Wykład 7 Macierze i wyznaczniki

Wykład 7 Macierze i wyznaczniki Andrzej Sładek sladek@ux2mathusedupl Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 1 / 51

1 Działania na macierzach Dodawanie i odejmowanie macierzy, mnożenie przez liczbę Mnożenie macierzy 2 Wyznacznik macierzy 3 Macierz odwrotna i jej zastosowania Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 2 / 51

Wykład jest przewidziany na 4 godziny lekcyjne ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 3 / 51

Wykład jest przewidziany na 4 godziny lekcyjne Tematy poruszane na wykładzie można znależć w: ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 3 / 51

Wykład jest przewidziany na 4 godziny lekcyjne Tematy poruszane na wykładzie można znależć w: A Białynicki-Birula, Algebra, Bibl Mat 40, PWN 2009, [rozdz IV, 8] AI Kostrykin, Wstęp do algebry, t I, PWN 2004, [rozdz III] ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 3 / 51

Wykład jest przewidziany na 4 godziny lekcyjne Tematy poruszane na wykładzie można znależć w: A Białynicki-Birula, Algebra, Bibl Mat 40, PWN 2009, [rozdz IV, 8] AI Kostrykin, Wstęp do algebry, t I, PWN 2004, [rozdz III] Jednak w powyższych pozycjach niektóre rozważane na wykładzie pojęcia pojawiają się w szerszym kontekście mogąc sprawiać trudność studentom pierwszego semestru ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 3 / 51

Definicja Macierzą o n kolumnach i m wierszach nad ciałem K nazywamy tablicę postaci a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a ij K, i = 1,, m, j = 1,, n a m1 a m2 a mn Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 4 / 51

Definicja Macierzą o n kolumnach i m wierszach nad ciałem K nazywamy tablicę postaci a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a ij K, i = 1,, m, j = 1,, n a m1 a m2 a mn Element a ij kolumnie jest współczynnikiem macierzy A stojącym w i tym wierszu i j tej Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 4 / 51

Definicja Macierzą o n kolumnach i m wierszach nad ciałem K nazywamy tablicę postaci a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a ij K, i = 1,, m, j = 1,, n a m1 a m2 a mn Element a ij jest współczynnikiem macierzy A stojącym w i tym wierszu i j tej kolumnie Zbiór wszystkich macierzy o n kolumnach i m wierszach oznaczać będziemy przez Km n Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 4 / 51

Dodawanie i odejmowanie macierzy a 11 a 1n a 21 a 2n a m1 a mn ± b 11 b 1n b 21 b 2n b m1 b mn = a 11 ± b 11 a 1n ± b 1n a 21 ± b 21 a 2n ± b 2n a m1 ± b m1 a mn ± b mn Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 5 / 51

Dodawanie i odejmowanie macierzy a 11 a 1n a 21 a 2n a m1 a mn ± b 11 b 1n b 21 b 2n b m1 b mn = a 11 ± b 11 a 1n ± b 1n a 21 ± b 21 a 2n ± b 2n a m1 ± b m1 a mn ± b mn Mnożenie macierzy przez element ciała K a 11 a 1n ca 11 ca 1n a 21 a 2n ca 21 ca 2n c = a m1 a mn ca m1 ca mn Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 5 / 51

Własności działań Jeśli A, B, C K n m oraz O K n m oznacza macierz zawierającą same zera, a, b są elementami ciała K, to A + B = B + A ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 6 / 51

Własności działań Jeśli A, B, C K n m oraz O K n m oznacza macierz zawierającą same zera, a, b są elementami ciała K, to A + B = B + A A + (B + C) = (A + B) + C ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 6 / 51

Własności działań Jeśli A, B, C K n m oraz O K n m oznacza macierz zawierającą same zera, a, b są elementami ciała K, to A + B = B + A A + (B + C) = (A + B) + C A + O = A ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 6 / 51

Własności działań Jeśli A, B, C K n m oraz O K n m oznacza macierz zawierającą same zera, a, b są elementami ciała K, to A + B = B + A A + O = A A + (B + C) = (A + B) + C A + ( A) = O ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 6 / 51

Własności działań Jeśli A, B, C K n m oraz O K n m oznacza macierz zawierającą same zera, a, b są elementami ciała K, to A + B = B + A A + O = A A + (B + C) = (A + B) + C A + ( A) = O a(a + B) = aa + ab ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 6 / 51

Własności działań Jeśli A, B, C K n m oraz O K n m oznacza macierz zawierającą same zera, a, b są elementami ciała K, to A + B = B + A A + O = A a(a + B) = aa + ab A + (B + C) = (A + B) + C A + ( A) = O (a + b)a = aa + ba ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 6 / 51

Własności działań Jeśli A, B, C K n m oraz O K n m oznacza macierz zawierającą same zera, a, b są elementami ciała K, to A + B = B + A A + O = A a(a + B) = aa + ab A + (B + C) = (A + B) + C A + ( A) = O (a + b)a = aa + ba 1A = A ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 6 / 51

Własności działań Jeśli A, B, C K n m oraz O K n m oznacza macierz zawierającą same zera, a, b są elementami ciała K, to A + B = B + A A + O = A a(a + B) = aa + ab 1A = A A + (B + C) = (A + B) + C A + ( A) = O (a + b)a = aa + ba (ab)a = a(ba) Sprawdzenie na tablicy przy użyciu kredy ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 6 / 51

Własności działań Jeśli A, B, C K n m oraz O K n m oznacza macierz zawierającą same zera, a, b są elementami ciała K, to A + B = B + A A + O = A a(a + B) = aa + ab 1A = A A + (B + C) = (A + B) + C A + ( A) = O (a + b)a = aa + ba (ab)a = a(ba) Sprawdzenie na tablicy przy użyciu kredy Co oznaczają własności w pierwszych dwóch wierszach? ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 6 / 51

Własności działań Jeśli A, B, C K n m oraz O K n m oznacza macierz zawierającą same zera, a, b są elementami ciała K, to A + B = B + A A + O = A a(a + B) = aa + ab 1A = A A + (B + C) = (A + B) + C A + ( A) = O (a + b)a = aa + ba (ab)a = a(ba) Sprawdzenie na tablicy przy użyciu kredy Co oznaczają własności w pierwszych dwóch wierszach? Stwierdzenie Zbiór K n m z działaniem dodawania macierzy jest grupą przemienną ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 6 / 51

Zadanie Niech 1 Oblicz A = [ 1 2 0 0 3 1 ], B = [ 1 1 2 1 1 2 0 5(A + 2B) + 4(2A B) ] ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 7 / 51

Zadanie Niech 1 Oblicz A = [ 1 2 0 0 3 1 ], B = [ 1 1 2 1 1 2 0 5(A + 2B) + 4(2A B) ] 2 Rozwiąż równanie macierzowe 3(A + X ) + 5(3X + B) = A B Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 7 / 51

Zadanie Niech 1 Oblicz A = [ 1 2 0 0 3 1 ], B = [ 1 1 2 1 1 2 0 5(A + 2B) + 4(2A B) ] 2 Rozwiąż równanie macierzowe 3(A + X ) + 5(3X + B) = A B 3 Rozwiąż układ równań macierzowych { 2X + 5Y = 2A B X + 2Y = 3A + B Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 7 / 51

Definicja A = a 11 a 1n a 21 a 2n a m1 a mn K n m, B = b 11 b 1r b 21 b 2r b n1 b nr Iloczynem macierzy A oraz B nazywamy macierz c 11 c 1r c 21 c 2r C = A B = Rr m c m1 c mr K r n taką, że c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 8 / 51

Zobaczmy to na rysunku c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 9 / 51

Po co mnożyć macierze? Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 10 / 51

Po co mnożyć macierze? Spójrzmy na przykład Przykład Dane są macierze A = [ 1 2 0 3 0 3 2 4 1 2 3 1 ], B = 6 5 2 11 2 3 7 5 6 2 1 4 Wtedy A B = [ 34 12 20 55 20 37 51 25 30 ] Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 10 / 51

Po co mnożyć macierze? Spójrzmy na przykład Przykład Dane są macierze A = [ 1 2 0 3 0 3 2 4 1 2 3 1 ], B = 6 5 2 11 2 3 7 5 6 2 1 4 Wtedy A B = [ 34 12 20 55 20 37 51 25 30 Niech element a ik macierzy A oznacza ilość sztuk towaru T k, którą chce kupić klient K i, zaś element b kj macierzy B niech oznacza cenę towaru T k w sklepie S j, gdzie 1 i 3, 1 k 4, 1 j 3 Z iloczynu A B odczytać: 1 kwotę, jaką zapłaciłby klient K 3 w sklepie S 2, ] Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 10 / 51

Po co mnożyć macierze? Spójrzmy na przykład Przykład Dane są macierze A = [ 1 2 0 3 0 3 2 4 1 2 3 1 ], B = 6 5 2 11 2 3 7 5 6 2 1 4 Wtedy A B = [ 34 12 20 55 20 37 51 25 30 Niech element a ik macierzy A oznacza ilość sztuk towaru T k, którą chce kupić klient K i, zaś element b kj macierzy B niech oznacza cenę towaru T k w sklepie S j, gdzie 1 i 3, 1 k 4, 1 j 3 Z iloczynu A B odczytać: 1 kwotę, jaką zapłaciłby klient K 3 w sklepie S 2, 2 kwotę, jaką zapłaciliby łącznie wszyscy klienci w sklepie S 1, ] Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 10 / 51

Po co mnożyć macierze? Spójrzmy na przykład Przykład Dane są macierze A = [ 1 2 0 3 0 3 2 4 1 2 3 1 ], B = 6 5 2 11 2 3 7 5 6 2 1 4 Wtedy A B = [ 34 12 20 55 20 37 51 25 30 Niech element a ik macierzy A oznacza ilość sztuk towaru T k, którą chce kupić klient K i, zaś element b kj macierzy B niech oznacza cenę towaru T k w sklepie S j, gdzie 1 i 3, 1 k 4, 1 j 3 Z iloczynu A B odczytać: 1 kwotę, jaką zapłaciłby klient K 3 w sklepie S 2, 2 kwotę, jaką zapłaciliby łącznie wszyscy klienci w sklepie S 1, 3 numer sklepu, w którym klient K 2 zapłaciłby najmniej, ] Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 10 / 51

Po co mnożyć macierze? Spójrzmy na przykład Przykład Dane są macierze A = [ 1 2 0 3 0 3 2 4 1 2 3 1 ], B = 6 5 2 11 2 3 7 5 6 2 1 4 Wtedy A B = [ 34 12 20 55 20 37 51 25 30 Niech element a ik macierzy A oznacza ilość sztuk towaru T k, którą chce kupić klient K i, zaś element b kj macierzy B niech oznacza cenę towaru T k w sklepie S j, gdzie 1 i 3, 1 k 4, 1 j 3 Z iloczynu A B odczytać: 1 kwotę, jaką zapłaciłby klient K 3 w sklepie S 2, 2 kwotę, jaką zapłaciliby łącznie wszyscy klienci w sklepie S 1, 3 numer sklepu, w którym klient K 2 zapłaciłby najmniej, 4 numer sklepu, w którym klient K 1 zapłaciłby najwięcej ] Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 10 / 51

Własności mnożenia macierzy 1 Jeśli A K n m, B, C K k n, to A(B + C) = AB + AC ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 11 / 51

Własności mnożenia macierzy 1 Jeśli A K n m, B, C K k n, to A(B + C) = AB + AC 2 Jeśli A, B K n m, C K k n, to (A + B)C = AC + BC Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 11 / 51

Własności mnożenia macierzy 1 Jeśli A Km, n B, C Kn k, to A(B + C) = AB + AC 2 Jeśli A, B Km, n C Kn k, to (A + B)C = AC + BC 3 Jeśli A Km, n B Kn k oraz c K, to A(cB) = (ca)b = c(ab) Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 11 / 51

Własności mnożenia macierzy 1 Jeśli A Km, n B, C Kn k, to A(B + C) = AB + AC 2 Jeśli A, B Km, n C Kn k, to (A + B)C = AC + BC 3 Jeśli A Km, n B Kn k oraz c K, to A(cB) = (ca)b = c(ab) 4 Jeśli A Km, n B Kn k, C Kk r, to A(BC) = (AB)C Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 11 / 51

Własności mnożenia macierzy 1 Jeśli A K n m, B, C K k n, to A(B + C) = AB + AC 2 Jeśli A, B K n m, C K k n, to (A + B)C = AC + BC 3 Jeśli A K n m, B K k n oraz c K, to A(cB) = (ca)b = c(ab) 4 Jeśli A K n m, B K k n, C K r k, to A(BC) = (AB)C 5 Jeśli A K n m, to AI n = I ma = A, gdzie I n oznacza macierz kwadratową stopnia n z jedynkami na przekątnej i zerami poza nią Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 11 / 51

Własności mnożenia macierzy 1 Jeśli A K n m, B, C K k n, to A(B + C) = AB + AC 2 Jeśli A, B K n m, C K k n, to (A + B)C = AC + BC 3 Jeśli A K n m, B K k n oraz c K, to A(cB) = (ca)b = c(ab) 4 Jeśli A K n m, B K k n, C K r k, to A(BC) = (AB)C 5 Jeśli A K n m, to AI n = I ma = A, gdzie I n oznacza macierz kwadratową stopnia n z jedynkami na przekątnej i zerami poza nią Użyjmy kredy do sprawdzenia tych własności ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 11 / 51

Własności mnożenia macierzy 1 Jeśli A K n m, B, C K k n, to A(B + C) = AB + AC 2 Jeśli A, B K n m, C K k n, to (A + B)C = AC + BC 3 Jeśli A K n m, B K k n oraz c K, to A(cB) = (ca)b = c(ab) 4 Jeśli A K n m, B K k n, C K r k, to A(BC) = (AB)C 5 Jeśli A K n m, to AI n = I ma = A, gdzie I n oznacza macierz kwadratową stopnia n z jedynkami na przekątnej i zerami poza nią Użyjmy kredy do sprawdzenia tych własności Uwaga Mnożenie macierzy nie jest przemienne Zobacz [ ] [ ] [ ] [ ] [ 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 =, 1 1 2 1 3 2 2 1 1 1 ] = [ 2 1 3 1 ] ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 11 / 51

Własności mnożenia macierzy 1 Jeśli A K n m, B, C K k n, to A(B + C) = AB + AC 2 Jeśli A, B K n m, C K k n, to (A + B)C = AC + BC 3 Jeśli A K n m, B K k n oraz c K, to A(cB) = (ca)b = c(ab) 4 Jeśli A K n m, B K k n, C K r k, to A(BC) = (AB)C 5 Jeśli A K n m, to AI n = I ma = A, gdzie I n oznacza macierz kwadratową stopnia n z jedynkami na przekątnej i zerami poza nią Użyjmy kredy do sprawdzenia tych własności Uwaga Mnożenie macierzy nie jest przemienne Zobacz [ ] [ ] [ ] [ ] [ 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 =, 1 1 2 1 3 2 2 1 1 1 ] = [ 2 1 3 1 Uwaga Iloczyn macierzy możesz obliczyć przy pomocy arkusza kalkulacyjnego Excel (zob załączony plik macierzexls) ] ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 11 / 51

Jeszcze jeden przykład zastosownia mnożenia macierzy ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 12 / 51

Jeszcze jeden przykład zastosownia mnożenia macierzy Zadanie Jaki jest związek pomiędzy poniższym grafem oraz macierzą? A = 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 Policzmy (przy pomocy Excela) kolejne potęgi macierzy A i jeszcze raz porównajmy je z grafem ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 12 / 51

Załóżmy, że graf przedstawia połączenia pomiędzy stacjami kolejki linowej Masz 2 bilety (3 bilety, 4 bilety) na dowolny przejazd w jedną stronę Ile różnych wycieczek możesz zrobić wyruszając ze stacji 1 i kończąc na stacji 4? Jak to odczytać z macierzy To samo pytanie dla stacji 2 oraz 5 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 13 / 51

Definicja Wyznacznikiem macierzy A = [a ij ] Kn n nazywamy element det A K określony następująco: 1 det A = a 11, gdy n = 1, tzn A = [a 11], 2 det A = ( 1) 1+n a 1n det A 1n + ( 1) 2+n a 2n det A 2n + + ( 1) n+n a nn det A nn, gdzie A in dla n > 1 oraz i = 1,, n, jest macierzą powstałą przez skreślenie w macierzy A i tego wiersza i n tej kolumny Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 14 / 51

Definicja Wyznacznikiem macierzy A = [a ij ] Kn n nazywamy element det A K określony następująco: 1 det A = a 11, gdy n = 1, tzn A = [a 11], 2 det A = ( 1) 1+n a 1n det A 1n + ( 1) 2+n a 2n det A 2n + + ( 1) n+n a nn det A nn, gdzie A in dla n > 1 oraz i = 1,, n, jest macierzą powstałą przez skreślenie w macierzy A i tego wiersza i n tej kolumny n = 2 det [ ] a11 a 12 = ( 1) 1+2 a a 21 a 12 det[a 21] + ( 1) 2+2 a 22 det[a 11] = a 12a 21 + a 22a 11 22 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 14 / 51

Definicja Wyznacznikiem macierzy A = [a ij ] Kn n nazywamy element det A K określony następująco: 1 det A = a 11, gdy n = 1, tzn A = [a 11], 2 det A = ( 1) 1+n a 1n det A 1n + ( 1) 2+n a 2n det A 2n + + ( 1) n+n a nn det A nn, gdzie A in dla n > 1 oraz i = 1,, n, jest macierzą powstałą przez skreślenie w macierzy A i tego wiersza i n tej kolumny Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 15 / 51

Definicja Wyznacznikiem macierzy A = [a ij ] Kn n nazywamy element det A K określony następująco: 1 det A = a 11, gdy n = 1, tzn A = [a 11], 2 det A = ( 1) 1+n a 1n det A 1n + ( 1) 2+n a 2n det A 2n + + ( 1) n+n a nn det A nn, gdzie A in dla n > 1 oraz i = 1,, n, jest macierzą powstałą przez skreślenie w macierzy A i tego wiersza i n tej kolumny n = 3 [ a11 a 12 a 13 ] det = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ( 1) 4 a 13 det [ ] a21 a 22 + ( 1) 5 a a 31 a 23 det 32 [ ] [ ] a11 a 12 + ( 1) 6 a11 a 12 a a 31 a 33 det = 32 a 21 a 22 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 15 / 51

Definicja Wyznacznikiem macierzy A = [a ij ] Kn n nazywamy element det A K określony następująco: 1 det A = a 11, gdy n = 1, tzn A = [a 11], 2 det A = ( 1) 1+n a 1n det A 1n + ( 1) 2+n a 2n det A 2n + + ( 1) n+n a nn det A nn, gdzie A in dla n > 1 oraz i = 1,, n, jest macierzą powstałą przez skreślenie w macierzy A i tego wiersza i n tej kolumny n = 3 [ a11 a 12 a 13 ] det = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ( 1) 4 a 13 det [ ] a21 a 22 + ( 1) 5 a a 31 a 23 det 32 [ ] [ ] a11 a 12 + ( 1) 6 a11 a 12 a a 31 a 33 det = 32 a 21 a 22 = a 13(a 21a 32 a 22a 31) a 23(a 11a 32 a 12a 31) + a 33(a 11a 22 a 12a 21) = = (a 13a 21a 32 + a 23a 12a 31 + a 33a 11a 22) (a 13a 22a 31 + a 23a 11a 32 + a 33a 12a 21) Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 15 / 51

n = 3 [ a b c det d e f g h i ] = = (aei + bfg + cdh) (ceg + afh + bdi) Wzór ten można zapamiętać spoglądając na obrazek: Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 16 / 51

Uwaga Jeśli przyjrzymy się definicji wyznacznika, to zauważamy, że jego wyliczanie z wzoru rekurencyjnego jest bardzo kłopotliwe Dla n = 4 trzeba policzyć 4 wyznaczniki macierzy stopnia 3, a dla n = 5 policzyć musimy 5 wyznaczników stopnia 4, co w konsekwencji daje aż 20 wyznaczników stopnia 3 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 17 / 51

Uwaga Jeśli przyjrzymy się definicji wyznacznika, to zauważamy, że jego wyliczanie z wzoru rekurencyjnego jest bardzo kłopotliwe Dla n = 4 trzeba policzyć 4 wyznaczniki macierzy stopnia 3, a dla n = 5 policzyć musimy 5 wyznaczników stopnia 4, co w konsekwencji daje aż 20 wyznaczników stopnia 3 Pytanie Czy jest łatwiejszy sposób obliczania wyznacznika? Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 17 / 51

Własności wyznacznika 1 det A = det A T a 11 aa 1i + a a 1i a 1n 2 det = a n1 aa ni + a a ni a nn a 11 a 1i a 1n a 11 a 1i a 1n a det + a det a n1 a ni a nn a n1 a ni a nn 3 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez pomnożenie jednej kolumny przez a K, to det B = a det A 4 Jeśli macierz A zawiera kolumnę złożoną z samych zer, to det A = 0 5 Jeśli macierz A zawiera dwie proporcjonalne (w szczególności identyczne) kolumny, to det A = 0 6 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez dodanie do jednej kolumny innej pomnożonej przez element ciała K, to det B = det A 7 Jeśli macierz B powstała z macierzy A przez zamianę miejscami dwóch kolumn, to det B = det A Powyższe własności są prawdziwe również dla wierszy Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 18 / 51

Twierdzenie Laplace a (P S Laplace (1749-1827)) Jeśli A jest macierzą stopnia n > 1, to dla dowolnego j det A = ( 1) 1+j a 1j det A 1j + ( 1) 2+j a 2j det A 2j + + ( 1) n+j a nj det A nj oraz det A = ( 1) j+1 a j1 det A j1 + ( 1) j+2 a j2 det A j2 + + ( 1) j+n a jn det A jn Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 19 / 51

Twierdzenie Laplace a (P S Laplace (1749-1827)) Jeśli A jest macierzą stopnia n > 1, to dla dowolnego j det A = ( 1) 1+j a 1j det A 1j + ( 1) 2+j a 2j det A 2j + + ( 1) n+j a nj det A nj oraz det A = ( 1) j+1 a j1 det A j1 + ( 1) j+2 a j2 det A j2 + + ( 1) j+n a jn det A jn Porównaj to z definicją wyznacznika: Definicja Wyznacznikiem macierzy A = [a ij ] Kn n nazywamy element det A K określony następująco: 1 det A = a 11, gdy n = 1, tzn A = [a 11], 2 det A = ( 1) 1+n a 1n det A 1n + ( 1) 2+n a 2n det A 2n + + ( 1) n+n a nn det A nn, gdzie A in dla n > 1 oraz i = 1,, n, jest macierzą powstałą przez skreślenie w macierzy A i tego wiersza i n tej kolumny ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 19 / 51

Wniosek ( 1) 1+j a 1k det A 1j +( 1) 2+j a 2k det A 2j ++( 1) n+j a nk det A nj = { det(a), gdy j = k = 0, gdy j k, det A = ( 1) j+1 a k1 det A j1 +( 1) j+2 a k2 det A j2 ++( 1) j+n a kn det A jn = { det(a), gdy j = k = 0, gdy j k Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 20 / 51

Teraz już możemy stosunkowo łatwo obliczać wyznaczniki dużych macierzy!!! Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 21 / 51

Zadanie Pokaż, że u n := det a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n 0 0 a nn = a11a22ann Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 22 / 51

Zadanie Pokaż, że u n := det a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n 0 0 a nn = a11a22ann Wsk "Rozwijając" wyznacznik względem ostatniego wiersza pokaż, że u n = u n 1a nn wykorzystując wzór z tw Laplace a dla j = n det A = ( 1) j+1 a j1 det A j1 + ( 1) j+2 a j2 det A j2 + + ( 1) j+n a jn det A jn Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 22 / 51

Zadanie Pokaż, że u n := det a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n 0 0 a nn = a11a22ann Wsk "Rozwijając" wyznacznik względem ostatniego wiersza pokaż, że u n = u n 1a nn wykorzystując wzór z tw Laplace a dla j = n det A = ( 1) j+1 a j1 det A j1 + ( 1) j+2 a j2 det A j2 + + ( 1) j+n a jn det A jn Podobnie, jeśli macierz zawiera zera nad przekątną, to wyznacznik tej macierzy jest iloczynem elementów na przekątnej Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 22 / 51

Zadanie det a 11 a 1n 0 0 a n1 a nn 0 0 c 11 c 1n b 11 b 1m c 1m c mn b m1 b mm = = det a 11 a 1n a n1 a nn det b 11 b 1m b m1 b mm Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach) Wykład 7 Macierze i wyznaczniki 23 / 51

Zadanie det c 11 c 1n b 11 b 1m c 1m c mn b m1 b mm a 11 a 1n 0 0 a n1 a nn 0 0 = = ( 1) mn det a 11 a 1n a n1 a nn det b 11 b 1m b m1 b mm Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach) Wykład 7 Macierze i wyznaczniki 24 / 51

Zadanie det c 11 c 1n b 11 b 1m c 1m c mn b m1 b mm a 11 a 1n 0 0 a n1 a nn 0 0 = = ( 1) mn det a 11 a 1n a n1 a nn det b 11 b 1m b m1 b mm Zajrzyj do A Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią, Przykład 67, str158 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach) Wykład 7 Macierze i wyznaczniki 24 / 51

Zadanie Oblicz wyznacznik macierzy A = 1 2 1 1 2 3 1 2 1 4 2 3 3 2 1 1 Rozw Wykonujemy operacje elementarne na liniach macierzy: Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 25 / 51

det A = det 1 2 1 1 2 3 1 2 1 4 2 3 3 2 1 1 planowana operacja I wiersz ( 2)+ II wiersz Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 26 / 51

det A = det 1 2 1 1 2 3 1 2 1 4 2 3 3 2 1 1 planowana operacja I wiersz ( 2)+ II wiersz wyznacznik po planowanej operacji det A = det 1 2 1 1 0 1 3 4 1 4 2 3 3 2 1 1 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 26 / 51

wyznacznik po poprzedniej operacji det A = det 1 2 1 1 0 1 3 4 1 4 2 3 3 2 1 1 planowana operacja I wiersz+ III wiersz Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 27 / 51

wyznacznik po poprzedniej operacji det A = det 1 2 1 1 0 1 3 4 1 4 2 3 3 2 1 1 planowana operacja I wiersz+ III wiersz wyznacznik po planowanej operacji det A = det 1 2 1 1 0 1 3 4 0 6 1 4 3 2 1 1 ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 27 / 51

wyznacznik po poprzedniej operacji det A = det 1 2 1 1 0 1 3 4 0 6 1 4 3 2 1 1 planowana operacja I wiersz ( 3)+ IV wiersz Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 28 / 51

wyznacznik po poprzedniej operacji det A = det 1 2 1 1 0 1 3 4 0 6 1 4 3 2 1 1 planowana operacja I wiersz ( 3)+ IV wiersz wyznacznik po planowanej operacji det A = det 1 2 1 1 0 1 3 4 0 6 1 4 0 4 4 4 ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 28 / 51

wyznacznik po poprzedniej operacji det A = det 1 2 1 1 0 1 3 4 0 6 1 4 0 4 4 4 planowana operacja II wiersz 6+ III wiersz Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 29 / 51

wyznacznik po poprzedniej operacji det A = det 1 2 1 1 0 1 3 4 0 6 1 4 0 4 4 4 planowana operacja II wiersz 6+ III wiersz wyznacznik po planowanej operacji det A = det 1 2 1 1 0 1 3 4 0 0 19 20 0 4 4 4 ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 29 / 51

wyznacznik po poprzedniej operacji det A = det 1 2 1 1 0 1 3 4 0 0 19 20 0 4 4 4 planowana operacja II wiersz ( 4)+ IV wiersz Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 30 / 51

wyznacznik po poprzedniej operacji det A = det 1 2 1 1 0 1 3 4 0 0 19 20 0 4 4 4 planowana operacja II wiersz ( 4)+ IV wiersz wyznacznik po planowanej operacji det A = det 1 2 1 1 0 1 3 4 0 0 19 20 0 0 8 12 ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 30 / 51

wyznacznik po poprzedniej operacji det A = det 1 2 1 1 0 1 3 4 0 0 19 20 0 0 8 12 planowana operacja III wiersz 8 + IV wiersz 19 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 31 / 51

wyznacznik po poprzedniej operacji det A = det 1 2 1 1 0 1 3 4 0 0 19 20 0 0 8 12 planowana operacja III wiersz 8 + IV wiersz 19 wyznacznik po planowanej operacji det A = det 1 2 1 1 0 1 3 4 0 0 19 20 0 0 0 68 19 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 31 / 51

wyznacznik po poprzedniej operacji det A = det 1 2 1 1 0 1 3 4 0 0 19 20 0 0 8 12 planowana operacja III wiersz 8 + IV wiersz 19 wyznacznik po planowanej operacji det A = det 1 2 1 1 0 1 3 4 0 0 19 20 0 0 0 68 19 = 68 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 31 / 51

Twierdzenie Cauchy ego (A Cauchy(1789-1857)) Jeżeli A, B K n n, to det(ab) = det(a) det(b) Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 32 / 51

Twierdzenie Cauchy ego (A Cauchy(1789-1857)) Jeżeli A, B K n n, to Dowód Pokażemy, że macierz det(ab) = det(a) det(b) [ ] A 0 C = I n B za pomocą operacji elementarnych można sprowadzić do postaci [ ] C A AB = I n 0 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 32 / 51

Twierdzenie Cauchy ego (A Cauchy(1789-1857)) Jeżeli A, B K n n, to Dowód Pokażemy, że macierz det(ab) = det(a) det(b) [ ] A 0 C = I n B za pomocą operacji elementarnych można sprowadzić do postaci [ ] C A AB = I n 0 Wtedy na podstawie poprzednich zadań i własności wyznacznika det(a) det(b) = det(c) = det(c ) = ( 1) n2 ( 1) n det(ab) = = ( 1) n(n+1) det(ab) = det(ab) Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 32 / 51

[ A 0 C = I n B a 11 a 12 a 1n 0 0 0 a 21 a 22 a 2n 0 0 0 ] a n1 a n2 a nn 0 0 0 = 1 0 0 b 11 b 1i b 1n 0 1 0 b 21 b 2i b 2n 0 0 1 b n1 b ni b nn Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 33 / 51

a 11 a 12 a 1n 0 0 0 a 21 a 22 a 2n 0 0 0 [ ] A 0 a n1 a n2 a nn 0 0 0 C = = I n B 1 0 0 b 11 b 1i b 1n 0 1 0 b 21 b 2i b 2n 0 0 1 b n1 b ni b nn Dla i {1,, n} wykonujemy na powyższej macierzy następujące operacje elementarne: 1-sza kolumna b 1i + (n + i)-ta kolumna Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 33 / 51

a 11 a 12 a 1n 0 0 0 a 21 a 22 a 2n 0 0 0 [ ] A 0 a n1 a n2 a nn 0 0 0 C = = I n B 1 0 0 b 11 b 1i b 1n 0 1 0 b 21 b 2i b 2n 0 0 1 b n1 b ni b nn Dla i {1,, n} wykonujemy na powyższej macierzy następujące operacje elementarne: 1-sza kolumna b 1i 2-ga kolumna b 2i + (n + i)-ta kolumna + (n + i)-ta kolumna Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 33 / 51

a 11 a 12 a 1n 0 0 0 a 21 a 22 a 2n 0 0 0 [ ] A 0 a n1 a n2 a nn 0 0 0 C = = I n B 1 0 0 b 11 b 1i b 1n 0 1 0 b 21 b 2i b 2n 0 0 1 b n1 b ni b nn Dla i {1,, n} wykonujemy na powyższej macierzy następujące operacje elementarne: 1-sza kolumna b 1i + (n + i)-ta kolumna 2-ga kolumna b 2i + (n + i)-ta kolumna n-ta kolumna b ni + (n + i)-ta kolumna Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 33 / 51

a 11 a 12 a 1n 0 0 0 a 21 a 22 a 2n 0 0 0 [ ] A 0 a n1 a n2 a nn 0 0 0 C = = I n B 1 0 0 b 11 b 1i b 1n 0 1 0 b 21 b 2i b 2n 0 0 1 b n1 b ni b nn Dla i {1,, n} wykonujemy na powyższej macierzy następujące operacje elementarne: 1-sza kolumna b 1i + (n + i)-ta kolumna 2-ga kolumna b 2i + (n + i)-ta kolumna n-ta kolumna b ni + (n + i)-ta kolumna Jak się zmieni (n + i)-ta kolumna macierzy C? Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 33 / 51

Otrzymujemy następującą macierz: n a 11 a 12 a 1n 0 a 1k b ki 0 k=1 n a 21 a 22 a 2n 0 a 2k b ki 0 k=1 n a n1 a n2 a nn 0 a nk b ki 0 k=1 1 0 0 b 11 0 b 1n 0 1 0 b 21 0 b 2n 0 0 1 b n1 0 b nn Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 34 / 51

Otrzymujemy następującą macierz: n a 11 a 12 a 1n 0 a 1k b ki 0 k=1 n a 21 a 22 a 2n 0 a 2k b ki 0 k=1 n a n1 a n2 a nn 0 a nk b ki 0 k=1 1 0 0 b 11 0 b 1n 0 1 0 b 21 0 b 2n 0 0 1 b n1 0 b nn Zwróćmy uwagę, że w górnej części (n + i)-tej kolumny stoi i-ta kolumna macierzy AB Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 34 / 51

Otrzymujemy następującą macierz: n a 11 a 12 a 1n 0 a 1k b ki 0 k=1 n a 21 a 22 a 2n 0 a 2k b ki 0 k=1 n a n1 a n2 a nn 0 a nk b ki 0 k=1 1 0 0 b 11 0 b 1n 0 1 0 b 21 0 b 2n 0 0 1 b n1 0 b nn Zwróćmy uwagę, że w górnej części (n + i)-tej kolumny stoi i-ta kolumna macierzy AB Wykonajmy teraz powyższe operacje dla każdego i = 1,, n Co otrzymamy? ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 34 / 51

Wynikiem wszystkich tych operacji jest oczywiście macierz [ ] C A AB = I n 0 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 35 / 51

Definicja Macierz A K n n nazywamy odwracalną, jeśli istnieje macierz B K n n taka, że AB = BA = I n Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 36 / 51

Definicja Macierz A K n n nazywamy odwracalną, jeśli istnieje macierz B K n n taka, że AB = BA = I n Uwaga Jeśli macierz A jest odwracalna, to macierz B w powyższej definicji jest jednoznacznie wyznaczona Nazywamy ją macierzą odwrotną do A i oznaczamy A 1 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 36 / 51

Definicja Macierz A K n n nazywamy odwracalną, jeśli istnieje macierz B K n n taka, że AB = BA = I n Uwaga Jeśli macierz A jest odwracalna, to macierz B w powyższej definicji jest jednoznacznie wyznaczona Nazywamy ją macierzą odwrotną do A i oznaczamy A 1 Pytanie Jakie macierze są odwracalne i jak znależć macierz odwrotną do macierzy odwracalnej? Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 36 / 51

Definicja Macierz A K n n nazywamy odwracalną, jeśli istnieje macierz B K n n taka, że AB = BA = I n Uwaga Jeśli macierz A jest odwracalna, to macierz B w powyższej definicji jest jednoznacznie wyznaczona Nazywamy ją macierzą odwrotną do A i oznaczamy A 1 Pytanie Jakie macierze są odwracalne i jak znależć macierz odwrotną do macierzy odwracalnej? Zauważmy, że jeśli AB = I n, to z twierdzenia Cauchy ego mamy 1 = det(ab) = det(a) det(b), a więc det(a) 0 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 36 / 51

Twierdzenie 1 Macierz A = [a ij ] K n n jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy det(a) 0 2 Jeśli A jest odwracalna, to A 1 = [b ij ], gdzie b ij = ( 1) i+j det(a ji ) det(a), a macierz A ji powstaje z macierzy A przez skreślenie j-tego wiersza oraz i-tej kolumny Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 37 / 51

Twierdzenie 1 Macierz A = [a ij ] K n n jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy det(a) 0 2 Jeśli A jest odwracalna, to A 1 = [b ij ], gdzie b ij = ( 1) i+j det(a ji ) det(a), a macierz A ji powstaje z macierzy A przez skreślenie j-tego wiersza oraz i-tej kolumny Własności macierzy odwrotnej (AB) 1 = B 1 A 1 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 37 / 51

Twierdzenie 1 Macierz A = [a ij ] K n n jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy det(a) 0 2 Jeśli A jest odwracalna, to A 1 = [b ij ], gdzie b ij = ( 1) i+j det(a ji ) det(a), a macierz A ji powstaje z macierzy A przez skreślenie j-tego wiersza oraz i-tej kolumny Własności macierzy odwrotnej (AB) 1 = B 1 A 1 (A T ) 1 = (A 1 ) T Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 37 / 51

Twierdzenie 1 Macierz A = [a ij ] K n n jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy det(a) 0 2 Jeśli A jest odwracalna, to A 1 = [b ij ], gdzie b ij = ( 1) i+j det(a ji ) det(a), a macierz A ji powstaje z macierzy A przez skreślenie j-tego wiersza oraz i-tej kolumny Własności macierzy odwrotnej (AB) 1 = B 1 A 1 (A T ) 1 = (A 1 ) T Macierz A = [a ij ] K n n taką, że det(a) 0 nazywamy macierzą nieosobliwą Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 37 / 51

Twierdzenie 1 Macierz A = [a ij ] K n n jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy det(a) 0 2 Jeśli A jest odwracalna, to A 1 = [b ij ], gdzie b ij = ( 1) i+j det(a ji ) det(a), a macierz A ji powstaje z macierzy A przez skreślenie j-tego wiersza oraz i-tej kolumny Własności macierzy odwrotnej (AB) 1 = B 1 A 1 (A T ) 1 = (A 1 ) T Macierz A = [a ij ] K n n taką, że det(a) 0 nazywamy macierzą nieosobliwą Zbiór GL(n, K) = {A K n n ; det(a) 0} z działaniem mnożenia macierzy tworzy grupę Nazywamy ją ogólną grupą liniową stopnia n nad ciałem K ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 37 / 51

Wyznacznik ma duże zastosowania w geometrii Oto kilka przykładów: Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 38 / 51

Pole równoległoboku Jeśli u = [a, b], v = [c, d], to pole D równoległoboku [ "opartego" ] na tych wektorach (patrz rysunek) jest równe D = a b det c d Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 38 / 51

Objętość równoległościanu Jeśli u = [a, b, c], v = [d, e, f ], w = [g, h, i], to objętość V równoleglościanu [ a b c "opartego" na tych wektorach (patrz rysunek) jest równa V = det d e f g h i ] Ale o tym więcej dowiecie się w następnym semestrze na przedmiocie geometria Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 38 / 51

Zadania [ a b Znajdź A 1 dla A = c d ], jeśli ad bc 0 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 39 / 51

Zadania [ a b Znajdź A 1 dla A = c d [ 1 1 0 ] 1 Znajdź 2 1 1 1 2 1 ], jeśli ad bc 0 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 39 / 51

Zadania [ a b Znajdź A 1 dla A = c d [ 1 1 0 ] 1 Znajdź 2 1 1 1 2 1 ], jeśli ad bc 0 Chyba się zgodzimy, że w tym drugim przypadku trzeba się trochę narachować, aby zastosować wzór z poprzedniego twierdzenia Widać, że im wyższy stopień macierzy tym gorzej! Czy istnieje inny sposób obliczania macierzy odwrotnej? Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 39 / 51

Bezwyznacznikowy algorytm "odwracania" macierzy [A I n ] operacje elementarne [I n A 1] Kolejne kroki: Z prawej strony macierzy A dopisujemy macierz jednostkową Na wierszach otrzymanej w ten sposób macierzy wykonujemy operacje elementarne (zamiana wierszy miejscami, mnożenie wierszy przez liczbę różną od zera, dodawanie do elementów jednego wiersza elementów innego wiersza pomnożonego przez liczbę), aby macierz [A I n] doprowadzić do postaci [I n B] Otrzymana macierz B jest macierzą odwrotną do A, tzn B = A 1 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 40 / 51

Przykład [ 1 1 0 1 0 0 2 1 1 0 1 0 1 2 1 0 0 1 ] I wiersz ( 2)+ II wiersz I wiersz ( 1)+ III wiersz Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 41 / 51

Przykład [ 1 1 0 1 0 0 ] 2 1 1 0 1 0 1 2 1 0 0 1 [ 1 1 0 1 0 ] 0 0 3 1 2 1 0 0 1 1 1 0 1 I wiersz ( 2)+ II wiersz I wiersz ( 1)+ III wiersz Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 41 / 51

Przykład [ 1 1 0 1 0 0 ] 2 1 1 0 1 0 1 2 1 0 0 1 [ 1 1 0 1 0 ] 0 0 3 1 2 1 0 0 1 1 1 0 1 I wiersz ( 2)+ II wiersz I wiersz ( 1)+ III wiersz III wiersz + II wiersz Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 41 / 51

Przykład [ 1 1 0 1 0 0 ] 2 1 1 0 1 0 1 2 1 0 0 1 [ 1 1 0 1 0 ] 0 0 3 1 2 1 0 0 1 1 1 0 1 [ 1 1 0 1 0 ] 0 0 2 0 3 1 1 0 1 1 1 0 1 I wiersz ( 2)+ II wiersz I wiersz ( 1)+ III wiersz III wiersz + II wiersz Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 41 / 51

Przykład [ 1 1 0 1 0 0 ] 2 1 1 0 1 0 1 2 1 0 0 1 [ 1 1 0 1 0 ] 0 0 3 1 2 1 0 0 1 1 1 0 1 [ 1 1 0 1 0 ] 0 0 2 0 3 1 1 0 1 1 1 0 1 I wiersz ( 2)+ II wiersz I wiersz ( 1)+ III wiersz III wiersz + II wiersz II wiersz ( 1 2 ) Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 41 / 51

Przykład [ ] 1 1 0 1 0 0 I wiersz ( 2)+ II wiersz 2 1 1 0 1 0 I wiersz ( 1)+ III wiersz 1 2 1 0 0 1 [ 1 1 0 1 0 ] 0 0 3 1 2 1 0 III wiersz + II wiersz 0 1 1 1 0 1 [ 1 1 0 1 0 ] 0 0 2 0 3 1 1 0 1 1 1 0 1 II wiersz ( 1 ) 2 [ 1 1 0 1 0 ] 0 3 0 1 0 1 1 2 2 2 0 1 1 1 0 1 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 41 / 51

Przykład [ ] 1 1 0 1 0 0 I wiersz ( 2)+ II wiersz 2 1 1 0 1 0 I wiersz ( 1)+ III wiersz 1 2 1 0 0 1 [ 1 1 0 1 0 ] 0 0 3 1 2 1 0 III wiersz + II wiersz 0 1 1 1 0 1 [ 1 1 0 1 0 ] 0 0 2 0 3 1 1 0 1 1 1 0 1 II wiersz ( 1 ) 2 ] 0 3 0 1 0 1 1 II wiersz ( 1)+ I wiersz 2 2 2 II wiersz ( 1)+ III wiersz 0 1 1 1 0 1 [ 1 1 0 1 0 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 41 / 51

Przykład [ ] 1 1 0 1 0 0 I wiersz ( 2)+ II wiersz 2 1 1 0 1 0 I wiersz ( 1)+ III wiersz 1 2 1 0 0 1 [ 1 1 0 1 0 ] 0 0 3 1 2 1 0 III wiersz + II wiersz 0 1 1 1 0 1 [ 1 1 0 1 0 ] 0 0 2 0 3 1 1 0 1 1 1 0 1 II wiersz ( 1 ) 2 ] 0 3 0 1 0 1 1 II wiersz ( 1)+ I wiersz 2 2 2 II wiersz ( 1)+ III wiersz 0 1 1 1 0 1 [ 1 1 0 1 0 [ 1 0 0 1 ] 2 3 1 2 1 2 0 1 0 1 1 2 2 2 0 0 1 5 1 3 2 2 2 Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 41 / 51

Przykład [ ] 1 1 0 1 0 0 I wiersz ( 2)+ II wiersz 2 1 1 0 1 0 I wiersz ( 1)+ III wiersz 1 2 1 0 0 1 [ 1 1 0 1 0 ] 0 0 3 1 2 1 0 III wiersz + II wiersz 0 1 1 1 0 1 [ 1 1 0 1 0 ] 0 0 2 0 3 1 1 0 1 1 1 0 1 II wiersz ( 1 ) 2 ] 0 3 0 1 0 1 1 II wiersz ( 1)+ I wiersz 2 2 2 II wiersz ( 1)+ III wiersz 0 1 1 1 0 1 [ 1 1 0 1 0 [ 1 0 0 1 ] 2 3 1 2 1 2 0 1 0 1 1 2 2 2 0 0 1 5 1 3 2 2 2 III wiersz ( 1) Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 41 / 51

Przykład [ ] 1 1 0 1 0 0 I wiersz ( 2)+ II wiersz 2 1 1 0 1 0 I wiersz ( 1)+ III wiersz 1 2 1 0 0 1 [ 1 1 0 1 0 ] 0 0 3 1 2 1 0 III wiersz + II wiersz 0 1 1 1 0 1 [ 1 1 0 1 0 ] 0 0 2 0 3 1 1 0 1 1 1 0 1 II wiersz ( 1 ) 2 ] 0 3 0 1 0 1 1 II wiersz ( 1)+ I wiersz 2 2 2 II wiersz ( 1)+ III wiersz 0 1 1 1 0 1 [ 1 1 0 1 0 [ 1 0 0 1 ] 2 3 1 2 1 2 0 1 0 1 1 2 2 2 0 0 1 5 1 3 2 2 2 [ 1 0 0 1 ] 0 1 0 0 0 1 2 3 1 2 1 2 1 1 2 2 2 5 1 3 2 2 2 III wiersz ( 1) Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 41 / 51

Przykład [ ] 1 1 0 1 0 0 I wiersz ( 2)+ II wiersz 2 1 1 0 1 0 I wiersz ( 1)+ III wiersz 1 2 1 0 0 1 [ 1 1 0 1 0 ] 0 0 3 1 2 1 0 III wiersz + II wiersz 0 1 1 1 0 1 [ 1 1 0 1 0 ] 0 0 2 0 3 1 1 0 1 1 1 0 1 II wiersz ( 1 ) 2 ] 0 3 0 1 0 1 1 II wiersz ( 1)+ I wiersz 2 2 2 II wiersz ( 1)+ III wiersz 0 1 1 1 0 1 [ 1 1 0 1 0 [ 1 0 0 1 ] 2 3 1 2 1 2 0 1 0 1 1 2 2 2 0 0 1 5 1 3 2 2 2 [ 1 0 0 1 ] 0 1 0 0 0 1 2 3 1 2 1 2 1 1 2 2 2 5 1 3 2 2 2 III wiersz ( 1) Zatem [ 1 1 0 2 1 1 1 2 1 ] 1 = [ 1 2 1 2 1 2 3 2 1 2 1 2 5 2 1 2 3 2 ] ndrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 41 / 51

To już koniec wykładu 7! Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 42 / 51

To już koniec wykładu 7! Dziękuję za uwagę Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7 Macierze i wyznaczniki 42 / 51