Całka podwójna po prostokącie

Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i o polach i, i {,,..., n}. odział ten oznaczmy symbolem n. W każdym z prostokątów i wybierzmy dowolnie punkt A i = (x i, y i ), następnie wyznaczmy wartość funkcji f w tych punktach i rozważmy sumę postaci S n = Sumę tę nazywamy sumą całkową funkcji f w prostokącie. n f (x i, y i ) i. () i= la danego podziału n wybierając na dwa różne sposoby punkty A i i, i {,,..., n}, możemy oczywiście otrzymać dwie różne sumy całkowe (). la każdego i {,,..., n} niech d i oznacza długość przekątnej prostokąta i. Liczbę δ n = max {d, d,..., d n } nazywamy średnicą podziału n prostokąta. Rozważmy następnie ciąg podziałów ( n ) n N prostokąta. Ciąg taki nazywamy ciągiem normalnym podziałów, jeżeli odpowiadający mu ciąg średnic (δ n ) n N dąży do zera, tj. lim δ n =. n Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów prostokąta ciąg sum całkowych (S n ) n N jest zbieżny do tej samej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktów pośrednich A i, to tę granicę nazywamy całką podwójną funkcji f w prostokącie i oznaczamy symbolem f (x, y) d lub f (x, y) dxdy. () Jeżeli całka () istnieje, to mówimy, że funkcja f jest całkowalna (w sensie Riemanna) w prostokącie. Zwróćmy uwagę, że całka () oznacza granicę wspólną dla wszystkich ciągów sum całkowych, które można otrzymać, rozpatrując różne ciągi normalne podziałów prostokąta i niezależnie od nich wybierając na różne sposoby punkty A i. Inaczej mówiąc, istnienie całki () zapewnia to, że każde dwie sumy całkowe () różnią się od siebie dowolnie mało, jeżeli tylko średnice podziałów, dla których zostały one utworzone, są dostatecznie małe.

Można wykazać, że ograniczoność funkcji f jest warunkiem koniecznym istnienia całki (), nie jest jednak warunkiem wystarczającym. Twierdzenie. Załóżmy, że funkcja f : R jest ograniczona i ciągła w prostokącie z wyjątkiem - co najwyżej - zbioru punktów, dającego się pokryć skończoną liczbą prostokątów, których suma pól jest dowolnie mała. Wtedy funkcja f jest całkowalna w tym prostokącie. W szczególności funkcja ciągła w prostokącie (domkniętym) jest w nim całkowalna. Można pokazać, że zbiór punktów położonych na krzywej, będącej wykresem funkcji ciągłej y = ϕ (x) w przedziale [a, b] można pokryć skończoną liczbą prostokątów, których suma pól jest dowolnie mała. Analogicznie, zbiór punktów położonych na krzywej, będącej wykresem funkcji ciągłej x = ψ (y) w przedziale [c, d] daje się pokryć skończoną liczbą prostokątów, których suma pól jest dowolnie mała. Jeżeli więc funkcja f jest ciągła w prostokącie z wyjątkiem co najwyżej punktów położonych na skończonej liczbie krzywych, z których każda jest bądź to wykresem funkcji ciągłej w przedziale [a, b], bądź to wykresem funkcji ciągłej w przedziale [c, d], to funkcja f jest całkowalna w prostokącie. tj. Jeżeli funkcja f jest ciągła w prostokącie i przyjmuje w nim jedynie nieujemne wartości, f (x, y), (x, y), to suma całkowa () równa jest sumie objętości prostopadłościanów o polach podstaw i i wysokościach f (x i, y i ), i {,,..., n}. Całka () równa jest wówczas objętości V bryły ograniczonej płaszczyznami z =, x = a, x = b, y = c, y = d oraz powierzchnią o równaniu z = f (x, y). Twierdzenie. (O zamianie całki powójnej na całkę iterowaną) Jeżeli funkcja f jest ciągła w prostokącie = [a, b] [c, d], to f (x, y) dxdy = d b f (x, y) dx dy (3) c a oraz f (x, y) dxdy = b d f (x, y) dy dx. (4) a c

o prawych stronach równości (3) i (4) znajdują się tzw. całki iterowane (powtórzone) funkcji f w prostokącie. Równości te pozwalają wyznaczyć całkę podwójną funkcji ciagłej poprzez obliczenie odpowiedniej całki iterowanej, które sprowadza się z kolei do obliczenia dwóch całek oznaczonych. rzykład. Obliczyć całkę podwójną funkcji określonej wzorem f (x, y) = xy w prostokącie = [, ] [, ]. Zauważmy, że funkcja f jest ciągła w prostokącie, a zatem ze wzoru (3) dostajemy [ ] xy dxdy = xy dx dy = y xdx x dy = y [ ] dy = y dy = 3 y3 = 3. Analogicznie, na mocy wzoru (4) mamy xy dxdy = xy dy dx = x y dy dx = [ ] x 3 y3 dx = [ ] 3 xdx = 6 x = 3. Wniosek. Jeżeli f (x, y) = g (x) h (y) dla (x, y) [a, b] [c, d] oraz g jest funkcją ciągłą w przedziale [a, b], zaś h jest funkcją ciągłą w przedziale [c, d], to f (x, y) dxdy = b g (x) dx d h (y) dy. (5) [a,b] [c,d] a c Uwaga. Można wykazać, że wzory (3) i (4) są prawdziwe przy następujących, słabszych niż w Twierdzeniu dwóch założeniach: (i) istnieje całka podwójna f (x, y) dxdy oraz (ii) [dla wzoru (3)] dla każdego y [c, d] istnieje całka b f (x, y) dx, a lub odpowiednio (ii) [dla wzoru (4)] dla każdego x [a, b] istnieje całka d f (x, y) dy. c

Całka podwójna w obszarze normalnym Jeżeli w przedziale [a, b] funkcje y = ϕ(x), y = ψ(x) są ciągłe oraz ϕ(x) < ψ(x), x (a, b), to zbiór = { (x, y) R : a x b, ϕ(x) y ψ(x) } (6) nazywamy obszarem normalnym względem osi x. Obszarem normalnym względem osi y nazywamy zbiór = { (x, y) R : p(y) x q(y), c y d }, (7) gdzie x = p(y) i x = q(y) są funkcjami ciągłymi w przedziale [c, d] spełniającymi warunek p(y) < q(y), y (c, d). Każdy obszar normalny jest domknięty i ograniczony, zatem każda funkcja ciągła w obszarze normalnym jest w tym obszarze ograniczona. Załóżmy, że ciągła funkcja f określona jest w obszarze (6) normalnym względem osi x. Niech c = inf ϕ(x) oraz d = sup ψ(x). x [a,b] x [a,b] rzyjmijmy ponadto, że = [a, b] [c, d]. Wtedy łatwo zauważyć, że. Rozważmy funkcję f określoną w prostokącie wzorem f (x, y) = { f (x, y), (x, y), (x, y) \. Funkcja f jest całkowalna w prostokącie, ponieważ jest w nim ciągła, z wyjątkiem - co najwyżej - punktów położonych na krzywych y = ϕ(x), y = ψ(x), gdzie x [a, b]. Całkę podwójną funkcji f w obszarze normalnym oznaczamy symbolem f (x, y) d lub f (x, y) dxdy, i określamy następująco f (x, y) d def = f (x, y) d. (8)

Wniosek. Jeżeli funkcja f jest ciągła w obszarze (6) normalnym względem osi x, to b ψ(x) f (x, y) d = f (x, y) dy dx. (9) a ϕ(x) rzykład. Obliczyć całkę podwójną funkcji określonej wzorem f (x, y) = x y w trójkącie ograniczonym prostymi x =, y = x oraz y = x. Zbiór = { (x, y) R : x, x y x} jest obszarem normalnym względem osi x oraz x [ ] x yd = y ydy dx = x x ( dx = x x ( x) ( ) ) x dx = x x = ( 3 x 3 x3 + 3 ) [ 8 x4 dx = x3 3 8 x4 + 3 ] 4 x5 = 5. Całkę podwójną funkcji ciągłej f w obszarze (7) normalnym względem osi y, określamy analogicznie jak w przypadku obszaru normalnego względem osi x. Wniosek 3. Jeżeli funkcja f jest ciągła w obszarze (7) normalnym względem osi y, to d q(y) f (x, y) d = f (x, y) dx dy. () c p(y) rzykład. Obliczyć całkę podwójną xd, gdzie jest obszarem ograniczonym krzywymi x + y = a, x + y = ay i prostymi x =, y = (a > ). Mamy x + y = a = x = a y, dla y [, a], oraz x + y = ay = x = ay y, dla y [, a]. Stąd zbiór = {(x, y) R : y a, ay y x } a y jest obszarem nor-

malnym względem osi y. Wobec tego a a y a xd = dy = ay y xdx = a ( ( a y ) ( )) ay y dy = ( a ay ) dy = [ a y ] a ay = 4 a3. Zbiór R nazywamy obszarem regularnym na płaszczyźnie, jeżeli istnieją obszary normalne,,..., m (względem osi x lub y), które nie mają wspólnych punktów wewnętrznych i takie, że =... m. Całkę podwójną funkcji f ciągłej w obszarze regularnym =... m, gdzie,,..., m są obszarami normalnymi, które nie mają wspólnych punktów wewnętrznych definiujemy jako sumę całek funkcji f w obszarach,,..., m, tj. f (x, y) d = f (x, y) d + f (x, y) d +... + f (x, y) d. () m rzykład. Obliczyć całkę podwójną (x + y) d, gdzie jest obszarem ograniczonym krzywymi y = x oraz y = x. oraz Zauważmy, że =, gdzie = { (x, y) : x, x y x } = { (x, y) : y, y x y } = { (x, y) : x, x y x } = { (x, y) : y, y x y }. Skoro więc i są obszarami normalnymi (zarówno względem osi x jak i y), które nie mają wspólnych punktów wewnętrznych, to zbiór jest obszarem regularnym. onadto y [ ] y (x + y) d = (x + y) dx dy = x + xy dy = y y = ( y4 y 3 + ) [ y dy = y5 4 y4 + ] 6 y3 = 6,

oraz (x + y) d = = x x (x + y) dy dx = [xy + ] x y dx = (x x + x 3 ) [ x dx = 5 x 5 + 4 x ] x3 = 3. x Wobec tego (x + y) d = (x + y) d + (x + y) d = 6 + 3 = 6. Własności całki podwójnej Załóżmy, że zbiory,, są obszarami regularnymi na płaszczyźnie, a funkcje f i g (dwóch zmiennych) są w tych obszarach ograniczone i całkowalne. onadto niech c, m, M R. Wtedy (A) Całka funkcji równej Jeżeli funkcja podcałkowa jest stała i równa w obszarze, to całka jest równa polu obszaru, tj. d =. (B) Wyłączanie stałej przed znak całki cf (x, y) d = c f (x, y) d. (C) Addytywność całki względem funkcji podcałkowej (f (x, y) + g (x, y)) d = f (x, y) d + g (x, y) d. () Addytywność całki względem obszaru całkowania Jeżeli obszar jest sumą obszarów i, nie mających wspólnych punktów wewnętrznych, to f (x, y) d = f (x, y) d + f (x, y) d.

(E) Monotoniczność całki Jeżeli f (x, y) g (x, y) dla (x, y), to f (x, y) d g (x, y) d. W szczególności, jeżeli f (x, y) dla (x, y), to f (x, y) d. Co więcej, jeżeli funkcja f jest całkowalna w obszarze, to całkowalna jest w tym obszarze również funkcja f i zachodzi nierówność f (x, y) d f (x, y) d. (F) Oszacowanie całki podwójnej Jeżeli m f (x, y) M dla (x, y), to m f (x, y) d M, gdzie jest polem obszaru. (G) O wartości średniej Jeżeli funkcja f jest ciągła w obszarze, to istnieje taki punkt (ξ, η), że f (x, y) d = f (ξ, η). (H) Symetria obszaru i symetria funkcji Jeżeli obszar jest symetryczny do obszaru względem pewnej prostej (pewnego punktu) i funkcja f przyjmuje w punktach symetrycznych równe wartości, to f (x, y) d = f (x, y) d. Jeżeli przy tych samych założeniach o obszarach, funkcja f przyjmuje w punktach symetrycznych przeciwne wartości, to f (x, y) d = f (x, y) d. W szczególności, jeżeli =, to w pierwszym przypadku f (x, y) d = f (x, y) d, zaś w drugim przypadku f (x, y) d =.

Zamiana zmiennych w całce podwójnej Rozważmy dwie płaszczyzny, na których wprowadzono prostokątne układy współrzędnych: na pierwszej układ XOY, na drugiej układ UQV. Niech na płaszczyźnie UQV będzie dany obszar oraz przekształcenie x = x(u, v), y = y(u, v) dla (u, v), () które każdemu punktowi T = (u, v) obszaru przyporządkowuje na płaszczyźnie XOY pewien punkt = (x, y). unkt nazywamy obrazem punktu T, a zbiór obrazów wszystkich punktów obszaru nazywamy obrazem obszaru. rzekształcenie () nazywamy: ciągłym w, gdy funkcje x = x(u, v) i y = y(u, v) są ciągłe w, klasy C w, gdy funkcje x = x(u, v) i y = y(u, v) posiadają w obszarze obie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu oraz wszystkie te pochodne cząstkowe są ciągłe w, odwracalnym w, gdy każdym dwóm różnym punktom obszaru odpowiadają dwa różne punkty zbioru ; wówczas istnieje przekształcenie odwrotne zbioru na obszar. u = u(x, y), v = v(x, y) dla (x, y), (3) Załóżmy, że przekształcenie () jest klasy C w obszarze. Jakobianem przekształcenia () nazywamy wyznacznik x(u, v) x(u, v) J(u, v) = dla (u, v). (4) y(u, v) y(u, v) rzy powyższym założeniu, jakobian jest funkcją ciągłą w obszarze. Każdy punkt = (x, y) zbioru jest obrazem jakiegoś (co najmniej jednego) punktu (u, v) obszaru. Liczby u, v nazywamy współrzędnymi krzywoliniowymi punktu. Nazwa pochodzi stąd, że obrazem prostych u = const i v = const na płaszczyźnie UQV są pewne krzywe na płaszczyźnie XOY. Twierdzenie 3. (O zamianie zmiennych w całce podwójnej) Niech f będzie funkcją ciągłą w domkniętym obszarze regularnym R. Załóżmy ponadto, że dane jest przekształcenie x = x(u, v), y = y(u, v) dla (u, v), w którym obszar jest obrazem pewnego domkniętego obszaru regularnego, przy czym przekształcenie to: (a) jest klasy C w pewnym obszarze zawierającym w sobie domknięty obszar, (b) jest odwracalne wewnątrz obszau,

(c) ma jakobian różny od, w każdym punkcie wewnętrznym obszaru. Wówczas zachodzi równość f (x, y) dxdy = f (x(u, v), y(u, v)) J(u, v) dudv. (5) rzykład. Obliczyć całkę podwójną xy 3 dxdy w obszarze położonym w pierwszej ćwiartce i ograniczonym liniami xy =, xy =, y = x i y = x. Z uwagi na równania linii, na których położony jest brzeg obszaru, widać, że odwzorowanie: u = xy, v = y (*) x przekształca obszar na kwadrat = {(u, v) : u, v }. onieważ x > i y >, to odwzorowanie ( ) jest odwracalne, przy czym odwzorowanie odwrotne, obszaru na obszar, określone jest wzorami u x = v, y = uv, (u, v). (+) Odwzorowanie (+) jest określone w obszarze Ω = (, ) (, ), zawierającym obszar, i jest w tym obszarze klasy C, przy czym jakobian tego przekształcenia jest równy u uv v v J(u, v) = = dla (u, v), v i jest dodatni w obszarze. v u u v Spełnione są więc wszystkie założenia twierdzenia o zamianie zmiennych w całce podwójnej. Korzystając ze wzoru (8) dostajemy xy 3 dxdy = u v v dudv = = u dudv = [ ] 3 u3 dv = u du dv = 7 3 dv = 7 6. rzykład. Obliczyć pole obszaru z przykładu. Mamy = dxdy.

Zachowując przyjęte w poprzednim przykładzie oznaczenia otrzymujemy = dxdy = J(u, v) dudv = v dudv = v dv du = = [ln v] du = ln du = ln. Oczywiście pole obszaru można również obliczyć wprost, bez zamiany zmiennych. Współrzędne biegunowe ołożenie punktu na płaszczyźnie można opisać parą liczb (r, α), gdzie: r - oznacza odległość punktu od początku układu współrzędnych, a więc r <, α - oznacza miarę kąta między dodatnią częścią osi Ox a promieniem wodzącym punktu, a więc α < π. arę liczb (r, α) nazywamy współrzędnymi biegunowymi punktu płaszczyzny. Współrzędne kartezjańskie (x, y) punktu płaszczyzny danego we współrzędnych biegunowych (r, α) określone są wzorami: { x = r cos α, (6) y = r sin α. rzekształcenie (6), które punktowi (r, α) przyporządkowuje punkt (x, y) określony powyższymi wzorami, nazywamy przekształceniem biegunowym. rzekształcenie biegunowe jest klasy C i ma jakobian cos α r sin α J(r, α) = sin α r cos α = r cos α + r sin α = r. Twierdzenie 4. (Współrzędne biegunowe w całce podwójnej) Niech. obszar we współrzędnych biegunowych będzie obszarem normalnym,. funkcja f będzie określona na obszarze, który jest obrazem obszaru przy przekształceniu biegunowym.

Wtedy f (x, y) dxdy = f (r cos α, r sin α) rdrdα. Uwaga. Współrzędne biegunowe stosujemy głównie wtedy, gdy obszar całkowania jest ograniczony łukami okręgów o środku w początku układu współrzędnych oraz odcinkami prostych przechodzacych przez początek układu. rzykład 3. Obliczyć całkę podwójną xdxdy w obszarze położonym w pierwszej ćwiartce płaszczyzny XOY i ograniczonym prostymi x =, y = oraz okręgami x + y =, x + y = 4. Obszar jest obrazem prostokąta = { (r, α) : r, α π }, wyznaczonym poprzez przekształcenie biegunowe (6). Zatem xdxdy = r cos αdrdα = r dr π cos αdα = [ ] 3 r3 [sin α] π = 7 3. Zastosowania całek podwójnych. ole obszaru R wyraża się wzorem = dxdy.. Objętość bryły V położonej nad obszarem R i ograniczonej z dołu i z góry odpowiednio powierzchniami z = f(x, y) i z = g(x, y), wyraża się wzorem V = (g(x, y) f(x, y)) dxdy. 3. ole płata Σ, który jest wykresem funkcji z = f(x, y), gdzie (x, y), wyraża się wzorem ( ) ( ) f f Σ = + (x, y) + (x, y) dxdy. x y Zakładamy tutaj, że funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w obszarze.