Wykła 0: Rówae Schrögera Dr ż. Zbgew Szklarsk Kaera lekrok paw. C- pok.3 szkla@agh.eu.pl hp://layer.uc.agh.eu.pl/z.szklarsk/ 0.06.07 Wyzał Iforayk lekrok Telekoukacj - Teleforayka
Rówae Schrögera jeo z posawowych rówań erelaywsyczej echak kwaowej obok rówaa Heseberga sforułowae przez ausrackego fzyka rwa Schrögera w 96 roku. W erelaywsyczej echace kwaowej ogrywa rolę aalogczą o rugej zasay yak Newoa w echace klasyczej. Wkpea 03 Uogólee przez Schrögera hpoezy e Brogle a o falowej aurze aer ało począek echace kwaowej. Rówae Schrogera przypsuje poruszającej sę swoboe cząsce falę o określoej częsolwośc ługośc a rozwązae ego rówaa jes fukcja opsująca przeeszczae sę ej fal. Fukcja aka azywa se fukcją falową. Fukcja a jes częso fukcją zespoloą opero jej kwara a ses fzyczy. Fala e Brogle a jes reprezeowaa przez fukcję falową kóra la przypaku jeowyarowego la cząsk swoboej a posać rówaa fal beżącej. W oacj zespoloej jaką zwyczajowo sosuje sę w echace kwaowej falę ę k Ae oża zapsać jako: Acos k s 0.06.07 Wyzał Iforayk lekrok Telekoukacj - Teleforayka
0.06.07 Wyzał Iforayk lekrok Telekoukacj - Teleforayka 3 h h oraz k h p p k k skoro wec orzyujey zw. zwązek yspersyjy Zwązek fukcj falowej z zachowae cząsk wyraża sę za pośrecwe gęsośc prawopoobeńswa prawopoobeńswa a jeoskę ługośc os X zalezea cząsk w poblżu puku o współrzęej w czase. * k A Ae k s cos * gze gze k zgoe z posulaa sea e Brogle a są rówe: k A Ae k s cos
Dla przypaku rójwyarowego: r 3 r wg erpreacj Maa Bora jes o prawopoobeńswo zalezea elekrou w chwl w sześcey puełku o objęośc 3 r wokół położea wyzaczoego przez wekor r Wyka są że r 3 r Jes o zw. waruek oralzacyjy oralzacja apluy A. Fukcje falowe sosowae o opsu cząsek akch jak elekroy o fale prawopoobeńswa. Ta gze aplua fukcj falowej jes ała prawopoobeńswo zalezea cząsk jes ałe. Fukcje falowe ają fazy co pozwala erferować jak wszysk y falo. 0.06.07 Wyzał Iforayk lekrok Telekoukacj - Teleforayka 4
PRZYKŁAD Fukcja falowa As jes zefowaa jeye w L obszarze 0 L. Oblczyć sałą A korzysając z waruku oralzacj Rozwązae L 0 r A s L A s L L 0 posaway L u orzyując: A L 0 s u u s u u cos skoro cos cos s s węc s u cosu 0.06.07 Wyzał Iforayk lekrok Telekoukacj - Teleforayka 5
0.06.07 Wyzał Iforayk lekrok Telekoukacj - Teleforayka 6 u u 0 s 4 L A L A? s 0 u u L A s 0 L A L A u u L A u u 0 cos u u cos s
Poszukwaa opoweego rówaa falowego. Rówae falowe la sruy oża wyprowazć z rówaa Newoa aoas rówae falowe la fal elekroageyczych oża wyprowazć z rówań Mawella. Kwaowego rówaa falowego la cząsk swoboej e a sę orzyać z rówań echak klasyczej. Oblczając pochoe po wyjścowego rówaa zespoloego fal: k Ae k kae Ae k orzyujey: 0.06.07 Wyzał Iforayk lekrok Telekoukacj - Teleforayka 7
0.06.07 Wyzał Iforayk lekrok Telekoukacj - Teleforayka 8 k Ae k k Druga pochoa po : Ze zwązku yspersyjego k wylczay posaway o orzyując: k 3 4 Z perwszej pochoej po czase wyka że: Posawając 4 o 3 są k
0.06.07 Wyzał Iforayk lekrok Telekoukacj - Teleforayka 9 Jes o ogóle rówae Schrögera la cząseczk swoboej o sałej eerg keyczej e uwzglęay eerg spoczykowej.
0.06.07 Wyzał Iforayk lekrok Telekoukacj - Teleforayka 0 Gy a cząskę zała sła: Jeżel a cząskę zała sła określoa przez eergę poecjalą zależą o położea cząseczk o wówczas zachowaa jes eerga całkowa cząsk p k c czyl jej eerga keycza p c k uwzglęając o w oblczeach orzyujey rówae
0.06.07 Wyzał Iforayk lekrok Telekoukacj - Teleforayka Zgoe z posulae sea oraz węc osaecze orzyujey: 5 a Jes o ogóle rówae Schrögera la cząseczk poruszającej sę w poecjale. Lub aczej: 5 ˆ b H haloa
Haloa jes operaore załający a fukcję falową. Warośc włase ego operaora reprezeują eergę zgoe z klasyczą forułą: p Proble rozwązaa rówaa Schrögera sprowaza sę o zalezea fukcj własych warośc własych haloau. 0.06.07 Wyzał Iforayk lekrok Telekoukacj - Teleforayka
Rozwązae rówaa Schrögera Aby rozwązać o cząskowe rówae różczkowe szukay rozwązaa w posac loczyu fukcj z kórych każa zależy ylko o jeej zeej wysępującej w rówau. Jes o zw. eoa separacj zeych. 5a Rozwązae ake seje o le eerga poecjala e zależy w sposób jawy o czasu z. oża ją zapsać ylko jako. 0.06.07 Wyzał Iforayk lekrok Telekoukacj - Teleforayka 3
0.06.07 Wyzał Iforayk lekrok Telekoukacj - Teleforayka 4 posawając o rozwązae o 5a: ogólego rówaa Schrögera zeląc obusroe przez orzyujey: 6 Lewa sroa rówaa 6 e zależy o a prawa e zależy o. Wyka są że wspóla la obu sro rówaa warość us być sała. A sała jes la cząsk 5 a jej eerga całkowa.
0.06.07 Wyzał Iforayk lekrok Telekoukacj - Teleforayka 5 Prawa sroa rówaa: 7 Rozwązae rówaa 7 jes fukcja e Aby oblczyć : e zae e e Osaecze poszukwaa fukcja zależa o czasu aa jes wzore 8 s cos e
0.06.07 Wyzał Iforayk lekrok Telekoukacj - Teleforayka 6 Lewa sroa rówaa 6 6 9 Jes o rówae Schrögera ezależe o czasu eerga poecjala jes sała w czase.
Poprawe fzycze rozwązaa rówaa Schrögera seją ylko la ekórych warośc eerg są o zw. warośc włase. Każej warośc własej opowaa fukcja własa. Fukcje włase ch pochoe uszą eć asępujące właścwośc: uszą być skończoe jeozacze cągłe. Rozwązae ogólego rówaa Schrögera 5a jes zae fukcja falowa: e 5a Każej fukcj własej opowaa fukcja falowa : e.. 0.06.07 Wyzał Iforayk lekrok Telekoukacj - Teleforayka 7
0.06.07 Wyzał Iforayk lekrok Telekoukacj - Teleforayka 8 e gze o lczba kwaowa. Skoro każa fukcja falowa jes rozwązae rówaa Schrögera węc kobacja lowa ych rozwązań eż jes rozwązae ego rówaa. e C C C.. gze C C o sałe. Żąae lowośc zapewa że bęzey ogl oawać o sebe fukcje falowe worząc charakerysyczą la fal erferecję kosrukywą esrukywą.
Rozwązae rówaa la cząseczk swoboej Dla cząseczk swoboej oża założyć że = 0 zae rówae 9 przyberze posać: 0 Szukay rozwązaa w posac Ae Po posaweu o rówaa 0 orzyujey: 0.06.07 Wyzał Iforayk lekrok Telekoukacj - Teleforayka 9
Zae szukae rozwązae a posać: Ae Be Np. la rozwązaa + ay: Ae A cos s skoro p k węc osaecze cos k s k Ae A k 0.06.07 Wyzał Iforayk lekrok Telekoukacj - Teleforayka 0
Rozwązae la rówaa Schrögera zależego o czasu a posać e lecz zgoe z posulae sea a zae rozwązae o oża zapsać: e co po uwzglęeu aje: Ae k Acos k As k lub Ae p Jes o rówae fal beżącej. 0.06.07 Wyzał Iforayk lekrok Telekoukacj - Teleforayka