JÓZEF KROK, JAN WOJAS OSZACOWANIE BŁĘDÓW A POSERIORI I GĘSOŚCI PUNKÓW DANYCH EKSPERYMENALNO-NUMERYCZNYCH ESIMAION OF A POSERIORI ERROR AND MESH DENSIY OF EXPERIMENAL-NUMERICAL DAA Strszczn Abstract W nnjszym artykul przdstawono nową spójną koncpcję oszacowana błędów a postror danych ksprymntalnych oraz numrycznych. Zawra ona tchnkę postprocssngu z warunkam dodatkowym danych dyskrtnych, pwn propozycj oszacowana błędu a postror tych danych oraz dfncj wskaźnka zagęszczana satk węzłów z równo rozdystrybuowanym błędm. Rozważana tortyczn analzę numryczną przprowadzono z zastosowanm Adaptacyjnj Bzsatkowj Mtody Różnc Skończonych. Słowa kluczow: bzsatkowa MRS, aproksymacja danych dośwadczalnych, oszacowan błędu a postror, oszacowan rozkładu gęstośc satk punktów ksprymntalnych, mtody adaptacyjn h artcl addrsss xtndd formulaton of a nw approach proposd to rror control of xprmntal data. It ncluds: dvlopmnt of postprocssng tchnqus for maton of data gvn n a dscrt form, a postror rror stmaton (valuaton) of masurd data and dfnton of rlablty ndx of xprmntal data. hortcal consdraton and numrcal analyss ar basd on th Adaptv Mshlss Fnt Dffrnc (MFDM) approach. Kywords: mshlss FDM, xprmntal data maton and smoothng, a postror rror stmaton of xprmntal data, adaptv mthods Dr nż. Józf Krok, Instytut chnolog Informatycznych w Inżynr Lądowj, Wydzał Inżynr Lądowj, Poltchnka Krakowska. Mgr nż. Jan Wojtas, Instytut Modlowana Komputrowgo, Wydzał Fzyk, Matmatyk Informatyk Stosowanj, Poltchnka Krakowska.
8 Oznaczna u ~ u A F ~ H λ ψ, U, wktor wlkośc mrzonych wktor wlkośc nwadomych macrz aproksymacj wktor prawj strony macrz wynkająca z dyskrtyzacj ogranczń wktor mnożnków Lagrang a ndks fktywnośc globaln normy błędu U globaln normy L, lokalny wskaźnk zagęszczna satk, g globalny wskaźnk zagęszczna satk L globalno-lokalny wskaźnk zagęszczna satk. Wstęp W nnjszym artykul przdstawono nową, spójną koncpcję oszacowana błędów a postror danych ksprymntalnych/numrycznych (wynków MES lub MRS) wraz z oszacowanm gęstośc satk z równo rozdystrybuowanym błędm. Do aproksymacj funkcj dyskrtnj zastosowano mtodę ważonych ruchomych najmnjszych kwadratów (WRNK) z ograncznam okrślonym przz równana różnczkowo-algbraczn (np. równana równowag, warunk brzgow tp.). Ponadto zaproponowano klka sposobów przjśca z rozkładu gęstośc błędu na rozkład gęstośc satk punktów ksprymntalnych/numrycznych. Zaproponowan podjśca zastosowano w zagadnnach tstowych z zakrsu mchank oraz przprowadzono analzę ch przydatnośc. Artykuł dotyczy tzw. problmowo-zorntowanych stymatorów błędów a postror. Szczgólną uwagę zwrócono na funkcjonały błędu warunk dodatkow, tak aby możlw było oszacowan błędu pojdynczych wlkośc (np. wybranj składowj stanu odkszałcna, naprężna czy odkształcna fktywngo, nrg postacowj czy objętoścowj, jj przyrostu [6].) Nalży bowm pamętać, ż gdy śldzmy pwn wlkośc, np. nrgę, wtdy n mamy już prcyzyjnych nformacj na tmat pojdynczych składowych stanu naprężna (np. stymatory MES Znkwcza Zhu []).. Aktualny stan zagadnna Problmm aproksymacj szacowana danych ksprymntalnych/numrycznych zajmowało sę wlu autorów. Prac na tn tmat opublkowal W. Karmowsk oraz J. Orksz [, ]. Pojawły sę w nch prwsz wzmank o uwzględnnu w aproksymacj danych dośwadczalnych warunków dodatkowych, takch jak równana równowag czy nrozdzlnośc oraz warunk brzgow. N znalazło sę jdnak w tych publkacjach komplksow
ujęc tmatu, gdyż autorzy n zaproponowal przjśca pomędzy rozkładm błędu a funkcją gęstośc satk węzłów (potrzbną do przprowadzna badań, któr posadałyby już tn atut, ż błąd małby w przyblżnu stały rozkład w obszarz). Równolgl ukazały sę prac M. Stanuszka, któr dotyczyły aproksymacj danych dyskrtnych, równż z warunkam dodatkowym [7, 8]. W cytowanych rozprawach zwraca sę uwagę na fakt, ż opracowując (wygładzając) wynk ksprymntów, nalży uwzględnć wszystk możlw nformacj. W mchanc dotyczy to w szczgólnośc równań równowag, nrozdzlnośc, warunków brzgowych td. W cytowanych pracach zamszczono wl ckawych wynków. W publkacj [] W. Karmowsk przdstawa orygnalną mtodę opracowana wynków ksprymntów. Chodz manowc o mtodę najmnjszych kwadratów z warunkam dodatkowym. matykę tę podjął J. Magra, publkując pracę [9], w którj kontynuuj on badana W. Karmowskgo. Po raz prwszy dfncja strowanj błędm a postror gęstośc satk punktów ksprymntalnych pojawła sę w pracy Kroka [3]. Zdfnowano tam klka norm przydatnych do mrzna błędu danych oraz zaproponowano klka sposobów przlczana błędów na gęstość satk węzłów w tak sposób, aby zapwnały on równy rozkład gęstośc błędu. N można jdnak tgo zrobć automatyczn. 83 3. Postawn zagadnna 3.. Uwag podstawow W procs zbrana danych ksprymntalnych lub w oblcznach numrycznych mamy do czynna z następującą sytuacją: a) mrzymy/otrzymujmy z oblczń dan popłnamy błędy, b) tam, gdz są najwększ gradnty mrzonj/poszukwanj funkcj, tam tż są najwększ błędy potrzba najwęcj punktów, c) dalna byłaby sytuacja, w którj pwn ważony błąd małby równy rozkład w obszarz, d) samo wygładzan wynków (aproksymacja) to o wl za mało, aby ocnć zbran rzultaty ksprymntów/wynków MES/MRS. Jśl są dan rzultaty ksprymntów, to analzując j, nalży wykorzystać wszystk możlw nformacj, tak jak: warunk brzgow, równana stanu oraz dodatkow nformacj wynkając np. z rżmu zwnętrzngo. Mając wlkośc po obróbc oraz błąd nalży j prztransformować na nową satkę w clu zrównoważna błędu lub oblczyć now wlkośc w punktach ksprymntalnych. 3.. Przykład analzy danych ksprymntalnych uzyskanych z analzy nszczącgo badana kół Potrzby opracowana danych ksprymntalnych wraz z tchnką szacowana błędów a postror n sposób kwstonować. Jdnak w clu zasygnalzowana wlu problmów z tym zwązanych zaprzntujmy podjśc, jak zastosowano w analz (rkonstrukcj) naprężń rsztkowych w kołach pojazdów szynowych, wykorzystując wynk nszczącgo badana kół. Eksprymnt polgał na radalnym rozcęcu obręczy koła. Pomar dokony-
84 wany był mtodą ntrfromtr mor za pomocą satk ntrfromtrycznj nakljonj na powrzchnę boczną koła (ryc. ). W procs cęca koła naprężna rsztkow zostały częścowo zwolnon. Cęc przprowadzono fazam (do 5 cęć). Wynk typowgo pomaru zaprzntowano na ryc.. tnsomtry tnsomtry (odkszta łcna ) Do odzyskana składowych stanu naprężń rsztkowych (mających zasadnczy wpływ na znszczn koła) zastosowano spcjalną procdurę odwrotną, bazującą na aproksymacj fzyczn uzasadnonj [3]. Macrz wpływu do procdury odzyskwana naprężń uzyskano, obcążając jdnostkowym słam przcęty przkrój rjstrując (z rozwązana MES) odkształcna na powrzchn łatk. Problm stanowł tutaj fakt, ż była dostępna zbyt mała lczba punktów ksprymntalnych w stosunku do lczby węzłów MES part rozcętgo przkroju. rzba było węc aproksymować dan do gęstszj satk oblcznowj (zob. ryc. 3) w clu zapwnna odpowdnj proporcj pomędzy lczbą punktów wpływu na powrzchn przkroju a lczbą danych dośwadczalnych łączn z lczbą punktów fkcyjnych. Aproksymacja różnczkowan potrzbn do oblczna naprężń rsdualnych zostały wykonan zarówno dla wynków MES, jak danych ksprymntalnych w tn sam sposób, z jdnoczsnym oszacowanm błędów gęstośc punktów z danym, przy założonym dopuszczalnym pozom błędów [3]. ym samym, w jdnym zadanu, jdnoczśn potraktowano w dntyczny sposób dan tortyczn (wynk MES) dan ksprymntaln. Satka oblcznowa jst znaczn gęstsza nż satka pomarowa. Wykazano [3], ż aproksymacja danych z satk rzadszj do satk gęstszj odbywa sę bz szkody dla jakośc pomarów. Jst to stotny aspkt przprowadzonj w rozpraw [6] analzy. Dokonując aproksymacj, badano 3 różn fkty dotycząc danych: błąd aproksymacj danych dośwadczalnych z satk ksprymntalnj do satk fkcyjnj. Procdura ta była nzbędna z powodu ndostatcznj lczby danych ksprymntalnych. rzba węc było dodatkowo aproksymować dan, ocnę danych ksprymntalnych, uwzględnając 5 różnych norm [3]: normy smnormy Sobolwa począwszy od zrowgo, skończywszy na drugm rzędz. Wprowasatka pomarowa ntrfromtru mor (przmszczna) Ryc.. Wdok koła z nakljoną na powrzchnę kołnrzową satką ntrfromtryczną [3] Fg.. 3D vw of th whl and mor ntrfromtry grd [3] Ryc.. Przykład prążków przmszczna radalngo [3] Fg.. Frng pattrns of mor ntrfromtry [3]
dzono przy tym następując oznaczna: norma nr norma Sobolwa zrowgo rzędu, norma nr smnorma Sobolwa prwszgo rzędu, norma nr 3 norma Sobolwa prwszgo rzędu, norma nr 4 smnorma Sobolwa druggo rzędu, norma nr 5 norma Sobolwa druggo rzędu. Na ryc. 4 zaprzntowano rozkłady błędów a postror wynkając stąd rozkłady gęstośc satk dla smnorm norm Sobolwa aż do druggo rzędu włączn, oszacowan gęstośc punktów ksprymntalnych, borąc pod uwagę lokaln globaln krytra optymalnośc, tj. równy rozkład błędów w każdym punkc. 85 35.00 3 5.00 5.00 5.00-5.00-5.00 5.00 5.00 5.00 3 35.00 punkty fkcyjn punkty ksprymntaln Ryc. 3. Strona kołnrzowa, satka punktów ksprymntalnych oraz fkcyjnych Fg. 3. Flang sd of th whl, xprmntal and fcttous grds W analz wzęto pod uwagę zarówno normy lokaln w punkc, jak globaln [3, 6]. W podjścu n uwzględnono jdnak możlwośc dołączna równań tor do funkcjonału błędu mtody WRNK. Nmnj jdnak nalży podkrślć, ż strfy, z których na skutk cęca dan pownny być wylmnowan, zostały zlokalzowan z dużą dokładnoścą ryc. 4.
86 () - przmszczna pozom () norma błędu nr, max8.43e-3 (3) gęstość satk, max5.86 Cęc nr 5, strona kołnrzowa: - rozkład błędu - rozkład gęstośc satk punktów ksprymntalnych () - przmszczna pozom () - norma błędu nr (3) - gęstość satk - norma nr (4) - norma błędu nr (5) - gęstość satk - norma nr (6) - norma błędu nr 3 (7) - gęstość satk - norma nr 3 (8) - krzywzna (9) - norma błędu nr 4 (0)- gęstość satk - norma nr 4 ()- norma błędu nr 5 ()- gęstość satk - norma nr 5 (4) norma błędu nr, max.44e- (5) gęstość satk, max56.9 (6) norma błędu nr 3, max.8e- (7) gęstość satk, max35.3 (8) krzywzna, max.7e- (9) norma błędu nr 4, max3.90e- (0) gęstość satk, max33.9 () norma błędu nr 5, max4.03e- () gęstość satk, max75. Ryc. 4. Cęc nr 5, strona kołnrzowa, rozkłady błędów gęstośc punktów ksprymntalnych Fg. 4. Cut no. 5, flang sd of th whl, rror and grd dnsty dstrbutons
3.3. Dfncja funkcjonału błędu dla aproksymacj danych ksprymntalno-numrycznych 87 Zakładamy stnn danych okrślonych na dyskrtnym zborz punktów. Dan t mogą pochodzć z ksprymntu, jak równż z oblczń. Będą on podlgały obróbc aproksymacj z jdnoczsnym spłnnm warunków dodatkowych. W mchanc mogą to być np. równana równowag. W najogólnjszym podjścu, w procs oblcznowym przyjmuj sę dw satk jdną wyjścową, na którj okrślon są dan, drugą oblcznową. Jst to podjśc bardzj ogóln od zaproponowango pracach [7, 8], gdz utożsamono punkty pomarow oblcznow. Sformułowan wyjścow jst następując: Dan: wktor wlkośc mrzonych u ~ { u ~ ~,..., un} Poszukwany: wktor wlkośc nwadomych u { u,..., u m }, zlokalzowanych na ogół w nnych punktach (co do lczby położna) nż wlkośc pomrzon u ~ { u ~ ~,..., un}. Wartośc poszukwanj funkcj u mogą być oblczon w punktach odpowadających pomarom ksprymntalnym przz zwązk u Au () gdz: u { u,..., u n }, zaś macrz A [m n] wynka z rlacj u u uzyskanj przz aproksymację (np. WRNK). Znalźć: ~ mn( Au u), spłnając dodatkow równana u Hu F ~ () ~ ~ ~ gdz: macrz H [n k] oraz wktor prawj strony F { F,..., Fk } otrzymujmy w wynku przdstawna dodatkowych warunków ogranczń za pomocą różnc skończonych. Przy tak przyjętych założnach funkcjonał błędu można przdstawć w postac R u, λ Au u ~ ~ ( ) ( ) + ( Hu F) λ (3) gdz λ jst wktorm mnożnków Lagrang a. Mnmalzując przyjętą funkcję błędu względm nwadomych u λ, otrzymamy układ równań R A u Au A u ~ + H R ~ λ 0, Hu F 0 λ (4) Powyższy układ równań możmy zrdukować do dwóch układów równań lnowych, z których wyznaczymy nwadom
88 λ u (A A) A u (A A) ( H(A A) H ) H(A A) A u ~ ~ ( H(A A) H ) F H ~ {( H(A A) H ) H(A A) A u ~ H ( H(A A) H ) F} ~ W zaps macrzowym powyższy układ równań przyjmuj postać (5) (6) A A H H 0 u λ ~ Au ~ F (7) Rozwązanm układu równań (4) jst wktor u wartośc funkcj, dla którgo funkcjonał błędu (3) przyjmuj wartość mnmalną oraz spłnon są równana ogranczń () zapsan w różncach skończonych. 4. Analza przykładowych zagadnń mchank Przdstawoną mtodę zastosowano do poprawy wynków w wlu zadanach. W nawązanu do prac [7, 8] przdstawono przykłady dotycząc płaskgo stanu naprężna w tarczy obcążonj na brzgu słą skuponą P (ryc. 5). Rozwązan problmu dzałana sły skuponj przyłożonj na pozomym, prostym brzgu tarczy półnskończonj o jdnostkowj grubośc, przdstawono w pracy []. Z względu na występującą osoblwość do analzy przyjęto obszar rozpoczynający sę w odlgłośc x od krawędz (brzgu tarczy). Dokładn wartośc naprężń xx yy w węzłach satk wyznaczono z równań [] 3 P x xx, π ( x + y ) P xy yy (8) π ( x + y )( x + y ).50 P.50 0.50-0.50 -.50 - -.50 3.00 4.00 5.00 6.00 Ryc. 5. Układ węzłów w analzowanym obszarz Fg. 5. Dscrtzaton of th doman
Do oblczń przyjęto P 5 kn/mb. Wymary obszaru podano w [m], naprężna w [kpa]. Oblczna przprowadzono dla satk nrgularnych, wykorzystując, jako równana ogranczń dla węzłów wwnętrznych, równan równowag w postac oraz równan nrozdzlnośc wyrażon w naprężnach 89 xx yy 0 (9) x y Δ( xx + yy ) 0 (0) Błąd względny dla poszczgólnych tstów wyznaczono z zalżnośc xact xact 00% () Rozkład węzłów pokazano na ryc. 5. Na ryc. 6 przdstawono rozkład naprężń xx wyznaczonych z wzoru (8) w węzłach obszaru. - 3.00 4.00 5.00 6.00 Ryc. 6. Rozkład naprężń xx. Wartośc dokładn dan wjścow Fg. 6. xx strss dstrbuton. Input data xact valus 4.. Analza wpływu warunków brzgowych na wygładzan wynków Przykład tn lustruj wpływ warunków brzgowych na sposób gładzna wynków. Na ryc. 7 przdstawono rozkład xx z losowo narzuconym w całym obszarz błędm o wartośc do 50%. Wartośc naprężń yy pozostawono bz zman. Rozkład błędu względngo () pokazano na ryc. 8. Dan t poddano procsow fltracj, rozważając dwa przypadk, w których wykorzystano następując równana ogranczń: Przypadk I równana (9) (0) w punktach wwnętrznych (ryc. 9, 0), Przypadk II równana (9) (0) w punktach wwnętrznych oraz warunk brzgowy I rodzaju (znana wartość funkcj na brzgu) (ryc., ).
90-3.00 4.00 5.00 6.00 Ryc. 7. Rozkład naprężń xx. Wartośc z narzuconym losowo błędm na xx w całym obszarz Fg. 7. xx strss dstrbuton wth random rrors nput data - 3.00 4.00 5.00 6.00 Ryc. 8. Błąd względny w naprężnach xx dan wjścow Fg. 8. Rlatv rror n xx nput data - 3.00 4.00 5.00 6.00 Ryc. 9. Wartośc naprężń xx po fltracj (dan wjścow z błędm losowym). Przypadk I Fg. 9. Strss dstrbuton xx aftr fltrng (nput data wth random rrors). Cas I
9-3.00 4.00 5.00 6.00 Ryc. 0. Błąd względny w naprężnach xx po fltracj (dan wjścow z błędm losowym). Przypadk I Fg. 0. Rlatv rror n xx aftr fltrng (nput data wth random rrors). Cas I - 3.00 4.00 5.00 6.00 Ryc.. Wartośc naprężń xx po fltracj (dan wjścow z błędm losowym). Przypadk II Fg.. Strss dstrbuton xx aftr fltrng (nput data wth random rrors). Cas II - 3.00 4.00 5.00 6.00 Ryc.. Błąd względny w naprężnach xx po fltracj (dan wjścow z błędm losowym). Przypadk II Fg.. Rlatv rror n xx aftr fltrng (nput data wth random rrors). Cas II
9 - Ryc. 3. Błąd względny 3.00 4.00 5.00 6.00 naprężn xx. Przypadk I Fg. 3. Rlatv rror n xx.. Cas I - Ryc. 4. Błąd względny 3.00 4.00 5.00 6.00 naprężn xx. Przypadk II Fg. 4. Rlatv rror n xx.. Cas II Na ryc. 5 6 pokazano błędy bzwzględn dla naprężń, dla przypadków I II. Ważnym wskaźnkm ocny jakośc aproksymacj jst tzw. ndks fktywnośc dfnowany jako ψ, który pownn być możlw blsk. xact Jak wdać, ndks fktywnośc dla przypadku II jst stotn lpszy nż dla przypadku I. Wytłumaczn tgo faktu znajduj sę na ryc. 7, na którj zamszczono błąd ścsły. Indks fktywnośc dla przypadku II jst blsk, bo rozkłady błędów zaprzntowan na ryc. 6 (a postror) 7 (ścsły) są praw dntyczn.
93 - Ryc. 5. Błąd 3.00 4.00 5.00 6.00 naprężn xx. Przypadk I. Indks fktywnośc ψ 0,4 Fg. 5. Error n xx. Cas I. Effctvty ndx ψ 0,4 - Ryc. 6. Błąd 3.00 4.00 5.00 6.00 naprężn xx. Przypadk II. Indks fktywnośc ψ 0,86 Fg. 6. Error n xx. Cas II. Effctvty ndx ψ 0,86-3.00 4.00 5.00 6.00 Ryc. 7. Błąd xact naprężn xx Fg. 7. Error xact n xx
94 4.. Globalno-lokalny wskaźnk poprawana gęstośc satk Ponżj przdstawono sposoby przlczana błędów na taką gęstość satk, która przy zaproponowanym rozkładz gęstośc węzłów dawałaby równomrny rozkład błędów. Jst to podstawow wymagan ( zalta) mtod adaptacyjnych. Jak sę okazuj, by zdfnować poprawny rozkład gęstośc węzłów trzba wprowadzć zarówno lokalny, jak globalny wskaźnk zagęszczana. Lokalny wskaźnk poprawana gęstośc satk w punkc moż być zdfnowany jako xact L () Śrdn błąd w obszarz moż być okrślony jako (n jst lczbą punktów) n n xact ( ) (3) Całkowta ważona norma naprężń moż być okrślona jako U n n xact (4) Globalny wskaźnk zagęszczana satk węzłów dfnowany jst jako η U (5) gdz η jst narzuconym pozomm błędu. Wykorzystując poprzdno zdfnowan normy, globalno-lokalny wskaźnk zagęszczana satk jst dfnowany następująco (wrsja I) xact L L η U η U xact (6) Jak wynka z powyższgo wzoru, globalno-lokalny wskaźnk zagęszczana ma postać multplkatywną, przy czym wskaźnk globalny został włączony do wzoru z kwadratm.
95-3.00 4.00 5.00 6.00 Ryc. 8. Lokalno-globalny wskaźnk zagęszczana I oblczony wg (6). Przypadk I. Dopuszczalny błąd η 0,05 Fg. 8. Local-global msh rfnmnt ndx I accordng to (6). Cas I. Prmssbl rror η 0,05-3.00 4.00 5.00 6.00 Ryc. 9. Lokalno-globalny wskaźnk zagęszczana I oblczony wg (6). Przypadk I. Dopuszczalny błąd η 0,0 Fg. 9. Local-global msh rfnmnt ndx I accordng to (6). Cas I. Prmssbl rror η 0,0-3.00 4.00 5.00 6.00 Ryc. 0. Lokalno-globalny wskaźnk zagęszczana I oblczony wg (6). Przypadk II. Dopuszczalny błąd η 0,05 Fg. 0. Local-global msh rfnmnt ndx I accordng to (6). Cas II. Prmssbl rror η 0,05
96-3.00 4.00 5.00 6.00 Ryc.. Lokalno-globalny wskaźnk zagęszczana I oblczony wg (6). Przypadk II. Dopuszczalny błąd η 0,0 Fg.. Local-global msh rfnmnt ndx I accordng to (6). Cas II. Prmssbl rror η 0,0 Lokalno-globalny wskaźnk zagęszczana satk można równż zdfnować następująco (wrsja II) L L η U xact η U xact (7) Jak wynka z powyższgo wzoru, globalno-lokalny wskaźnk zagęszczana ma postać multplkatywną, przy czym wskaźnk globalny został włączony do wzoru z prwszą potęgą. Wykorzystując powyższą dfncję, otrzymano następując wynk ryc. 3. Najwększ wymagana dotycząc funkcj gęstośc satk węzłów są w strfach, gdz jst to rzczywśc potrzbn. Ponadto gęstość satk, jak dowodzą tgo oblczna, została oszacowana raln. W przypadku wskaźnka zagęszczana satk okrślongo wzorm (6) gęstość satk została przszacowana wlokrotn (zob. ryc. 8 z którj wynka, ż gęstość satk nalży zwększyć 00-krotn). - 3.00 4.00 5.00 6.00 Ryc.. Lokalno-globalny wskaźnk zagęszczana II oblczony wg (7). Przypadk I. Dopuszczalny błąd η 0,0, por. ryc. 9 Fg.. Local-global msh rfnmnt ndx II accordng to (7). Cas I. Prmssbl rror η 0,0
97-3.00 4.00 5.00 6.00 Ryc. 3. Lokalno-globalny wskaźnk zagęszczana II oblczony wg (7). Przypadk II. Dopuszczalny błąd η 0,0. Porównaj ryc. 4.7 Fg. 3. Local-global msh rfnmnt ndx II accordng to (7). Cas II. Prmssbl rror η 0,0 5. Normy błędu paramtr zagęszczana satk punktów now koncpcj Prowadzon są dalsz prac polgając na wprowadznu norm Sobolwa, za pomocą których mrzy sę odlgłość mędzy dwoma powrzchnam: # okrśloną przz dan wyjścow oraz # dfnowaną przz dan poprawon (w przstrzn H ). Normy globaln można zapsać jako 5.. Normy błędów U fu dω + f u dω + h fκu dω h Ω Ω Ω (8) przy czym u dω + u dω + h κu dω h Ω Ω Ω (9) gdz: u h u fu ( u ) u, * h * h u ( u u ) ( u u ) f u ( u) u, * h * h u ( u u ) ( u u ) (0) f κu ( κu) κu, * h * h κ u ( κu κu ) ( κu κu ) wktor danych ksprymntalnych (w punktach ksprymntalnych), wktor fkcyjnych (odzyskanych) danych, κ uogólnona krzywzna Karmowskgo, h wymar lokalngo obszaru przypsango do węzła.
98 5.. Paramtry zagęszczana satk w zagadnnach stymacj danych ksprymntalnych Globalny błąd mus być mnjszy od pwnj, z góry założonj (procntowo) częśc całkowtj normy, tj. η U () gdz η jst okrśloną względną wartoścą dopuszczalngo globalngo błędu rozwązana. Równan () pozwala zdfnować tzw. paramtr błędu globalngo jako [3] g () η U Wartośc paramtru g spłnając warunk g oznaczają spłnn globalngo krytrum, podczas gdy g > wskazują, ż jst potrzbn dalsz poprawan satk. Jst to jdnak nwystarczając, dlatgo rozpatruj sę drug, lokaln krytrum. Rozkład węzłów w poprawonj satc spłna krytrum optymalzacj. n lokalny warunk można sformułować następująco (3) r gdz: aktualna norma błędu, żądana wartość normy błędu w punkc. r Równan (3) moż posłużyć do zdfnowana paramtru lokalngo błędu w punkc jako (4) r Zauważmy, ż wartość dfnuj optymalną gęstość satk, podczas, gdy > < wskazuj, ż gęstość satk wymaga, odpowdno, zmnjszna zwększna. Dfncja normy jst kluczową sprawą w procs optymalzacj satk. r Poprawn zdfnowan krytra optymalzacj satk stratg adaptacyjngo poprawana satk to jdn z zasadnczych warunków powodzna mtod adaptacyjnych. Najbardzj popularnym krytrum optymalzacj satk jst k r y t r u m o p r a j ą c sę na równym rozkładz błędów w wszystkch wę z ł ach. Satka wg tgo krytrum jst optymalna, jśl błąd (globalny) ma równy rozkład w wszystkch węzłach. Bazując na takj dfncj, możmy zdfnować dopuszczalny błąd w każdym węźl jako stosunk pomędzy globalnym błędm lczbą węzłów w satc. Z względu na addytywność kwadratów norm dopuszczalny błąd można zapsać
99 r (5) n Wstawając równan (5) do równana (4), mamy zdfnowany lokalny wskaźnk zagęszczana jako (6) n Altrnatywn krytrum [3, 6] optymalnośc bazując na równym rozkładz funkcj gęstośc błędu w węźl mów, ż satka jst optymalna, jśl kwadrat błędu na jdnostkę powrzchn (objętośc) wlokąta przypsango węzłow (np. wlokąta Vorono) jst tak sam w całj satc. Satka jst węc optymalna, jśl (7) ( Ω ) ( Ω) W równanu (7) Ω oraz Ω oznaczają, odpowdno, powrzchnę (objętość) obszaru przypsango węzłow oraz całmu obszarow. Możmy otrzymać zatm wyrażn na żądaną normę błędu dla każdgo punktu jako r Ω Ω (8) Paramtr błędu zwązku (4) moż być traz otrzymany przz wstawn równana (8) do ( Ω ) Ω Ω Ω (9) ortyczn lub wynkając z aproksymacj punktow paramtry zagęszczana (PZS) mogą być wyprowadzon traz z powyższych warunków optymalnośc jako thor η U ( n), thor η U Ω Ω (30) odpowdno, dla równgo rozkładu błędu dla równgo, ważongo (wlkoścą pola przypsango węzłow) rozkładu błędu w każdym punkc ksprymntalnym.
00 5.3. Nowa hybrydowa tortyczno-ksprymntalna mtoda szacowana gęstośc punktów ksprymntalnych a postror Globaln lokaln paramtry błędów dla danych ksprymntalnych w każdym punkc pomarowym można wywnoskować z równań () (4) jako xp g, η U xp (3) all( ) Zatm paramtr zagęszczana satk ksprymntalnj (PZSE) dla -tgo punktu można przyjąć jako kombnację paramtrów lokalngo globalngo (3) xp xp xp (3) g η U all( ) gdz all żądana lub dopuszczalna wartość normy błędu w punkc ksprymntalnym. () ym sposobm cchy przyrządu pomarowgo (jgo krytyczn paramtry) lub błędy ksprymntaln nngo typu mogą być wprowadzon do dfncj gęstośc satk jako czynnk natury praktycznj. Now, wynkając z aproksymacj tortyczn, punktow paramtry zagęszczana PZS mogą być zdfnowan jako kombnacja lokalngo globalngo krytrum zagęszczana gdz thor thor thor g m (33) thor g (34) η U Współczynnk m w mtodach numrycznych zalży od tor. utaj współczynnk tn moż być ustalony jako ½, podobn jak w analz problmów brzgowych z osoblwoścam z zastosowanm mtod numrycznych typu MES czy MRS. Jśl n ma nformacj o błędach ksprymntalnych, moż być użyty paramtr PZS. Jżl musmy jdnoczśn wząć pod uwagę zarówno błędy ksprymntaln, jak tortyczn (aproksymacyjn), możmy zastosować złożony tortyczno-dośwadczalny punktowy paramtr zagęszczana ZEPZS θ + θ thor xp ( ) (35) gdz współczynnk θ dcyduj, l nalży wząć z oszacowana ksprymntalngo. Czynnk θ jst częścą oszacowana odpowadającą krytrom optymalnośc. Wlkość paramru θ zalży od użytkownka. N jst sprawą prostą ustaln, l trzba wząć z ksprymntu, a l z tor. Badana nad tą dość stotną kwstą trwają.
0 Jdnym z możlwych rozwązań jst prcyzyjn okrśln błędu dopuszczalngo w punkc (chodz o lokalną odchyłkę, tzw. bramkę). W zalżnośc od tgo, jak duża jst różnca pomędzy wygładzonym polm wlkośc a wartoścą z ksprymntu, można oszacować, jak duż jst odchyln wlkośc odnsna od skprymntalnych. Jśl różnca równa sę zro, to można przyjąć θ 0. Jśl różnca równa sę wartośc dopuszczalnj, nalży przyjąć θ. Dla wygody można przyjąć ntrpolacyjny oprator rzutowana (tak jak w MES), rozkładając błąd na globalny lokalny. Błąd globalny w punkc moż zadcydować o wlkośc θ, zaś błąd lokalny (mędzy punktam) moż nam odpowdzć na pytan, jak są gradnty mrzonj funkcj, zatm jaką część tj nformacj wykorzystać w prognoz gęstośc punktów ksprymntalnych (35). Błąd można rozłożyć na lokalny globalny w następujący sposób u u u + πu πu u ( πu u ) + ( u πu) πu u + u πu (36) h h h h czyl gdz glob + lok glob πu uh, lok u πu (37) gdz π jst opratorm rzutowana ntrpolacyjngo. Ma on taką własność w węźl, ż πu u 0. W punktach ksprymntalnych można położyć traz warunk glob δ dopuszczaln (38) gdz δ dopuszczaln jst dopuszczalną wlkoścą odchyłk w punkc (bramką). Współczynnk θ można zdfnować jako θ δ glob dopuszczaln (39) Jśl θ >, trzba sę zastanowć, czy pomar pownć być brany pod uwagę, a na pwno trzba obnżyć jgo rangę. 6. Podsumowan W nnjszym artykul zaproponowano mtodę aproksymacj funkcj danj dyskrtnym zborm wartośc, wykorzystując do tgo sformułowan Bzsatkowj MRS z dodatkowym ograncznam.
0 Wprowadzono now tchnk szacowana błędów a postror danych dyskrtnych. Na tj podstaw zaproponowano now sposoby zagęszczana satk węzłów (punktów ksprymntalnych) opart na jdnoczsnym spłnnu krytrum globalngo lokalngo. Okazuj sę bowm, ż jśl naruszon są jdnoczśn krytrum globaln lokaln, potrzbn są gęstsz satk nż wynkałoby to z którgokolwk z nch. Stąd wprowadzono multplkatywną postać ndykatora gęstośc satk. Uwzględnono równż fakt, ż satka węzłów moż być w nktórych strfach sln zagęszczona, dlatgo tż wprowadzono krytrum optymalnośc opart na proporcjonalnośc rozkładu błędu lokalngo do pola powrzchn przyporządkowango węzłow (lub punktow całkowana Gaussa). Dla satk rgularnj lub quas-rgularnj wystarczy krytrum o równym rozkładz błędu globalngo w węzłach. Wprowadzon krytra zagęszczana satk doskonal sprawdzają sę w mtodach dyskrtnych BMRS MES oraz w symulacjach komputrowych wynków pomarów ksprymntalnych. W konkluzj końcowj nalży stwrdzć, ż: w trudnych zagadnnach n jst możlwa ocna otrzymanych rzultatów bz zastosowana stymatorów błędu a postror, aby w sposób właścwy ocnć dan ksprymntaln, wszystk możlw nformacj muszą być wzęt pod uwagę, czyl w aproksymacj danych nalży zastosować aproksymacj z węzam, którym mogą być np. równana tor, jst rzczą ntrywalną przjśc z rozkładu błędu a postror na gęstość satk węzłów, zastosowan stymatora błędu a postror stanow zaldw prwszy krok w procdurz aproksymacj ocny danych, w nnjszym artykul zaproponowano, po raz prwszy, spójny sposób aproksymacj danych dyskrtnych, sposoby mrzna błędów a postror oraz oblczana na tj podstaw gęstośc satk z równo rozdystrybuowanym błędm. Warto odnotować w tym mjscu wl ważnych kwst szczgółowych, manowc: jak jst rząd zbżnośc danych ksprymntalnych, czy w ogól można prowadzć rozważana nad tym problmm [6], jak oszacować, z góry, lczbę punków ( ch rozkład) potrzbną do spłnna narzuconych warunków zarówno na błąd lokalny, jak globalny [6]. W nnjszym opracowanu znacząco poszrzono pwn aspkty sformułowań zawartych w pracach Kroka [3], a takż Magry [9] Karmowskgo []. Ltratura [] K a r m o w s k W., O r k s z J., Physcally Basd Mthod of Enhancmnt of Exprmntal Data Concpt, Formulaton, and Applcaton to Idntfcaton of Rsdual Strsss, Proc. of th IUAM Symposum on nvrs Problms n Engng Mchancs, May -5, okyo, Japan, Sprngr Vrlag, 993, 6-70. [] K a r m o w s k W., Wspomagana torą ntrprtacja wynków ksprymntów mchank cał odkształcalnych, Monografa, Wyd. Poltchnk Krakowskj, Kraków 999. [3] Krok J., An Extndd Approach to Error Control n Exprmntal and Numrcal Data Smoothng and Evaluaton Usng th Mshlss FDM, Rvu Europénn ds élémnts fns, No. 7 8/00, 93-935.
03 [4] Krok J., Mshlss FDM basd Approach to Error Control and Evaluaton of Exprmntal or Numrcal Data, Scond MI Confrnc on Computatonal Flud and Sold Mchancs, Jun 7 0, 003, Cambrdg, MA, USA. [5] K r o k J., W o j t a s J., An Adaptv Approach to Exprmntal Data Collcton Basd on A Postror Error Estmaton of Data, Comp. Mth. n Mchancs CMM- -007, Jun 007, Spała Łódź. [6] Krok J., Oszacowan błędów a postror rzultatów oblczń MES/MRS badań ksprymntalnych w zagadnnach mchank, praca doktorska, Poltchnka Krakowska, Kraków 004. [7] Ł ukaswcz S.A., Stanuszk M., Czyż J.A., Fltrng of th Exprmntal or FEM Data n Plan Strss and Stran Flds, Exprmntal Mchancs, Jun 993, 39-47. [8] Ł ukaszwcz S.A., Stanuszk M., Constrand, wghtd, last aquar tchnqu for corrctng xprmntal data, Sxth Intrnatonal Confrnc on Computatonal Mthods and Exprmntal Masurmnts 93, Vol., Strss analyss, Elsvr Appld Scnc, London Nw York 993, 467-480. [9] Magra J., Non-statstcal physcally rasonabl tchnqu for a postror stmaton of xprmntal data rror, Computr Assstd Mchancs and Engnrng Scncs 3, 006, 593-6. [0] Stanuszk M., Wojtas J., Fltrng of xprmntal or numrcal data on th rrgular msh usng th thory quatons, Numrcal Mthods and Computatonal Mchancs (Euro Confrnc NMCM00), Mszkolc, Hangary, Book of abstracts, 88-90. [] moshnko S., Goodr J.N., hory of lastcty, Nw York oronto London 95. [] Znkwcz O.C., aylor R.L., h Fnt Elmnt Mthod, Vol. I III, Sxth d. Buttrworth-Hnmann, Oxford 005. [3] O r k s z J., S k r z a t J., Rconstructon of Rsdual strsss n ralroad vhcl whls basd on nhancd saw cut masurmnts, formulaton and bnchmark sts, WEAR, 996.