lektotechnika podstawowa 3 ROZDZIAŁ lektostatyka. Kondensatoy + Nieuchome (niezmienne) ładunki elektyczne ozmieszczone w śodowisku dielektycznym są źódłami pola elektostatycznego. W paktyce model taki można stosować także pzy wolno zachodzących zmianach ładunków, odnosząc go do pola elektycznego występującego w kolejnych chwilach czasowych. Założenie quasistacjonaności pola elektycznego stosuje się m.in. do układów izolacyjnych i kondensatoów pzy napięciu sinusoidalnym o częstotliwości 50 Hz. Własności izolacyjne układów bądź zdolność gomadzenia ładunków w układach są zależnie od odzaju stosowanych dielektyków i stuktuy pzestzennej elementów. Kondensato jest uządzeniem służącym do gomadzenia ładunku elektycznego. Kondensatoy można łączyć na óżne sposoby, uzyskując okeślone watości pojemności zastępczych. Rzeczywiste dielektyki nie są doskonałe, tzn. cechują się upływnością (konduktywnością), co pogasza ich twałość i inne paamety użytkowe. Ciepło wydzielające się w konduktancji zeczywistego dielektyka może wywoływać w mateiale zmiany stazeniowe, spzyjające wyładowaniom niezupełnym, któe powadzą do wyładowania zupełnego (pzebicia izolacji). Analiza układów z zeczywistymi dielektykami wykacza fomalnie poza amy elektostatyki. Podobnie zecz się ma z analizą pocesów ładowania i ozładowania kondensatoa ze źódła napięciowego. mieszczenie tych zagadnień i elektostatyki w tym samym ozdziale wydaje się jednak logiczne i potzebne.
4 lektotechnika podstawowa Oznaczenia wielkości występujących w ozdziale C pojemność elektyczna d odległość między okładzinami kondensatoa D indukcja elektyczna stałe napięcie źódłowe natężenie pola elektycznego F siła h odległość między ładunkami dipola elektycznego i pąd (natężenie pądu) i γ pąd upływnościowy i ε pąd pzesunięcia I pąd stały (natężenie pądu stałego) J gęstość pądu elektycznego l długość kabla p ciśnienie elektostatyczne p moment dipola elektycznego P polayzacja elektyczna q ładunek; ładunek dipola ładunek odległość; pomień okęgu wekto odległości; pomień R ezystancja (opó elektyczny) S pole powiezchni S elastancja (odwotność pojemności) t czas napięcie stałe v objętość V potencjał W paca, enegia x współzędna długości; pzesunięcie γ pzewodność właściwa (konduktywność) mateiału ε pzenikalność elektyczna ε pzenikalność elektyczna względna ε 0 stała elektyczna (pzenikalność elektyczna póżni) ρ q pzestzenna (objętościowa) gęstość ładunku elektycznego ρ W pzestzenna (objętościowa) gęstość enegii pola elektostatycznego σ pol powiezchniowa gęstość ładunków polayzacji σ q powiezchniowa gęstość ładunku elektycznego τ stała czasowa obwodu χ podatność elektyczna dielektyka Ψ stumień indukcji elektostatycznej; stumień elektyczny Liteatua do ozdziału [], [3], [4]
. lektostatyka. Kondensatoy 5 Wykład III. INDKCJA LKTRYCZNA. DILKTRYKI. POJMNOŚĆ LKTRYCZNA Pawo Coulomba Watość bezwzględna sił oddziaływania elektycznego F (N) dwóch ładunków punktowych o watościach bezwzględnych i (C), umieszczonych w powietzu (póżni) i oddalonych od siebie o (m) - jak na ys. - wynosi F ε 0, (.a) gdzie ε 0 8,850 - C N - m - pzenikalność elektyczna póżni (stała elektyczna); odwołując się do jed- + + F nostki pojemności elektycznej - faada (F), co objaśniono. dalej, ε 0 wyaża się w faadach na met (F m - ). Jeśli uwzględnimy znaki i, a odległości od pzypiszemy wekto., zaś odległości od wekto o pzeciwnym zwocie. (. i. są wektoami kieunkowymi odległości, mającymi pzeciwne zwoty a kieunek taki, z jak posta wyznaczona pzez położenie i ), to siła działająca na jest wektoem y F. ; (.b) ε 0 x natomiast siła działająca na F. F. (.c) ε 0 Ze zmniejszania się siły oddziaływania elektostatycznego z kwadatem odległości od ładunku wynika oganiczony zasięg oddziaływania elektycznego. Pole elektostatyczne w póżni Pole elektyczne, wytwozone w póżni (idealnym śodowisku dielektycznym) pzez ładunki nieuchome i niezmienne w czasie, nazywa się polem elektostatycznym. W odległości od pojedynczego ładunku (ys.) +. V F występuje w póżni natężenie pola elektycznego ; (.a) ε 0 i potencjał elektyczny V d. (.b) ε 0 Całka liniowa po dodze zamkniętej wektoa natężenia pola elektostatycznego, pochodzącego od ładunku punktowego, jest ówna zeu. Jeśli w pzestzeni znajduje się więcej ładunków elektycznych, to wypadkowe natężenie pola elektostatycznego i potencjał elektyczny można wyznaczyć w dowolnym punkcie pzestzeni na zasadzie supepozycji. Całka wektoa natężenia pola jest sumą całek wektoów pochodzących od każdego z ładunków. Całka liniowa po dodze zamkniętej wektoa natężenia pola elektostatycznego jest więc ówna zeu. Pole elektostatyczne jest polem bezwiowym.
6 Wykład III Zjawisko indukcji elektostatycznej Zakłada się, że ładunek + został umieszczony w śodku kuli o pomieniu, a powiezchnia tej kuli jest pokyta cienką wastwą pzewodzącą, któa stanowi osłonę elektostatyczną (ekan) ładunku. Na zasadzie zjawiska indukcji elektostatycznej (influencji), po wewnętznej stonie osłony gomadzi się ładunek, a po zewnętznej ładunek +. Rozważany układ pzestzenny jest symetyczny, wobec tego powiezchniowa gęstość ładunku (po wewnętznej stonie ujemnego, po zewnętznej dodatniego) wynosi a) b) σ q. (.3a) 4 π Jeśli, zamiast całej osłony, na powiezchni kuli znajduje się tylko mała płytka pzewodząca o powiezchni (ys. a), to bezwzględne watości ładunków, jakie indukują się w niej, po każdej ze ston, wynoszą. (.3b) Gdy powiezchnia takiej płytki jest ustawiona pod kątem α do pomienia (ys. b), to powiezchniowe gęstości i bezwzględne watości indukujących się na niej ładunków są ówne: σ q α σ q cosα, (.3c) q cosα. (.3d) Jeśli ładunek jest osłonięty dowolną, zamkniętą wastwą pzewodzącą, to po zewnętznej stonie tej wastwy, niezależnie od kształtu jej powiezchni S, indukuje się ładunek o łącznej watości : q. (.3e) Indukcja elektostatyczna i stumień indukcji elektostatycznej W związku z zależnościami (.3a) i (.3d), wpowadza się następujące wielkości (ys.): + S - indukcję elektostatyczną ładunku punktowego (w odległości od niego ) D σ q ε 0, (.4a) - stumień indukcji elektostatycznej Ψ (oznaczenia ezewowe Φ e ) pzez element powiezchni Ψ D D cosα, (.4b) - stumień indukcji elektostatycznej Ψ (oznaczenia ezewowe Φ e ) pzez powiezchnię S gdzie + + - + -σ q +σ q n - q + q -σ qα α +σ qα n S α D Ψ D ds, (.4c) S S wekto nomalny do elementu powiezchni (w pzypadku powiezchni zamkniętych skieowany na zewnątz tych powiezchni). Na podstawie: (.4a), (.4b) i (.4c), otzymuje się nowy zapis zależności (.3d) i (.3e): q Ψ D, (.5a) S Ψ D d. (.5b)
. lektostatyka. Kondensatoy 7 Twiedzenie Gaussa. Indukcja elektyczna i stumień elektyczny Zależność (.5b) to analityczny zapis twiedzenia Gaussa w elektostatyce. W słowach wyaża się ono następująco: stumień indukcji elektostatycznej pzez powiezchnię zamkniętą, skieowany na zewnątz tej powiezchni, jest ówny obejmowanemu pzez nią ładunkowi (tzn. znajdującemu się w obszaze wewnętznym, objętym tą powiezchnią). Watość całki we wzoze (.5b) jest w ogólnym pzypadku óżna od zea. Pole elektostatyczne jest więc polem źódłowym. Powiezchnia może obejmować dowolną liczbę ładunków skupionych oaz ładunki ozmieszczone powiezchniowo i pzestzennie. Na zasadzie supepozycji, stumienie indukcji elektostatycznej, pochodzące od poszczególnych ładunków, dodają się algebaicznie. Wzó (.5b) można więc pzedstawić w postaci ogólnej: Ψ D ds + σ ds + ρ dv. (.5c) i i qj j j S k v Pojęcia indukcji elektostatycznej D i stumienia indukcji elektostatycznej Ψ ozszeza się ze względów obliczeniowych na dowolne pole elektyczne, nazywając je: D indukcją elektyczną, Ψ stumieniem elektycznym. Jednostką indukcji elektycznej jest kulomb na met do kwadatu (C m - ), a stumienia elektycznego kulomb (C). Chociaż powiezchniowa gęstość ładunku elektycznego σ q i indukcja elektyczna D mają tę samą jednostkę (C m - ), są to óżne wielkości fizyczne. Podobnie zecz się ma z ładunkiem elektycznym i stumieniem elektycznym Ψ, któych jednostką jest C. Pzewodniki w polu elektostatycznym Powiezchnia i wnętze pzewodnika umieszczonego w polu elektostatycznym mają ten sam potencjał. Ładunki w pzewodniku umieszczonym w polu elektostatycznym, ozdzielone wskutek zjawiska influencji i ozłożone na powiezchni, wytwazają własne pole elektyczne, któe jest odpowiedzią na działanie pola zewnętznego. Pole indukowane wewnątz pzewodnika tym ozkładem ładunków całkowicie kompensuje pole zewnętzne (ys. obok). Ładunki układają się więc na powiezchni w taki sposób, że wewnątz nie ma pola elektostatycznego. Pole elektostatyczne w dielektykach Pole indukowane wewnątz dielektyków w wyniku pzesunięć ładunków w stefie cząsteczek jest ównież skieowane pzeciwnie do pola zewnętznego, lecz nie kompensuje go całkowicie. Reakcje atomów i cząsteczek dielektyków na zewnętzne pole elektostatyczne, pzedstawiono poglądowo na ysunkach (ys. a bez pola zewnętznego; ys. b z polem zewnętznym). Model atomu: Model cząsteczki niepolanej (0 ): Model cząsteczki polanej (H O): a) a) a) 0 0 - + - b) b) b) j k qk zewn k 0 + zewn + + + wewn + + + + + - + - - - - + - +
8 Wykład III Polayzacja dielektyków Zmiany zachodzące w dielektykach pod wpływem zewnętznego źódła pola elektostatycznego okeśla się mianem polayzacji elektostatycznej (elektycznej). Atom lub cząsteczka spolayzowanego dielektyka jest dipolem elektycznym. Moment dipola elektycznego jest iloczynem p q h, gdzie h wekto odległości między ładunkami dipola ±q, zwócony do ładunku dodatniego (ys. a). Na zbió elektycznych dipoli atomów i cząsteczek, znajdujących się w objętości v dielektyka, tzeba patzeć statystycznie. Wypadkowe działanie tych dipoli jest skieowane pzeciwnie do pola zewnętznego, można zatem ozważać istnienie zastępczych dipoli p v, któych odległości h v są zoientowane zgodnie z (ys. b). Założywszy objętościową gęstość ρ q ładunków dodatnich i ujemnych, twozących dipole atomów lub cząsteczek dielektyka, i mnożąc ją pzez h v zastępczych dipoli, otzymuje się powiezchniową gęstość σ pol ładunków polayzacji, czyli ładunków ozłożonych na ściankach wastw dipoli postopadłych do (ys. c). Gęstość σ pol wyaża stopień polayzacji dielektyka i w większości pzypadków jest popocjonalna do, a więc gubość wastw dipoli (ozsunięcie dodatnich i ujemnych ładunków dipoli zastępczych ) h v jest też popocjonalna do. Wekto polayzacji elektycznej W póżni (powietzu) została okeślona indukcja elektostatyczna D D 0 ε 0, któa jest związana z powiezchniową gęstością σ q ładunków elektycznych indukowanych na ściankach pzewodnika, zgodnie z zależnościami: σ q D i σ qα D cos α. Analogicznie, z gęstością σ pol kojazy się wekto polayzacji elektycznej (polayzację elektyczną) P σ pol χ ε 0, (.6a) gdzie χ podatność elektyczna dielektyka, wielkość bezwymiaowa. Zachodzą pzy tym zależności: a) σ pol P b) σ pol.α P cos α a) b) c) q h +q q v +q v h v σ pol h v +σ pol p q h h v σ pol p v +σ pol P σ pol +σ pol P σ pol.α α +σ pol.α Polayzację elektyczną P definiuje się jako ganiczną watość stosunku sumy momentów dipoli elektycznych p v cząsteczek zawatych w objętości v, do tej objętości: p v P lim. (.6b) v v 0 Indukcja elektyczna w dielektyku i pzenikalność elektyczna dielektyka Na elektodach, między któymi wytwazane jest w dielektyku, pzez układ zewnętzny, pole elektyczne, gomadzi się dodatkowo opócz ładunku odpowiadającemu indukcji D 0 w póżni (ys. a) ładunek odpowiadający polayzacji P dielektyka (ys. b).
. lektostatyka. Kondensatoy 9 a) b) + + + + D 0 + D D 0 +P + + ε 0 + ε + + Stumień elektyczny jest związany z całym, zgomadzonym ładunkiem. Wobec tego indukcja elektyczna w dielektyku wynosi D D + P ε ( + χ ε ε ε, (.6c) 0 0 ) gdzie: ε ε 0 ε pzenikalność elektyczna śodowiska, ε pzenikalność elektyczna względna śodowiska, wielkość bezwymiaowa. Pzenikalność elektyczna ε jest podstawową stałą mateiałową dielektyka. Jednostką ε, tak jak stałej elektycznej ε 0, jest F m - (objaśnienie dalej). Pąd pzesunięcia dielektycznego Z pzepływem ładunków gomadzących się na elektodach wiążą się pojęcia (ys.): i i ε + ε ε ε D ε Ψ +σ q σ q 0 - pądu pzesunięcia dε dψ iε, (.7a) dt dt - gęstości pądu pzesunięcia D Jε ε, (.7b) t t gdzie: Ψ - stumień elektyczny, nazywany też stumieniem pzesunięcia dielektycznego, D - indukcja elektyczna, nazywana też wektoem pzesunięcia dielektycznego. W czasie gomadzenia się ładunków na elektodach nie jest spełniony waunek stałości ładunku w czasie. Poblem wykacza zatem poza amy czystej elektostatyki. Pole elektyczne występujące między elektodami nie jest polem elektostatycznym, ale w kolejnych chwilach może być taktowane w ten sposób, o ile zachodzące zmiany są dostatecznie wolne. Na elektodach kondensatoa z idealnym dielektykiem gomadzi się cały ładunek pzepływający w obwodzie. Pąd pzesunięcia dielektycznego i pąd upływnościowy Rzeczywiste dielektyki nie są idealnymi izolatoami; inaczej mówiąc, są dielektykami niedoskonałymi. Obok własności dielektycznych, schaakteyzowanych pzenikalnością elektyczną ε, mają własności upływnościowe (pzewodzenia pądu), schaakteyzowane konduktywnością γ. Z ładunkiem pzepływającym w obwodzie zewnętznym między elektodami pzedzielonymi dielektykiem niedoskonałym jest zatem związany pąd pzesunięcia i ε i pąd upływnościowy i γ. Na elektodach gomadzi się, w tym pzypadku, tylko część ładunku pzepływającego w obwodzie (ys.). i i ε + i γ + ε ε ε, γ γ, i γ
30 Wykład III Opeowanie pojęciem konduktywności dielektyka γ oznacza, że pąd upływnościowy odnosi się do takich watości gęstości pądu i natężenia pola elektycznego, pzy któych stosuje się pawo Ohma. Watość napięcia pzyłożonego do elektod powinna więc być na tyle mała, by nie występowało jeszcze nasycenie pądu wyładowania niesamoistnego, któe popzedza pocesy jonizacji lawinowej (jonizacja lawinowa powadzi z kolei do wyładowania samoistnego i powoduje utatę własności izolacyjnych, tzn. pzebicie dielektyka; w pzypadku dielektyków stałych chodzi o jonizację we wtącinach gazowych). Gęstość pądu całkowitego wynosi więc J γ + ε. (.7c) t Rozkłady pól w dielektykach zeczywistych Zostaną poównane pola elektostatyczne w elementanych komókach dielektycznych i pola pzepływowe w elementanych komókach pądowych (elementanych ukach pądu), pzy óżnych odzajach symetii pzestzennej komóek oaz stałych watościach pzenikalności elektycznej ε i konduktywności γ. Stumień elektyczny Ψ w dowolnym popzecznym pzekoju elementanej komóki dielektycznej jest stały. Z twiedzenia Gaussa otzymuje się zależność: Ψ D ε ε, stąd Ψ ε. ε Pąd elektyczny w dowolnym popzecznym pzekoju elementanej komóki pądowej jest stały. Z ównania pądu otzymuje się zależność: J γ γ, stąd a) x d γ. γ W pzypadku komóek postopadłościennych (ys. a): ε S ; γ ε const., γ const.; d 0 d 0 ε γ dx ε dx γ d, więc d, więc ε d ; γ d. W pzypadku komóek walcowych (ys. b): S ; Ψ ε ε, Ψ d γ ε γ ; Ψ ln ε S d γ ln γ S, więc, więc ε ; ln ln γ. b) c) ε γ ε γ
. lektostatyka. Kondensatoy 3 W pzypadku komóek kulistych (ys. c): Ψ S ; ε Ψ ε γ d Ψ ε ε, d γ, więc, więc γ ; γ ε ; γ. Jak widać, we wszystkich ozważanych pzypadkach symetii pzestzennej, w każdym punkcie ε γ. Wynika z tego, że w dielektykach niedoskonałych jednoodnych zaówno co do ε, jak i γ ozkłady pól: elektostatycznego i pzepływowego, pokywają się. W pzypadku dielektyków niedoskonałych niejednoodnych ze względu na ε lub γ, albo ε i γ jednocześnie ozkłady pól: elektostatycznego i pzepływowego, nie pokywają się. Nie można więc zakładać jednoczesnej quasistacjonaności tych pól. Analityczne wyznaczenie ozkładu pola elektycznego badzo się wtedy komplikuje, poza pzypadkiem stanu ustalonego pzy stałym napięciu, kiedy pole jest pzewodnościowe (upływnościowe). Pojemność elektyczna kondensatoa i ciała odosobnionego Pojemność elektyczna, w sensie fizycznym, oznacza zdolność ciał pzewodzących, umieszczonych w śodowisku niepzewodzącym (w póżni lub dielektyku), do gomadzenia ładunku elektycznego. Właściwość tę można pzypisać zaówno obiektom technicznym, jak i twoom natuy. ządzeniem elektycznym, służącym z zasady do gomadzenia ładunku elektycznego, jest kondensato. Kondensato jest to układ dwóch elektod metalowych, nazywanych okładzinami, waz z oddzielającą je wastwą dielektyka. Po połączeniu jednej okładziny kondensatoa z dodatnim biegunem źódła, i dugiej z ujemnym, gomadzą się na tych okładzinach ładunki o pzeciwnych znakach i ównych watościach bezwzględnych. W pzestzeni między okładzinami występuje pole elektyczne. Watość bezwzględną ładunku zgomadzonego na każdej z okładzin pzyjęto nazywać ładunkiem kondensatoa, a watość napięcia między okładziną o ładunku dodatnim i okładziną o ładunku ujemnym napięciem na kondensatoze. C + Stosunek ładunku kondensatoa do napięcia na kondensatoze nazywa się pojemnością kondensatoa C (ys.): C. (.8a) Jeśli ładunek kondensatoa wynosi i jest pzyjęty zwot napięcia, to tym samym są okeślone ładunki + i na okładzinach (jeśli napięcie ma w zeczywistości zwot pzeciwny do założonego, to znaki ładunków zeczywiście występujących są też pzeciwne). Watości hipotetycznych ładunków: dodatniego + i ujemnego, wyażają wzoy: C, C. Odwotność pojemności nazywa się elastancją S. (.8b) C Jednostką pojemności jest faad (F), ówny kulombowi na wolt (C V - ) lub simensowi azy sekunda (S s). Jednostką elastancji jest wolt na kulomb (V C - ) lub om na sekundę (Ω s - ).
3 Wykład III Cechę posiadania pojemności mają nie tylko kondensatoy, ale ównież odosobnione ciała pzewodzące, względem ciał o zeowym potencjale (leżących zwykle w nieskończoności), a także ciała nieodosobnione (elektody), podlegające wpływom innych ciał pzewodzących, któe mogą mieć potencjały o stałych watościach (np. ówne zeu albo związane w okeślony sposób z potencjałami elektod). Pojemnością C odosobnionego pzewodnika jest stosunek zgomadzonego na nim ładunku do potencjału V tego pzewodnika (czyli napięcia między nim a punktem o potencjale ównym zeu): C. (.8c) V Jeśli potencjał odosobnionego pzewodnika jest dodatni, to zgomadzony na nim ładunek jest dodatni; jeśli potencjał jest ujemny to ładunek jest też ujemny. Ogólnie, watość pojemności może zależeć od watości napięcia (potencjału), na ogół jednak jest paktycznie stała C const. W ogólnym pzypadku zależności () są więc nieliniowe (linia pzeywana na ys.). Pojemności, któych to dotyczy, nazywa się nieliniowymi. Pzy stałych watościach C, zależności () są liniowe (linia ciągła na ys.) i pojemności nazywa się liniowymi. Pojemność kondensatoa płaskiego. Jednostka pzenikalności elektycznej Kondensato płaski ma stuktuę postopadłościennej komóki dielektycznej. Jeśli jego okładziny, o powiezchniach S, są od siebie oddalone o d, zaś pzestzeń między nimi wypełnia dielektyk o pzenikalności elektycznej ε (ys.), to na podstawie twiedzenia Gaussa otzymuje się Zatem stąd zaś Ψ D S ε S., ε S C d ε 0 ε S d d dx, S. (.9) Ze wzou (.9) można wyznaczyć, podaną wcześniej, jednostkę pzenikalności elektycznej ε (i stałej elektycznej ε 0) faad na met (F m - ). Pojemność kondensatoa cylindycznego (kabla jednożyłowego z powłoką) Okładziny kondensatoa (odcinka kabla) są powiezchniami walców współosiowych, mających pomienie i oaz jednakowe długości l, zaś pzestzeń między nimi wypełnia dielektyk o pzenikalności elektycznej ε (ys.). Na podstawie twiedzenia Gaussa i symetii pola (wekto skieowany pomieniowo) otzymuje się ε x + ε S l d Ψ D S ε πl. ln Zatem, d πε l πε l stąd zaś C πε l ln. (.0),