BUDOWA PORTFELA INWESTYCYJNEGO W OPARCIU O WYBRANE CHARAKTERYSTYKI TEORII CHAOSU

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 07 Sera: ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE z. 3 Nr kol. 99 Katarzya ZEUG-ŻEBRO, Moka MIŚKIEWICZ-NAWROCKA Uwersytet Ekooczy w Katowcach Wyzał Zarzązaa katarzya.zeug-zebro@ue.katowce.pl, oka.skewcz@ue.katowce.pl BUDOWA PORTFELA INWESTYCYJNEGO W OPARCIU O WYBRANE CHARAKTERYSTYKI TEORII CHAOSU Streszczee. Iwestorzy poeuąc ecyze otyczące kostrukc portfela optyalego, wspoagaą sę zazwycza zaawasoway ateatycze etoa prowazący o zeszea ryzyka westyc. Na szczególą uwagę zasługuą etoy klasycze, etoy aalzy techcze oraz etoy aalzy fuaetale. Alteratywy poeśce est zastosowae wybraych charakterystyk teor chaosu. Cele pracy bęze próba zywersyfkowaa ryzyka portfela westycyego zbuowaego a postawe eklasycze ary ryzyka aką est wyar fraktaly oraz ary etyfkac chaosu, t. awększego wykłaka Lapuowa. Słowa kluczowe: aalza portfelowa, ryzyko westycye, wyar fraktaly, awększy wykłak Lapuowa CONSTRUCTION OF OPTIMAL PORTFOLIO BASED ON SELECTED CHARACTERISTICS OF CHAOS THEORY Abstract. Ivestors whe akg ecsos about optal portfolo costructo, typcally use atheatcally avace ethos that lea to a reucto vestet rsk. Classcal ethos, techcal aalyss ethos a fuaetal aalyss ethos eserve partcular atteto. A alteratve approach s to use of selecte characterstcs of chaos theory. The a of the stuy wll be a attept to versfy the rsk of the vestet portfolo bult o the bass of the o-classcal rsk easure whch s the fractal eso a the easure of chaos etfcato, e the largest Lyapuov epoet. Keywors: portfolo aalyss, vestet rsk, fractal eso, largest Lyapuov epoet

548 K. Zeug-Żebro, M. Mśkewcz-Nawrocka Wprowazee Decyza westora otycząca zakupu oatkowych paperów wartoścowych a a celu zeszee o zera ryzyka ywersyfkowalego zoptyalzowae przychou ryzyka westyc. Poprawe skostruoway portfel paperów wartoścowych pozwala a osągęce tych właśe celów. Alteratywą la klasyczego oelu Markowtza est buowa portfela westycyego a postawe ar wywozących sę z teor chaosu eterstyczego, t. wyaru fraktalego awększego wykłaka Lapuowa. Wyar fraktaly est eą z ar, które ozwercelaą ryzykowość poeowaych westyc. Określa o stopeń poszarpaa wykresu szeregu czasowego, co pozwala przyąć, że wększy wyar szeregu, ty wększa ego zeość. W tak raze papery wartoścowe, których szereg stóp zwrotu aą wększy wyar, są barze zee, a to ozacza, że są barze ryzykowe [Orzeszko, 00]. Koleą arą zapropoowaą przez autorów est awększy wykłak Lapuowa, który służy.. o etyfkac chaosu eterstyczego, ak róweż pozwala a oszacowae warygoych progoz rzeczywstych szeregów czasowych. Cele pracy była próba zywersyfkowaa ryzyka portfela westycyego. Baae przeprowazoo a postawe eklasycze ary ryzyka, aką est wyar fraktaly oraz ary etyfkac chaosu, t. awększego wykłaka Lapuowa. Do oszacowaa wyaru posłużoo sę etoą segetowo-waracyą, atoast w celu wyzaczea awększego wykłaka Lapuowa zastosowao algoryt Rosestea-Katza. W baaach wykorzystao szereg czasowe utworzoe z ce zakęca spółek otowaych a Gełze Paperów Wartoścowych w Warszawe wchozących w skła eksu WIG 0 lub ego lsty rezerwowe. Dae obeowały okres o 0.0.0 o 3.03.07. Oblczea przeprowazoo przy użycu prograów apsaych w ęzyku prograowaa Delph oraz paketu Mcrosoft Ecel.. Wyar fraktaly Wyar fraktaly est uogólee wyaru euklesowego służy o opsu skoplkowaych strukturale obektów geoetryczych, p. szeregów czasowych. Wyar te baa, w ak stopu aalzoway obekt (szereg) wypeła przestrzeń, w które est zaurzoy [Orzeszko, 00]. Jego cechą charakterystyczą est fakt, że oże o przyować wartośc ecałkowte. Portfel eksu WIG 0 po korekce kwartale 6.06.07 (weług stau a 9.05.07).

Buowa portfela westycyego 549 W przypaku szeregów szybkozeych (atypersystetych ), wyższy est wyar fraktaly ty częśce oża obserwować owracae sę treu. Z kole la szeregów wolozeych (persystetych), ższa wartość tego wyaru, ty zawsko wzacaa treu est slesze. Z tego też wzglęu wyar fraktaly został uzay za stotą charakterystykę szeregów czasowych pochozących z ryku fasowego, pozwalaącą a oceę ryzyka westycyego [Bula, 0]. W celu wyzaczea wyaru fraktalego obektu geoetryczego A, szacue sę alą lczbę okętych hpersześcaów potrzebych o ego pokryca. Wyar te oża oblczyć korzystaąc ze wzoru: l L DA l, () l gze L A, est alą lczbą hpersześcaów o boku ługośc ɛ. A, W perwszy kroku szacowaa wyaru fraktalego szeregu czasowego t, wyzacza sę a płaszczyźe pukty o współrzęych t,. Następe łącząc e koleo ocka otrzyue sę lę łaaą K. Wyar fraktaly tak skostruowae łaae K est wyare szeregu czasowego. t.. Metoa segetowo-waracya Jeą z apopulareszych eto szacowaa wyaru fraktalego est etoa waracya [Dubuc., 989]. Je rozszerzee est etoa segetowo-waracya S-W zapropoowaa przez M. Zwolakowską [000]. Weług te etoy wyar fraktaly szeregu czasowego,,..., N oża wyzaczyć oblczaąc gracę: l L K, D N l, () 0 l gze L K, est alą lczbą kwaratów o boku ługośc ɛ pokrywaących lę łaaą K. Wzór () oża przekształcć o prostsze, rówoważe postac postawaąc za L K, astępuącą forułę: P K, LK,, (3) gze P K, est pole pokrywaący całą łaaą K. Doatkowo oża przyąć, że la ostatecze ałych wartośc ɛ prawzwy est wzór: Dla szeregu atypersystetego wyar fraktaly est wększy o,5, zaś la szeregu persystetego N, 5 D.

550 K. Zeug-Żebro, M. Mśkewcz-Nawrocka PK, l D N. (4) l Algoryt etoy segetowo-waracye powstał w oparcu o wzór (4) przebega weług astępuących kroków: Krok. W perwsze koleośc, la każe obserwac szeregu czasowego,..., t ależy wyzaczyć pukt o współrzęych, t 3 N, la t,,..., N a astępe połączyć te pukty ocka tworząc lę łaaą K. Krok. Następe wyzaczoa łaaa K zostae pokryta prostokąta rozpęty a (, N ), koley pukta (Rys. ). Otrzyue sę w te sposób N k 4 prostokątów, każy o postawe. N, N t K Rys.. Kostrukca pokryca puktów l łaae K Źróło: Opracowae włase. N Krok 3. Jeśl loraz est lczbą całkowtą, wtey kolee wyzaczoe prostokąty zostaą ozaczoe astępuąco: gze a P a ; b a' ; b', (5) b,, K ; a b, b ' ak ; a ; b a ' ;. 3 Perwsze współrzęe aesoych puktów są rówo oaloe o sebe. 4 Sybol [.] ozacza część całkowtą lczby.

Buowa portfela westycyego 55 W przecwy przypaku, po przeprowazeu proceury pozostae epokrytych N k ostatch puktów łaae K. Pukty te pokrywa sę oatkowy prostokąte o postawe ' : N k N gze a' b ; a'; b' P ' k, (6) K ; b ;, b' ak ; b ; k. Krok 4. Następe ależy oblczyć pole pokryca l łaae K zgoe ze wzore: P k K, b' a' ' b' a' Krok 5. Ostatecze, przekształcaąc wzór () o postac: k b' a' ' b' a' k. (7) DN l l, (8) wyar fraktaly szeregu czasowego zostae oszacoway ako współczyk regres zeych l l k b' a' ' b' a'.. Nawększy wykłak Lapuowa Wykłak Lapuowa są arą wrażlwośc ukłau yaczego a zaę waruków początkowych 5. Określaą oe śree tepo oalaa lub zblżaa sę wóch początkowo blskch sobe staów poczas ewoluc ukłau [Mśkewcz-Nawrocka, 0]. Dla ukłau yaczego X, f, w który X R, f : X X, wykłak Lapuowa są zefowae ako grace [Zawazk, 996]: 0 l l, 0,,...,, (9) gze:, 0 są wartośca własy acerzy 0 Df - est acerzą Jacobego owzorowaa 0 5 Ukła yaczy f każego gze Df Df, f rówą: Df Df Df, 0... 0 X, est wrażlwy a zaę waruków początkowych, eżel stee 0 take, że la y oraz take, że: X oraz każego otoczea U puktu steą U f f y f est -kroty złożee owzorowaa f. [Deavey, 987; za: Zawazk, 996].,

55 K. Zeug-Żebro, M. Mśkewcz-Nawrocka f - est -kroty złożee fukc f, Df f, f są skłaowy owzorowaa f,,,,...,. wyarowy ukła yaczy X, f posaa wykłaków Lapuowa, które foruą o zae oległośc ęzy blsk staa, wzglęe opoweego keruku w przestrze staów. Nawększy wykłak Lapuowa a służy o etyfkac chaosu eterstyczego. W 993 roku Roseste [Roseste, Colls De Luca, 993], a rok późe Katz [Katz, 994] przestawl algoryt wyzaczaa awększego wykłaka Lapuowa, który przebega weług astępuących etapów [Katz Schreber, 004]: Krok. Wyzaczay zbory Z t, złożoe z K ablższych sąsaów ˆ t wektorów opóźeń ˆ t [Zeug-Żebro., 03], spełaących waruek t t t, gze t est ustaloą lczbą aturalą. Doay waruek zwększa prawopoobeństwo, że zalezoy sąsa e bęze ależał o traektor wektora ˆ t. Krok. Oblczay: r t, t,,..., M ; 0,,..., a, (0) K ˆ t Zt t t gze: M N, a est ustaloą lczbą aturalą, określaąca lczbę terac. Krok 3. Wyzaczay śreą z r t po wszystkch hstorach: r M M t t r. () Krok 4. Nawększy wykłak Lapuowa est współczyke regres: l lr r. () Dla szeregów chaotyczych achylee proste regres (wykresu lustruącego zależość l o ueru terac ) w początkowe faze powo być oate. Nawększy wykłak Lapuowa a szacue sę w oparcu o zbór puktów ależących o tego obszaru. Zate oszacowaa wartość a zależy e tylko o wyboru etryk, lczby ablższych sąsaów, wyaru zaurzea, ale także o ustaloe wartośc a, la które współczyk regres est oat [Katz Schreber, 004]. 0 a

Buowa portfela westycyego 553 3. Kostrukca portfel paperów wartoścowych H. Markowtz [Markowtz, 95] zapropoował etoę pozwalaącą a obżee ryzyka portfela paperów wartoścowych, t. ywersyfkacę ryzyka, polegaącą a okłaau koleych walorów o portfela. Zwększaąc lczbę eleetów wchozących w ego skła (ywersyfkuąc ryzyko portfela), oża zeszać o zera uzał warac poszczególych akc w ryzyku całkowty portfela. Moel zapropooway przez Markowtza oża zapsać w astępuące postac: Moel : S p, (3) z waruka ograczaący gze: R p R 0 0,,...,, Rp - oczekwaa stopa zwrotu portfela akc: R p R - oczekwaa stopa zwrotu -te akc, R - oczekwaa stopa zwrotu la spółek, 0 S p - ryzyko portfela akc: S p R, (4) S S - ochylee staarowe akc -te spółk, - współczyk korelac -te akc z -tą akcą, - uzał -te akc w portfelu, lczba akc w portfelu. S S, (5) Propozycą autorów est buowa portfel westycyych w oparcu o wyar fraktaly [Zeug-Żebro, 06] awększy wykłak Lapuowa [Mśkewcz-Nawrocka, Zeug-Żebro, 05]. W ty celu ależy rozwązać astępuące zaaa optyalzacye: Moel : D N, (6)

554 K. Zeug-Żebro, M. Mśkewcz-Nawrocka z waruka ograczaący: R p R 0 S S 0 0,,...,, gze: D N - wyar fraktaly la szeregu czasowego geerowaego przez cąg otowań akc -te spółk, S - śree ochylee staarowe spółek, 0 pozostałe ozaczea.w. Moel 3: a a, (7) z waruka ograczaący: R p R 0 S S 0 0,,...,, gze: a - awększy wykłak Lapuowa la szeregu czasowego geerowaego przez cąg otowań akc -te spółk, pozostałe ozaczea.w. Ią propozycą est alzowae ryzyka portfela z oatkowy uwzglęee ar teor chaosu oblczoych la spółek wchozących w ego skła. Otrzyay w te sposób wzór a waracę portfela est klasyczą waracą portfela (wg Markowtza) skorygowaą o pozo ary ryzyka aką est wyar fraktaly oraz o wartość awększego wykłaka Lapowa. W ty przypaku, oele buowy portfela przyuą postać: Moel 4: SS D N D N (8) R p R 0

Buowa portfela westycyego 555 0,,...,, gze: wszystke ozaczea.w. Moel 5: SS a a (9) R p R 0 gze: wszystke ozaczea.w. 0,,...,, 4. Aalza eprycza propoowaych oel Baau poao szereg fasowe 6 utworzoe z ce zakęca spółek otowaych a GPW w Warszawe wchozących w skła eksu WIG0 lub ego lsty rezerwowe (Tabela ). Doatkowy waruke wyboru spółek, była oata wartość oczekwae stopy zwrotu. W aalze wykorzystao ae obeuące okres o 0.0.0 o 3.03.07. Baae wyeoych wyże szeregów czasowych przebegało w astępuących etapach:. Wyzaczee oczekwae stopy zwrotu akc R ochylea staarowego stóp zwrotu S.. Szacowae wyaru fraktalego D(N) a postawe etoy segetowo-waracye. 3. Rekostrukca przestrze staów etoą opóźeń-wektory opóźeń. 4. Wyzaczee wartośc awększego wykłaka Lapuowa λa. 5. Buowa portfel westycyych (Moele -5). 6. Oblczee roczych stóp zwrotu la wyzaczoych portfel. Przeprowazoe baaa eprycze pozwolły wyzaczyć wyar fraktaly wykorzystuąc etoę segetowo-waracyą. Otrzyae wartośc przestawoo w tabel 7, gze oatkowo przestawoo wartośc oczekwae stopy zwrotu oraz ochylea staarowego stóp zwrotu baaych szeregów czasowych (oblczea wykoao la esęcze stopy zwrotu). 6 Dae pochozą z archwu plków prograu Oega, ostępych a stroe teretowe www.bossa.pl [ostęp:.04.07]. 7 W celu oszacowaa wyaru fraktalego posłużoo sę prograa autora apsay w ęzyku prograowaa Delph.

556 K. Zeug-Żebro, M. Mśkewcz-Nawrocka Tabela Wyk szacowaa wyaru fraktalego, ochylea staarowego, oczekwae stopy zwrotu współczyka asyetr la szeregów czasowych spółek wchozących w skła eksu WIG0 lub ego lsty rezerwowe 8 Spółka D(N) S R Spółka D(N) S R ASSECOPOL,5085 0,0505 0,0055 LOTOS,463 0,0803 0,0060 BZWBK,4647 0,0594 0,0073 LPP,4000 0,0896 0,035 CCC,490 0,0864 0,068 MBANK,47 0,0666 0,0086 CDPROJEKT,406 0,099 0,0355 MILLENNIUM,4477 0,0876 0,08 CYFROPLAST,4938 0,0556 0,03 PEKAO,546 0,0585 0,0039 EUROCASH,4474 0,0794 0,049 PGNIG,469 0,0708 0,007 INGBSK,498 0,0465 0,009 PKNORLEN,409 0,0796 0,07 KERNEL,4947 0,00 0,00 PZU,4747 0,0603 0,004 KRUK,353 0,0655 0,030 SYNTHOS,553 0,0847 0,000 Źróło: Opracowae włase. W koley kroku baań, zrekostruowao przestrzeń staów za poocą etoy opóźeń [Takes, 98], t. wyzaczoo wektory opóźeń, gze czas opóźeń oszacowao a postawe aalzy fukc forac wzaee [Nchols, Seaver, Trckey, 006], a wyar zaurzea oblczoo stosuąc etoę ablższego pozorego sąsaa MNPS [Abarbael, Brow Keel, 99] (Tabela ). Do wyzaczea awększego wykłaka Lapuowa (Tabela ) posłużoo sę algoryte Katza Rosestea. W oblczeach przyęto lczbę sąsaów k wartość t 0. Następe zastosowao regresę lową o przyblżaa lą prostą wykresu zależośc wartośc l o ueru terac. Tabela Wyk szacowaa czasy opóźea, wyaru zaurzea, awększego wykłaka Lapuowa la wybraych spółek Spółka τ λ a R Spółka τ λ a R ASSECOPOL 3 6 0,004 0,3485 LOTOS 8 0,058 0,75 BZWBK 3 0 0,090 0,458 LPP 3 7 0,098 0,557 CCC 8 0,0368 0,5634 MBANK 9 0,038 0,3047 CDPROJEKT 3 0,648 0,84 MILLENNIUM 6 0,05 0,307 CYFROPLAST 3 5 0,066 0,098 PEKAO 6 0,099 0,34 EUROCASH 9 0,036 0,349 PGNIG 3 7 0,0048 0,4383 INGBSK 7 0,083 0,307 PKNORLEN 7 0,0385 0,5486 KERNEL 5 8 0,0464 0,08 PZU 4 8 0,0705 0,378 KRUK 0,00 0,3078 SYNTHOS 3 0 0,0858 0,576 Źróło: Opracowae włase. W koley etape aalzy skostruowao oseaśce optyalych portfel akc, a postawe wcześe zapropoowaych oel optyalzacyych. W skła portfel ozaczoych uera 5 weszły spółk bęące opoweo rozwązae zaań zawartych w oelach:,, 3, 4 5. W portfelach - 5 ueszczoo spółk bęące rozwązae zaań -5, la których przyęto oatkowe założee o stotośc oszacowaego wykłaka Lapuowa, t. współczyk eterac R 0, 3. Następe przyuąc założee 8 Oblczea oparto a aych obeuących okres o 0.0.0 o 3.03.07.

Buowa portfela westycyego 557 N, 5 D powtórzoo baae la wszystkch oel (skostruowao portfele 5 ). W celach porówawczych zbuowao róweż portfele o rówych uzałach akc (Portfele 6, 6 6 ). Szczegóły kostrukc portfel zawera tabela 3. Tabela 3 Buowa portfel optyalych Portfel Portfel Portfel 3 Portfel 4 Portfel 5 Portfel 6 Moel Moel Moel 3 Moel 4 Moel 5 Rówe uzały Portfel Portfel Portfel 3 Portfel 4 Portfel 5 Portfel 6 Moel Moel Moel 3 Moel 4 Moel 5 Rówe uzały - stoty - stoty - stoty - stoty - stoty - stoty a a a Portfel Portfel Portfel 3 Portfel 4 Portfel 5 Portfel 6 Moel Moel Moel 3 Moel 4 Moel 5 Rówe uzały D N, 5 D N, 5 D N, 5 D N, 5 D N, 5 D N, 5 Źróło: Opracowae włase. a a a Do oblczea uzałów poszczególych spółek w portfelu wykorzystao arzęze solver bęące oatke arkusza kalkulacyego Ecel. W tabelach 4 6 przestawoo uzały poszczególych spółek oraz wartość oczekwaą ryzyko zbuowaych portfel. Zak - postawoo przy spółkach, które e weszły w skła portfela optyalego. Stopa zwrotu, ryzyko uzały akc w wyzaczoych portfelach Tabela 4 Spółka Uzały akc Portfel Portfel Portfel 3 Portfel 4 Portfel 5 Portfel 6 ASSECOPOL 0,573 - - 0,94-0,05556 BZWBK - - 0,30000 - - 0,05556 CCC - - - - - 0,05556 CDPROJEKT 0,05405-0,30000-0,06 0,05556 CYFROPLAST 0,08689 - - - - 0,05556 EUROCASH 0,3406 - - 0,30000 0,30000 0,05556 INGBSK 0,303 - - 0,30000 0,30000 0,05556 KERNEL - - - - - 0,05556 KRUK 0,0305 0,30000 0,30000 - - 0,05556 LOTOS - - - - - 0,05556 LPP 0,00540 0,0967-0,8086-0,05556 MBANK - 0,30000 - - - 0,05556 MILLENNIUM - - - - - 0,05556 PEKAO - - - - - 0,05556 PGNIG - - - - - 0,05556 PKNORLEN 0,00368 0,9033 - - - 0,05556 PZU 0,4533-0,00997-0,7938 0,05556 SYNTHOS - - 0,09003 - - 0,05556 Oczekwaa stopa zwrotu portfela 0,066 0,0984 0,003 0,066 0,066 0,066 Ryzyko portfela 0,0379 0,0487 0,0564 0,03769 0,03656 0,0408 Źróło: Opracowae włase.

558 K. Zeug-Żebro, M. Mśkewcz-Nawrocka Stopa zwrotu, ryzyko uzały akc w wyzaczoych portfelach z waruke stotośc awększego wykłaka Lapuowa Tabela 5 Spółka Uzały akc Portfel Portfel Portfel 3 Portfel 4 Portfel 5 Portfel 6 ASSECOPOL 0,365 - - 0,0000 0,7449 0,0000 CCC - 0,0456 - - - 0,0000 EUROCASH 0,5933 - - 0,0000 0,30000 0,0000 INGBSK 0,30745 0,07544 0,7065 0,0000-0,0000 KRUK 0,8050 0,30000 0,30000 0,0000 0,55 0,0000 MBANK - 0,30000 0,935 - - 0,0000 MILLENNIUM 0,05848-0,30000 0,0000 0,30000 0,0000 PEKAO 0,00000 - - - - 0,0000 PGNIG 0,0037 - - - - 0,0000 PKNORLEN 0,0503 0,30000 - - - 0,0000 Oczekwaa stopa zwrotu portfela 0,036 0,084 0,0643 0,0450 0,036 0,036 Ryzyko portfela 0,0347 0,048 0,05070 0,0303 0,03896 0,04083 Źróło: Opracowae włase. Stopa zwrotu, ryzyko uzały akc w wyzaczoych portfelach z waruke N, 5 D Tabela 6 Spółka Uzały akc Portfel Portfel Portfel 3 Portfel 4 Portfel 5 Portfel 6 BZWBK 0,08360-0,30000-0,0737 0,06667 CCC 0,05350 - - - 0,0790 0,06667 CDPROJEKT 0,0568 0,0674 0,30000 0,7934 0,0873 0,06667 CYFROPLAST 0,0544 - - - 0,0753 0,06667 EUROCASH 0,0534 - - 0,30000 0,30000 0,06667 INGBSK 0,4088 - - 0,30000 0,8788 0,06667 KERNEL 0,063 - - - 0,070 0,06667 KRUK 0,09735 0,30000 0,30000-0,0800 0,06667 LOTOS 0,04467 - - - 0,0734 0,06667 LPP 0,04755 0,30000 - - 0,078 0,06667 MBANK 0,06809 0,30000 - - 0,074 0,06667 MILLENNIUM 0,047 - - - 0,075 0,06667 PGNIG 0,05864 - - - 0,0737 0,06667 PKNORLEN 0,0549 0,0358 - - 0,0764 0,06667 PZU 0,07655-0,0000 0,066 0,079 0,06667 Oczekwaa stopa zwrotu portfela 0,0449 0,064 0,03 0,0449 0,0436 0,0449 Ryzyko portfela 0,086 0,0394 0,03895 0,03488 0,093 0,0990 Źróło: Opracowae włase. Aalzuąc ae przestawoe w tabelach 4-6 oża stwerzć, że awyższą oczekwaą stopą zwrotu charakteryzuą sę portfele wyzaczoe a postawe ar pochozących z teor chaosu eterstyczego (portfele, 3,, 3, 3 ). Natoast portfel obarczoy est aższy pozoe ryzyka. Moyfkaca fukc celu w oelach 4 5, zwązaa z ołączee o klasycze ary ryzyka, wyaru fraktalego awększego wykłaka Lapuowa, wpływa tylko w zkoy stopu a oczekwaą stopę zwrotu z portfela e zesza ryzyka zwązaego z westycą w tak portfel. Śwaczą o ty portfele 4, 5, 4, 5,

Buowa portfela westycyego 559 4, 5 la których zaobserwowao brak lub ezaczy wzrost wartośc stopy zwrotu estety wyższy pozo ryzyka. W koley kroku baań oblczoo rocze stopy zwrotu (la wyzaczoych portfel) uzyskae w okrese 3.03.06-3.03.07. Otrzyae rezultaty zaeszczoo w tabel 7. Tabela 7 Rocza stopa zwrotu la wyzaczoych portfel optyalych Portfel Portfel Portfel 3 Portfel 4 Portfel 5 Portfel 6 Stopa zysku portfela (%) 4,957 3,058 8,776,7943,06,6 Portfel Portfel Portfel 3 Portfel 4 Portfel 5 Portfel 6 Stopa zysku portfela (%) 4,599,8767,569 0,097-0,6435 6,3503 Portfel Portfel Portfel 3 Portfel 4 Portfel 5 Portfel 6 Stopa zysku portfela (%) 3,907 3,47 7,539 6,874 3,3876 3,907 Źróło: Opracowae włase. Z aych przestawoych w tabel 7 wyka, że awększy zysk w aalzoway okrese oża było uzyskać westuąc w portfele 3, 3, 4 zbuowae w oparcu o awększy wykłak Lapuowa oraz wyar fraktaly. Portfele, zbuowae a postawe klasyczego oelu Markowtza (zaae ) charakteryzue zblżoa wartość zysku. Zastosowae klasyczego oelu Markowtza la wybraych spółek e ae ożlwośc uzyskaa tak obrych rezultatów, ak w przypaku portfel w których zastosowao ary chaosu eterstyczego (zaae 3). Warto zwrócć uwagę, że stopa zysku portfel w przypaku zastosowaa oatkowego założea ( N, 5 w przypaku portfela 5 osągęła uey pozo. D a - stoty) spała a awet Posuowae W pracy zapropoowao kocepcę portfel paperów wartoścowych zoyfkowaych o we ary: wyar fraktaly awększy wykłak Lapuowa. Staowły oe alteratywę la klasyczego oelu Markowtza. W baau epryczy rozpatrzoo cztery waraty owego poeśca (Zaaa -5) oraz oel Markowtza. Aalzą obęto lata 0-07. Baaa potwerzły zasaość łączea aalzy portfelowe z eleeta wywozący sę z teor chaosu eterstyczego. Wyk przeprowazoych aalz ogą być pooce w poeowau ecyz westycyych zarzązau ryzyke westycyy.

560 K. Zeug-Żebro, M. Mśkewcz-Nawrocka Bblografa. Abarbael H.D., Brow R., Keel M.B.: Deterg Ebeg Deso for Phase Space Recostructo Usg a Geoetrcal Costructo. Physcal Revew A, Vol. 45(6), 99, p. 3404-34.. Bula R.: Aspekty etoycze szacowaa wyaru fraktalego fasowych szeregów czasowych. Młoz Naukowcy la Polske Nauk, Vol., No. 9, 0, s. 9-00. 3. Devaey R.L.: A Itroucto to Chaotc Dyacal Systes. Aso-Wesley Publshg Copay, Ic., Rewoo Cty 987. 4. Dubuc B., Quou J.F., Roques-Cares C., Trcot C., Zucker S.W., Evaluatg the Fractal Deso of Profles, Physcal Revew A, Vol. 39, 989. 5. Katz H.: A robust etho to estate the aal Lyapuov epoet of a te seres. Physcal Letters A, vol. 85(), 994, 77 87. 6. Katz H., Schreber T.: Nolear Te Seres Aalyss. Cabrge Uversty Press 004, (seco eto). 7. Markowtz H.: Portfolo Selecto. Joural of Face, 95, p. 77-9. 8. Mśkewcz-Nawrocka M.: Zastosowae wykłaków Lapuowa o aalzy ekooczych szeregów czasowych. Wyawctwo Uwersytetu Ekooczego w Katowcach, Katowce 0. 9. Mśkewcz-Nawrocka M., Zeug-Żebro K.: Zastosowae wykłaków Lapuowa o wyzaczaa portfel optyalych. Stua Ekoocze, r, 05, s. 6-7. 0. Nchols J.M., Seaver M., Trckey S.T.: A etho for etectg aage-uce oleartes structures usg forato theory. Joural of Sou a Vbrato, Vol. 97, No., 006, p. 6.. Orzeszko W.: Wyar fraktaly szeregów czasowych a ryzyko westowaa. Acta Uverstats Ncola Coperc. Ekooa XLI. Nauk Huastyczo-Społecze, z. 397, 00.. Przekota G., Waścńsk T.: Wybrae probley ocey ryzyka za cey akc za poocą ar klasyczych eklasyczych. Zeszyty Naukowe Uwersytetu Huastyczo- Przyroczego w Selcach. Astraca Zarzązae, r 95, 0, s. 7-8. 3. Roseste M. T., Colls J. J., De Luca C. J.: A practcal etho for calculatg largest Lyapuov epoets fro sall ata sets. Physca D, vol. 65, 993, p. 7 34. 4. Takes F.: Detectg strage attractors turbulece [:] D.A. Ra a L.S. Youg (es.) Lecture Notes Matheatcs. Sprger, Berl 98, p. 366 38. 5. Zawazk H.: Chaotycze systey yacze. Eleety teor wybrae zagaea ekoocze. Zeszyty Naukowe Akae Ekoocze w Katowcach, Katowce 996.

Buowa portfela westycyego 56 6. Zeug-Żebro K., Dębcka J., Kuśerczyk P., Łyko J.: Wybrae oele ateatycze ekoo. Decyze wybory. Wyawctwo Uwersytetu Ekooczego we Wrocławu 03. 7. Zeug-Żebro K.: Baae wpływu zastosowaa wyaru fraktalego a kostrukcę portfela optyalego. Stua Ekoocze, r 65, 06, s. 0-3. 8. Zwolakowska D.: Metoa segetowo-waracya. Nowa propozyca lczea wyaru fraktalego, Przeglą Statystyczy, R. 47, z. -, 000.