ZASTOSOWANIE WYKŁADNIKÓW LAPUNOWA DO WYZNACZANIA PORTFELI OPTYMALNYCH

Transkrypt

1 Stua Ekonoczne. Zeszyty Naukowe Unwersytetu Ekonocznego w Katowcach ISSN Nr Współczesne Fnanse Monka Mśkewcz-Nawrocka Unwersytet Ekonoczny w Katowcach Wyzał Zarzązana Katera Mateatyk onka.skewcz@ue.katowce.pl Katarzyna Zeug-Żebro Unwersytet Ekonoczny w Katowcach Wyzał Zarzązana Katera Mateatyk katarzyna.zeug-zebro@ue.katowce.pl ZASTOSOWANIE WYKŁADNIKÓW LAPUNOWA DO WYZNACZANIA PORTFELI OPTYMALNYCH Streszczene: Jeny z najbarzej stotnych narzęz stosowany w nwestowanu jest analza portfelowa. Jej główny cele jest ywersyfkacja ryzyka nwestycyjnego. W ostatnch latach, obok klasycznej etoy Markowtza, baacze rozwnęl zarówno etoy bęące oyfkacja tej koncepcj, jak stworzyl nowe, alternatywne narzęza. Inny zaproponowany tu poejśce jest zastosowane ary entyfkacj chaosu polegającej na wyznaczenu najwększego wykłanka Lapunowa. Cele artykułu jest konstrukcja portfela optyalnego z zastosowane najwększego wykłanka Lapunowa, ary TMAI oraz portfela Markowtza. Słowa kluczowe: analza portfelowa, najwększy wykłank Lapunowa, taksonoczna ara TMAI. Wprowazene Analzy gełowe pokazały, że konstrukcja portfela optyalnego etoą Markowtza ne zawsze aje najlepsze rezultaty [Mastalerz-Kozs Pośpech, 20]. W ostatnch latach pojawły sę węc narzęza, które poza stopą zwrotu ryzyke nwestycj wykorzystują wskaźnk określające konycję ekonoczno-fnansową spółek. Alternatywny poejśce zaproponowany w ponższy artykule jest wykorzystane ary entyfkacj chaosu polegającej na oszacowanu wartośc najwększego wykłanka Lapunowa. Poneważ eternz szeregów chaotycznych wskazuje ęzy nny na ożlwość ch preykcj, przypuszcza sę równeż, że stotne wpływa na konstrukcję portfela optyalnego.

2 62 Monka Mśkewcz-Nawrocka, Katarzyna Zeug-Żebro Cele artykułu jest próba zywersyfkowana ryzyka portfela nwestycyjnego. W ty celu zostały zbuowane cztery portfele optyalne wyznaczone na postawe najwększego wykłanka Lapunowa taksonocznej ary atrakcyjnośc nwestycj oraz portfela Markowtza. W baanach po uwagę wzęto ceny akcj wybranych spółek notowanych na GPW w Warszawe w okrese o Na ch postawe zostały wyznaczone stopy zwrotu.. Najwększy wykłank Lapunowa Wykłank Lapunowa są arą wrażlwośc ukłau ynacznego na zanę warunków początkowych. Określają one śrene tepo oalana lub zblżana sę wóch początkowo blskch sobe stanów poczas ewolucj ukłau [Mśkewcz-Nawrocka, 202]. Dla ukłau ynacznego (X, f), w który X R, f : X X ( ), wykłank Lapunowa są zefnowane jako grance [Zawazk, 996, s. 6]: λ ( x0 ) = l ln μ ( n, x0 ), =,...,, () n n gze: μ (n, x 0 ) wartośc własne acerzy Df n (x 0 ), Df n (x 0 ) acerz Jacobego owzorowana f n równa Df n (x 0 ) = Df(x n ) Df(x ) Df(x 0 ), f n n-krotne złożene funkcj f, f Df ( x) = ( x), f skłaowe owzorowana f, x j, j =,2,,. wyarowy ukła ynaczny (X, f) posaający wykłanków Lapunowa, które nforują o zane oległośc ęzy blsk stana wzglęe opowenego kerunku w przestrzen stanów. Ukła ynaczny (X, f) jest wrażlwy na zanę warunków początkowych, jeżel stneje ε > 0 take, że la każego x X oraz każego otoczena U punktu x stneją y U oraz n take, że: n n f ( x) f ( y) > ε, gze f n jest n-krotny złożene owzorowana f [Deavney, 987; za: Zawazk, 996].

3 Zastosowane wykłanków Lapunowa 63 Najwększy wykłank Lapunowa λ ax służy o rozróżnana charakteru ynak ukłau: regularnej o chaotycznej. W 993 roku Rosensten [Rosensten, Collns De Luca, 993], a rok późnej Kantz [Kantz, 994] przestawl algoryt wyznaczana najwększego wykłanka Lapunowa la ukłaów ynacznych efnowanych przez jenowyarowe szereg obserwacj. Przebega on weług następujących etapów [Kantz Schreber, 2004]:. Wyznaczay zbory Z t złożone z K najblższych sąsaów xˆ t j wektorów opóźneń xˆ t [Zeug-Żebro n., 203], spełnających warunek t t j > t *, gze t * jest ustaloną lczbą naturalną. Doany warunek zwększa prawopoobeństwo, że znalezony sąsa ne bęze należał o trajektor wektora xˆ t. 2. Oblczay: r n () t = K xˆ tj Zt x t+ n x t j + n, t =, 2,, M; n = 0,,, n ax, (2) gze M = N ( )τ, n ax jest ustaloną lczbą naturalną określającą lczbę teracj. 3. Wyznaczay śreną z r n (t) po wszystkch -hstorach: r n = M M t= n () t r. (3) 4. Najwększy wykłank Lapunowa jest współczynnke regresj: ln(r n ) = ln(r 0 ) + λ ax n. (4) Dla szeregów chaotycznych nachylene prostej regresj wykresu lustrującego zależność lnδ n o nueru teracj n w początkowej faze pownno być oatne. λ ax szacuje sę na postawe zboru punktów należących o tego obszaru. Zate oszacowana wartość λ ax zależy ne tylko o wyboru etryk, lczby najblższych sąsaów, wyaru zanurzena, ale także o ustalonej wartośc n ax, la której współczynnk regresj jest oatn [Kantz Schreber, 2004]. 2. TMAI taksonoczna ara atrakcyjnośc nwestycj Jeną z eto wyboru spółek, które weją w skła portfela optyalnego, jest wyznaczene taksonocznej ary atrakcyjnośc nwestycj (TMAI). Metoa ta pozwala na kopleksową ocenę spółek na postawe najważnejszych wskaźnków fnansowych rynkowych oraz przestawene ch w postac syntetycznej ary. Punkte wyjśca konstrukcj TMAI jest określene wuwyarowej acerzy zawerającej obserwacje cech agnostycznych baanych obektów [Hellwg, 968, 979; Tarczyńsk, 2002]:

4 64 Monka Mśkewcz-Nawrocka, Katarzyna Zeug-Żebro [ x ], =,..., n, j =, X = j...,, (5) gze: X acerz obserwacj, x j wartość j-tej zennej agnostycznej la -tego obektu (spółk), n lczba obektów, lczba zennych agnostycznych. Następny etape jest noralzacja zennych agnostycznych weług wzoru: y xj x j =, =,..., n; j,...,, (6) S j = j gze: y j znoralzowana obserwacja x j, x j, S j śrena arytetyczna ochylene stanarowe j-tej zennej, x j jw. Następne wyznacza sę oległość każego obektu o obektu wzorca za poocą wzoru: ( yj y0 j ) 2 2 j= =, =,..., n, (7) gze: oległość -tego obektu o obektu wzorca, y 0j obekt wzorzec ustalony na postawe wzoru: y j, jw. y { y } 0 j = ax j, (8) Ostatn etape jest noralzacja TMAI: TMAI =, =,..., n, (9) 0 gze: TMAI taksonoczna ara atrakcyjnośc -tego obektu, 0 nora zapewnająca przyjowane przez TMAI wartośc z przezału [0,], = + 2S, (0) 0, S śrena arytetyczna ochylene stanarowe.

5 Zastosowane wykłanków Lapunowa Buowa optyalnych portfel akcj Postawowy charakterystyka opsujący portfele akcj są oczekwana stopa zwrotu portfela oraz ryzyko portfela, lczone za poocą wzorów: S 2 p = R p = = 2 2 x S + x = = j= + gze: R p oczekwana stopa zwrotu portfela akcj, S p ryzyko portfela akcj, R oczekwana stopa zwrotu -tej akcj, S ochylene stanarowe akcj -tej spółk, ρ j współczynnk korelacj -tej akcj z j-tą akcją, x uzał -tej akcj w portfelu, = lczba akcj w portfelu. x R, () 2 x S S ρ, (2) j x =, x 0, =,...,, (3) Uzały akcj w portfelu zazwyczaj wyznacza sę na postawe oelu H. Markowtza [Markowtz, 952], tak aby znalzować ryzyko tego portfela. W ty przypaku zaane optyalzacj przyjuje postać: Zaane z warunka ogranczający: j j 2 n S p, (4) R p R 0, = x =, x 0, =,,, gze: R 0 oczekwana stopa zwrotu la spółek, pozostałe oznaczena jw.

6 66 Monka Mśkewcz-Nawrocka, Katarzyna Zeug-Żebro W celu wyznaczena optyalnego portfela rozwązuje sę równeż następujące zaana optyalzacyjne [Mastalerz-Kozs, Pośpech, 20]: Zaane 2 ax TMAI x, (5) = z warunka ogranczający: R p R 0, = S x = S, 0 x =, x 0, =,,, gze: S 0 śrene ochylene stanarowe spółek, pozostałe oznaczena jw. Zaane 3 ax TMAI x, (6) = z warunka ogranczający: R p R 0, = = S x A x = S, 0 A, x =, x 0, =,,, gze: A współczynnk asyetr, A 0 uśrenony współczynnk asyetr, pozostałe oznaczena jw. Propozycja autorów polega na wykorzystanu o buowy portfela optyalnego narzęza opartego na teor nelnowych ukłaów ynacznych najwększy wykłanku Lapunowa. W ty celu należy rozwązać następujące zaane aksyalzacj: 0

7 Zastosowane wykłanków Lapunowa 67 Zaane 4 z warunka ogranczający: ax λ x, (7) ax = = R p R 0, S x = S, 0 x =, x 0, =,,, gze: λ ax najwększy wykłank Lapunowa la szeregu czasowego generowanego przez cąg notowań akcj -tej spółk. 4. Wynk baań eprycznych Baana epryczny objęto akcje następujących spółek fnansowych: Bank Hanlowy w Warszawe SA (BHW), Bank Zachon WBK SA (BZW), ING Bank Śląsk SA (ING), Bank SA (MBK), Bank Polska Kasa Opek (PEO), Powszechna Kasa Oszczęnośc Bank Polsk SA (PKO) oraz spółek nefnansowych: Grupa Apator SA (APT), Asseco Polan SA (ACP), Fra Oponarska Dębca SA (DBC), Globe Trae Centre SA (GTC), KGHM Polska Meź SA (KGH), LPP SA (LPP), Mostostal Zabrze SA (MSZ), Orange Polska SA (OPL), Polsk Koncern Naftowy ORLEN SA (PKN), Synthos SA (SNS), Vstula Group SA (VST), Grupa Żywec SA (ZWC). Do wyznaczena wartośc najwększego wykłanka Lapunowa la analzowanych spółek wykorzystano szereg czasowe utworzone z logarytów zennych stóp zwrotu cen zaknęca ww. akcj notowanych w okrese W perwszy kroku skonstruowano wektory opóźneń, oblczając paraetry rekonstrukcj przestrzen stanów, tj. wyar zanurzena czas opóźnena [Zeug-Żebro n., 203]. Następne na postawe algorytu przestawonego w punkce oszacowano wartośc najwększego wykłanka Lapunowa 2. Wartośc λ ax oraz współczynnka eternacj R 2 przestawono w tabel. 2 Szczegóły szacowana najwększego wykłanka Lapunowa la rzeczywstych szeregów czasowych ożna znaleźć np. w pracy Mśkewcz-Nawrocka [202].

8 68 Monka Mśkewcz-Nawrocka, Katarzyna Zeug-Żebro Tabela. Wartośc najwększych wykłanków Lapunowa la analzowanych spółek Najwększy wykłank Spółka Lapunowa R 2 Najwększy wykłank Spółka Lapunowa APT 0,0547 0,382 SNS 0,079 0,567 ACP 0,022 0,274 VST 0,043 0,270 DBC 0,534 0,3564 ZWC 0,0697 0,53 GTC 0,030 0,325 BHW 0,000 0,3320 KGH 0,0008 0,356 BZW -0,0034 0,234 LPP 0,0030 0,3605 ING 0,0005 0,334 MSZ 0,0986 0,3764 MBK 0,0024 0,326 OPL 0,0070 0,59 PEO 0,0009 0,469 PKN 0,0004 0,2753 PKO 0,040 0,3576 Źróło: Opracowane własne. R 2 Do alszej analzy wzęto akcje spółek o oatnej stope zwrotu z nwestycj. Wartośc ary TMAI la baanych spółek oszacowano na postawe anych zaeszczonych w raportach fnansowych za trzec kwartał Jako zenne agnostyczne wybrano, w zależnośc o specyfk załalnośc spółek, wskaźnk rynkowe /lub wskaźnk ekonoczno-fnansowe [Nawrock Jabłońsk, 20; Tarczyńsk, 203]. Dla spółek fnansowych wzęto następujące wskaźnk: rentownośc: rentowność aktywów (ROA), rentowność kaptału własnego (ROE), aekwatnośc kaptałowej (współczynnk wypłacalnośc). Natoast la spółek nefnansowych zastosowano: wskaźnk płynnośc: wskaźnk płynnośc beżącej, wskaźnk płynnośc szybkej, wskaźnk rentownośc: rentowność aktywów (ROA), rentowność kaptału własnego (ROE), arża ze sprzeaży, wskaźnk załużena: wskaźnk ogólnego załużena, sprawność zarzązana: wskaźnk rotacj należnośc, wskaźnk rotacj zapasów. Wybór tych cech był poyktowany wzglęa erytoryczny oraz ostępnoścą anych potrzebnych o ch wyznaczena. Kryteru wyboru spółek o analzy taksonocznej były oatne wartośc powyższych wskaźnków. Wartośc oszacowanej ary TMAI la analzowanych spółek na zeń przestawa tabela 2. 3 Dane pochozą z oblczeń własnych autora wykonanych na postawe raportów fnansowych spółek.

9 Zastosowane wykłanków Lapunowa 69 Tabela 2. Wartośc taksonocznej ary atrakcyjnośc nwestycj la analzowanych spółek Spółka TMAI Spółka TMAI Spółka TMAI APT 0,2263 OPL 0,02758 BZW 0, ACP 0,4432 SNS 0,8244 ING 0,95798 DBC 0,20 VST 0, MBK 0,33544 KGH 0,23225 ZWC 0,23638 PEO 0, LPP 0,3304 BHW 0, PKO 0, Źróło: Opracowane własne. W kolejny etape baana zbuowano pęć optyalnych portfel akcj, rozwązując przestawone w sekcj 3 zaana optyalzacyjne. W skła portfel oznaczonych nuera -4 weszły spółk bęące opoweno rozwązane zaana:, 2, 3, 4. Natoast w portfelu 4 ueszczono spółk bęące rozwązane zaana 4, la których przyjęto oatkowe założene o stotnośc oszacowanego wykłanka Lapunowa, tj. współczynnk eternacj R 2 > 0,3. Ponato w celu ywersyfkacj ryzyka tworzonych portfel uwzglęnono jeszcze jeen warunek ogranczający w postac: x 0,3, =,,. Do oblczena uzałów poszczególnych spółek w portfelu wykorzystano narzęze solver bęące oatke o arkusza kalkulacyjnego Excel. Następne oszacowano stopę zwrotu ryzyko każego portfela. Wynk ueszczono w tabel 3. Znak - postawono przy spółkach, które ne weszły w skła portfela optyalnego oraz przy tych, które ze wzglęu na ujene wartośc wskaźnków ekonoczno- -fnansowych ne były brane po uwagę przy szacowanu taksonocznej ary TMAI (portfel 2 3) oraz ze wzglęu na nestotność oszacowanego najwększego wykłanka Lapunowa ne zostały uwzglęnone w buowe portfela 4. Tabela 3. Stopa zwrotu, ryzyko uzały akcj w wyznaczonych portfelach Spółka Uzały akcj Portfel Portfel 2 Portfel 3 Portfel 4 Portfel APT 0,0525-0, ACP 0, DBC 0,80-0,000 0,3 0,3000 GTC KGH LPP 0,0387-0, MSZ 0, ,3 0,3000 OPL 0, ,0935 PKN SNS 0,0444-0,463 0,65 -

10 70 Monka Mśkewcz-Nawrocka, Katarzyna Zeug-Żebro c. tabel VST 0,346-0,0020 0,004 - ZWC 0,403 0,0609 0,0647 0,346 - BHW - 0,3000 0,2039-0,2020 BZW - 0,3000 0, ING 0, MBK 0, PEO 0,062 0,3000 0,3000-0,044 PKO 0,0743 0, Stopa zwrotu portfela 0,0033 0,0030 0,0028 0,0029 0,0026 Ryzyko portfela 4, , , 0-8, ,8 0-8 Źróło: Opracowane własne. Na postawe anych przestawonych w tabel 3 ożna stwerzć, że portfel charakteryzuje sę najwyższą oczekwaną stopą zwrotu najnższy pozoe ryzyka. Najnższą stopę zwrotu oszacowano la portfela 4, utworzonego na postawe wartośc najwększego wykłanka Lapunowa. W tabel 4 przestawono roczne stopy zwrotu la wyznaczonych portfel uzyskane w okrese Tabela 4. Roczna stopa zwrotu la wyznaczonych portfel akcj Portfel Portfel 2 Portfel 3 Portfel 4 Portfel 4 Stopa zysku portfela (%) 2,6087% 7,3327% 7,0074% 5,62% 9,3240% Źróło: Opracowane własne. Analzując roczne stopy zwrotu la wyznaczonych portfel akcj (tabela 4), należy zauważyć, że najwększy zysk w okrese ożna było uzyskać nwestując w portfel 4 zbuowany na postawe wartośc najwększych wykłanków Lapunowa. Portfele 2 3 bęące rozwązane zaana aksyalzacj śrenej ważonej ar TMAI (zaane 2 3) charakteryzuje zblżona wartość zysku. Najnższą stopę zwrotu uzyskano la portfela zbuowanego na postawe klasycznego oelu Markowtza. Posuowane Zastosowane eto konstrukcj portfela optyalnego wywozących sę z analzy funaentalnej jest ważny eleente baań, gyż uwzglęna stotną w nwestowanu sytuację ekonoczno-fnansową przesęborstwa. Równe

11 Zastosowane wykłanków Lapunowa 7 ważne z punktu wzena autorów jest użyce w procese buowy portfela narzęza entyfkacj chaosu eternstycznego, tj. najwększego wykłanka Lapunowa. Fnansowe szereg czasowe wykazują zachowana regularne lub neregularne, syetryczne lub asyetryczne. Weloletne baana wykazały, że neregularne zachowane szeregu czasowego ożna zapsać w postac nelnowego oelu ynacznego. Zauważono bowe, że ukłay złożone ają własną ynakę. Ich uporząkowane rozwój ne jest przypakowy, lecz wynka z procesów, jake w nch zachozą. Moele te stały sę barzo ważne w teor ekono. Za ch poocą ożna próbować opsywać zjawska procesy ekonoczne, które przebegają w sposób neregularny, np. trune o przewzena fluktuacje kursów walutowych oraz kursów akcj na gełze [Zeug-Żebro, 203]. Lteratura Devaney R.L. (987), An Introucton to Chaotc Dynacal Systes, Ason-Wesley Publshng Copany, Inc., Rewoo Cty. Hellwg Z. (979), Welowyarowa analza porównawcza jej zastosowane o baana welocechowych obektów gospoarczych, Referat na I Konferencję Metoy taksonoczne ch zastosowana w baanach ekonocznych, Szklarska Poręba. Hellwg Z. (968), Zastosowane etoy taksonocznej o typologcznego pozału krajów ze wzglęu na pozo ch rozwoju oraz zasoby strukturę wykwalfkowanych kar, Przeglą Statystyczny, nr 4. Kantz H. (994), A Robust Metho to Estate the Maxal Lyapunov Exponent of a Te Seres, Physcal Letters A, Vol. 85 (), s Kantz H., Schreber T. (2004), Nonlnear Te Seres Analyss, Cabrge Unversty Press (secon eton). Markowtz H. (952), Portfolo Selecton, Journal of Fnance, s Mastalerz-Kozs A., Pośpech E. (20), Funaental an Behavoral Methos n Investent Decson Makng [w:] Fnancal Manageent of Frs an Fnancal Insttutons, Wyawnctwo Techncznego Unwersytetu w Ostrawe, Ostrawa, s Mśkewcz-Nawrocka M. (202), Zastosowane wykłanków Lapunowa o analzy ekonocznych szeregów czasowych, Wyawnctwo Unwersytetu Ekonocznego, Katowce. Nawrock T., Jabłońsk B. (20), Inwestowane na rynku akcj. Jak ocenć potencjał rozwojowy fr notowanych na GPW w Warszawe, Wyawnctwo CeDeWu. Rosensten M.T., Collns J.J., De Luca C.J. (993), A Practcal Metho for Calculatng Largest Lyapunov Exponents fro Sall Data Sets, Physca D, Vol. 65, s

12 72 Monka Mśkewcz-Nawrocka, Katarzyna Zeug-Żebro Tarczyńsk W. (203), Ocena efektywnośc eto analzy portfelowej na Gełze Paperów Wartoścowych w Warszawe za lata , Zeszyty Naukowe Unwersytetu Szczecńskego nr 76, Fnanse, rynk fnansowe, ubezpeczena nr 60, Szczecn, s Tarczyńsk W. (2002), Funaentalny portfel paperów wartoścowych, Polske Wyawnctwo Ekonoczne, Warszawa. Zawazk H. (996), Chaotyczne systey ynaczne. Eleenty teor wybrane zaganena ekonoczne, Zeszyty Naukowe Akae Ekonocznej, Katowce. Zeug-Żebro K., Dębcka J., Kuśerczyk P., Łyko J. (203), Wybrane oele ateatyczne ekono. Decyzje wybory, Wyawnctwo Unwersytetu Ekonocznego, Wrocław. THE APPLICATION OF LYAPUNOV EXPONENTS TO BUILDING OPTIMAL PORTFOLIOS Suary: Portfolo analyss s one of the ost portant technques for nvestng n the captal arket. Its an goal s to versfy the nvestent rsk. In aton to the classcal concept of Markowtz, researchers have evelope ethos whch are ts ofcatons, but they have also create new, alternatve tools. An alternatve approach propose n the paper s the use of the easure for entfyng chaos,.e. the largest Lyapunov exponent. The paper as to construct optal portfolos eterne base on the largest Lyapunov exponent, the TMAI easure an the Markowtz portfolo. Keywors: portfolo analyss, largest Lyapunov exponent, easure TMAI.