PRZYKŁADOWE ZADANIA ZADANIE (ocena dostateczna) Obliczyć reakcje, siły wewnętrzne oraz przemieszczenia dla kratownicy korzystając z Metody Elementów Skończonych. Zweryfikować poprawność obliczeń w mathcadzie korzystając z dowolnego programu obliczeniowego. Kompletne zadanie zawiera: Przygotowanie geometrii konstrukcji (odręczny rysunek, lub rysunek cad) Agregację macierzy sztywności (ręczną lub automatyczną) Uwzględnienie wszystkich obciążeń i warunków brzegowych Wyznaczenie wartości reakcji, sił wewnętrznych i przemieszczeń Zrzut ekranu z programu obliczeniowego dla reakcji, sił wewnętrznych oraz przemieszczeń ZADANIE (ocena dobra) Obliczyć maksymalne przemieszczenie pionowe belki przegubowej obciążonej jak na rysunku. Zweryfikować poprawność obliczeń w mathcadzie korzystając z dowolnego programu obliczeniowego. Kompletne zadanie zawiera: Równania reakcji i momentów zginających Wykres momentów zginających w mathcadzie Uwzględnienie warunków brzegowych Wyznaczenie przemieszczeń Narysowanie wykresu przemieszczeń w mathcadzie Zrzut ekranu z programu obliczeniowego dla przemieszczeń ZADANIE (ocena bardzo dobra) Obliczyć ugięcie membrany podpartej na brzegach, o stałym naciągu T, obciążonej stałym ciśnieniem p. Kompletne zadanie zawiera: Podział membrany na elementy. Numerację elementów i węzłów Definicję i agregację macierzy alokacji Wprowadzenie obciążenia i warunków brzegowych Wyznaczenie przemieszczeń pionowych Wyświetlenie wyników w macierzy dwuwymiarowej oraz na wykresie powierzchniowym
ZADANIE ZADANIE ZADANIE
ZADANIE - ROZWIĄZANIE ORIGIN A 5cm A 6cm A 9cm E. 8 kpa α t. 5 K Liczba elementów: Le 5 e.. Le Współrzędne węzłów kratownicy: X m Y m A Zwrot elementów: Wp Wk X Y Wpe Współrzędne elementów: Ex Wpe Ey e X e Y Wke Wke A A A A A Ey Ey Ey Ey Ey 5 Ex, Ex, Ex, Ex, Ex 5
Lx e Ly e X ( Wke ) Y ( Wke ) X ( Wpe ) Y ( Wpe ) L e ( Lx e ) + Ly e J e E A e ( Lx e ) ( L e ) Lx Ly e e Lx Ly e e ( Ly e ) LBM( A, B, w, k) for i.. rows( B) for j.. cols( B) A B w+ i, k+ j i, j A Liczba węzłów: Lw Liczba stopni swobody węzła: Lss Liczba równań: Lr Lw Lss 8 Numery stopni swobody węzłów początkowych (ne) i końcowych (ke) n e Lss Wp k Lss Wk e e e Deklaracja zerowej globalnej macierzy sztywności: Agregacja macierzy sztywności: KS K Lr, Lr LBM( K, J, n, n e e ) + LBM( K, J, k, k e e e ) LBM( K, J, n, k e e e ) LBM K, J, k, ( ( n e e e )) e e Globalny wektor sił węzłowych ps Lr kn ps T ( ) Wstawienie sił skupionych w węzłach ps kn ps kn 8 ps T ( ) kn
Uwzględnienie ciężaru własnego ρ 785 kg m g 9.8 m s pg Lr pg T ( ) ρ g L A e e G e LBM pg G ( ( e )) pg LBM pg, G, n, +,, k, pg e e e e 5 -.57 -.7 kn Uwzględnienie obciążenia temperaturą pt Lr pt T ( ) T t α e t T e pt E A e L e Lx e Ly e LBM( pt, t, n, e e ) LBM pt, t, k, ( ( e e )) e 5 K 6 7 8 -.57 -.7 pt T ( 6 9.7 6.8 6.98 6.8 ) kn Ostateczny globalny wektor obciążeń węzłowych p ps + pg pt p T ( 6.57 9.7 7.57.57 6.98.99 ) kn Uwzględnienie warunków brzegowych W zadaniu zablokowane są stopnie swobody nr,, 5 Kopiowanie macierzy KS i wektora obciążeń p: K P KS p P p Liczba stopni swobody: i.. Lr Wprowadzenie warunków brzegowych w globalnej macierzy sztywności: Stopień swobody nr : K P kn K, i m Pi kn K, m P kn, m Stopień swobody nr : K P kn K, i m Pi kn K, m P kn, m Stopień swobody nr 5: K P5 kn K, i m Pi kn K, 5 m P5 kn, 5 m K P kn m.9
Wprowadzenie warunków brzegowych w globalnym wektorze sił węzłowych: p P p P p P5 Wyznaczenie przemieszczeń u lsolve( K P, p P ) Uśrednione przemieszczenia węzłów:.9 u -.86 mm U 5 6 -.76 7.6 8 -.757 ( u ) + u ( u ) + ( u ) U ( u 5 ) + ( u 6 ) ( u 7 ) + u 8.87.76.87 mm Obliczenie reakcji na podporach R KS u ps + pt pg R.75.66 -.956-5 kn 5-5.75 6 7 8 Obliczenie sił wewętrznych N e E A e ( u u Wke Wpe ) Lx + u e ( u Wke Wpe ) Ly e ( L e ) α t T e N e -.75 -.56 -.57-5.75 5.88 kn
Sprawdzenie w programie ROBOT Reakcje: Siły wewnętrzne: Przemieszczenia:
ZADANIE - ROZWIĄZANIE Obliczyć maksymalne przemieszczenie pionowe belki przegubowej obciążonej jak na rysunku. h b b cm h 8cm E. 8 kpa q kn P kn m L 7m L L L L m m m m Moment bezwładności przekroju: J b h Podział belki: n L.5 m n α E J Równania reakcji i momentów zginających R ( L) q L 6 kn R L P L q L + L + L + R ( L L) L 7.5 kn R R R + P + q L 6.5 kn
M( x) R x M( x) R x + R ( x L) M( x) R x + R ( x L) P ( x L L) x L L M( x) R x + R ( x L) P ( x L L) q [ ( + + L) ] Wartości momentów zginających w przedziałach: i.. n x i i współrzędne poszczególnych węzłów i.. M M x i i i.. 6 M M x i i i 6.. 8 M M x i i i 8.. M M x i i Wykres momentów zginających: 5 M kn m 5 6 5 x
Deklaracja macierzy różnic: i n.. A n n, A i i, A i i +, A i + i, A n n, d α M prawa strona równania A Uwzględnienie warunków brzegowych: y y y wb wb d wb d wb A wb i, A wb i, A wb wb, A wb wb, Uwzględnienie przegubu: A 8 i, usunięcie równania z miejsca przegubu wb A 8 wb, zerowanie przemieszczenia pionowego na podporze
Macierz różnic i prawa strona równania po wprowadzeniu warunków brzegowych: A d.66 5. 7.87.6 7..85.9.7.79.9.79.7 mm Obliczenie przemieszczeń: y lsolve A d, Wykres przemieszczeń: 6 5 5 5 y mm x Obliczenie ugięcia maksymalnego: f max y f.9 mm
Sprawdzenie programem ROBOT:
ZADANIE - ROZWIĄZANIE Obliczyć przemieszczenie prostokątnej membrany o wymiarach Lx, Ly, opartej na obwodzie, obciążonej stałym ciśnieniem p i rozciąganej stałym napięciem T p kn m T 5 kn m Lx m Ly m ORIGIN bx by Lx m Wymiar pojedynczego pola w kierunku x Ly m Wymiar pojedynczego pola w kierunku y Lk 5 Liczba węzłów po kierunku x Lw Liczba węzłów po kierunku y Lr Lw Lk Liczba równań - węzły siatki Lo ( Lw) ( Lk) Liczba obszarów
Macierz geometryczna obszaru kontrolnego (element prostokątny) bx λ κ by G G 8 λ + λ.75.5.5.5.5.75.5.5 λ λ + + κ κ.5.5.75.5 + κ κ.5.5.5.75 κ + κ κ + κ Go Lr, Lr Definicja zerowej globalnej macierzy geometrycznej Definicja macierzy alokacji AL 6 7 8 9 5 7 8 9 5 7 8 9 5 7 8 9 6 7 8 9 6 7 8 9 Kolejno w każdym wierszu wpisujemy numery węzłów należące do danego obszaru kontrolnego e.. Lo Definicja kolejnych numerów pól (elementów) Funkcja agregacji macierzy geometrycznej AGR( A, B, L, n) for i.. rows( B) for j.. cols( B) A Ln, i, L n, j B i, j A
Automatyczna agregacja globalnej macierzy geometrycznej G AGR( Go, G, AL, e) e Prawa strona równania - utworzenie globalnego wektora zmiennych przestrzennych f p T bx by r.. Lr p r f Warunki brzegowe (numery węzłów zamocowanych - węzły na brzegu) Nb 5 5 9 8 7 6 6 Wprowadzenie warunków brzegowych do globalnej macierzy geometrycznej b.. rows( Nb) rows( Nb) k.. cols( G) cols( G) G Nbb, k G ( Nbb, Nb b )
Wprowadzenie warunków brzegowych do globalnego wektora prawej strony p Nbb Rozwiązanie układu rownań - obliczenie przemieszczeń u lsolve( G, p) Przepisanie rozwiązania z wektora u do macierzy dwuwymiarowej U U for U for i.. Lw j.. Lk U i, j u ilk Lk+ j Wyświetlenie wyników przemieszczeń poszczególnych węzłów U.8.8.68.68.8.8 m Wykres powierzchniowy U