Funkcje analityczne Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) 1 Przekształcenia płaszczyzny Płaszczyzna jako przestrzeń liniowa, odwzorowania liniowe Rozpatrywać będziemy R 2 jako przestrzeń liniową (nad R) z bazą standardową (tzn. bazę tworzą dwa wektory: (1, 0) oraz (0, 1)). Odwzorowanie A: R 2 R 2 nazwiemy liniowym, gdy spełnia warunek: A(αs + βt) = αa(t) + βa(s) dla każdych t, s R 2 oraz α, β R. Każde odwzorowanie liniowe można przedstawić jako działanie macierzy A = (a ij ), i, j = 1, 2, czyli ( ) ( ) a11 a As = 12 s1 dla każdego s = (s a 21 a 1, s 2 ) R 2. 22 s 2 Prawdziwe jest również zdanie odwrotne, tzn. każda macierz 2 2 wyznacza odwzorowanie liniowe z R 2 w R 2. Przykład: obrót na płaszczyźnie W przestrzeni R 2 obrót o kąt t dany jest za pomocą macierzy ( ) cos t sin t O(t) =. sin t cos t Obrót jest przykładem odwzorowania wiernokątnego, tzn. takiego, że kąt między dowolnymi wektorami v, w R 2 jest taki sam, jak kąt między wektorami Ov, Ow R 2. Wiernokątne odwzorowania liniowe Twierdzenie 1. Odwzorowanie liniowe ( ) a b A = b a a, b R, a 2 + b 2 0 jest konforemne. Dowód 1. Zauważmy, że dla dowolnych v = (x 1, y 1 ), w = (x 2, y 2 ) R 2 zachodzi równość Av, Aw = (ax 1 + by 1, bx 1 + ay 1 ), (ax 2 + by 2, bx 2 + ay 2 ) = (a 2 + b 2 ) v, w. Zatem, jeśli v, w R 2 są prostopadłe, to również prostopadłe są wektory Av, Aw. Aby zakończyć dowód wystarczy przedstawić dowolny wektor jako kombinację liniową wektorów bazowych. 1
2 Funkcje holomorficzne jako wiernokątne przekształcenia płaszczyzny Równokątność, czyli konforemność Niech A C. Odwzorowanie f : A C nazywamy równokątnym (konforemnym) w z 0, jeśli zachowuje kąt między krzywymi. z f(z) z 0 Przykład: niekonforemne odwzorowanie z z 2 Warunki Cauchy ego Riemanna Niech A C będzie zbiorem otwartym, f : A C, z 0 = x 0 + iy 0 A. Jakobian odwzorowania f jest równy u x (x u 0, y 0 ) y (x 0, y 0 ) v x (x 0, y 0 ) v y (x 0, y 0 ) Jeśli f jest holomorficzna w z 0 = x 0 + iy 0, to spełnione są warunki Cauchy ego Riemanna, więc jakobian jest równy u x (x u 0, y 0 ) y (x 0, y 0 ) u y (x u 0, y 0 ) x (x 0, y 0 ) 2
Warunek dostateczny konforemności Twierdzenie 2. Niech f będzie holomorficzna w otoczeniu z 0 oraz f (z 0 ) 0. Wtedy f jest równokątna w z 0. Dowód 2 (szkic). Uzasadnienie polega na tym, by pokazać, że odwzorowanie f można przedstawić jako skalowanie oraz obrót, przy czym to drugie obraca styczną do krzywej C w otoczeniu z 0 o ustalony kąt zależny tylko od odwzorowania f (w szczególności nie zależy ten kąt od krzywej). Przykład: z e z Warunek f (z 0 ) 0 implikuje, że w otoczeniu z 0 funkcja f jest różnowartościowa (tzw. lokalnie różnowartościowa). Poniższy przykład pokazuje, że f nie musi być (globalnie) różnowartościowa. z e z Przykładowo: jeśli z = 1 + it, t R, to e 1+it = e e it = e(cos t + i sin t) t R Twierdzenie Riemanna Twierdzenie 3 (Riemann). Niech G, D C, G, D C, będą dwoma obszarami jednospójnymi. Wówczas dla dowolnych a G, b D istnieje takie odwzorowanie wiernokątne f zbioru G na D, że f(a) = b. Obszar E nazywamy jednospójnym, gdy zbiór C \ E jest spójny. Dysk jednostkowy jest jednospójny Pierścień nie jest jednospójny 1 r 1 r 2 3 Ważne odwzorowania wiernokątne Obszary konforemnie równoważne Obszary D, G C nazywamy konforemnie równoważnymi, jeśli istnieje konforemne odwzorowanie f przekształcające D na G. Jeśli dodatkowo f jest róznowartościowa, to istnieje f 1 przekształcające konforemnie G na D. 3
Odwzorowanie z az + b Funkcja z az + b a, b C, a 0 jest wiernokątna na C. Jej działanie można opisac jako skalowanie przez a, obrót o arg a oraz przesunięcie o b. Odwzorowanie z z α, α R Funkcja z z α α R jest wiernokątna poza zerem. Jej działanie można opisac jako skalowanie o potędze α oraz symetryczne rozciągnięcie/zwężenie. z z 2 Odwzorowanie z z α, α R z z 1 2 Odwzorowanie z az+b cz+d (przekształcenie Möbiusa) Jeśli ad bc 0, to funkcję z az + b cz + d : C C nazywamy funkcją Möbiusa. Pochodna funkcji Möbiusa wynosi stąd poza z = d/c ta funkcja jest wiernokątna. (Przypadkiem z az + b już się zajmowaliśmy.) ad bc (cz + d) 2, Twierdzenie 4. Każde przekształcenie Möbiusa przekształca zbiór złożony z kół oraz linii prostych na zbiór złożony z kół oraz linii prostych. 4
4 Obszary konforemnie równoważne Górna półpłaszczyzna i dysk jednostkowy Niech Π + = {z C : z > 0} oraz D = {z C : z < 1}. Funkcja f : Π + D dana wzorem f(z) = z i 1 iz z Π + odwzorowuje konforemnie Π + na D. z z i 1 iz Uniwersalność przekształcenia Möbiusa Twierdzenie 5. Trzy dowolne parami rózne punkty z 1, z 2, z 3 mogą zostać przekształcone na trzy ustalone i parami różne punkty w 1, w 2, w 3 za pomocą jednoznacznie wyznaczonego przekształcenia Möbiusa f. Funkcję f można wyznaczyć z równania f(z) w 1 f(z) w 3 w2 w 3 w 2 w 1 = z z 1 z z 3 z2 z 3 z 2 z 1. (Jeśli któryś z wybranych punktów to, wówczas iloraz, w którym występuje ten punkt traktuje się jako 1.) Uniwersalność przekształcenia Möbiusa: przykład f(z) w 1 f(z) w 3 w2 w 3 w 2 w 1 = z z 1 z z 3 z2 z 3 z 2 z 1. Przykład 1. Znajdziemy odwzorowanie Möbiusa przekształcające punkty z 1 = 1, z 2 = 0, z 3 = 1 na odpowiednio punkty w 1 = 1, w 2 = i, w 3 = 1. Na podstawie powyższego wzoru mamy Stąd f(z) + 1 f(z) 1 i 1 i + 1 = z + 1 z 1 0 1 0 + 1. f(z) = z i 1 iz. Jest to konforemne przekształcenie Π + na D! Znajdowanie odwzorowań konforemnych: strategia Zadanie 1. W jaki sposób przekształcić obszar D na G za pomoca funkcji Möbiusa? 5
Dysk jednostkowy i prawa półpłaszczyzna Niech Π + = {z C : z > 0} oraz D = {z C : z < 1}. Funkcja f : D Π + dana wzorem f(z) = z 1 z + 1 z D odwzorowuje konforemnie D na Π +. z z 1 z+1 Dysk jednostkowy na dysk jednostkowy Niech D = {z C : z < 1}. Funkcja f : D D dana wzorem f(z) = f z0 (z) = z z 0 z 0 z 1 z D konforemnie przekształca D na D w taki sposób, by f(z 0 ) = 0. Wnętrze kąta na dysk jednostkowy Niech G = { z C : arg z ( π 6, )} π 6. Odwzorować konforemnie obszar G na dysk jednostkowy D. Odwzorowanie z z 3 przekształca G na prawą półpłaszczyznę, natomiast funkcja z z 1 z+1 prawą półpłaszczyznę na dysk jednostkowy. Stąd funkcja z z3 1 z 3 + 1 z G przekształca konforemnie G ma D. z z3 1 z 3 +1 6