dwwmrowe stk n n: k n przkłd werszm P P k n P... n Przkłd: równne Posson ϕ ρ ε gęstość łdnk f potencł [ ] f [ P Pn P P P n ] f P
Przkłd: Powerzcn potencł prz losowo rozmeszczone gęstośc łdnk