JJ, IMiF UTP 16
PŁASZCZYZNA W R 3 Równanie płaszczyzny prostopadłej do wektora n = [A, B, C] i przechodzącej przez punkt P 1 (x 1, y 1, z 1 ): A(x x 1 ) + B(y y 1 ) + C(z z 1 ) = 0. n = [A, B, C] P 1 (x 1, y 1, z 1 )
Ogólne równanie płaszczyzny Równanie płaszczyzny prostopadłej do wektora i przechodzącej przez zadany punkt: A(x x 1 ) + B(y y 1 ) + C(z z 1 ) = 0, Ax + By + Cz Ax 1 By 1 Cz 1 = 0, Ogólne równanie płaszczyzny: Ax + By + Cz + D = 0. Płaszczyzna ta jest prostopadła do wektora n = [A, B, C].
Odcinkowe równanie płaszczyzny z c a x b y
Odcinkowe równanie płaszczyzny z c x a b y Równanie odcinkowe płaszczyzny nierównoległej do żadnej osi układu współrzędnych: x a + y b + z c = 1. Płaszczyzna ta przechodzi przez punkty (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c).
Odcinkowe równanie płaszczyzny z c x a b y Równanie odcinkowe płaszczyzny nierównoległej do żadnej osi układu współrzędnych: x a + y b + z c = 1. Płaszczyzna ta przechodzi przez punkty (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c).
Odcinkowe równanie płaszczyzny z c x a b y Równanie odcinkowe płaszczyzny nierównoległej do żadnej osi układu współrzędnych: x a + y b + z c = 1. Płaszczyzna ta przechodzi przez punkty (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c).
Odcinkowe równanie płaszczyzny z c x a b y Równanie odcinkowe płaszczyzny nierównoległej do żadnej osi układu współrzędnych: x a + y b + z c = 1. Płaszczyzna ta przechodzi przez punkty (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c).
PŁASZCZYZNA W R 3 Odległość punktu od płaszczyzny P 0 (x 0, y 0, z 0 ) Ax + By + Cz + D = 0 wynosi d = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A + B + C.
PROSTA W R 3 Równanie parametryczne prostej l przechodzącej przez punkt P 1 (x 1, y 1, z 1 ) i równoległej do wektora k = [a, b, c]: x = x 1 + at y = y 1 + bt z = z 1 + ct, dla t R. k = [a, b, c] l P 1 (x 1, y 1, z 1 )
PROSTA W R 3 Równanie kierunkowe (kanoniczne) prostej przechodzącej przez punkt P(x 1, y 1, z 1 ) i równoległej do wektora k = [a, b, c]: x x 1 a = y y 1 b = z z 1. c k = [a, b, c] l P 1 (x 1, y 1, z 1 )
Przypomnienie twierdzenia Kroneckera-Capelliego Rozważamy układ dwóch równań liniowych z trzema niewiadomymi: { A1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A x + B y + C z + D = 0 ; Jeśli R(A) R(U), to układ nie ma rozwiązania.
Przypomnienie twierdzenia Kroneckera-Capelliego Jeśli R(A) = R(U) = 1 < n = 3, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od dwóch parametrów. Jeżeli natomiast R(A) = R(U) = < n = 3, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru:
Równanie krawędziowe prostej { A1 x + B l = 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A x + B y + C z + D = 0 ; (płaszczyzny opisane tymi równaniami nie są równoległe). l
ZADANIE 1. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt P(1,, 3) i prostopadłej do płaszczyzny x + 3y + 4z + 1 = 0.
ZADANIE 1. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt P(1,, 3) i prostopadłej do płaszczyzny x + 3y + 4z + 1 = 0. P
ZADANIE 1. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt P(1,, 3) i prostopadłej do płaszczyzny x + 3y + 4z + 1 = 0. P n
ZADANIE 1. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt P(1,, 3) i prostopadłej do płaszczyzny x + 3y + 4z + 1 = 0. P n = k
ZADANIE 1. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt P(1,, 3) i prostopadłej do płaszczyzny x + 3y + 4z + 1 = 0. P n = k Szukane równanie prostej: x 1 = y 3 = z 3 4.
ZADANIE. x 3 = y+4 = z 13 Dla jakiej wartości parametru µ prosta 4 jest równoległa do płaszczyzny x + µy + z + 31 = 0?
ZADANIE. x 3 = y+4 = z 13 Dla jakiej wartości parametru µ prosta 4 jest równoległa do płaszczyzny x + µy + z + 31 = 0?
ZADANIE. x 3 = y+4 = z 13 Dla jakiej wartości parametru µ prosta 4 jest równoległa do płaszczyzny x + µy + z + 31 = 0? k n
ZADANIE. x 3 = y+4 = z 13 Dla jakiej wartości parametru µ prosta 4 jest równoległa do płaszczyzny x + µy + z + 31 = 0? k n Płaszczyzna i prosta będą równoległe, gdy k n. Jest to równoważne warunkowi k n = 0. Stąd otrzymamy: [3,, 4] [, µ, 1] = 0 6 + µ + 4 = 0 µ = 1.
Kwadryki Powierzchnia to zbiór punktów (x, y, z) opisanych równaniem: A 1 +A y +A 3 z +A 4 xy+a 5 xz+a 6 yz+a 7 x+a 8 y+a 9 z+a = 0, gdzie przynajmniej jedna ze stałych A 1,..., A 6 jest różna od zera. TWIERDZENIE. Każdą powierzchnię można tak przesunąć i obrócić by przyjęła jedną z następujących postaci: + y + z a b c = 1 (elipsoida), + y + z a b c = 0 (punkt),
Powierzchnie + y + z a b c = 1 (zbiór pusty), + y z a b c = 1 (hiperboloida jednopowłokowa), y z a b c = 1 (hiperboloida dwupowłokowa), + y z a b c = 0 (stożek), + y = z a b (paraboloida eliptyczna), y = z a b (paraboloida hiperboliczna),
Powierzchnie + y a b y a b + y a b + y a b y a b = 1 (walec eliptyczny), = 1 (walec hiperboliczny), = 1 (zbiór pusty), = 0 (prosta), = 0 (dwie płaszczyzny), a = y (walec paraboliczny), a a a = 1 (dwie płaszczyzny równoległe), = 0 (płaszczyzna), = 1 (zbiór pusty).
PRZYKŁAD. Naszkicuj powierzchnię z = + y dla x, y. 8 6 z 4 f (x, y) 8 6 1 4 y 0 1 1.5 1 0.5 0 0.5 x 1 1.5
PRZYKŁAD. Naszkicuj powierzchnię z = 4 y dla x, y. z 0 f (x, y) 4 1 0 4 y 0 1 1.5 1 0.5 0 0.5 x 1 1.5
PRZYKŁAD. Naszkicuj powierzchnię z = 4 + y dla x, y. 6 z 4 f (x, y) 8 6 1 4 0 y 0 1 1.5 1 0.5 0 0.5 x 1 1.5
PRZYKŁAD. Naszkicuj powierzchnię 9 + y 4 + z 1 = 1 z y x