Zadanie transportowe

Zadanie transportowe Opracowanie planu przewozu jednorodnego produktu z różnych źródeł zaopatrzenia do punktów, które zgłaszają zapotrzebowanie na ten produkt. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii

Sformułowanie zadania transportowego m dostawców pewnego jednorodnego towaru, z których każdy dysponuje a i (i, 2,..., m) jednostkami tego towaru, zaopatruje n odbiorców. Zapotrzebowanie każdego z odbiorców wynosi b j (j, 2,..., n). Każdy dostawców może zaopatrywać dowolnego odbiorcę i odwrotnie każdy odbiorca może otrzymać towar od dowolnego dostawcy. Dodatkowo mamy podane koszty jednostkowe transportu od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy c ij (i, 2,..., m; j, 2,..., n). Zamiast kosztów transportu mogą być podane odległości lub czas transportu (zwłaszcza w przypadku towarów szybko psujących się). Wówczas mówimy zagadnieniach transportowych z kryterium kosztów, odległości lub czasu. Należy opracować plan przewozu towaru między dostawcami, a odbiorcami tak, aby łączne koszty transportu były możliwie najniższe. Plan taki ma określić, ile towaru powinien dostarczyć i-ty dostawca j-temu odbiorcy. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 2

Rodzaje zadań transportowych. Zamknięte (zbilansowane) zagadnienie transportowe. Łączna podaż dostawców jest równa łącznemu zapotrzebowaniu odbiorców. m n a i b j i j 2. Otwarte (niezbilansowane) zagadnienie transportowe. Występuje przewaga podaży nad popytem i odwrotnie. Należy takie zadanie zbilansować m n a i > b j i j m n a i < b j i j Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 3

Przedstawienie graficzne Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 4

Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 5 Macierz kosztów mn m m n n c c c c c c c c c L L L L L L L 2 2 22 2 2 C c ij koszty jednostkowe transportu towaru od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy

Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 6 Macierz przewozów mn m m n n X L L L L L L L 2 2 22 2 2 j ilość przewiezionego towaru od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy

Zmienne decyzyjne i cel Zmienne decyzyjne ij ilość przewiezionego towaru od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy Funkcja celu (minimalizacja łącznych kosztów transportu od wszystkich dostawców do wszystkich odbiorców), c ij koszty przewozu tego towaru od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy z ( ) m n i j c ij ij min Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 7

Warunki dla dostawców i-ty dostawca ma dostarczyć wszystkim odbiorcom tyle towaru, ile posiada; warunków tych jest tyle, ilu jest dostawców, czyli m n a i,2, K m j ij i, 2 L 2 22 L...... L n 2 n L a a 2 m m 2... mn a m Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 8

Warunki dla odbiorców j-ty odbiorca ma otrzymać od wszystkich dostawców tyle towaru, ile potrzebuje; warunków tych jest tyle, ilu jest odbiorców, czyli n 2 L n m i 2 22 2n ij bj j,2, K, n L...... L... Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 9 m m2 L mn b b b 2 n

Oznaczenia m ilość dostawców, a i ilość zasobów u i-tego dostawcy, n ilość odbiorców, b j ilość zapotrzebowania zasobu u j-tego odbiorcy, c ij jednostkowe koszty przewozu od każdego dostawcy do każdego odbiorcy, ij ilość jednostek ładunku, które powinny być wysłane z poszczególnych punktów dostawców do poszczególnych odbiorców. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii

Model zadania zbilansowanego j ij m i ij i j i,2, K, m, j,2, K, n a i n n min z n ij ai i m b j j b m i,2, K, m j,2, K, n j c ij ij Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii

Model zadania niezbilansowanego min z n m i j c ij ij n i ij a i i,2, K, m m j ij b j j,2, K, n ij i,2, K, m, j,2, K, n Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 2

Model zadania zbilansowanego w postaci rozpisanej min z 2 m 2 n 2 22 m2 2 22 2n L L L L i n m i j c ij L L,2, K, m,,2, K, n ij Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 3 n 2n LLLLLLLL mn m ij m 2 LLLLLLLL mn a a b b a 2 2 b m n j

Wnioski Jest to zagadnienie programowania liniowego o mn równaniach i m*n zmiennych. Każda ze zmiennych decyzyjnych występuje w dwóch równaniach ze współczynnikiem równym jeden. Zbilansowane zadanie transportowe posiada bazowe rozwiązanie dopuszczalne. Bazowe rozwiązanie dopuszczalne składa się z co najwyżej mn- dodatnich zmiennych ij. Dla zbilansowanego zadania transportowego istnieje zawsze optymalne rozwiązanie dopuszczalne. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 4

Przykład Firma ma zakłady wytwórcze w miejscowościach D, D 2 i D 3 oraz ośrodki dystrybucji w miejscowościach O, O 2 i O 3. Możliwości produkcyjne zakładów wynoszą odpowiednio, 2, 2 i 3 jednostek, natomiast prognozy popytu w centrach wynoszą odpowiednio,5 i 45 jednostek. Jednostkowe koszty przewozu zestawione są w tablicy. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 5

Jednostkowe koszty transportu Miejscowość D D 2 D 3 Ośrodek dystrybucji O O 2 O 3 4 7 3 5 6 7 9 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 6

Przedstawienie schematyczne 2 D O 7 4 2 D 2 3 5 O 2 5 6 7 3 D 3 9 O 3 45 Podaż Popyt Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 7

Cel Znaleźć taki plan przewozów, by przy uwzględnieniu możliwości produkcyjnych zakładów oraz przewidywanego popytu w ośrodkach dystrybucji zminimalizować łączne koszty transportu (które są proporcjonalne do ilości przewożonego towaru). Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 8

Zmienne decyzyjne planowany przewóz na trasie od D do O, 2 planowany przewóz na trasie od D do O 2, 3 planowany przewóz na trasie od D do O 3, 2 planowany przewóz na trasie od D 2 do O, 22 planowany przewóz na trasie od D 2 do O 2, 23 planowany przewóz na trasie od D 2 do O 3, 3 planowany przewóz na trasie od D 3 do O, 32 planowany przewóz na trasie od D 3 do O 2, 33 planowany przewóz na trasie od D 3 do O 3, Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 9

Funkcja celu i ograniczenia 2 3 2 3 4 2 22 32 2 22 23 2, K, 33 7 3 23 33 3 32 33 3 3 2 2 3 5 45 2 5 22 23 6 3 7 32 9 33 min Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 2

Rozwiązanie optymalne 5, 2, 3 5, 2 5, 22 5, 23, 3, 32, 33 3. Minimalny koszt transportu wynosi 47 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 2

Postać macierzowa zadania transportowego c min c ma A b A b Przy czym c c Zadanie transportowe prymalne wygodnie jest rozpatrywać jako zadanie na maksimum Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 22

Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 23 Współczynniki dla rozpatrywanego zadania [ ] 9 7 6 5 3 7 4 c A 45 5 3 2 2 b 33 32 3 23 22 2 3 2

Zadanie prymalne i dualne Zadanie prymalne (ZP) Zadanie dualne (ZD) c ma yb min A b ya c y dowolne Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 24

Wektor y zadania dualnego y [ y y y y y ] Przyjmujemy, że y[u,v], gdzie: 2 3 4 5 y6 u wektor zmiennych ZD odpowiadających dostawcom, v wektor zmiennych ZD odpowiadających odbiorcom. Optymalne wartości zmiennych dualnych u i oraz v j często nazywane są potencjałami. Pozwalają obliczyć współczynniki optymalności zadania transportowego. u [ u u ] 2 u3 y v [ v v ] [ u u u v v ] 2 3 2 v3 2 v3 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 25

Zadanie dualne - funkcja celu yb [ u u u v v v ] 2 3 2 3 2 2 4 5 45 2u 2u 2 3u 3 v 5v 2 45v 3 min Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 26

Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 27 Zadanie dualne - ograniczenia [ ] 9 7 6 5 3 7 4 3 2 3 2 v v v u u u ya 9 7 6 5 3 7 4 3 3 2 3 3 3 2 2 2 2 3 2 v u v u v u v u v u v u v u v u v u

Zadanie prymalne 4 2 7 3 3 2 5 22 23 6 3 7 32 9 33 ma 2 3 2 22 32 3 23 33 2 2 3 2 3 2 22 23 3 32 33 5 45, K, 33 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 28

Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 29 Zadanie dualne Ponieważ w zadaniu prymalnym ograniczenia są w postaci równości, więc zmienne w zadaniu dualnym nie są ograniczone co do znaku. min 45 5 3 2 2 3 2 3 2 v v v u u u dowolne -,,,,, 9 7 6 5 3 7 4 3 2 3 2 3 3 2 3 3 3 2 2 2 2 3 2 v v v u u u v u v u v u v u v u v u v u v u v u

Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 3 Zależności między zmiennymi i warunkami ograniczającymi poprzez twierdzenie o komplementarności 9 7 6 5 3 7 4 3 3 2 3 3 3 2 2 2 2 3 2 v u v u v u v u v u v u v u v u v u dpowiada warunkowi 2 dpowiada warunkowi 3 dpowiada warunkowi 2 dpowiada warunkowi 22 dpowiada warunkowi 23 dpowiada warunkowi 3 dpowiada warunkowi 32 dpowiada warunkowi 33 dpowiada warunkowi

Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 3 Z twierdzenia o komplementarności 9) ( ) ( 7) ( 7) ( 6) ( 5) ( 3) ( 4) ( ) ( 33 3 3 23 3 2 3 3 32 2 3 3 3 22 2 2 2 2 2 2 v u v u v u v u v u v u v u v u v u

Wnioski z twierdzenia o komplementarności Jeżeli >, to u v Jeżeli 2 >, to u v 2 4 Jeżeli 3 >, to u v 3 7 Jeżeli 2 >, to u 2 v 3 Jeżeli 22 >, to u 2 v 2 5 Jeżeli 23 >, to u 2 v 3 Jeżeli 3 >, to u 3 v 6 Jeżeli 32 >, to u 3 v 2 7 Jeżeli 33 >, to u 3 v 3 9 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 32

Metody rozwiązania zadania transportowego. Jest to model liniowy i może być rozwiązywany za pomocą metody sympleks. 2. Metoda potencjałów. Wykorzystuje pewne specyficzne cechy tego zadania oraz teorię dualności. Jest to metoda bardzo efektywna. Pozwala skrócić i uprościć obliczenia. Ma charakter iteracyjny, a czynności wykonywane w kolejnych iteracjach są zbliżone do tych, które wykonujemy w prymalnej metodzie sympleks. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 33

Algorytm metody potencjałów. Znaleźć pierwsze, dopuszczalne rozwiązanie bazowe. 2. Ocenić, czy jest ono optymalne, czy też nie. 3. Jeżeli nie jest optymalne, wyznaczyć nowe sąsiednie rozwiązanie bazowe. W tym celu należy: Wybrać zmienną wchodzącą do bazy, Wybrać zmienną usuwaną z bazy, Znaleźć rozwiązanie bazowe odpowiadającej bazie sąsiedniej. 4. Jeżeli otrzymane rozwiązanie jest optymalne, zakończyć postępowanie. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 34

Pierwsze dopuszczalne rozwiązanie bazowe Wygodnie jest posługiwać się ujęciem macierzowotabelarycznym. Z zadaniem transportowym wiążemy dwie macierze o m wierszach i n kolumnach macierz przewozów (zwaną również planem przewozów) i macierz kosztów. W macierzy przewozów zapisujemy wartości aktualnie rozpatrywanego rozwiązania. W macierzy kosztów zapisujemy jednostkowe koszty transportu między poszczególnymi dostawcami i odbiorcami. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 35

Macierze dla zadania przykładowego Macierz przewozów Macierz kosztów X 2 3 2 22 32 3 23 33 C c c c 2 3 c c c 2 22 32 c c c 3 23 33 3 6 4 5 7 7 9 W macierzy X zapisane jest rozwiązanie bazowe i zawiera mn-5 zmiennych bazowych. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 36

Algorytm wyznaczania pierwszego dopuszczalnego rozwiązania bazowego. Wybierz wśród nie skreślonych elementów tablicy transportowej dopuszczalną klatkę, powiedzmy (i,j), a następnie na trasie (i,j) określonej przez węzeł, zaplanować przewóz na poziomie ij, gdzie ij min( ai, bj ) 2. Zmniejsz podaż i-tego dostawcy i popyt j-tego odbiorcy o wielkość ij ustaloną w kroku, a więc a i a i ij b j b j ij Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 37

Algorytm cd. 3. Jeśli a i, to uzupełnij wiersz i-ty tablicy transportowej o wartości. Jeśli natomiast a i > (wtedy b j ), to uzupełnij j-tą kolumnę o wartości. 4. Jeśli wszystkie elementy tablicy transportowej zostały określone, to koniec. Wyznaczono początkowe dopuszczalne rozwiązanie bazowe składające się z nm- zmiennych bazowych. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 38

Metody poszukiwania początkowego rozwiązania dopuszczalnego W zależności od sposobu wyboru dopuszczalnej klatki, jest kilka metod znalezienia początkowego rozwiązania dopuszczalnego:. Metoda kąta północno zachodniego. Nie wykorzystuje w żaden sposób wiedzy o jednostkowych kosztach transportu pomiędzy dostawcami i odbiorcami. Uzyskane rozwiązanie dopuszczalne zazwyczaj bardzo odległe od rozwiązania optymalnego. Dopuszczalną jest klatka leżąca w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie nie uzupełnionej części tablicy. 2. Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów. Dopuszczalną jest klatka o minimalnym koszcie w nieuzupełnionej części tablicy. 3. Metoda Vogel a VAM. Dopuszczalną jest klatka o minimalnym koszcie w linii (wierszu lub kolumnie) z największym współczynniku kary. Współczynnik kary (liczba nieujemna) jest różnicą między dwoma najmniejszymi kosztami w linii. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 39

Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Rozwiązanie początkowe Podaż 2 2 3 5 45 Popyt Macierz kosztów jednostkowych 4 7 3 5 6 7 9 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 4

Zasada postępowania W macierzy kosztów jednostkowych szukamy elementu minimalnego. Jest to węzeł (,). Wykorzystujemy maksymalnie trasę (,) wybierając mniejszą z liczb określających podaż i popyt na tej trasie. Modyfikujemy wartości popytu i podaży na danej trasie. Kontynuujemy postępowanie tak długo aż określimy wszystkie elementy macierzy X. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 4

Krok Rozwiązanie początkowe Podaż * 2 2 3 5 45 Popyt Macierz kosztów jednostkowych min{a,b } * 4 7 3 5 6 7 9 a a - b b - b,więc uzupełniamy pierwszą kolumnę zerami Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 42

Krok 2 Rozwiązanie początkowe Podaż * 2 3 5 5 45 Popyt Macierz kosztów jednostkowych min{a,b 2 } * 4* 7 3 5 6 7 9 a a - b b -5 a,więc uzupełniamy pierwszy wiersz zerami Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 43

Krok 3 Rozwiązanie początkowe Podaż 5* 2 5 3 5 45 Popyt Macierz kosztów jednostkowych min{a 2,b 2 }5 * 4* 7 3 5* 6 7 9 a 2 a 2-55 b 2 b 2-5 b 2,więc uzupełniamy drugą kolumnę zerami Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 44

Krok 4 Rozwiązanie początkowe Podaż 5 5 3* 3 45 5 Popyt Macierz kosztów jednostkowych min{a 3,b 3 }3 * 4* 7 3 5* 6 7 9* a 3 a 3-3 b 3 b 3-35 b 3, ale trzeci wiersz uzupełniony Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 45

Krok 5 Rozwiązanie początkowe Podaż 5 5* 5 3 5 Popyt Macierz kosztów jednostkowych * 4* 7 3 5* * 6 7 9* wypełniamy element 23, a 2 b 3 5 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 46

Pierwsze dopuszczalne rozwiązanie bazowe znalezione metodą minimalnego elementu macierzy kosztów Rozwiązanie początkowe Podaż * * 5* 5* 3* Popyt Macierz kosztów jednostkowych * 4* 7 3 5* * 6 7 9* Wartość funkcji celu jest równa 5 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 47

Metoda VAM W każdym wierszu i kolumnie macierzy kosztów znajdujemy bezwzględną wartość różnicy między dwoma najmniejszymi elementami macierzy kosztów jednostkowych. Wybieramy węzeł który znajduje się w linii o największej wartości bezwzględnej różnicy i którego koszt jednostkowy jest najmniejszy. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 48

Krok Rozwiązanie początkowe Podaż * 2 2 3 5 45 Popyt Macierz kosztów jednostkowych Różnice w wierszach * 4 7 3 3 5 2 6 7 9 2 2 Różnice w kolumnach Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 49

Krok 2 Rozwiązanie początkowe Podaż 5* 2 5 3 5 45 Popyt Macierz kosztów jednostkowych Różnice w wierszach * 4 7 3 3 5* 6 6 7 9 2-2 Różnice w kolumnach Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 5

Wartość funkcji celu jest równa 48 Krok 3 Rozwiązanie początkowe Podaż * 5 5* 5 3* 3 45 Popyt Macierz kosztów jednostkowych Różnice w wierszach * 4 7* - 3 5* * - 6 7 9* - - - - Różnice w kolumnach Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 5

Metoda kąta północnozachodniego Patrząc na zbiór węzłów tworzących macierz rozwiązania początkowego jak na mapę, znajdujemy węzeł wysunięty najdalej na północny zachód. Jest to węzeł o numerze (,). Dalej zasada postępowania jest podobna jak w poprzednich metodach. Postępowanie kontynuujemy aż do momentu wypełnienia wszystkich węzłów. W metodzie tej nie wykorzystuje się macierzy kosztów jednostkowych. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 52

Krok Rozwiązanie początkowe Podaż * 2 2 3 5 45 Zapotrzebowanie Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 53

Krok 2 Rozwiązanie początkowe Podaż * * 2 3 5 5 45 Zapotrzebowanie Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 54

Krok 3 Rozwiązanie początkowe Podaż * * 5* 2 5 3 5 45 Zapotrzebowanie Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 55

Krok 4 Rozwiązanie początkowe Podaż * * 5* 5* 5 3* 3 45 Zapotrzebowanie Wartość funkcji celu jest równa 5 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 56

Metoda potencjałów Można ją stosować do zadania zbilansowanego Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 57

Algorytm postępowania. Podajemy zagadnienie zbilansowane. Jeżeli model nie jest zbilansowany, to należy go zbilansować. 2. Konstruujemy tablicę transportową i pierwsze bazowe rozwiązanie dopuszczalne dowolną z metod. 3. Obliczamy potencjały u i i v j w ten sposób, aby dla każdej zmiennej bazowej ij, c ij c ij u i v j. 4. Obliczamy oceny klatek niebazowych ze wzoru c ij c ij u i v j. Jeżeli wszystkie oceny c ij o to mamy rozwiązanie optymalne i kończymy działanie algorytmu. 5. Jeżeli nie jest optymalne, wyznaczyć nowe sąsiednie rozwiązanie bazowe. W tym celu należy: Dodać klatkę o najmniejszej ocenie do bazy, Zbudować cykl zawierający dodawaną klatkę i pewne klatki bazowe, Zmień wartości klatek należących do cyklu tak, aby otrzymać nowe rozwiązanie bazowe 6. Wróć do kroku 3. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 58

Znalezienie pierwszego dopuszczalnego rozwiązania bazowego Rozwiązanie początkowe (metodą minimalnego elementu) * * 5* 5* 3* Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 59

Konstrukcja układu równań dla zadania dualnego mamy Ponieważ >, wic u v Ponieważ 2 >, wic u v 2 4 Ponieważ 22 >, wic u 2 v 2 5 Ponieważ 23 >, wic u 2 v 3 Ponieważ 33 >, wic u 3 v 3 9 Jest to układ pięciu równań z sześcioma niewiadomymi. Można go rozwiązać przyjmując jedną zmienną jako parametr. Jako parametr przyjmujemy u u u u 2 3 a, a, a, v Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 6 v v 3 2 4 a a a

Obliczenie współczynników optymalności (są niezależne od a) Współczynnikami kosztów są lewe strony warunków ograniczających zadania dualnego. Wartości współczynników kosztów nie zależą od parametru. Można więc przyjąć, że a (czyli u ). c u v ij i j c ij Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 6

Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 62 Współczynniki optymalności ij j i ij c v u c 9 ) ( ) ( 9 4 7 ) 4 ( ) ( 7 6 6 ) ( ) ( 6 ) ( ) ( 5 ) 4 ( ) ( 5 3 ) ( ) ( 3 3 7 ) ( 7 4 ) 4 ( 4 ) ( 3 3 33 2 3 32 3 3 3 2 23 2 2 22 2 2 3 3 2 2 a a v u c a a v u c a a v u c a a v u c a a v u c a a v u c a a v u c a a v u c a a v u c 4 6 3 C

Kryterium optymalności C 6 4 3 Istnieje możliwość poprawy rozwiązania początkowego Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 63

Kryterium wejścia W macierzy wskaźników optymalności znajdujemy element najmniejszy. Odpowiadająca mu zmienną wprowadzamy do bazy. Jeżeli najmniejszej wartości współczynnika optymalności odpowiada więcej niż jedna zmienna, to do nowej bazy wprowadzamy zmienną o najmniejszym numerze wiersza, a gdy numer wiersza dla dwóch zmiennych jest taki sam, wówczas do nowej bazy wprowadzamy zmienną o najmniejszym numerze kolumny. C 6 4 3 Do bazy wprowadzamy zmienną 3 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 64

Określenie cyklu W naszym przypadku do bazy powinna wejść zmienna 3. Cyklem jest zbiór węzłów, który rozpoczyna się od węzła wprowadzanego do bazy i zawiera wszystkie (lub niektóre) węzły dotychczasowej bazy, w których należy zmienić wartości po wprowadzeniu do bazy wybranego wektora. Prawidłowo zbudowany cykl ma w każdym wierszu lub kolumnie dokładnie lub 2 węzły. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 65

Cykl Ciąg klatek tablicy transportowej nazywamy cyklem jeżeli: Każde dwie sąsiednie klatki znajdują się w jednej linii tj w jednej kolumnie lub w jednym wierszu, Ostatnia klatka znajduje się w tej samej linii co klatka pierwsza, Żadne trzy kolejne klatki tego ciągu nie leżą w jednej linii. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 66

Określenie cyklu dla zadania Rozwiązanie początkowe - 5 5-3 Cykl można podzielić na dwa półcykle:. Półcykl dodatni te w których nastąpi wzrost wartości przewozu, 2. Półcykl ujemny te w których nastąpi spadek. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 67

Kryterium wyjścia Bazę opuszcza ta zmienna należąca do półcyklu ujemnego, dla której wielkość przewozu w dotychczasowym rozwiązaniu jest minimalna. W przypadku niejednoznaczności postępujemy tak samo, jak w przypadku wystąpienia niejednoznaczności w kryterium wejścia W naszym przypadku min(,5), więc bazę opuszcza zmienna 2. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 68

Przejście do sąsiedniego rozwiązania bazowego Rozwiązanie początkowe - 5 5-3 Nowe rozwiązanie dopuszczalne (iteracja ) * * 5* 5* 3* Wartość funkcji celu 5 Wartość funkcji celu 48 Przy przejściu do nowego rozwiązania sąsiedniego, zwiększamy wartości zmiennych dla węzłów półcyklu dodatniego o znalezioną wartość minimalną, oraz zmniejszamy wartości zmiennych półcyklu ujemnego o tę samą wartość. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 69

Przebieg obliczeń iteracja 2 Macierz współczynników optymalności * -3* * * 6 4 * Układ równań: u v u u u u 2 2 3 v 3 v v v 2 3 3 3 Rozwiązanie: u u u 2 3 3 3 v v v 2 3 3 3 Wykorzystując macierz współczynników optymalności uzyskaną w iteracji, tworzymy układ równań liniowych odpowiadający temu rozwiązaniu. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 7

Obliczamy nowe współczynniki optymalności (rozwiązanie nadal nie jest optymalne) Dotychczasowa macierz współczynników optymalności * * -3 * * -3 6 4 * -3 3 3 v i Nowa macierz wskaźników optymalności * 3 * -2 * * 3 4 * c u v Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 7 ij u i i j c ij

Utworzenie cyklu dla węzła (2,) Rozwiązanie dopuszczalne Podaż - 2 5 5-2 3 3 5 45 Popyt Macierz wskaźników optymalności * 3 * -2 * * 3 4 * Z bazy usuwamy węzeł (2,3). (min(,5)5). Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 72

Nowe rozwiązanie dopuszczalne Dotychczasowe rozwiązanie dopuszczalne Podaż - 2 5 5-2 3 3 5 45 Popyt Nowe rozwiązanie dopuszczalne 5* 5* 5 * 5* * 3* Wartość funkcji celu (iteracja 2) jest równa 47 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 73

Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 74 Przebieg obliczeń iteracja 3 Macierz współczynników optymalności * 3 * -2* * 3 4 * 2 3 3 2 2 2 3 v u v u v u v u v u Układ równań: Rozwiązanie: 2 2 3 3 2 2 v u v u v u

Macierz współczynników optymalności Dotychczasowa macierz współczynników optymalności * 3 * -2 * * 2 3 4 * u i -2 v i Nowa macierz wskaźników optymalności * * * * 2 3 2 * c u v ij i Ponieważ nowe współczynniki optymalności są nieujemne więc rozwiązanie jest optymalne. j c ij Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 75

Bilansowanie zadania transportowego m i n a i > b j j Podaż przewyższa popyt, więc pewna część towaru pozostaje u dostawców. Zadanie bilansujemy poprzez wprowadzenie fikcyjnego odbiorcy. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 76

Przykład Możliwości produkcyjne zakładu w miejscowości D, z poprzedniego przykładu zwiększyły się i wynoszą 25 jednostek, popyt jest taki sam. a b 25,, a b C 2 2 2, 5, 3 6 3 45 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 77 4 5 7 b a 3 3 7 9

Wprowadzenie fikcyjnego odbiorcy Zapotrzebowanie fikcyjnego odbiorcy jest równe całkowitej podaży pomniejszonej o wielkość całkowitego popytu. Przez i4 oznaczamy ilość towaru przekazaną fikcyjnemu odbiorcy przez i-tego dostawcę. b4 ( a a2 a3) ( b b2 b3 ) (25 2 3) ( 5 45) 5 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 78

Rozwiązanie początkowe otrzymane metodą minimalnego elementu Rozwiązanie początkowe Podaż * * 5* 25 5* 5* 2 3* 3 5 45 5 Zapotrzebowanie Macierz kosztów jednostkowych 4 7 3 5 6 7 9 wartość funkcji celu 5 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 79

Rozwiązanie optymalne otrzymane metodą potencjałów 2 3 5 4 2 22 5 23 24 5 3 32 33 3 34 Optymalna wartość funkcji celu jest równa 46. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 8

Bilansowanie zadania transportowego m i a i < b Popyt przewyższa podaż, więc zapotrzebowanie części odbiorców zostanie niezaspokojone. Zadanie bilansujemy poprzez wprowadzenie fikcyjnego dostawcy. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 8 n j j

Przykład Popyt w centrum dystrybucji w miejscowości O, z poprzedniego przykładu zwiększył się i wynosi 5 jednostek, podaż jest taka sama. a 2, a 2, a 3 b, C b 2 2 3 6 5, 4 5 7 5 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 82 b 7 9 3 3

Wprowadzenie fikcyjnego dostawcy Podaż fikcyjnego dostawcy jest równa całkowitemu popytowi pomniejszonemu o wielkość całkowitej podaży. Przez 4j oznaczamy ilość towaru przekazaną od fikcyjnego dostawcy do j-tego odbiorcy. a4 ( b b2 b3 ) ( a a2 a3) ( 5 5) (2 2 5) 5 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 83

Rozwiązanie początkowe otrzymane metodą VAM Rozwiązanie początkowe Podaż * * 2 5* 5* 2 3* 3 5* 5 5 5 Zapotrzebowanie Macierz kosztów jednostkowych 4 7 3 5 Wartość funkcji celu 6 7 9 48 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 84

Rozwiązanie optymalne otrzymane metodą potencjałów 2 3 2 22 5 23 5 3 32 33 3 4 42 43 5 Optymalna wartość funkcji celu jest równa 47. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 85

Degeneracja w zadaniu transportowym Każda baza w zadaniu transportowym składa się z mn- elementów. Degeneracja występuje wtedy, kiedy liczba zmiennych bazowych o wartościach niezerowych jest mniejsza od mn-. Jeżeli degeneracja występuje już w etapie tworzenia pierwszego bazowego rozwiązania dopuszczalnego, to konieczne jest uzupełnienie bazy zmiennych o wartościach równych zero. Jeżeli degeneracja pojawi się w trakcie rozwiązywania zadania, należy pamiętać, które zera są zerami bazowymi, a które niebazowymi. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 86

Przykład Mamy zadanie z trzema dostawcami i trzema odbiorcami, w którym podaż i popyt oraz koszty jednostkowe transportu są podane: a, a 2, a 3 b, b C 2 2 7 3 2 2, 3 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 87 4 6 3 b 3 3 4 5

Przykładowe rozwiązanie początkowe metodą kąta północno-zachodniego Rozwiązanie początkowe Podaż * * 2* * 2 3* 3 2 3 Zapotrzebowanie W każdym kroku możemy eliminować dostawcę lub odbiorcę. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 88

Dalsze rozwiązania początkowe otrzymane tą samą metodą * * 2* * 3* * * 2* * 3* * * 2* * 3* Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 89

Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 9 Obliczenie współczynników optymalności Macierz współczynników optymalności 7* 4* 4 3 6* * 2 3 5* 5 6 4 7 3 3 3 2 2 2 2 v u v u v u v u v u Układ równań: Rozwiązanie: 6 4 2 7 3 3 2 2 v u v u v u

Obliczamy nowe współczynniki optymalności (rozwiązanie nadal nie jest optymalne) Dotychczasowa macierz współczynników optymalności 7 4 4 3 6-2 2 3 5-6 -7-4 v i Nowa macierz wskaźników optymalności * * 5-6 * * - -7 * c u v Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 9 ij u i i j c ij

Określenie cyklu Rozwiązanie początkowe - 2-3 - Wartość funkcji celu 34 Do bazy wprowadzamy węzeł (3,). Powstaje cykl składający się z 6 węzłów. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 92

Nowe rozwiązanie dopuszczalne Nowe rozwiązanie dopuszczalne * * * * 2 * Wartość funkcji celu 23 W nowym rozwiązaniu wszystkie zmienne bazowe są dodatnie, czyli rozwiązanie jest niezdegenerowane. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 93

Nowa macierz współczynników optymalności rozwiązanie nie jest optymalne Dotychczasowa macierz współczynników optymalności * * 5-6 * * - -7 * v i Nowa macierz wskaźników optymalności * 5 5 * * * -7 * Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 94 ij u i c u v i j c ij

Określenie cyklu Rozwiązanie początkowe - 2 - Wartość funkcji celu 23 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 95

Nowe rozwiązanie dopuszczalne Nowe rozwiązanie dopuszczalne * 2* * * * Wartość funkcji celu 6 Rozwiązanie nie jest zdegenerowane Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 96

Nowa macierz współczynników optymalności rozwiązanie nie jest optymalne Dotychczasowa macierz współczynników optymalności 5 5 7-7 7-7 -7 v i Nowa macierz wskaźników optymalności 4 * -2 5 7 * * * * Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 97 ij u i c u v i j c ij

Określenie cyklu Rozwiązanie początkowe - 2 - Wartość funkcji celu 6 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 98

Nowe rozwiązanie dopuszczalne Nowe rozwiązanie dopuszczalne 2* 2* * 2* * Wartość funkcji celu 4 Rozwiązanie to zawiera jedno zero bazowe Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 99

Wyznaczenie macierzy współczynników optymalności - rozwiązanie jest optymalne Dotychczasowa macierz współczynników optymalności 4 * -2 5 7 * -2 * * * -2 2 2 2 v i Nowa macierz wskaźników optymalności 6 2 * 5 7 * * * * Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii ij u i c u v i j c ij

Preferencje odbiorców w zadaniu z fikcyjnym dostawcą Jeśli z warunków zadania wynikają określone preferencje w zaspokojeniu zapotrzebowania pewnego odbiorcy k w wysokości b k, to w optymalnym planie przewozów nie może znaleźć się przewóz w wysokości b k, na trasie odbiorca k fikcyjny odbiorca m. W tym celu dzielimy zapotrzebowanie b k tego odbiorcy na dwie części i rozpatrujemy dwóch odbiorców k i k. Modyfikujemy tablicę transportową, dzieląc kolumnę odpowiadającą odbiorcy k na dwie kolumny. Jednostkowe koszty transportu na trasach do odbiorców k i k są równe jednostkowym kosztom transportu na trasach do odbiorcy k z wyjątkiem trasy (m,k ) od fikcyjnego dostawcy do odbiorcy k. Przyjmujemy na tej trasie jednostkowy koszt transportu równy M, gdzie M jest dostatecznie dużą liczbą dodatnią, co pozwoli na wyeliminowanie trasy (m,k ), w trakcie obliczeń. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii

Preferencje dostawców Jeśli warunki zadania narzucają wykonanie planu przewozów przez określonego dostawcę w wysokości a i, postępujemy podobnie jak przy preferencjach odbiorców. Eliminujemy przewóz na trasie fikcyjnego odbiorcy przez wprowadzenie wysokiego jednostkowego kosztu transportu. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 2

Niedopuszczalność przewozów Jeśli z warunków zadania wynika niedopuszczalność przewozów na określonych trasach (blokada pewnych tras), to wprowadzamy do zadania w sposób sztuczny możliwość lokowania przewozów na trasach niedopuszczalnych, przypisując im odpowiednio duży jednostkowy koszt transportu równy M. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 3

Schemat algorytmu transportowego cz. S T A R T Tak zadanie zbilansowane modyfikujemy tablicę transportową wprowadzając "fikcyjnego dostawcę" Tak Nie popyt przewyższa podaż Nie modyfikujemy tablicę transportową wprowadzając "fikcyjnego odbiorcę" czy istnieją preferencje w zaspokajaniu zapotrzebowania określonych odbiorców Tak modyfikujemy tablicę transportową eliminując przewozy od "fikcyjnego dostawcy" Nie Nie czy istnieją trasy niedopuszczalne Wprowadzamy do zadania dodatkowy warunek. Modyfikujemy tablicę transportową czy istnieją preferencje w wykonaniu przez określonych dostawców Tak modyfikujemy tablicę transportową eliminując przewozy do "fikcyjnego odbiorcy" modyfikujemy tablicę transportową wprowadzając "fikcyjnego dostawcę" Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 4 Tak Nie

Schemat algorytmu transportowego cz. 2 czy otrzymane rozwiązanie jest niezdegenerowane Nie Tak Tak czy otrzymane rozwiązanie jest optymalne Tak czy otrzymane rozwiązanie jest jednoznaczne znajdujemy pozostałe rozwiązanie optymalne Nie usuwamy degenerację przez dołączenie do zmiennych bazowych odpowiednią liczbę zmiennych niebazowych Nie wyznaczenie poprawionego bazowego rozwiązania dopuszczalnego Koniec Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 5

Uwagi Algorytm działa także wtedy, gdy koszty przewozów są ujemne. Jeżeli celem będzie maksymalizacja kosztów przewozu, to przed zastosowaniem algorytmu należy przemnożyć wszystkie koszty przez -. Jeżeli wszystkie podaże i popyty są liczbami całkowitymi, to algorytm zwraca optymalny przewóz całkowitoliczbowy. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 6

Zagadnienie transportowe z kryterium czasu Współczynniki macierzy C[c ij ] oznaczają nie jednostkowe koszty przewozu, ale czas przewozu ładunku od dostawcy i do odbiorcy j. Mamy wtedy do czynienia z zadaniem transportowych z kryterium czasu. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 7

Typy zadań z kryterium czasu. Zadanie transportowe z kryterium czasu pierwszego rodzaju jako kryterium optymalizacji przyjmujemy minimalizację łącznej liczby tonogodzin. Dla takiego zadania wyznaczamy rozwiązanie podobnie jak w zadaniach z kryterium kosztów. Takie zadania często stosuje się przy przewozach towarów łatwo lub szybko tracących własności użytkowe. Nie zapewnia ono jednak, że przewozy na wszystkich wybranych trasach trwać będą stosunkowo krótko. 2. Zadanie transportowe z kryterium czasu drugiego rodzaju jako kryterium przyjmuje się minimalizację najdłużej trwającego przewozu. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 8

Zadanie transportowe z kryterium czasu drugiego rodzaju min z n j ij a ma{ c i ij > ij }, i,2, K, m m i ij ij, b j, j,2, K, n i,2, K, m, j,2, K, n Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 9

Algorytm rozwiązania S T A R T Budowa początkowego rozwiązania dopuszczalnego Budowa macierzy T[t ij ] Wyznaczenie czasu realizacji planu przewozowego t ma Budowa macierzy H[h ij ] Tak Czy otrzymane rozwiązanie jest optymalne Nie Opisanie znalezionego rozwiązania optymalnego Koniec Wyznaczenie poprawionego rozwiązania bazowego Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii

Budowa początkowego rozwiązania bazowego Budowy początkowego rozwiązania bazowego dokonujemy jedną z poznanych wcześniej metod. Budujemy macierz X[ ij ]. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii

Budowa macierzy T[t ij ] t ij c ij ij ij > Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 2

Wyznaczenie t ma Czas ten nazywamy czasem realizacji danego czasu przewozowego X[ ij ]. Jest to największy element macierzy T[t ij ] Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 3

Budowa macierzy H[h ij ] h ij M Należy sprawdzić, czy znalezione t ma jest najmniejsze spośród wszystkich t ma odpowiadających różnym rozwiązaniom X[ ij ]. Dzielimy w ten sposób trasy zadania na trzy grupy: h ij (korzystne), h ij (równorzędne), h ij M (niekorzystne M odpowiednio duża liczba dodatnia). Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 4 c c c ij ij ij < > t t t ma ma ma

Sprawdzenie optymalności otrzymanego rozwiązania Dokonujemy tak jak poprzednio, biorąc zamiast macierzy C macierz H. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 5

Przykład Trzej ogrodnicy dostarczają codziennie świeże kwiaty różnych gatunków: Kowalski 2 szt., Nowak 8 szt., Wiśniewski szt. do kwiaciarni w trzech miejscowościach. Zapotrzebowanie w tych miejscowościach wynosi odpowiednio: Baranowo 6 szt., Kaczyce szt., Koziny 4 szt. Biorąc pod uwagę czasy przejazdu od poszczególnych ogrodników do kwiaciarni oraz to, że Wiśniewski otrzymał z Kozin zamówienie jedynie na 7 szt kwiatów dziennie, ustal dokąd powinni wysłać swe kwiaty ogrodnicy, aby możliwie najbardziej skrócić najdłuższy czas przewozu. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 6

Czasy przejazdu tabela T Dostawca Czas przejazdu (w godz.) do: Baranowa Kaczyce Koziny Kowalski 4 3 Nowak 3 3 Wiśniewski 3 2 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 7

Uwagi Zadanie jest bilansowane a a 2 a 3 b b 2 b 3 3. Występuje w nim ograniczenie trasy (3,3) (przewóz kwiatów w ilości 7 szt.) Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 8

Obliczenie rozwiązania początkowego bez dodatkowego ograniczenia Rozwiązanie początkowe Podaż 6* 6* 2 4* 4* 8 * 6 4 Popyt Macierz kosztów jednostkowych 4 3 3 2 3 2 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 9

Dodatkowe ograniczenie Rozwiązanie początkowe Podaż 6* 6* 2 4* 4* 8 3* 7* 6 7 7 Popyt Macierz kosztów jednostkowych 4 3 3 3 2 2 3 2 2 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 2

Przykłady wykorzystania zadania transportowego. Minimalizacja pustych przebiegów 2. Zagadnienie transportowoprodukcyjne 3. Zagadnienie przydziału zadań Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 2

Minimalizacja pustych przebiegów Mamy układ 8 punktów geograficznych, między którymi istnieją połączenia komunikacyjne. Z każdego z tych punktów wywozi się i do każdego przywozi określoną masę towaru,wykorzystując do przewozu samochody o tej samej ładowności. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 22

Odległości między miastami 2 3 4 5 6 7 8 35 25 9 32 8 38 345 2 3 4 35 32 7 44 3 24 245 295 35 385 4 65 27 52 55 5 4 48 4 6 35 48 7 65 8 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 23

Przewidywany przewóz masy towaru między miastami, mierzony liczbą samochodów Wywóz z miasta i p i 2 3 4 5 6 7 8 Przywóz do miasta i 2 8 9 6 7 9 2 4 2 5 9 6 4 7 3 8 9 3 2 5 6 74 4 3 8 9 7 4 3 7 6 5 6 8 8 6 2 8 68 6 8 9 6 9 6 2 7 7 8 7 6 4 3 9 2 39 8 4 3 6 3 4 2 32 w i 9 85 67 8 58 73 34 38 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 24

Nadwyżka/niedobór samochodów Dla rozpatrywanych miast wywóz nie jest równy przywozowi. Należy określić taki plan przebiegu pustych samochodów, przy którym łączna liczba samochodo-kilometrów pustych przebiegów będzie minimalna, przy zaopatrzeniu każdego miasta (w którym wywóz przekracza przywóz) w niezbędną liczbę pustych samochodów. W tabeli suma wartości w wierszu oznaczona jest przez p i, natomiast suma wartości w kolumnie oznaczona jest przez w i. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 25

Nadwyżka/niedobór samochodów w kolejnych miastach Dla każdego miasta obliczamy wielkość: r i p i -w i. p i 7 74 6 68 7 39 32 w i 9 85 67 8 58 73 34 38 r i 9-4 7-9 2 5-6 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 26

Dostawcy pustych samochodów Miasto, dla którego r i >, jest dostawcą pustych samochodów, przy czym podaż pustych samochodów wynosi p i -w i. Miasto, dla którego r i <, jest odbiorcą pustych samochodów, przy czym popyt na puste samochody wynosi w i -p i. Rozpatrywane zadanie ma strukturę zadania transportowego. Dostawcami samochodów są miasta o numerach, 3, 5, 7, natomiast odbiorcami miasta o numerach 2, 4, 6, 8. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 27

Dostawcy i odbiorcy a nadwyżka samochodów w mieście (dostawca pierwszy) a 2 nadwyżka samochodów w mieście 3 (dostawca drugi) a 3 nadwyżka samochodów w mieście 5 (dostawca trzeci) a 4 nadwyżka samochodów w mieście 7 (dostawca czwarty) b niedobór samochodów w mieście 2 (odbiorca pierwszy) b 2 niedobór samochodów w mieście 4 (odbiorca drugi) b 3 niedobór samochodów w mieście 6 (odbiorca trzeci) b 4 niedobór samochodów w mieście 8 (odbiorca czwarty) Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 28

Odległości między dostawcami a odbiorcami Dostawca Odbiorca b b 2 b 3 b 4 a 35 9 8 345 a 2 3 24 295 385 a 3 35 65 4 4 a 4 7 52 35 65 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 29

Zmienne decyzyjne liczba pustych przebiegów z miasta do miasta 2 3 z miasta 3 do miasta 2 2 z miasta do miasta 4 32 z miasta 3 do miasta 4 3 z miasta do miasta 6 33 z miasta 3 do miasta 6 4 z miasta do miasta 8 34 z miasta 3 do miasta 8 2 z miasta 2 do miasta 2 4 z miasta 4 do miasta 2 22 z miasta 2 do miasta 4 42 z miasta 4 do miasta 4 23 z miasta 2 do miasta 6 43 z miasta 4 do miasta 6 24 z miasta 2 do miasta 8 44 z miasta 4 do miasta 8 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 3

Funkcja celu f (, 2, 3, 4, 2, 22, 23, 24, 3, 32, 33, 34, 4, 42, 43, 44 ) 35 3 35 7 2 3 4 9 24 65 52 2 22 32 42 8 3 295 4 35 345 23 33 43 4 385 4 65 24 34 44 min Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 3

Ograniczenia Dostawca Dostawca 2 Dostawca 3 Dostawca 4 2 3 4 2 22 32 42 3 23 33 43 9 7 5 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 32 4 Odbiorca Odbiorca Odbiorca Odbiorca 24 34 44 2 3 4 2 22 23 24 3 32 33 34 4 42 43 44 4 9 2 6, 2, 3, 4, 2, 22, 23, 24, 3, 32, 33, 34, 4, 42, 43, 44

Rozwiązanie optymalne optymalna wartość funkcji celu 69 2 2 5 3 2 4 2 7 22 23 24 3 32 4 33 34 6 4 5 42 43 44 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 33

Interpretacja rozwiązania 2 puste przebiegi na trasie z miasta do miasta 2, 5 pustych przebiegów na trasie z miasta do miasta 4, 2 puste przebiegi na trasie z miasta do miasta 8, 7 pustych przebiegów na trasie z miasta 3 do miasta 2, 4 puste przebiegi na trasie z miasta 5 do miasta 4, 6 pustych przebiegów na trasie z miasta 5 do miasta 6, 5 pustych przebiegów na trasie z miasta 7 do miasta 2. Minimalna liczba samochodo-kilometrów pustych przebiegów wynosi 69. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 34

Zagadnienie transportowoprodukcyjne Mamy 3 zakłady produkujące pewien towar o zdolnościach produkcyjnych równych odpowiednio: 4, 5 i 3 oraz 4 odbiorców tego towaru, których zapotrzebowania wynoszą odpowiednio: 45,, 3 i 35. Koszt produkcji jednostki towaru w kolejnych zakładach wynosi odpowiednio: 4, 3 i, natomiast koszty przewozu przedstawia macierz C, macierz jednostkowych kosztów produkcji i transportu przedstawia macierz J. Celem jest minimalizacja łącznych kosztów produkcji i transportu. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 35

Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 36 Macierze zadania 4 5 3 8 9 7 2 3 2 3 4 C 5 6 4 9 2 5 6 5 6 7 8 J

Zmienne decyzyjne ilość produktu wytworzona przez zakład dla odbiorcy 3 przez zakład 3 dla odbiorcy 2 przez zakład dla odbiorcy 2 32 przez zakład 3 dla odbiorcy 2 3 przez zakład dla odbiorcy 3 33 przez zakład 3 dla odbiorcy 3 4 przez zakład dla odbiorcy 4 34 przez zakład 3 dla odbiorcy 4 2 przez zakład 2 dla odbiorcy 22 przez zakład 2 dla odbiorcy 2 23 przez zakład 2 dla odbiorcy 3 24 przez zakład 2 dla odbiorcy 4 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 37

Funkcja celu f (, 2, 3, 4, 2, 22, 23, 24, 3, 32, 33, 34 ) 8 6 9 2 3 7 4 4 2 22 32 6 3 5 23 33 4 2 2 24 34 min Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 38

Ograniczenia Zakład Zakład 2 Zakład 3 2 3 2 22 32 3 23 33 4 24 34 4 5 3 Odbiorca Odbiorca Odbiorca Odbiorca 45 3 35 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 39 2 3 4 2 22 23 24, 2, 3, 4, 2, 22, 23, 24, 3, 32, 33, 34 3 32 33 34 4 42 43 44

Rozwiązanie optymalne optymalna wartość funkcji celu jest równa 665 2 3 3 4 2 45 22 5 23 24 3 32 5 33 34 35 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 4

Interpretacja rozwiązania Plan przewozów Odbiorca Odbiorca 2 Odbiorca 3 Odbiorca 4 Produkcja 3 Zakład 4 45 5 Zakład 2 5 5 25 zakład3 3 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 4

Zagadnienie przydziału zadań Dwóch doradców firmy konsultingowej, panowie X i Y, może poświęcić podczas najbliższych 4 tygodni nie więcej niż 4 godzin na pracę dla nowych klientów. Trzeci doradca, pani Z, jest już częściowo zajęta i będzie mogła poświęcić w tym czasie jedynie 2 godzin na nowe projekty. Firma pozyskała cztery nowe kontrakty. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 42

Wymagania czasowe nowych kontraktów Klient Liczba godzin A 65 B 5 C 8 D 7 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 43

Stawki godzinowe różnią się w zależności od doradców i klientów (zł/godz.) Doradca Klient A Klient B Klient C Klient D X 9,5 2 Y 3,5 2 Z 5 4,5 4 3 W jaki sposób przydzielić doradcom kontrakty, tak by łączny koszt ich realizacji był najmniejszy. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 44

Zmienne decyzyjne liczba godzin pracy doradcy X dla klienta A 2 doradcy X dla klienta B 3 doradcy X dla klienta C 4 doradcy X dla klienta D 3 doradcy Z dla klienta A 32 doradcy Z dla klienta B 33 doradcy Z dla klienta C 34 doradcy Z dla klienta D 2 doradcy Y dla klienta A 22 doradcy Y dla klienta B 23 doradcy Y dla klienta C 24 doradcy Y dla klienta D Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 45

Funkcja celu f (, 2, 3, 4, 2, 22, 23, 24, 3, 32, 33, 34 ) 9 5 3 5 2 2 3 45 32 2 22 3 5 4 23 33 4 2 3 24 34 min Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 46

Ograniczenia Dla doradcy X Dla doradcy Y Dla doradcy Z 2 3 2 22 32 3 23 33 4 24 34 4 4 2 Dla klienta A Dla klienta B Dla klienta C Dla klienta D 65 5 8 7 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 47 2 3 4 2 22 23 24, 2, 3, 4, 2, 22, 23, 24, 3, 32, 33, 34 3 32 33 34 4 42 43 44

Struktura zadania Struktura otrzymanego zadania jest typu transportowego, w którym dostawcami są doradcy firmy konsultingowej, a ich podaż to czas, jaki mogą poświęcić na nowe projekty, natomiast odbiorcami są klienci, a ich zapotrzebowanie to liczba godzin przeznaczona przez doradców na analizę nowych kontraktów. Jest to zadanie niezbilansowane, gdyż łączna podaż jest równa 4 godzin, przewyższa łączny popyt, który wynosi 365 godzin. Należy wprowadzić fikcyjnego odbiorcę, czyli fikcyjnego klienta E, którego projekt wymaga 4-36535 godzin. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 48

Dodatkowe zmienne decyzyjne i ograniczenia 5 liczba godzin pracy doradcy X dla klienta E 25 liczba godzin pracy doradcy Y dla klienta E 35 liczba godzin pracy doradcy Z dla klienta E 5 25 35 35, 25, 35, 5 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 49

Rozwiązanie optymalne minimalna wartość funkcji celu wynosi 4375 2 3 4 25 2 22 32 35 5 3 23 33 3 8 4 24 34 7 5 25 35 35 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 5

Interpretacja rozwiązania Plan pracy doradców: Doradca Klient A Klient B Klient C Klient D X 4 Y 25 35 8 Z 5 7 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 5

Zagadnienie przydziału Algorytm węgierski Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 52

Zagadnienie przydziału Istnieje możliwość obsadzenia n stanowisk roboczych przez n pracowników. Znane są efekty pracy j-tego pracownika na i-tym stanowisku. Efekty mogą być oceniane pozytywnie (wydajność, wartość produkcji na jednostkę czasu) lub negatywnie ( liczba braków, czas wykonywania pracy, koszty związane z wykonywaniem pracy). Efekty te dane są macierzą C[c ij ] (i,j,2,,n). Należy przydzielić pracowników do poszczególnych stanowisk tak, aby zmaksymalizować pozytywne lub zminimalizować negatywne efekty pracy całego zespołu. Zakłada się tu, że każde stanowisko może być obsadzone przez jednego pracownika, każdy pracownik może pracować na jednym stanowisku. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 53

Ogólnie Dane jest n celów i n środków do realizacji tych celów. Z każdym skojarzeniem i-tego celu i j-tego środka związana jest pewna korzyść c ij. Korzyści te tworzą kwadratową macierz korzyści C[c ij ] (i,j,2,,n). Każdy cel musi być zrealizowany, a każdy ze środków może być użyty tylko jeden raz. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 54

Oznaczenia Oznaczamy zmienną decyzyjną dla tego zagadnienia przez ij. Zmienna ta może przyjmować tylko dwie wartości lub. ij Gdy i-ty cel jest realizowany za pomocą j-tego środka Gdy i-ty cel nie jest realizowany za pomocą j-tego środka Należy znaleźć takie skojarzenia wszystkich celów ze środkami, aby łączna korzyść była najlepsza. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 55

Model decyzyjny n n i j c ij ij min(ma) n j ij i,2, K, n Bilanse dla celów n i ij ij {,} j i,2, K, n,2, K, n j,2, K, n Bilanse dla środków Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 56

Metody rozwiązania Jeśli ostatni warunek w tym zadaniu zastąpimy warunkiem ij, wtedy ten model może być rozwiązany przy pomocy metody potencjałów. Ponieważ wyrazy wolne tego zagadnienia są jedynkami, a więc liczbami całkowitymi, to i rozwiązanie optymalne jest całkowite. Tak więc metoda transportowa musi dać rozwiązanie optymalne z wartościami lub. Zastosowanie jednak metody transportowej prowadzi do degeneracji rozwiązania bazowego. Stopień degeneracji wyniesie nn--nn-. degeneracja ta stanowi podstawowe utrudnienie związane z zastosowaniem algorytmu transportowego. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 57

Metoda węgierska Obecnie metoda powszechnie stosowana. Metoda została opublikowana przez węgierskiego matematyka Egervary ego w 93 roku. Przetłumaczona i nazwana Metodą węgierską przez H. Kuhna. W 957 r została rozwinięta na ogólny przypadek zagadnienia transpotrowego przez J. Munkresa Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 58

Algorytm węgierski dotyczy minimalizacji funkcji celu. Przekształcamy macierz C[c ij ], tak aby w każdym jej wierszu i w każdej kolumnie występowało przynajmniej jedno zero. W tym celu od każdego wiersza macierzy odejmujemy jedo najmniejszy element i (jeżeli trzeba) to od każdej kolumny odejmujemy jej najmniejszy element. 2. Skreślamy w przekształconej macierzy wiersze i kolumny zawierające zera możliwie najmniejszą liczbą linii. Jeżeli najmniejsza liczba niezbędnych linii jest równa wymiarowi macierzy n, to idziemy do kroku 4. 3. Jeśli ilość linii jest mniejsza od n, to ze wszystkich niezakreślonych elementów znajdujemy minimalny, który: odejmujemy od wszystkich nieskreślonych elementów, dodajemy do elementów podwójnie skreślonych elementy skreślone jedną linią pozostawiamy bez zmian. Wracamy do kroku 2. 4. Startując od pierwszego wiersza i idąc w dół dokonujemy przypisań cel-środek., a więc ustawiamy w macierzy przydziału. kasujemy (uzupełniamy zerami) dany wiersz i kolumnę. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 59

Uwagi Przypisanie jest jednoznaczne, jeżeli w danym wierszu i kolumnie występuje dokładnie jedno zero. Przypisanie dokonujemy od w kolejnych wierszy. Jeśli w danym wierszu występuje dokładnie jedno zero to pozycja tego zera definiuje nam przypisanie. Jeśli po przejściu wszystkich wierszy nie byliśmy w stanie dokonać wszystkich n przypisań to przechodzimy do kolumn. Startujemy od kolumny pierwszej i idziemy w prawo. Jeśli w wierszu jest więcej zer, wtedy należy arbitralnie wybrać przypisanie. Jeżeli problem przydziału dotyczy maksymalizacji funkcji celu, to należy wszystkie c ij funkcji celu pomnożyć przez (-) Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 6

Przykład Zakład posiada n robotników i n maszyn. Znane są koszty pracy i-tego robotnika na j-tej maszynie równe cij. Należy tak przydzielić robotników do maszyn, aby koszty były najmniejsze. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 6

Przedstawienie graficzne Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 62

Model matematyczny zadania Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 63

Tabela korzyści (strat) Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 64

Najmniejsze elementy w wierszach R R2 R3 R4 Min w wierszach 6 7 8 4 4 2 6 9 8 6 5 9 7 5 3 7 9 7 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 65

Przekształcona tablica 2 3 4 6 3 2 5 4 2 6 4 2 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 66

Najmniejsze elementy w kolumnach M 2 3 4 M2 6 3 2 M3 5 4 2 M4 6 4 2 Min w kolumnach 2 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 67

Przekształcona tabela 3 4 4 3 2 3 4 2 4 4 2 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 68

Wykreślenie zer wystarczą 3 linie (mniej niż 4) 3 4 4 3 2 3 4 2 4 4 2 Szukamy najmniejszego elementu w nieskreślonej części tablicy. Jest to 2. Odejmujemy 2 od elementów nieskreślonych i dodajemy 2 do elementów podwójnie skreślonych. Pozostałe elementy pozostawiamy bez zmian Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 69

Przekształcona tabela 5 4 2 2 4 6 2 Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 7

Wykreślenie zer potrzebne 4 linie (tyle jaki rozmiar) 5 4 2 2 4 6 2 Potrzebne są cztery linie, tyle jaki jest rozmiar tabeli, więc przechodzimy do przydzielania zadań do robotników. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii 7