Topologiczna struktura modeli skończenie elementowych mechaniki ośrodków ciągłych

Transkrypt

1 BIULETYN WAT VOL. LVII, NR, 008 Topologczna struktura modl skończn lmntowych mchank ośrodków cągłych KRYSPIN MIROTA Akadma Tchnczno-Humanstyczna, Katdra Podstaw Budowy Maszyn, Blsko-Bała, ul. Wllowa Strszczn. Jdnym z krytycznych tapów dla sformułowana problmu symulacyjngo jst dyskrtyzacja dzdzny. W pracy zaprzntowano pwn ogóln analog zwązk, jak występują mędzy dyskrtyzacjam skończn lmntowym a obktam formalzmam topolog. Dostarczają on fktywnj mtody analzy struktury przylgłośc, któr mogą być użyt w clu modyfkacj przbudowy satk. Słowa kluczow: symplks, łańcuch, kołańcuch, ncydncja, sąsdztwo, rmshng, mchanka ośrodków cągłych Symbol UKD: Wprowadzn Modl fnomnologczn zjawsk rozpatrywanych na grunc mchank ośrodków cągłych mają najczęścj postać równana bądź układów równań różnczkowych cząstkowych, nrzadko nlnowych, których rozwązana są raczj trudn do osągnęca na drodz analtycznj. Z koncznośc, rgułę stanow tutaj zastosowan mtod komputrowych, z czym wąż sę nodłączn zarówno aproksymacja zwązków fnomnologcznych zadana, jak dyskrtyzacja gomtr dzdzny. Sam tap transformacj z rprzntacj cągłj do dyskrtnj ma kluczow znaczn dla stablnośc zbżnośc procsu tracyjngo, a w ogólnośc równż jakośc uzyskanych fnaln wynków. Równoczśn, praca z modlam dyskrtnym gomtr jst co najmnj trudna ucążlwa, a możlwośc modyfkacj korkty modl już stnjących bardzo ogranczon. Clm nnjszj pracy jst przntacja bzpośrdnch zwązków analog, jak występują mędzy dyskrtyzacjam wprowadzanym w mtodach numrycznych

2 9 K. Mrota a pwnym obktam abstrakcyjnym rozpatrywanym na grunc topolog algbracznj. Całość przdstawono na przykładz dość ogólngo problmu w postac zagadnna brzgowgo, dla którgo sformułowano aproksymację skończn lmntową, w sns ważonych rsduów.. Aproksymacj modl fnomnologcznych W obręb każdj tor fzycznj wprowadza sę wlkośc dfnowan w rlacj do obktów gomtrycznych chronomtrycznych. Gdyby rozpatrzyć pwn obszar n R, w postac domknęca = o brzgu gładkm bądź kawałkam gładkm ntrwał czasowy T R, to zasadą dla budowy ogółu zwązków modlowych jst wprowadzn dfncj pól tnorowych opsujących [, 4, 5]: m konfgurację T u R, w szczgólnośc mogą to być współrzędn czasoprzstrzn, a takż dfnowan za ch pośrdnctwm jak w mchanc ośrodków cągłych przmszczna, gradnty dformacj, prędkośc, m przyczynę zmany konfguracj T s R, w mchanc ośrodków cągłych będą to przd wszystkm pola sł masowych. Wlkośc konfguracyjn u źródłow s zspaja zwykl równan bądź układ równań (odpowdno do walncj m m pól tnsorowych) różnczkowych postac [4, 5] s L u, () tworząc strukturę modlu fnomnologczngo, gdz L jst opratorm różnczkowym. W mchanc ośrodków cągłych rolę taką płn równan Cauchy go ρ(a f) = σ, () wążąc fkty oddzaływań pól sł masowych a = dv / dt oraz zwnętrznych f z tnsorm lokalngo stanu naprężna σ stanowącym odzwrcdln zmany konfguracj. Co ntrsując, postać tj rlacj n jst spcyfczna dla mchank można ją odnalźć nawt w dość odlgłych dyscyplnach. Przykładowo, w trmodynamc zwązk opsujący transport nrg cplnj na drodz przwodzna ma formę d = q, (3) dt

3 Topologczna struktura modl skończn lmntowych mchank ośrodków cągłych 93 zaś w tor lktromagntyzmu mamy równan Gaussa, okrślając natężn pola lktryczngo (E) w funkcj gęstośc ładunku (ρ) = ( E ). (4) Oczywśc będą tu występować różnc w sns szczgólnych sformułowań samgo równana fnomnologczngo. Już w samj mchanc ośrodków cągłych stnj wl sformułowań zwązków konstytutywnych stosowanych w clu okrślna stanu naprężna a hpotza o cągłośc ośrodka pozwala odnosć sam formalzm do pwnj nfntzymalnj objętośc lub wyróżnongo punktu przstrzn. Prowadz to do opsu matralngo (Lagrang a) albo tak jak ma to mjsc w przypadku mchank płynów przstrznngo (Eulra), kdy dv v dv v a = = albo a = = + v v. (5) dt t dt t Jdnak w kontkśc budowy aproksymacj skończn lmntowj, n tracąc na ogólnośc rozważań, możmy przyjąć w sns matmatycznym postać modlową równana Possona ( u) na. s = (6) Uzupłnć go muszą warunk brzgow dla zmnnj konfguracyjnj u w postac warunku prwszgo rodzaju (Drchlta) oraz druggo rodzaju (von Numanna) u = D ud (7) n u = h. N (8) Prwszym krokm na drodz budowy modlu dyskrtngo mtody lmntów skończonych jst sformułowan postac waracyjnj zagadnna brzgowgo. Przstrzń rozwązań dostarczająca aproksymacj u pola u mus posadać cchy przstrzn Sobolwa H u,, k p p 3 n p 3 n x x x3 xn 3 n ( ) = u L ( ) ( ) k L ( ) (9)

4 94 K. Mrota o norm u k k n u = 3 n s= 0 ( n ) = s x x x3 xn 0. (0) Dla potrzb rozwązana wyjścowgo zagadnna brzgowgo, z względów praktycznych zakłada sę zwykl H ( ), uzupłnając ją o zbór { u D } wynkający z warunku Drchlta { u u ud na D}. ( ) ( ) S = H = () Wprowadzn rozwązan przyblżongo u powoduj powstan nzrowgo rsduum = 0. () s u r Do jgo mnmalzacj dostępnych jst wl stratg, wśród których dość unwrsalną stanow mtoda ważonych rsduów. Wdług nj dla każdj funkcj próbnj H dobramy pwną funkcję wagową w, równż stanowącą lmnt przstrzn ( ) mnmalzując sumę ważoną { w 0 na }, ( ) w ( ) W = H = D (3) =. (4) w u d ws d H, wyraz znajdujący sę po lwj stron równośc przkształcamy na mocy twrdzna Gaussa-Grna-Ostrogradskgo, uzyskując Aby możlwy był wybór u ( ) w u d = ws d + whd. N (5) Równan to stanow sformułowan waracyjn modlu numryczngo w rprzntacj cągłj. D facto jdnak, wyłączn w przypadku bardzo ogranczonj klasy problmów, możlw byłoby uzyskan rozwązana bzpośrdno tą drogą. W praktyc, w mjsc aproksymacj globalnych, wprowadza sę

5 Topologczna struktura modl skończn lmntowych mchank ośrodków cągłych 95 aproksymacj lokaln na pwnj satc lmntów skończonych takch ż =,oraz = gdy, dfnując w tn sposób skończon aproksymacj przstrzn S() W(), jako: ( ) = { u ( ) : u Pm ( ) oraz u = u dla }, D D h h h h S H (6) ( ) = { w ( ) : w Pm ( ) oraz w = 0dla }, D h h h W H (7) gdz h stanow wymar charaktrystyczny satk h dam( ). P m jst przstrzną ntrpolacyjną lmntu skończongo, zwykl rozpnaną poprzz zbór ( ) lokalnych funkcj kształtu skojarzonych z węzłam I lmntu ( ) ( I I ) ( I I I ). u = Ψ U = Ψ U = Ψ U (8) h Stąd otrzymujmy aproksymację globalną lokalną równana wyjścowgo Ψ Ψ d U = Ψ s d + Ψ hd, N Ψ Ψ d U = Ψ s d + Ψ hd I J J I J I I I I N, (9) (0) stanowąc sformułowan dyskrtn wyjścowgo zagadnna brzgowgo. 3. Pola fzyczn na komplksach symplcjalnych P przstrzn ukldsowj E p, rprzntujących równoczśn zbór położń wktora wodzącgo { r }. Jżl punkty t będą lnowo nzalżn, to każdy koljny punkt A E p będz zalżny od { P }, jżl stnj tak cąg { }, ż P = A oraz, = a odwzorowan Nch dany będz pwn zbór punktów { } jst jdnoznaczn. W tn sposób podzbór punktów przstrzn E p zalżnych od { P } możmy okrślć za pośrdnctwm ch współrzędnych barocntrycznych { }, ( ) ( ) ( p) ( p) ( ) d- fnując w p-symplks c p [, 6] Zauważmy, ż, c dam c = dam, co węcj każd dwa symplksy dntyczngo wymaru są afnczn zomorfczn

6 96 K. Mrota przz to, symplks nalży rozumć jako uogólnn pojęca lmntu skończongo, stosowango w mtodach numrycznych [6]. Jżl { P } jst lnowo nzalżny, to dowolny jgo podzbór, różny od zboru pustgo, równż będz lnowo nzalżny, czyl będz dfnował pwn k-symplks c k k p, tworząc ścanę c p (dla k < p uzyskujmy ścany właścw). ( ) 3 W tn sposób, przykładowo lmnt skończony E można ntrprtować jako 3-symplks, c 3 jgo ścany boczn jako -symplksy c, krawędz jako -symplsy c j, k a wrzchołk jako 0-symplksy c. 0 Rodznę symplksów { c p } nazywamy komplksm symplcjalnym, jżl zawra wszystk symplksy c, [ 0, p] a j k k cn cn = c n jst ścaną wspólną (lub zborm pustym = c ). Ponważ zbór punktów p-symplksu możmy uporządkować na (p+)! sposobów, daj nam to możlwość wprowadzna orntacj symplksów oraz zbudowanych na nch komplksów dyskrtyzacj. Każdj parz symplksów j, ( c p, c p ) przyporządkujmy lczbę j p, odpowdno do orntacj c p jgo j ścany właścwj c n [, 6], j,orntacja (n)zgodna p = 0, w przcwnym raz, (), a tablcę prostokątną p utworzoną z lczb j p nazywać będzmy tablcą ncydncj. W kontkśc zastosowań praktycznych njdnokrotn zachodz potrzba wyróżnna w obręb komplksu pwnj zborowośc symplksów. Jżl utworzymy sumę (formalną) postac n c = C, () p p w obręb którj dany p-symplks c p występuj n -krotn, to mówmy, ż zdfnowany został pwn p-łańcuch C p. Zauważmy, ż sama da łańcucha nawązuj bzpośrdno do ntucyjngo okrślna dzdzny poprzz sumę jj częśc składowych. Szczgólnym łańcuchm, o fundamntalnym znacznu dla sformułowań praw fzyk modl dyskrtnych jst łańcuch brzgowy, okrślony opratorm []: { p} { p }, C C (3) ( n p) n p. c = c (4)

7 Topologczna struktura modl skończn lmntowych mchank ośrodków cągłych 97 Korzystając z pojęca ncydncj, łańcuch brzgowy względm wyznaczyć jako sumę formalną (bz sumowana względm p) j (n-)-symplksów c p brzgowych., j j p p p C p można C = c (5) O l symplks dfnowan za jgo pośrdnctwm obkty topologczn odzwrcdlają opracj dkompozycj dzdzny, o tyl n dostarczają dyskrtyzacj zwązków fnomnologcznych. Jżl w takm raz mamy pwn łańcuch C p, to każdmu jgo lmntow c p pownna być przyporządkowana pwna wartość ξ pola fzyczngo Ξ C = n c n = Ξ, (6) p p co okrśla kołańcuch Ξ względm łańcucha C p [,, 6]. W takm raz można powdzć, ż sumy całk oblczan na poszczgólnych lmntach skończonych w rów- nanu (0) Ψ d I Ψ J s d I (bz sumowana względm ) okrślają Ψ wartośc kołańcucha względm koljnych symplksów łańcucha C p zbudowango p p na lmntach danj dyskrtyzacj obszaru E, [, 6]. Natomast ostatna całka Ψ hd stanow kołańcuch względm C I pn = C( p ), N dla którgo zadano warunk N von Numanna. Stąd równan (0) możmy zapsać jako C, Ψ Ψ U = C, Ψ s + C, Ψ N h, (7) p I J J p I p I przy czym występujący po lwj stron równana czynnk U J wprowadzono tutaj wyłączn w clu uzyskana zgodnośc formalnj zapsu. W sns mplmntacj komputrowj będz on stanowł odrębną macrz kolumnową nwadomych, a pozostał czynnk będą tworzyć macrz współczynnków układu. 4. Praktyczna analza topolog satk dyskrtyzacyjnj Wynkm pracy każdgo prprocsora jst, wśród wlu nnych danych przygotowywanych dla potrzb solvra, takż nformacja o topolog satk. Informacja ta zapsywana jst zawsz w postac tabl okrślającj ncydncję mędzy lmntam a węzłam. Jst to w takm raz tabla ncydncj mędzy symplksam, c 3 c lub j c a budującym j c, 0 czyl zawsz w rlacj do 0-symplksów. Na jj podstaw

8 98 K. Mrota możmy jdnak z łatwoścą zrkonstruować macrz ncydncj w sns topologcznym. Rozpatrzmy lmntarny przykład dyskrtyzacj wycnka powrzchn poprzz -symplksy, przdstawony na rysunku. Rys.. Satka lmntów powrzchnowych jako komplks symplcjalny Mamy tutaj -symplksy c = ( c0c0c0c0), c = ( c0c0c0c0), c = ( c0c0c0c0), ( c c c c ) c = Bzpośrdno dostępna jst zatm macrz opsująca ncydncję c a c, 0 postac = (8) Jst ona o tyl ntypowa, ż n odpowada żadnj z dfncj topologcznych macrzy ncydncj a dodatkowo brak tutaj nformacj o orntacj symplksów (jst to o tyl typow dla wynku pracy prprocssora, ż orntacja n stanow nformacj stotnj dla pracy solvra). Macrz ncydncj komplksów c oraz j c, moż być jdnak łatwo zrkonstruowana. W tym przypadku przdstawa sę następująco = (9)

9 Topologczna struktura modl skończn lmntowych mchank ośrodków cągłych 99 j W podobny sposób tworzymy macrz ncydncj symplksów ( c, c0). Na tj podstaw możmy wyznaczyć przykładowo macrz przylgłośc, oblczając: T j, którj lmnty okrślają przylgłość mędzy c 3 a c 3 loścą, k j, k 0-symplków, bowm koljn lmnty wynkowj macrzy wynoszą, czyl tutaj 4 4, 4 4 T = (30) dostarcza analogcznj nformacj, aczkolwk wyraża przylgłość 0-symplksów poprzz -symplksy, T T oraz 3 3 opsują przylgłość -komplksów przz -komplksy odwrotn, T oraz T dostarcza analogcznych nformacj, aczkolwk w odnsnu do - oraz 0-komplksów. T Praca z modlam dyskrtnym wąż sę zawsz z koncznoścą slkcj pwnych podobszarów, w szczgólnośc brzgowych, co w przypadku modl o złożonj gomtr moż być dość trudn. D facto jdnak przywołując podan uprzdno twrdzn dntyfkacja łańcucha brzgowgo moż być przprowadzona w sposób całkowc automatyczny, bz koncznośc jakjkolwk ngrncj. Gdyby rozpatrzyć ponown przykład przdstawony na rysunku, to brzg obszaru, j j tworzy łańcuch -komplksów, j c pod warunkm jdnak, ż c będą zgodn zorntowan, co nstty zwykl n będz mało mjsca (jżl będzmy wykorzystywać jako dan wynk pracy standardowych paktów prprocssngu). Gdyby jdnak wyznaczyć loczyn E, to otrzymamy E = [ ], a borąc pod uwagę, ż w ogólnośc brzg dla C p okrśla łańcuch symplksów c p jdnokrotnych, wynk jdnoznaczn dntyfkuj krawędz brzgow. W równ prosty sposób możlw do zralzowana stają sę wszlkgo rodzaju opracj rmshngu zwązango z przbudową satk czy zmany klasy lmntu skończongo. Praktyczny przykład tgo rodzaju zastosowań przntuj praca J. Stadnckgo Z. Tokarza, dotycząca analzy odkształcń kompozytowgo skrzydła samolotu [3]. Dla potrzb symulacj matrału kompozytowgo użyto tam satk lmntów blkowych (*BAR), powstałych w wynku przbudowy lmntów powrzchnowych (*QUAD4). Sposób przbudowy satk zakłada utworzn

10 00 K. Mrota względm stnjącgo -komplksu całkowc nowgo -komplksu, którgo łańcuchy C, mają taką orntację przstrznną, ż: n prwszy ostatn symplks c 0 c 0 będz równoczśn lmntm c j C łańcucha brzgowgo prwotngo -komplksu, każdy koljny symplks c 0 jst wybrany wzdłuż krunku przkątnj bżącgo c, co zapwna zgodna orntacja wyjścowgo -komplksu (ndukowana dowolnym c k C ), j koljny symplks c jst wybrany w tak sposób, ż odpowadający m lmnt tablcy przylgłośc T jst równy jdnośc. Szkltowy kod źródłowy w języku C gnrujący łańcuchy nowgo komplksu przdstawa zamszczony lstng. Przyjęto tutaj, ż satka zawra E lmntów, V węzłów, Ebf Vbf są tablcam znacznków ( jżl symplks brzgowy, 0 w przcwnym raz), EE jst tablcą przylgłośc T. for(o=0;o<e;o++) { f(!*(ebf+o)){contnu;} for(no=0;no<n;no++) { vo=*(i+n*o+no); f(!*(vbf+vo)){contnu;} =o; v=vo; n=no; prntf( %8lu,v); do { n=(n+)%n; v=*(i+n*+n); prntf( %8lu,v); for(=0;<e;++){f(*(ee+e*+)= =&&*(EV+V*+v)){brak;}} =; v=v; for(n=0;n<n;n++){f(*(i+n*+n)=v){brak;}} }whl(!*(vbf+v)); prntf( \n ); } } Na podstaw nowoutworzonych łańcuchów C można, w dalszj koljnośc, zbudować struktury opsując dyskrtyzację blkową.

11 Topologczna struktura modl skończn lmntowych mchank ośrodków cągłych 0 5. Podsumowan Użyc mtod komputrowych dla zagadnń mchank ośrodków cągłych łączy sę, praktyczn nrozrwaln, z koncznoścą pracy z modlam dyskrtnym gomtr. O l dostępn aktualn narzędza prprocssngu skutczn gnrują sam satk, o tyl dalsz ch modyfkacj są raczj bardzo trudn, a przcż częstokroć nzbędn. W pracy tj zaprzntowano bzpośrdn analog, jak występują mędzy sformułowanam modl skończn lmntowych a pwnym formalzmam obktam dfnowanym na grunc topolog algbracznj. Mają on dwojakgo rodzaju aspkt: dyskrtyzacj dzdzny oraz dyskrtyzacj rlacj okrślających modl fnomnologczny. Prwszmu z nch można nadać ntrprtację uogólnn w postac komplksu symplcjalngo dfnowanych na nm łańcuchach. Natomast drug, stowarzyszony z nm, znajduj odzwrcdln w postac kołańcucha względm łańcuchów komplksu. Jako lustrację, przytoczono tutaj lmntarn przykłady, któr przntują pwn możlwośc tkwąc w takj właśn ntrprtacj modlu dyskrtngo, powstałgo na grunc mtody lmntów skończonych. Artykuł wpłynął do rdakcj r. Zwryfkowaną wrsję po rcnzj otrzymano w maju 008 r. LITERATURA [] Y. Elashbrg, L. Traynor (ds.), Symplctc Gomtry and Topology, Amrcan Mathmatcal Socty, Nw York, 006. [] C. Mattuss, An Analyss of Fnt Volum, Fnt Elmnt, and Fnt Dffrnc Mthods Usng Som Concpts from Algbrac Topology, J. Comput. Phys., 33, 997, [3] J. Stadnck, Z. Tokarz, Analza odkształcń kompozytowgo skrzydła samolotu, XII Szkoła komputrowgo wspomagana projktowana, wytwarzana ksploatacj, Jurata, -6 maja 008, 05-. [4] E. Tont, A Mathmatcal Modl for Physcal Thors. Nota I, Rnd. Accad. Lnc, Sr VIII, 5, 97, [5] E. Tont, A Drct Dscrt Formulaton of Fld Laws: Th Cll Mthod, CMES, vol., no., 00, -6. [6] A. H. Wallac, Algbrac Topology: Homology and Cohomology, Dovr Publcatons, Nw York, 007. K. MIROTA Topologcal structur of fnt lmnt modls of contnuum mchancs Abstract. On of a most crucal stag n formulaton of smulaton task s doman dscrtsaton. Th man focus of ths work ls n connctons btwn dscrtsatons and crtan typs of topologcal

12 0 K. Mrota formalsm. Thy provd a robust mthod of msh connctvty analyss, whch may b appld n modfcaton and rmshng. Kywords: smplx, chan, cochan, ncdnc, adjacncy, rmshng, mchancs of contnuous mda Unvrsal Dcmal Classfcaton: 53..4