KONSTRUKCJA PORTFELA OPTYMALNEGO PRZY WYKORZYSTANIU NARZĘDZI IDENTYFIKACJI CHAOSU W SZEREGACH CZASOWYCH

Transkrypt

1 ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 216 Sera: ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE z. 96 Nr kol Moka MIŚKIEWICZ-NAWROCKA, Katarzya ZEUG-ŻEBRO Uwersytet Ekooczy w Katowcach Wydzał Zarządzaa oka.skewcz@ue.katowce.pl, katarzya.zeug-zebro@ue.katowce.pl KONSTRUKCJA PORTFELA OPTYMALNEGO PRZY WYKORZYSTANIU NARZĘDZI IDENTYFIKACJI CHAOSU W SZEREGACH CZASOWYCH Streszczee. W ostatch latach oprócz klasyczych etod aalzy portfelowej rozwęły sę róweż owe, alteratywe techk dywersyfkacj portfela westycyjego, uwzględające p. wskaźk aalzy fudaetalej. Nowy podejśce zapropooway w ejszy opracowau jest zastosowae jedej z ar detyfkacj chaosu deterstyczego, tj. ajwększego wykładka Lapuowa. Cele artykułu jest kostrukcja portfel optyalych wyzaczoych.. a podstawe ajwększego wykładka Lapuowa oraz porówae zysków ze zbudowaych portfel. Słowa kluczowe: aalza portfelowa, ajwększy wykładk Lapuowa, szereg czasowe. CONSTRUCTION OF OPTIMAL PORTFOLIO USING TOOLS IDENTIFICATION OF CHAOS IN TIME SERIES Suary. I recet years, addto to classcal ethods of portfolo aalyss have bee developed ew, alteratve dversfcato techques of vestet portfolo whch take to accout for exaple the dcators of fudaetal aalyss. A ew approach proposed the paper s the use of the easure for detfyg chaos,.e. the largest Lyapuov expoet. The paper as to costruct optal portfolos detered based o the largest Lyapuov expoet ad a coparso of the profts fro the costructed portfolos. Keywords: portfolo aalyss, largest Lyapuov expoet, te seres.

2 344 M. Mśkewcz-Nawrocka, K. Zeug-Żebro Wprowadzee Kostrukcja portfela optyalego zapropoowaa przez H. Markowtza (1952) zapoczątkowała tesywy rozwój dzedzy aukowej, jaką jest aalza portfelowa. Prowadzoe od welu lat badaa dostarczyły owych arzędz oraz podejść do szacowaa udzałów w portfelu optyaly [Tarczyńsk, 22; 213]. Nowy podejśce zapropooway przez autorów jest zastosowae ajwększego wykładka Lapuowa, będącego jedą z ar teor elowych układów dyaczych do kostrukcj portfela optyalego. Służy o.. do detyfkacj chaosu deterstyczego, jak róweż pozwala a oszacowae warygodych progoz rzeczywstych szeregów czasowych. Cele artykułu jest próba zdywersyfkowaa ryzyka portfela westycyjego a podstawe ajwększego wykładka jedego z arzędz detyfkacj chaosu w układach dyaczych. W badaach pod uwagę wzęto cey akcj spółek otowaych a GPW w Warszawe w okrese od do oraz w celu oszacowaa roczych stóp zwrotu dla wyzaczoych portfel cey akcj z da Wykładk Lapuowa Wykładk Lapuowa oprócz wyaru korelacyjego są jedy z podstawowych arzędz pozwalających wykryć obecość chaosu deterstyczego w układach dyaczych. Pojęce deterstyczego chaosu zostało wprowadzoe w 1975 roku przez T.Y. L J.A. Yorke a [L Yorke, 1975], jedak w lteraturze oża zaleźć wele defcj tego pojęca [Mśkewcz-Nawrocka, 212], które poeważ wywodzą sę z różych dyscypl ateatyczych, e zawsze są rówoważe (jedozacze). Przyjuje sę, że defcja chaosu powa przede wszystk zakładać stee dyak eokresowej w baday układze deterstyczy, wrażlwość a zaę waruków początkowych oraz stee pewego stotego echazu deterstyczego odpowedzalego za rekurecyje zachowae sę układu [Nowńsk, 27]. Dostępe etody detyfkacj chaosu [zob. p. Katz Schreber, 24; Orzeszko, 25] pozwalają jedye a wykryce pojedyczego atrybutu dyak chaotyczej. Jedą z ch jest szacowae wartośc ajwększego wykładka Lapuowa, który erzy wrażlwość układu a zaę waruków początkowych. Rozważy układ dyaczy X, f z czase dyskrety, opsay za poocą rówaa rekurecyjego: x t 1 f x t, t,1,... (1)

3 Kostrukcja portfela optyalego 345 gdze: X R przestrzeń staów układu, x, x X sta układu w chwlach t t 1, t t1 f odwzorowae przestrze staów w sebe z waruke początkowy x X. Układ dyaczy X, f jest wrażlwy a zaę waruków początkowych, jeżel steje, take że dla każdego x X oraz każdego otoczea U puktu x steją y U oraz 1, take że f x f y, gdze [Zawadzk, 1996; za: Deavey, 1987]. Dla układu dyaczego X, f, w który Lapuowa określa wzór [Zawadzk, 1996]: f jest -kroty złożee odwzorowaa f X R, f : X X 1, wykładk 1 x l l, x, 1,...,, 1 (2) gdze: wartośc włase acerzy Jacobego Df Df, x x f x j x, Df x x Df x Df ) Df 1... f -krote złożee fukcj f, f składowe odwzorowaa f, 1 odwzorowaa f : ( x x, (3), j 1,2,...,. Zgode z twerdzee Oseledeca -wyarowy układ dyaczy X, f a wykładków Lapuowa, które forują o zae odległośc ędzy blsk staa względe odpowedego keruku w przestrze staów. Jedak ajbardzej stoty pod względe detyfkacj chaosu jest ajwększy wykładk Lapuowa ax, gdyż erzy średe tepo zbeżośc rozbeżośc początkowo blskch trajektor. Dodata wartość ajwększego wykładka jest główy wskaźke dyak chaotyczej. Trajektore dwóch losowo wybraych puktów początkowych układu są rozbeże wykładczo w tepe co ajwyżej rówy ajwększeu wykładkow Lapuowa. Natoast ujey wykładk jest arą kotrakcj, erzy wykładczą zbeżość dwóch początkowo blskch trajektor. Udowodoo astępującą zależość [Ecka Ruelle, 1985]: gdze: ax ajwększy wykładk Lapuowa, ax e, (4) początkowa odległość poędzy dwoa dowoly położoy blsko sebe staa przestrze X, 1 odległość ędzy ty pukta po -tej teracj, 1.

4 346 M. Mśkewcz-Nawrocka, K. Zeug-Żebro Najwększy wykładk Lapuowa ax służy do rozróżaa charakteru dyak układu: regularej od chaotyczej. W 1993 roku Roseste [Roseste, Colls De Luca, 1993], a rok późej Katz [Katz, 1994] przedstawl algoryt wyzaczaa ajwększego wykładka Lapuowa dla układów dyaczych defowaych przez jedowyarowe szereg obserwacj. Przebega o według astępujących etapów [Katz Schreber, 24]: 1. Wyzaczay zbory Z t, złożoe z K ajblższych sąsadów d xˆ t j wektorów opóźeń d xˆt [Zeug-Żebro., 213], spełających waruek t t j t, gdze t jest ustaloą lczbą aturalą. Doday waruek zwększa prawdopodobeństwo, że zalezoy sąsad e będze ależał do trajektor wektora 2. Oblczay: r t K d xˆ Z d xˆ t. 1 xt xt, t 1,2,..., M ;,1,..., ax, (5) tj t, ax j gdze: M N d 1 jest ustaloą lczbą aturalą, określająca lczbę teracj. 3. Wyzaczay średą z r t po wszystkch d-hstorach: r M M t1 t 1 r. (6) 4. Najwększy wykładk Lapuowa jest współczyke kerukowy rówaa regresj: l lr r. (7) Dla szeregów chaotyczych achylee prostej regresj wykresu lustrującego zależość l od ueru teracj w początkowej faze powo być dodate. ax szacuje sę a podstawe zboru puktów ależących do tego obszaru. Zate oszacowaa wartość zależy e tylko od wyboru etryk, lczby ajblższych sąsadów, wyaru zaurzea, lecz także od ustaloej wartośc Schreber, 24]. ax ax ax, dla której współczyk regresj jest dodat [Katz 2. Budowa optyalych portfel akcj Podstawowy charakterystyka opsujący portfele akcj są oczekwaa stopa zwrotu portfela oraz ryzyko portfela, lczoe za poocą wzorów: R p 1 x R, (8)

5 Kostrukcja portfela optyalego 347 gdze: S 2 p x S x 1 1 j1 R p oczekwaa stopa zwrotu portfela akcj, S p ryzyko portfela akcj, R oczekwaa stopa zwrotu -tej akcj, S odchylee stadardowe akcj -tej spółk, j współczyk korelacj -tej akcj z j-tą akcją, x udzał -tej akcj w portfelu, 1 lczba akcj w portfelu. 2 x S S, (9) j j j x 1, x, 1,...,, (1) Udzały akcj w portfelu zazwyczaj wyzacza sę przy wykorzystau odelu H. Markowtza [Markowtz, 1952], tak aby zalzować ryzyko tego portfela. W ty przypadku zadae optyalzacj jest postac: Zadae 1 z waruka ograczający S, (11) R p 1 x 2 p R 1 x, 1,...,, gdze: R oczekwaa stopa zwrotu dla spółek, pozostałe ozaczea jw. Propozycją autorów jest budowa portfela optyalego z zastosowae arzędza teor elowych układów dyaczych ajwększy wykładk Lapuowa. W ty celu ależy rozwązać astępujące zadae aksyalzacj: Zadae 2 z waruka ograczający: ax ax x, (12) 1 R p R 1 S x S

6 348 M. Mśkewcz-Nawrocka, K. Zeug-Żebro 1 x 1 x, 1,...,, gdze: ax ajwększy wykładk Lapuowa dla szeregu czasowego geerowaego przez Zadae 3 utworzoy z otowań ce akcj -tej spółk, pozostałe ozaczea jw. z waruka ograczający: ax ax x, (13) 1 R p R 1 1 S x A x S A 1 x 1 x, 1,...,, gdze: A współczyk asyetr, A uśredoy współczyk asyetr. pozostałe ozaczea jw. 3. Badaa eprycze W aalze epryczej pod uwagę wzęto stopy zwrotu ce zakęca akcj astępujących spółek fasowych: Bak Hadlowy w Warszawe SA (BHW), Bak Zachod WBK SA (BZW), ING Bak Śląsk SA (ING), Bak SA (MBK), Bak Polska Kasa Opek (PEO), Powszecha Kasa Oszczędośc Bak Polsk SA (PKO), oraz spółek efasowych: Grupa Apator SA (APT), Asseco Polad SA (ACP), Fra Opoarska Dębca SA (DBC), Globe Trade Cetre SA (GTC), KGHM Polska Medź SA (KGH), LPP SA (LPP), Mostostal Zabrze SA (MSZ), Orage Polska SA (OPL), Polsk Kocer Naftowy ORLEN SA (PKN), Sythos SA (SNS), Vstula Group SA(VST), Grupa Żywec SA (ZWC). W celu wyzaczea wartośc ajwększego wykładka Lapuowa dla aalzowaych spółek pod uwagę wzęto szereg czasowe utworzoe z logarytów dzeych stóp zwrotu ce zakęca ww. akcj otowaych w okrese W perwszy kroku

7 Kostrukcja portfela optyalego 349 skostruowao wektory opóźeń, oblczając paraetry rekostrukcj przestrze staów, tj. wyar zaurzea czas opóźea 1. Następe a podstawe algorytu przedstawoego w sekcj 1 oszacowao wartośc ajwększego wykładka Lapuowa 2. Wartośc ax oraz współczyka deteracj R 2 przedstawoo w tabel 1. Tabela 1 Wartośc ajwększego wykładka Lapuowa dla aalzowaych spółek Spółka Najwększy wykładk Lapuowa R 2 Spółka Najwększy wykładk Lapuowa APT,547,1382 SNS,719,1567 ACP,221,1274 VST,143,127 DBC,1534,3564 ZWC,697,1513 GTC,31,3125 BHW,1,332 KGH,8,3561 BZW -,34,2134 LPP,3,365 ING,5,3134 MSZ,986,3764 MBK,24,3126 OPL,7,5119 PEO,9,1469 PKN,4,2753 PKO,41,3576 R 2 W kolejy etape badaa zbudowao sześć optyalych portfel akcj, rozwązując przedstawoe w sekcj 2 zadaa optyalzacyje. W skład portfel ozaczoych uera 1, 2 3 weszły spółk będące odpowedo rozwązaa zadań 1, 2 3. Natoast w portfelu 1, 2 3 ueszczoo spółk będące rozwązaa zadań 1, 2 3, dla których przyjęto dodatkowe założee o stotośc oszacowaego wykładka Lapuowa, tj. współczyk deteracj R 2, 3. Poadto w celu dywersyfkacj ryzyka tworzoych portfel uwzględoo jeszcze jede waruek ograczający postac,3, 1,...,. Do oblczea udzałów poszczególych spółek w portfelu wykorzystao arzędze solver dodatek arkusza kalkulacyjego Excel. Następe oszacowao stopę zwrotu ryzyko każdego portfela. Wyk ueszczoo w tabel 2. Zak - postawoo przy spółkach, które e weszły w skład portfela optyalego oraz ze względu a estotość oszacowaego ajwększego wykładka Lapuowa e zostały uwzględoe w budowe portfel 1, 2 3. x 1 Szczegóły szacowaa paraetrów rekostrukcj przestrze staów oża zaleźć p. w [Zeug-Żebro., 213]. 2 Szczegóły szacowaa ajwększego wykładka Lapuowa dla rzeczywstych szeregów czasowych oża zaleźć p. w [Mśkewcz-Nawrocka, 212].

8 35 M. Mśkewcz-Nawrocka, K. Zeug-Żebro Stopa zwrotu, ryzyko udzały akcj w wyzaczoych portfelach Tabela 2 Spółka Udzały akcj Portfel 1 Portfel 2 Portfel 3 Portfel 1 Portfel 2 Portfel 3 APT, ACP, DBC,12,3,3,3,3,3 GTC, ,3645,981,981 KGH,1 - -, LPP,12 - -, MSZ,14 - -, OPL,12 - -,3,3,3 PKN, SNS,14,3, VST,111,25536, ZWC,2391,14464, BHW ,15142,15142 BZW ING, , MBK,43 - -, PEO, PKO, ,9588,1557,1557 Stopa zwrotu portfela,29,43,43,224,194,194 Ryzyko portfela,1,15,15,9,23,23 Na podstawe daych przedstawoych w tabel 2 oża stwerdzć, że portfele 2 3 charakteryzują sę ajwyższą oczekwaą stopą zwrotu, atoast portfel 1 jest obarczoy ajższy pozoe ryzyka. Istotość ajwększego wykładka Lapuowa dla badaych szeregów ( R 2, 3) wpływa a skład portfela optyalego, ale e dywersyfkuje ryzyka zwązaego z westycją w tak portfel. Śwadczą o ty portfele 1, 2 3, dla których uzyskao ższą oczekwaą stopę zwrotu, a w przypadku portfel 2 3 wyższy pozo ryzyka. Poadto ależy zauważyć, że rozwązae zadań optyalzacj 2 3 są portfele optyale o ty say składze: portfele 2 3 oraz 2 3. W tabel 3 przedstawoo rocze stopy zwrotu dla wyzaczoych portfel uzyskae w okrese Stopa zysku portfela (%) Rocza stopa zwrotu dla wyzaczoych portfel akcj Tabela 3 Portfel 1 Portfel 2 Portfel 3 Portfel 1 Portfel 2 Portfel 3 3,3956% 4,1214% 4,1214% 4,572% 22,4359% 22,4359% Aalzując rocze stopy zwrotu dla wyzaczoych portfel akcj (tabela 3), ależy zauważyć, że ajwększy zysk w okrese oża było uzyskać,

9 Kostrukcja portfela optyalego 351 westując w portfel 2 (3 ), zbudoway a podstawe stotych wartośc ajwększych wykładków Lapuowa. Najższą stopę zwrotu uzyskao dla portfela 1, zbudowaego a podstawe klasyczego odelu Markowtza. Warto jedak zwrócć uwagę, że stopa zysku tego portfela ezacze wzrosła w przypadku zastosowaa dodatkowego założea o stotośc oszacowaego ajwększego wykładka Lapuowa (portfel 1 ) kształtowała sę a pozoe stóp zwrotu portfel 2 3. Podsuowae Zastosowae arzędza detyfkacj chaosu deterstyczego w szeregach czasowych, jak jest ajwększy wykładk Lapuowa, wydaje sę waży eleete badań dotyczących aalzy portfelowej. Przeprowadzoe badaa pokazały, że zadae aksyalzacj ajwększego wykładka Lapuowa daje lepsze rezultaty ż klasycze zadae Markowtza. Warto zate przeprowadzć dodatkowe badaa aalzujące wpływ zastosowaa ych ar teor elowych układów dyaczych a kostrukcję portfel optyalych. Bblografa 1. Devaey R.L.: A Itroducto to Chaotc Dyacal Systes. Addso-Wesley Publshg Copay, Ic., Redwood Cty Ecka J.P., Ruelle D.: Ergodc theory of chaos ad strage attractors. Revews of Moder Physcs, vol. 57, o. 3, Katz H.: A robust ethod to estate the axal Lyapuov expoet of a te seres. Physcal Letters A, vol. 185(1), 1994, p Katz H., Schreber T.: Nolear Te Seres Aalyss. Cabrdge Uversty Press, 24 (secod edto). 5. L T.Y., Yorke J.A.: Perod. Three Iples Chaos. Aerca Matheatcal Mothly, vol. 82, 1975, p Markowtz H.: Portfolo Selecto. Joural of Face, 1952, p Mśkewcz-Nawrocka M.: Zastosowae wykładków Lapuowa do aalzy ekooczych szeregów czasowych. Wydawctwo Uwersytetu Ekooczego w Katowcach, Katowce Nowńsk M.: Nelowa dyaka szeregów czasowych. Wydawctwo Akade Ekooczej we Wrocławu, Wrocław 27.

10 352 M. Mśkewcz-Nawrocka, K. Zeug-Żebro 9. Orzeszko W.: Idetyfkacja progozowae chaosu deterstyczego w ekooczych szeregach czasowych. Polske Towarzystwo Ekoocze, Warszawa Roseste M.T., Colls J.J., De Luca C.J.: A practcal ethod for calculatg largest Lyapuov expoets fro sall data sets. Physca D, vol. 65, 1993, p Tarczyńsk W.: Ocea efektywośc etod aalzy portfelowej a Gełdze Paperów Wartoścowych w Warszawe za lata Zeszyty Naukowe Uwersytetu Szczecńskego, r 761, Fase, ryk fasowe, ubezpeczea, r 6, Szczec 213, s Tarczyńsk W.: Fudaetaly portfel paperów wartoścowych. Polske Wydawctwo Ekoocze, Warszawa Zawadzk H.: Chaotycze systey dyacze. Eleety teor wybrae zagadea ekoocze. Zeszyty Naukowe Akade Ekooczej w Katowcach, Katowce Zeug-Żebro K., Dębcka J., Kuśerczyk P., Łyko J.: Wybrae odele ateatycze ekoo. Decyzje wybory, Wydawctwo Uwersytetu Ekooczego we Wrocławu, Wrocław 213. Abstract I recet years, addto to classcal ethods of portfolo aalyss have bee developed tools that are both odfcatos of these cocept as well as ew, alteratve dversfcato techques of vestet portfolo whch take to accout for exaple the dcators of fudaetal aalyss. A ew approach proposed the paper s the use of the easure for detfyg chaos,.e. the largest Lyapuov expoet. Sce deters of chaotc te seres dcates o potetal possblty of ther predcto, t s also expected that has a sgfcat pact o the costructo of optal portfolo. The paper as to costruct optal portfolos detered based o the largest Lyapuov expoet ad a coparso of the profts fro the costructed portfolos.