BADANIE WPŁYWU ZASTOSOWANIA WYMIARU FRAKTALNEGO NA KONSTRUKCJĘ PORTFELA OPTYMALNEGO

Transkrypt

1 Studa Ekonoczne. Zeszyty Naukowe Unwersytetu Ekonocznego w Katowcach ISSN Nr Unwersytet Ekonoczny w Katowcach Wydzał Zarządzana Katedra Mateatyk katarzyna.zeug-zebro@ue.katowce.pl BADANIE WPŁYWU ZASTOSOWANIA WYMIARU FRAKTALNEGO NA KONSTRUKCJĘ PORTFELA OPTYMALNEGO Streszczene: W pracy zbadano wpływ zastosowana neklasyczne ary ryzyka nwestycynego, t. wyaru fraktalnego, na budowę portfela optyalnego. Mara ta określa zenność stopy zwrotu wększa e wartość, ty wększe ryzyko zwązane z nwestowane w dany nstruent fnansowy. Szacowane tego wyaru oparto na etodze segentowo-waracyne. W badanach pod uwagę wzęto fnansowe szereg czasowe złożone z cen zaknęca akc spółek notowanych na GPW w Warszawe. Słowa kluczowe: ryzyko nwestycyne, wyar fraktalny, etoda segentowo-waracyna, analza portfelowa. Wprowadzene Ocena ryzyka nwestyc przysparza nwestoro welu probleów. Poawaą sę one, gdy próbue sę porównać pozoy ryzyka różnych paperów wartoścowych w ty say okrese czasu, co est kluczowy etape w procese zarządzana portfele paperów wartoścowych. Z tego powodu powstało wele etod szacowana pozou ryzyka. W grupe tych ar znaduą sę.n. odchylene standardowe czy też współczynnk zennośc. Weloletne badana wykazały ednak, że ch stosowane na ogół zanża wartość ryzyka nwestycynego. Opracowano węc etody, które bardze rzetelne odzwercedlaą ryzykowność podeowanych nwestyc. Wśród nch ożna wyróżnć narzędze pochodzące z teor chaosu, t. wyar fraktalny [Zwolankowska, 999]. Mara ta określa stopeń poszarpana wykresu szeregu czasowego, co pozwala przyąć,

2 Badane wpływu zastosowana wyaru fraktalnego... 2 że wększy wyar szeregu, ty wększa ego zenność. Zate papery wartoścowe, których szereg stóp zwrotu aą wększy wyar, są bardze zenne, a to oznacza, że są bardze ryzykowne [Orzeszko, 200]. Cele pracy była próba zdywersyfkowana ryzyka portfela nwestycynego. Badane przeprowadzono na podstawe neklasyczne ary ryzyka, aką est wyar fraktalny. Do oszacowana tego wyaru posłużono etodą segentowo-waracyną. W badanach wykorzystano szereg czasowe utworzone z cen zaknęca trzydzestu spółek notowanych na Gełdze Paperów Wartoścowych w Warszawe wchodzących w skład ndeksu WIG 30 lub ego lsty rezerwowe. Dane obeowały okres od do Oblczena przeprowadzono przy użycu prograów napsanych przez autorkę w ęzyku prograowana Delph oraz paketu Mcrosoft Ecel.. Wyar fraktalny ako ara ryzyka nwestyc Wyar fraktalny est uogólnene wyaru eukldesowego służy do opsu skoplkowanych strukturalne obektów geoetrycznych, np. szeregów czasowych. Wyar ten bada, w ak stopnu analzowany obekt (szereg) wypełna przestrzeń, w które est zanurzony [Orzeszko, 200]. Jego cechą charakterystyczną est fakt, że oże on przyować wartośc necałkowte. Dla szeregów szybkozennych (antypersystentnych 2 ), wyższy est wyar fraktalny, ty częśce ożna obserwować odwracane sę trendu. Z kole dla szeregów wolnozennych (persystentnych), nższa wartość tego wyaru, ty zawsko wzacnana trendu est slnesze. Z tego też względu wyar fraktalny został uznany za stotną charakterystykę szeregów czasowych pochodzących z rynku fnansowego, pozwalaącą na ocenę ryzyka nwestycynego [Bula, 202]. W celu wyznaczena wyaru fraktalnego obektu geoetrycznego A, szacue sę nalną lczbę doknętych hpersześcanów potrzebnych do ego pokryca. Wyar ten ożna oblczyć korzystaąc z foruły: D ( A) ( A, ε ) ( ) ln L = l, () ε 0 ln gdze: L ( A,ε ) est nalną lczbą hpersześcanów o krawędz długośc (ε ). ε 2 Portfel ndeksu WIG 30 po korekce kwartalne (według stanu na ). Dla szeregu antypersystentnego wyar fraktalny est wększy od,5, zaś dla szeregu persystentnego D ( N ), 5.

3 22 { } t W perwszy kroku szacowana wyaru fraktalnego szeregu czasowego t,. Następne wyznacza sę na płaszczyźne punkty o współrzędnych ( ) łącząc e koleno odcnka otrzyue sę lnę łaaną K. Wyar fraktalny tak skonstruowane łaane K est wyare szeregu czasowego. Jedną z napopularneszych etod szacowana wyaru fraktalnego est etoda waracyna [Dubuc n., 989]. Je rozszerzene est etoda segentowo-waracyna S-W zaproponowana przez M. Zwolankowską [2000]. Według te etody wyar fraktalny szeregu czasowego {,,... 2, N } ożna wyznaczyć oblczaąc grancę: D ( N ) ( K, ε ) ( ) ln L = l, (2) ε 0 ln gdze: L(K, ε) est nalną lczbą kwadratów o boku długośc (ε) pokrywaących lnę łaaną K. Wzór (2) ożna przekształcć do prostsze, równoważne postac podstawaąc za L(K, ε) następuącą forułę: P ( ) ( K, ε ) L K, ε =, (3) 2 ε gdze: P(K, ε) est pole pokrywaący całą łaaną K. Dodatkowo ożna przyąć, że dla dostateczne ałych wartośc (ε) prawdzwy est wzór: ( N ) ε P( K, ε ) ln 2 ε D. (4) Algoryt etody segentowo-waracyne powstał na podstawe wzoru (4) przebega według następuących kroków: Krok. W perwsze kolenośc, dla każde obserwac szeregu czasowego {, 2,..., N } należy wyznaczyć punkty o współrzędnych 3 t, t, dla N t =,2,..., N, a następne połączyć te punkty odcnka tworząc lnę łaaną K. ln ( ) ε t 3 Perwsze współrzędne nanesonych punktów są równo oddalone od sebe.

4 Badane wpływu zastosowana wyaru fraktalnego Krok 2. Następne wyznaczona łaana K zostae pokryta prostokąta rozpęty nad n ( n 2, n N ), koleny punkta (rys. ). Otrzyue sę w ten N sposób k = 4 prostokątów, każdy o podstawe n n d =. N t K d d Rys.. Konstrukca pokryca n punktów ln łaane K N Krok 3. Jeśl loraz est lczbą całkowtą, to kolene wyznaczone prostokąty zostaą oznaczone n następuąco: P ( n) = [ a ; b ] [ a' ; b' ], (5) gdze: a = ( ) d, b = d, = n{ K( ) ; [ a b ]}, b ' a{ K( ) ; [ a ; b ]} a ' ; =. W przecwny przypadku, po przeprowadzenu procedury pozostae nepokrytych N ( n ) k ostatnch punktów łaane K. Punkty te pokrywa sę N ( n ) k dodatkowy prostokąte o podstawe d ' = : N ( n) = [ b ;] [ a'; b' ] P ' k, (6) 4 Sybol [.] oznacza część całkowtą lczby.

5 24 gdze: a' n = { K( ) ; [ b ;]}, b' a{ K( ) ; [ b ;]} k =. Krok 4. Następne należy oblczyć pole pokryca ln łaane K zgodne ze wzore: P k ( K, d ) d ( b' a' ) + d' ( b' a' ) = = Krok 5. Ostateczne, przekształcaąc wzór (4) do postac: k. (7) D ( N ) ln d ln k = d ( b' a' ) + d' ( b' a' ) d 2, (8) wyar fraktalny szeregu czasowego zostae oszacowany ako współczynnk regres zennych ln d ln k = d ( b' a' ) + d' ( b' a' ) d Konstrukca portfel optyalnych Naczęśce stosowany narzędze szacowana udzałów akc w portfelu est klasyczny odel Markowtza [Markowtz, 952]. Model ten opera sę na podstawowych charakterystykach, ak są stopa zwrotu z nwestyc zwązanego z tą nwestycą ryzyka : R p = = R, (9) S 2 p = 2 2 S + = = = + 2 S S ρ, (0) gdze: R oczekwana stopa zwrotu portfela akc, p S p ryzyko portfela akc, R oczekwana stopa zwrotu -te akc,

6 Badane wpływu zastosowana wyaru fraktalnego S odchylene standardowe akc -te spółk, ρ współczynnk korelac -te akc z -tą akcą, udzał -te akc w portfelu, = lczba akc w portfelu. =, 0, =,...,, () Podeśce Markowtza polega na zneszanu ryzyka portfela wskutek zwększana lczby akc w ty portfelu. W ty przypadku zadane optyalzac est ponższe postac. Zadane z warunka ogranczaący n S, (2) R p = 2 p R 0 = 0, =,...,, gdze: R 0 oczekwana stopa zwrotu dla spółek, pozostałe oznaczena w. Propozycą autora est budowa portfela optyalnego na podstawe wyaru fraktalnego. W ty celu należy rozwązać następuące zadane nalzac. Zadane 2 z warunka ogranczaący: R p R 0 n D ( N), (3) =

7 26 = S = S = 0, =,...,, gdze: D ( N ) wyar fraktalny dla szeregu czasowego generowanego przez cąg notowań akc -te spółk, pozostałe oznaczena w. Zadane 3 n D ( N), = z warunka ogranczaący = = R p S A = R 0 S 0 0 A = 0, =,...,. gdze: A współczynnk asyetr, A 0 uśrednony współczynnk asyetr. pozostałe oznaczena w Wynk badań eprycznych Badanu poddano szereg fnansowe 5 utworzone z cen zaknęca 30 spółek notowanych na GPW w Warszawe wchodzących w skład ndeksu WIG 30 lub ego lsty rezerwowe (tabela ). Dane obeuą okres od do Dane pochodzą z archwu plków prograu Oega, dostępnych na strone nternetowe

8 Badane wpływu zastosowana wyaru fraktalnego Analza wyenonych wyże szeregów czasowych przebegała w następuących etapach:. Szacowane wyaru fraktalnego D (N). 2. Wyznaczene oczekwane stopy zwrotu akc R, odchylena standardowego stóp zwrotu S oraz współczynnka asyetr A. 3. Budowa portfel optyalny (zadana -3). 4. Oblczene rocznych stóp zwrotu dla wyznaczonych portfel. Przeprowadzone badana epryczne pozwolły wyznaczyć wyar fraktalny wykorzystuąc etodę segentowo-waracyną. Otrzyane wartośc przedstawono w tabel 6, gdze dodatkowo ukazano wartośc oczekwane stopy zwrotu, odchylena standardowego stóp zwrotu współczynnka asyetr badanych szeregów czasowych. Tabela. Wynk szacowana wyaru fraktalnego, odchylena standardowego, oczekwane stopy zwrotu współczynnka asyetr dla szeregów czasowych spółek wchodzących w skład ndeksu WIG 30 lub ego lsty rezerwowe* Szereg D (N) S R A ASSECOPOL,5268 0,085 0,000 0,0748 BOGDANKA,4482 0,075 0,0006,693 BORYSZEW,3433 0,0457 0,00 6,9487 BZWBK,4425 0,046 0,0008 0,3640 CCC,3755 0,089 0,002 0,2455 CEZ,4877 0,064 0,0003 0,2464 CYFRPLSAT,5240 0,090 0,0007 0,3034 ENEA,4820 0,074 0,0003 0,0245 EUROCASH,4066 0,0228 0,004 0,0622 GRUPAAZOTY,3628 0,0239 0,002 0,575 GTC,4270 0,0250 0,0009 0,075 HANDLOWY,4630 0,0209 0,0008 0,2033 INGBSK,5052 0,073 0,0005 0,048 KERNEL,5005 0,0244 0,0003 0,078 KGHM,4604 0,0246 0,0005 0,9924 LOTOS,439 0,027 0,0004 0,36 LPP,349 0,09 0,009 0,3942 MBANK,4545 0,0209 0,0009 0,77 MILLENIUM,4666 0,0229 0,0007 0,2408 NETIA,5007 0,08 0,0002 0,992 ORANGEPL,4257 0,0202 0,0003 3,5027 PEKAO,5527 0,09 0,0003 0,0432 PGE,5405 0,07 0,0002 0,3347 PGNIG,4782 0,066 0,0006 0,3897 PKNORLEN,4536 0,0204 0,0004 0,0728 PKOBP,5570 0,076 0,0002 0,0432 SYNTHOS,476 0,024 0,008 0,08 TVN,4555 0,0235 0,0003 0,273 * Oblczena oparto na danych obeuących okres od do W celu oszacowana wyaru fraktalnego posłużono sę prograa autora napsany w ęzyku prograowana Delph.

9 28 Rysunek 2 przedstawa wynk prezentowane w tabel, uporządkowane ze względu na wartość oszacowanego wyaru fraktalnego odchylena standardowego. WYMIAR FRAKTALNY,6,55,5,45,4,35,3,25,2,5 a) etoda S-W PKOBP PEKAO PGE ASSECOPOL CYFRPLSAT TAURONPE INGBSK PZU NETIA KERNEL CEZ ENEA PGNIG MILLENIUM HANDLOWY KGHM TVN MBANK PKNORLEN BOGDANKA BZWBK LOTOS GTC ORANGEPL SYNTHOS EUROCASH CCC GRUPAAZOTY BORYSZEW LPP b) odchylene standardowe stóp zwrotu S 0,05 0,045 0,04 0,035 0,03 0,025 0,02 0,05 0,0 0,005 0 BORYSZEW GTC KGHM KERNEL SYNTHOS GRUPAAZOTY TVN MILLENIUM EUROCASH LOTOS HANDLOWY MBANK PKNORLEN ORANGEPL LPP PEKAO CYFRPLSAT CCC ASSECOPOL NETIA PKOBP BOGDANKA ENEA INGBSK PGE PGNIG TAURONPE CEZ PZU BZWBK Rys. 2. Rankng spółek utworzony według wartośc wyznaczonych ar ryzyka Według rankngów przedstawonych na rys. 2, dotyczących wartośc wyaru fraktalnego, nanższy ryzyke charakteryzowały sę spółk LPP, BORYSZEW, GRUPA AZOTY CCC. Odenne rezultaty uzyskano stosuąc odchylene standardowe, według których nane ryzykowną nwestycą byłby zakup akc spółek BZWBK, PZU, CEZ TAURONPE. Zaskakuący est wynk uzyskany dla szeregu czasowego BORYSZEW, zgodne z który nwestyca w tę spółkę est nabardze ryzykowna. Tyczase ak zaznaczono wcześne, w przypadku zastosowana wyaru fraktalnego, spółka ta należy do grupy nwestyc nane ryzykownych.

10 Badane wpływu zastosowana wyaru fraktalnego Do dalsze analzy wzęto pod uwagę spółk o dodatne hstoryczne wartośc stopy zwrotu. Następne zbudowano 2 optyalnych portfel akc, rozwązuąc wcześne określone zadana optyalzacyne. W skład portfel oznaczonych nuera, 2 3 weszły spółk będące odpowedno rozwązane zadana:, 2 3. W celach porównawczych zbudowano portfele 4, 5 6, będące rozwązana zadań, 2 3, w których uwzględnono dodatkowy warunek ogranczaący, postac: 0,3, =,...,. Następne przyuąc założene D ( N ), 5 powtórzono całe badane (portfele -6 ). Szczegółowe nforace na teat budowy poszczególnych portfel zawera tabela 2. Tabela 2. Budowa portfel optyalnych Portfel Portfel 2 Portfel 3 Portfel 4 Portfel 5 Portfel 6 Zadane Zadane 2 Zadane 3 Zadane Zadane 2 Zadane 3 0,3 0,3 0,3 Portfel Portfel 2 Portfel 3 Portfel 4 Portfel 5 Portfel 6 Zadane Zadane 2 Zadane 3 Zadane Zadane 2 Zadane 3 D (N),5 D (N),5 D (N),5 0,3 0,3 0,3 D (N),5 D (N),5 D (N),5 Do oblczena udzałów poszczególnych spółek w portfelu wykorzystano narzędze solver dodatek arkusza kalkulacynego Ecel. Następne oszacowano stopę zwrotu ryzyko każdego portfela. Wynk ueszczono w tabelach 3 4. Znak postawono przy spółkach, które ne weszły w skład portfela optyalnego. Tabela 3. Udzały akc w wyznaczonych portfelach, stopa zwrotu ryzyko Spółka Udzały akc Portfel Portfel 2 Portfel 3 Portfel 4 Portfel 5 Portfel BOGDANKA 0, , BZWBK 0,8842 0, , , CCC 0, , , , CYFRPLSAT 0, , EUROCASH 0, , , , , GRUPA AZOTY 0, , , , HANDLOWY 0, INGBSK 0, ,05437 KERNEL 0, , , , KGHM 0, LOTOS LPP 0, , , , , , MBANK MILLENIUM 0, NETIA 0, , PEKAO 0, PGNIG 0,0365 0,959 PKNORLEN PKOBP 0,

11 30 cd. tabel SYNTHOS 0, , , TVN 0, , , Stopa zwrotu portfela 0, , , , , , Ryzyko portfela 0, , , , , ,03855 Tabela 4. Udzały akc w wyznaczonych portfelach, stopa zwrotu ryzyko (z warunke D (N),5) Spółka Udzały akc Portfel Portfel 2 Portfel 3 Portfel 4 Portfel 5 Portfel 6 BOGDANKA 0, ,02948 BZWBK 0, , , CCC 0,8534 0,8534 0, , EUROCASH 0, , , , GRUPAAZOTY 0, , , , HANDLOWY 0, ,09543 KGHM 0, LOTOS 0, LPP 0, , , , , , MBANK 0, MILLENIUM PGNIG 0, , PKNORLEN 0, SYNTHOS 0, , TVN 0, , ,02209 Stopa zwrotu portfela 0, , , , , , Ryzyko portfela 0, , , , , ,06087 Analzuąc dane przedstawone w tabelach 3 4 ożna stwerdzć, że portfele 2, 3, 2 3 charakteryzuą sę nawyższą oczekwaną stopą zwrotu. Natoast portfel 4 obarczony est nanższy pozoe ryzyka. Dodatkowe założene, dotyczące szeregów persystentnych (D (N),5), wpływa tylko w znkoy stopnu na skład portfela optyalnego ne dywersyfkue ryzyka zwązanego z nwestycą w tak portfel. Śwadczą o ty portfele, 4, 5 6, dla których uzyskano neznaczny wzrost wartośc stopy zwrotu nestety wyższy pozo ryzyka. Ponadto należy zauważyć, że portfele 2 3 oraz 2 3 w bardzo ały stopnu różną sę od sebe (według których należy nwestować w tylko eden walor), a portfele 5 6 aą tak sa skład. W koleny kroku badań oblczono roczne stopy zwrotu (dla wyznaczonych portfel) uzyskane w okrese Otrzyane rezultaty zaeszczono w tabel 5.

12 Badane wpływu zastosowana wyaru fraktalnego... 3 Tabela 5. Roczna stopa zwrotu dla wyznaczonych portfel optyalnych Portfel Portfel 2 Portfel 3 Portfel 4 Portfel 5 Portfel 6 Stopa zysku portfela 0,9403%,6556%,6556% 0,825%,0673%,0673% Portfel Portfel 2 Portfel 3 Portfel 4 Portfel 5 Portfel 6 Stopa zysku portfela 0,68%,6556%,6556% 0,68%,052%,035% Z danych przedstawonych w tabel 5 wynka, że nawększy zysk w okrese ożna było uzyskać nwestuąc w portfele 2, 2, 3, 3 zbudowane na podstawe wyaru fraktalnego. Portfele, oraz 4 4 zbudowane na podstawe klasycznego odelu Markowtza (zadane ) charakteryzue zblżona wartość zysku est ona nanższa. Warto zwrócć uwagę, że stopa zysku portfel 5 6 neznaczne wzrosła w przypadku zastosowana dodatkowego założena D (N),5 (portfel 5 6 ), zaś w przypadku portfel 4 wartość ta spadła. Podsuowane Zastosowane wyaru fraktalnego ako ary ryzyka nwestycynego oraz ako wsparce w doborze paperów wartoścowych do portfela, wydae sę stotny eleente badań dotyczących analzy portfelowe. Wynka to z nterpretac tego narzędza, t. eśl ryzyko est zdefnowane ak zenność ceny eśl wększa zenność oznacza wększe ryzyko, to wyższe wartośc wyaru fraktalnego oznaczaą wyższe ryzyko, a nższe ego wartośc nższe ryzyko [Przekota, Waścńsk, 202]. W pracy przeprowadzono analzę ryzyka wybranych fnansowych szeregów czasowych na podstawe wyaru fraktalnego odchylena standardowego. W celu oszacowana wyaru fraktalnego posłużono sę etodą segentowo-waracyną. Następne wartośc tego wyaru zastosowano w budowe portfel optyalnych. Nestety przeprowadzone badana pokazały, że zadane nalzac zwązane z wyare fraktalny ne dae zdecydowane lepszych rezultatów nż klasyczne zadane Markowtza. Wraz ze wzroste wartośc oczekwanych stóp zwrotu, obserwue sę równeż wzrost ryzyka portfela. Uzyskane rezultaty pokazuą ednak, że warto przeprowadzć dodatkowe badana, w których zastosowane zostaną nne narzędza wywodzące sę z teor chaosu [Mśkewcz-Nawrocka, Zeug-Żebro, 205].

13 32 Lteratura Bula R. (202), Aspekty etodyczne szacowana wyaru fraktalnego fnansowych szeregów czasowych, Młodz Naukowcy dla Polske Nauk, Vol. 2, No. 9, s Dubuc B., Qunnou J.F., Roques-Cares C., Trcot C., Zucker S.W. (989), Evaluatng the Fractal Denson of Profles, Physcal Revew A, Vol. 39. Markowtz H. (952), Portfolo Selecton, Journal of Fnance, s Mśkewcz-Nawrocka M., Zeug-Żebro K. (205), Zastosowane wykładnków Lapunowa do wyznaczana portfel optyalnych, Studa Ekonoczne, nr 22, s Orzeszko W. (200), Wyar fraktalny szeregów czasowych a ryzyko nwestowana, Acta Unverstats Ncola Copernc. Ekonoa XLI. Nauk Huanstyczno- Społeczne, z Przekota G., Waścńsk T. (202), Wybrane probley oceny ryzyka zan ceny akc za poocą ar klasycznych neklasycznych, Zeszyty Naukowe Unwersytetu Huanstyczno-Przyrodnczego w Sedlcach. Adnstraca Zarządzane, nr 95, s Zwolankowska D. (999), Wykorzystane wyaru fraktalnego w ocene ryzyka nwestyc gełdowych [w:] T. Trzaskalk (red.), Modelowane preferenc a ryzyko 99, Cz., Wydawnctwo Akade Ekonoczne, Katowce. Zwolankowska D. (2000), Metoda segentowo-waracyna. Nowa propozyca lczena wyaru fraktalnego, Przegląd Statystyczny, R. 47, z. -2. THE STUDY OF THE EFFECT OF FRACTAL DIMENSION ON CONSTRUCTION OF OPTIMAL PORTFOLIO Suary: In the paper studed the effect of applcaton of non-classcal easure of nvestent rsk,.e. fractal denson, for buldng an optal portfolo. Ths easure deternes the varablty of rates of returns and the greater value of ths easure, the greater the rsk assocated wth nvestng n the fnancal nstruent. Ths denson was estated based on segent-varaton ethod. The test wll be conducted based on the fnancal te seres whch consst of closng prces of stock arket ndces and copanes lsted on the Warsaw Stock Echange. Keywords: nvestent rsk, fractal denson, segent-varaton ethod, portfolo analyss.