Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA: symbol ZZ oznacza J. Kłopotowski, M. Wrzosek, Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa, podręcznik to J. Kłopotowski Wykłady z rachunku prawdopodobieństwa. 1. Dane są zdarzenia A, B i C. Za pomocą działań na zbiorach wyrazić zdarzenia a) zajdzie tylko A b) zajdą dokładnie dwa z rozważanych zdarzeń c) zajdzie mniej niż trzy z rozważanych zdarzeń d) nie zajdzie A ale zajdzie B. 2. W wyniku doświadczenia możemy otrzymać jedno z trzech wzajemnie wykluczających się zdarzeń: A, B, C. Prawdopodobieństwo otrzymania A lub B jest równe 2, a 3 prawdopodobieństwo otrzymania B lub C jest równe 3. Oblicz prawdopodobieństwo 4 każdego z tych zdarzeń. 3. Niech (A n ) n=1 będzie ciągiem zdarzeń parami rozłącznych, takich że Ω = n=1 A n i P (A k+1 ) = 3 4 P (A k) dla k = 1, 2,.... Oblicz P (A 1 ). 4. a) Dane są P (A B) = 3 i P (A B) = 1 i P (A \ B) = P (B \ A). Oblicz P (A) i 4 2 P (B \ A). b) Dane są P (A B ) = 1, P (A B) = 1, P 4 8 (A ) = 5. Oblicz P (B). 8 5. 1.32, 1.33, 1.34 ZZ 6. Rzucamy czterema kostkami do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że a) na każdej kostce będzie inny wynik b) na wszystkich ten sam wynik c) chociaż na dwóch kostkach ten sam wynik. 7. W urnie jest 5 kul białych i 7 czarnych. Losujemy bez zwracania 4 kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że a) wylosowano 1 białą i 3 czarne b) wylosowano 2 białe i 2 czarne c) nie wylosowano białej.
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 2 8. Pięć osób wsiada na parterze do windy bloku 7 piętrowego. Zakładamy, że wysiadają losowo na piętrach. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że a) wszyscy wysiądą na pierwszym pietrze. b) wszyscy wysiądą na jednym z pięter. c) trzech wysiądzie na piętrze piątym i dwóch na szóstym. d) Wysiądą na dwóch piętrach: na jednym 3 osoby na drugim 2 osoby. e) dwóch na piątym piętrze i dwóch na szóstym. f) wysiądą na trzech piętrach: na dwóch z pięter po 2 osoby na pozostałym jedna. 9. Z odcinka (0, 1) wybieramy losowo 2 liczby x i y. W zależności od parametru a R oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że a) xy < a, dla jakich a to prawdopodobieństwo jest większe niż 1 3. b) y x 2 + a. c) y a + x. d) min(x, 1 4 ) < a. e) max(x, y) < a. 10. Z odcinka ( 1, 1) wybieramy losowo 2 liczby x i y. Dla jakich wartości parametru m R zachodzi P (A m ) > 1 3, gdy A m = {(x, y) ( 1, 1) 2 : x y m}. 11. Patyk o długości l dzielimy na trzy części. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że z utworzonych części da się zbudować trójkąt. 12. Zadania z rozdziału 1.1. ZZ 13. Umieszczamy 10 kul o numerach 1, 2,..., 10 w czterech szufladach. Oblicz prawdopodobieństwo, że w każdej będzie chociaż jedna kula. 14. Mamy pięć zaadresowanych kopert i pięć zaadresowanych listów. Wkładamy losowo list do koperty. Oblicz prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden list trafi do właściwej koperty. 15. Z 52 kart wybrano 13. Jaka jest szansa, że wśród wybranych kart jest a) dokładnie jeden as; b) co najmniej jedna szóstka; c) 8 kart jednego koloru; d) będą karty wszystkich kolorów? 16. Z talii 52 kart wybrano 7 kart. Jaka jest szansa, że wśród nich będzie przynajmniej jeden pik oraz przynajmniej jedna dama?
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 3 Odpowiedzi: 1. a) A \ (B C) b) [(A B) (A C) (B C)] \ (A B C) c) (A B C) \ (A B C) d) B \ A 2. P (A) = 1/4; P (B) = 5/12; P (C) = 1/3 3. P (A 1 ) = 1/4 4. a) P (A) = 5/8; P (B \ A) = 1/8 b) P (B) = 1/2 6. a) 6 5 4 3 b) 1 c) 1 6 5 4 3 6 4 6 3 6 4 7. a) (5 1)( 7 3) b) (5 2)( 7 2) c) (5 0)( 7 4) ( 12 4 ) ( 12 4 ) ( 12 4 ) 8) a) 1 b) 7 c) (5 3) d) (5 3) 7 6 e) 5(5 2)( 3 2) f) 5(7 2)( 5 2)( 3 2) 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 9. 0 gdy a 0 a) P (xy < a) = a a ln a gdy a (0, 1) 1 w pozostałych przypadkach 0 gdy a 1 b) P (y x 2 1 + a) = + a 2a a gdy a ( 1, 0) 3 3 2 (a 1) 1 a + 1 gdy a [0, 1) 3 1 gdy a 1 0 gdy a 1 c) P (y a + 1 x) = (1 3 a)3 gdy a (0, 1) 1 a + 5 3 3 a3 gdy a ( 1, 0] 1 gdy a 1 0 gdy a 0 d) P (min{x, 1} < a) = a gdy a (0, 1 4 ] 4 1 gdy a > 1 4 0 gdy a 0 e) P (max{x, y} < a) = a 2 gdy a (0, 1) 1 gdy a 1 11. 1/4 13. 1 [ 4 310 ( ) ] 4 2 10 1 + 4 4 10 2 4 10 4 10 14. 5 4! ( ) 5 3! + ( ) 5 2! ( 5 1 5! 2 5! 3 5! 4) + 1 5! 5! 15. a) (4 1)( 48 12) b) 1 (48 13) c) 4(13 8 )( 39 5 ) d) 1 [4 (39 13) ( 52 13) ( 52 13) ( 52 13) ( 52 13) ( ) 4 ( 26 13) 2 ( 52 13) + ( ) ] 4 ( 13) 3 [ ] ( 52 13) ( 39 7 ) 16. 1 ( 52 7 ) + (48 7 ) ( 52 7 ) (36 7 ) ( 52 7 )
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 4 Ćwiczenia 2. Niezależność zdarzeń, prawdopodobieństwo warunkowe, wzór na prawdopodobieństwo całkowite, wzór Bayesa 1. Losujemy kolejno 13 kart z talii 52 kart. Po obejrzeniu pierwszych 8 nie mamy asa. Oblicz prawdopodobieństwo, że w ogóle nie mamy asa. 2. Rzucono dwa razy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma oczek jest większa niż 8, jeśli wiadomo a) że w pierwszym rzucie wypadło 5 oczek. b) w dokładnie jednym z rzutów wypadło 5 oczek. 3. Z talii 52 kart losujemy jedną. Niech A oznacza zdarzenie, że wylosowano pika, a B - że asa. Czy A i B są niezależne? 4. Rzucamy kostką do gry i monetą. Skonstruować przestrzeń probabilistyczną dla tego doświadczenia. Niech A oznacza zdarzenie, ze wypadło co najmniej 5 oczek lub reszka, a B co najmniej 3 oczka i orzeł. Zbadać, czy A i B niezależne. 5. Niech A i B niezależne. pokaż, że A i B niezależne. 6. Niech P (B) = 2 5, P (A B) = 1 4, P (A B) = 3 5, P (C A B) = 1 2, P (C A) = 3 4. Oblicz P (B A C). 7. Niech zdarzenia A i B będą niezależne i P (A) = P (B) = p. Niech P (C A) = P (C B) = P (C A B) = r i P (C A B ) = 1. Oblicz P (A C). 8. W urnie sa 4 kule: biała, czerwona, zielona i trójkolorowa (biało-czerwono-zielona). Losujemy kulę. Niech B oznacza zdarzenie, że kula zawiera kolor biały, C - czerwony, Z - zielony. Czy są one niezależne, a niezależne parami? 9. 1.29, 1.36, 1.38, 1.40, 1.43 ZZ 10. Dwie z czterech pracujących niezależnie lamp odbiornika zawiodły. Znaleźć prawdopodobieństwo, że zawiodła pierwsza i druga jeśli prawdopodobieństwa zepsucia poszczególnych lamp są równe p 1 = 0, 1, p 2 = 0, 2, p 3 = 0, 3, p 4 = 0, 4. 11. Hrabia, Tadeusz i Ksiądz Robak oddali niezależnie po jednym strzale do niedźwiedzia. Gerwazy stwierdził, że jedna kula trafiła. Jaka jest szansa, że trafił Tadeusz, jeśli prawdopodobieństwa trafienia są równe: dla Tadeusza 0,8, Hrabiego - 0,5 i Księdza Robaka - 0,9.
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 5 12. 9, 12, 13 str. 16 podręcznik 13. Towarzystwo ubezpieczeniowe dzieli populacje kierowców na ostrożnych i ryzykantów. Wiadomo, że jeden ryzykant przypada na trzech ostrożnych. Prawdopodobieństwo spowodowania co najmniej 1 wypadku w ciągu roku przez ostrożnego jest równe 0,04 przez ryzykanta 0,2. a) Losowo wybrany kierowca spowodował co najmniej 1 wypadek w ciągu roku. Oblicz prawdopodobieństwo, że należy do ostrożnych. b) Losowo wybrany kierowca nie spowodował wypadku w roku I, oblicz prawdopodobieństwo, że nie spowoduje wypadku w roku II. Zakładamy, że zachowanie kierowcy (odpowiednio ostrożnego i ryzykanta) w roku drugim nie zależy od jego zachowania w roku pierwszym. 14. Student losuje pytanie na egzaminie. Wśród czterech odpowiedzi jedna jest poprawna. Gdy student zna odpowiedź wybiera poprawną, gdy nie zna zgaduje. Student zna odpowiedzi na 75% pytań. Student odpowiedział prawidłowo na wylosowane pytanie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zgadywał. 15. Dane są dwie urny: A i B. W urnie A są 2 kule białe i 3 czarne, w B 3 białe i 2 czarne. Wykonujemy trzy etapowe doświadczenie: I etap: losujemy urnę II etap: z wylosowanej urny losujemy 2 kule i nie oglądając ich wkładamy je do drugiej urny, III etap: Z urny, do której włożyliśmy kule, losujemy 1 kulę. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w drugim etapie wylosowaliśmy kule jednego koloru, jeśli w etapie trzecim wylosowaliśmy kulę białą. 16. Są dwie kostki symetryczne i jedna obciążona, na której szóstka wypada z prawdopodobieństwem 1/11, a pozostałe wyniki mają równe szanse. Wybrano losowo kostkę i wykonano nią dwa rzuty. Nie uzyskano szóstki. Obliczyć prawdopodobieństwo, że kostka jest obciążona. Odpowiedzi: 1. 40 39 38 37 36 44 43 42 41 40 2. a) 1 b) 4 3. Tak 2 10 4. P (A) = 2, P (B) = 1, P (A B) = 1, są zależne 3 3 6 6. P (B A C) = 2 1 7. 9 2 p 10. p 1 p 2 (1 p 3 )(1 p 4 ) p 1 p 2 (1 p 3 )(1 p 4 )+p 1 p 3 (1 p 2 )(1 p 4 )+p 1 p 4 (1 p 3 )(1 p 2 )+p 2 p 3 (1 p 1 )(1 p 4 )+p 2 p 4 (1 p 3 )(1 p 1 )+p 3 p 4 (1 p 1 )(1 p 2 ) 11. analogicznie jak 10 13. a) 3 b) = 532 8 575 1 72 14. 15. 0,4 16. 13 193 = 0, 925
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 6 Ćwiczenia 3. Zmienna losowa dyskretna, schemat Bernoulliego 1. Gra polega na rzucie kostką i monetą. Jeśli wypadnie orzeł i szóstka wygrywamy 3, jeśli reszka lub nieparzysta liczba oczek to wygrywamy 1, w przeciwnym przypadku przegrywamy 6. Podaj zbiory zdarzeń elementarnych odpowiadających poszczególnym wygranym. Podaj rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X równej wypłacie. Wyznacz dystrybuantę. 2. Rozkład zmiennej losowej X podaje tabela. x -2-1 0 1 3 P (X = x) 5 30 4 30 6 30 5 a 30 Wyznacz a, oblicz i naszkicuj dystrybuantę, oblicz P (X (0, 5 2 )). 3. Wyznacz rozkład zmiennej losowej X wiedząc, że dystrybuanta rozkładu tej zmiennej jest równa 0 gdy x < 2 0, 2 gdy x [ 2, 1) F (x) = 0, 3 gdy x [1, 3) 0, 6 gdy x [3, 4) 1 gdy x 4 4. 2.1 ZZ 5. Wyrazić za pomocą dystrybuanty prawdopodobieństwa: P (X < b), P (X a), P (X [a, b]), P (X (a, b]), P (X = a), P (X > a). 6. Rzucamy niezależnie cztery razy dwiema kostkami do gry. Wyznacz rozkład zmiennej losowej równej liczbie rzutów, w których suma wyrzuconych oczek jest mniejsza niż 5. 7. Dwóch koszykarzy A i B oddaje niezależnie po trzy rzuty piłką do kosza. Prawdopodobieństwo trafienia w pojedynczym rzucie jest równe: dla koszykarza A 0,6 dla B 0,7. Obliczyć prawdopodobieństwo, że obaj trafią tyle samo razy. 8. Rzucono 8 razy symetryczną kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pierwszym rzucie otrzymano szóstkę, jeśli wiadomo, że a) otrzymano 3 szóstki? b) w następnych 7 rzutach otrzymano szóstki?
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 7 9. Rzucono 8 razy niezależnie kostką. Wiadomo, że otrzymano 4 szóstki. Niech X będzie zmienną losową równą liczbie szóstek przy dwóch pierwszych rzutach. Wyznacz jej rozkład i dystrybuantę. 10. W urnie jest 5 kul, przy czym każda może być czarna lub biała (nie wiemy ile jest kul białych i każda liczba kul białych jest jednakowo prawdopodobna). Losując 4 razy ze zwrotem po jednej kuli wylosowaliśmy jedną kulę białą i trzy czarne. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w urnie była jedna kula biała i cztery czarne. 11. Bolek, Lolek i Tosia rzucają po kolei monetą. Wygrywa osoba, która pierwsza wyrzuci orła. Wyznaczyc rozkład zmiennej losowej, którą jest liczba rzutów do wygranej. Znaleźć szanse wygranej dla poszczególnych osób. Wyznaczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że wygra Tosia jeśli wiadomo, że w pierwszych 6 rzutach nikt nie wygrał. 12. zadania na rozkład geometryczny do wyboru z rozdziału 2.1 ZZ 13. Po terenie miasta jeździ 1000 samochodów. Prawdopodobieństwo wezwania pogotowia technicznego w ciągu doby przez samochód wynosi 0,002. Oszacuj prawdopodobieństwo, że chociaż jeden samochód wezwie pogotowie techniczne w ciągu doby. 14. Zad 1.56, 1.58, 1.61, 1.62 ZZ (przybliżenie rozkładem Poissona rozkładu Bernoulliego) 15. Załóżmy, że prawdopodobieństwo trafienia w cel przy pojedynczym strzale wynosi p, a prawdopodobieństwo zniszczenia celu przy k 1 trafieniach wynosi 1 q k. Jakie jest prawdopodobieństwo zniszczenia celu, jeżeli oddano n strzałów? 16. λ λk Przypuśćmy, że pewien owad składa k jajeczek z prawdopodobieństwem e k! (rozkład Poissona), a każde z jajeczek wylęga się z prawdopodobieństwem p. Zakładając wzajemną niezależność wylęgania się jaj, znaleźć prawdopodobieństwo, że liczba potomków danego owada wyniesie dokładnie l. Podać rozkład liczby potomków danego owada. 17. Kontrola techniczna bada pewne elementy, z których każdy niezależnie od innych może być wadliwy z prawdopodobieństwem p. Obliczyć prawdopodobieństwo, że spośród 5 zbadanych elementów 2 będą wadliwe. Niech X będzie zmienną losową równą liczbie wylosowanych elementów bez wad do chwili wylosowania pierwszego wadliwego.
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 8 Obliczyć prawdopodobieństwo, że k kolejnych elementów nie będzie miało wad, jeżeli wiadomo, że poprzednie n elementów również nie miało wad. Czy to prawdopodobieństwo zależy od n? Znaleźć rozkład prawdfopodobieństwa zmiennej równej liczbie dobrych elementów zbadanych pomiędzy dwoma kolejnymi znalezionymi elementami wadliwymi. Odpowiedzi: 1. x -6 1 3 P (X = x) 2 12 9 12 2. a = 10 30, F (x) = 1 12 0 gdy x < 6 2 gdy x [ 6, 1) F (x) = 12 11 gdy x [1, 3) 12 1 gdy x 3 0 gdy x < 2 5 gdy x [ 2, 1) 30 9 gdy x [ 1, 0) 30 15 gdy x [0, 1) 30 20 gdy x [1, 3) 30 1 gdy x 3 x -2 1 3 4 3. P (X = x) 0,2 0,1 0,3 0,4 6. Rozkład dwumianowy bin(4, 1) 6, P (X (0, 5 2 ) = 11 30 7. p = ( ) 3 3 i=0 i 0, 6i 0, 4 3 i (3) i 0, 7i 0, 3 3 i 8. a) (7 2)( 1 1) b) ( 8 3) 6 x 0 1 2 9. P (X = x) ( 6 4) ( 8 4) ( 6 3)( 2 1) ( 8 4) ( 6 2)( 2 2) ( 8 4) 10. 1 6( 4 1)( 1 5) 1 ( 4 5) 3 5 1 i=0 6( 4 1)( 5) i 1 ( 5 i 5 ) 3 11. p B = 0, 5 + 0, 5 4 + 0, 5 7 +... = 4/7, p L = 0, 5 2 + 0, 5 5 + 0, 5 8 +... = 2/7, p T = 1/7 13. P = 1 e 2 15. 1 (1 p(1 q)) n 16. P = e pλ (pλ) l l!, zatem liczba potomków tego owada ma rozkład Poissona z parametrem pλ
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 9 Ćwiczenia 4 i 5. Zmienna losowa ciągła, funkcja zmiennej losowej, charakterystyki (EX, V arx = D 2 X, mediana) 1. Losujemy punkt z odcinka [0, 1] i względem tego punktu dzielimy nasz odcinek na dwa mniejsze. Przez X oznaczmy zmienną losową będącą ilorazem długości krótszego do długości dłuższego z uzyskanych odcinków. Przyjmując naturalną konstrukcję przestrzeni probabilistycznej dla tego doświadczenia losowego (Ω = (0, 1)), zidentyfikuj zdarzenia: {X > 1/2}, {1/4 < X < 1/3}, {X = 1/2}. Oblicz P (X > 1/2), P (1/4 < X < 1/3), P (X = 1/2). Wyznacz dystrybuantę i gęstość rozkładu zmiennej losowej X. 2. Wyznacz stałą c, jeśli wiadomo, że funkcja f jest gęstością zmiennej losowej o rozkładzie absolutnie ciągłym. Wyznacz i naszkicuj dystrybuantę, Oblicz P (X [ 1, 2)). 2 a) { cx gdy x (0, 4) f(x) = 0 w przeciwnym przypadku. b) f(x) = { 4x 3x 2 gdy x (0, a] 0 w przeciwnym przypadku. 3. Dystrybuanta zmiennej losowej o rozkładzie absolutnie ciągłym ma postać Wyznacz stałą a i gęstość. 0 gdy x < 1 F (x) = (x 1) 2 gdy x [1, a) 1 gdy x a. 4. Czas bezawaryjnej pracy pewnego urządzenia jest zmienną losową o rozkładzie absolutnie ciągłym z funkcją gęstości postaci f(x) = { ae 2x gdy x > 0 0 w przeciwnym przypadku. Wyznacz stałą a, naszkicuj dystrybuantę, wyznacz stałe s, t takie, że P (X > t) = 2P (X < t) P (X > s) = P (X < s) 5. Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ > 0. Oblicz P (X > t + s X > t), gdzie t, s > 0 są ustalonymi liczbami. Oblicz P (X > s). Co zauważyłeś?
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 10 6. Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem 1. Wyznacz gęstość i dystrybuantę zmiennej losowej Y = 3X + 1, Z = e X. Wyznacz EX, EY, EZ. 7. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości a) f(x) = a 1 1+x 2 b) f(x) = { a 1 1+x 2 gdy x ( 1, 3) 0 w przeciwnym przypadku Wyznacz a i gęstość oraz dystrybuantę zmiennych Y = X 3, Z = X 2. 8. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale (0, 2). Wyznacz rozkład zmiennej Y = 1 X, Z = min{x, X2 }, V = max{1, X}, W = 1 gdy X < 1 i W = 0 gdy X 1. Oblicz wartości oczekiwane otrzymanych zmiennych. 9. Rzucamy kostką do gry. Niech X oznacza liczbę wyrzuconych oczek a Y = X 3. Wyznacz rozkłady zmiennej X i Y oraz EX, EY, E(X + Y ), V ary. 10. Z urny zawierającej 4 kule białe i 2 czarne losujemy 3 razy ze zwracaniem po dwie kule (w jednym losowaniu wyciągamy jednocześnie dwie kule, a następnie wrzucamy je z powrotem do urny). Niech X oznacza liczbę otrzymanych par kul czarnych. a) Podać rozkład zmiennej losowej X. b) Podać EX i D 2 X. c) Obliczyć P (X > 1). 11. Z urny zawierającej 2 kule białe i 4 czarne losujemy ze zwracaniem po dwie kule (w jednym losowaniu wyciągamy jednocześnie dwie kule, a następnie wrzucamy je z powrotem do urny) tak długo, aż wylosujemy parę kul o tych samych kolorach. Niech X oznacza liczbę wykonanych losowań. a) Podać rozkład zmiennej losowej X. b) Podać EX, E(2X 3), D 2 X i D 2 (2X 3). c) Obliczyć P (X < 3). 12. Zmienna losowa X ma rozkład geometryczny z p = 1. Wyznacz rozkład zmiennej 3 Y = cos(πx), Z = cos( π X). Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennych 2 występujących w zadaniu. 13. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości a(x + 1) gdy x [ 1, 1] f(x) = a( x + 5) gdy x (3, 5) 0 w pozostałych przypadkach
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 11 Wyznacz a, naszkicuj wykres gęstości i dystrybuanty, oblicz EX, D 2 X, D 2 (2X 4), podaj gęstość zmiennej Y = X. 14. W państwie A płaca minimalna jest równa 100 jednostek a odsetek osób zarabiających ponad x jednostek jest równy 400 x, gdzie x (100, 400]. Wyznacz rozkład 300 płacy i oblicz jej wartość oczekiwaną. Oblicz E(3X 100). 15. Zmienna losowa X ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej 7 i wariancji 9. Wyznacz rozkłady zmiennych Y = 2X + 4, Z = e X. Oblicz EX 2, EY, D 2 Y. 16. Dystrybuanta zmiennej losowej X ma postać 0 gdy x < 1 1 gdy x [ 1, 0) F (x) = 10 2 (x + 1) gdy x [0, 2) 10 1 gdy x 2. Wyznaczyć rozkład zmiennej X. Obliczyć P (X > 0), P (X = 0 X = 2), EX, D 2 X. 17. Wypłata w grze losowej jest obliczana jako X = max{u 2, 0}, gdzie U jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na przedziale (0, 4). Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej X, EX, D 2 X. 18. Rzucamy 10 razy kostką. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję sumy oczek. 19. Dziesięć osób wsiada losowo do siedmiu wagonów. Wyznacz wartość oczekiwaną liczby pustych wagonów. 20. Powtarzamy doświadczenie polegające na rzucie kostką do gry tak długo aż pojawi się każda liczba oczek. Obliczyć wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów. 21. Bolek przychodzi na przystanek zawsze w godzinach od 12-ej do 14-ej, a Lolek od 13-ej do 15-ej. Oboje przychodzą niezależnie od siebie. Szansa, że Bolek przyjdzie w czasie należącym do przedziału [12 : 00, 12 : 00 + t], gdzie t oznacza liczbę minut, wynosi t/120. Szansa, że Lolek przyjdzie w czasie należącym do przedziału [13 : 00, 13 : 00 + s], gdzie s oznacza liczbę minut, wynosi (s/120) 2. a) Niech X oznacza godzinę, o której Bolek przyjdzie na przystanek. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. b) Niech Y oznacza godzinę, o której Lolek przyjdzie na przystanek. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y. c) Obliczyć prawdopodobieństwo, że obaj chłopcy przyjdą po godz. 13:30. 22. Zadania z rozdziału 2.2. ZZ
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 12 Ćwiczenia 6 i 7. Rozkład łączny dwuwymiarowej zmiennej dyskretnej, suma niezależnych zmiennych losowych, rodzaje zbieżności ciągu zmiennych losowych, twierdzenia graniczne 1. Rzucamy dwa razy kostką do gry. Niech X = min{i, j} i Y = max{i, j}, gdzie i, j to liczby wyrzuconych oczek. Wyznacz rozkłady zmiennych: X, Y, (X, Y ), Z = (X 2) 2. Oblicz P (X > 3 Y > 3). Czy zmienne X i Y są niezależne? 2. Zmienna losowa X przyjmuje z dodatnim prawdopodobieństwem tylko wartości 2 i -6, a zmienna losowa Y wartości -1 i 3. Wyznacz rozkład zmiennej (X, Y ) jeśli X i Y są niezależne i EX = 0 i P (X = 6 Y = 1) = 1 16. Oblicz E(XY ), D2 (X Y ). 3. Podaj przykłady zmiennych losowych X i Y takich że P (X = 1) = P (X = 2) = P (X = 3) = 1 3 i P (Y = 1) = P (Y = 2) = P (Y = 3) = 1 3 i a) X i Y niezależne; b) X i Y zależne. W obu przypadkach wyznacz rozkład zmiennej losowej S = X + Y. 4. Rzucamy dwa razy kostką. Niech X oznacza liczbę oczek w pierwszym rzucie, a Y ma wartość 1 gdy na obu kostkach wypadła szóstka i 0 w pozostałych przypadkach. Wyznacz rozkład zmiennej losowej S = X + Y. Czy X i Y są niezależne. 5. Dziesięć liczb o numerach 1, 2,..., 9, 10 ustawiamy na dziesięciu ponumerowanych miejscach (numery miejsc też od 1 do 10). Niech X oznacza numer miejsca, na którym stoi liczba 1, a Y numer miejsca, na którym stoi liczba 2. Wyznacz rozkład zmiennej losowej (X, Y ), rozkłady zmiennych X i Y, EX, P (X < 4 Y = 6), P (X < 4 Y = 3). 6. Zmienne losowe X i Y są niezależne i każda ma rozkład jednostajny na przedziale (0, 1). Wyznacz gęstość rozkładu zmiennej S = X + Y. 7. Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej 0,5 a zmienna losowa Y rozkład gamma o gęstości p(x) = 4xe 2x dla x > 0. Wyznacz gęstość rozkładu zmiennej S = X + Y. 8. Rzucono 50 razy symetryczną monetą. Niech X oznacza łączną liczbę orłów, Y zaś liczbę orłów w pierwszych 20 rzutach. a) Wyznacz Cov(X, Y ). b) Czy zmienne X i Y są niezależne.
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 13 9. przykłady z zad 5.1, 5.2 5.3 ZZ 10. 5.4 ZZ 11. Niech (X n ) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładach P (X 1 = 0) = 1 P (X n = ln n 2 ) = P (X n = ln n 2 ) = 0, 5 Wykazać, że ciąg (X n ) spełnia słabe i mocne prawo wielkich liczb. 12. Niech (X n ) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładach P (X 1 = 0) = 1 P (X n = 0) = 1 2 n P (X n = n) = P (X n = n) = 1 n Sprawdź, czy ciąg (X n ) spełnia warunek Markowa i Kołmogorowa. 13. Niech X n będzie zmienną losową o rozkładzie gamma Gamma(6n, 1 ), niech 3n Y n = X n + n, n = 1, 2,.... na Dla jakich wartości a R ciąg (Y n ) spełnia warunek Kołmogorowa. 14. np 5.19, 5.20, 5.24, 5.27 ZZ 15. Rzucamy symetryczną kostką tak długo, aż suma oczek przekroczy 700. Oceń prawdopodobieństwo tego, że w tym celu trzeba będzie wykonać a) więcej niż 210 rzutów; b) mniej niż 180 rzutów; c) od 180 do 210 rzutów. 16. 1800 razy wybieramy losowo jeden punkt z odcinka (1, 5). Obliczyć przybliżoną wartość prawdopodobieństwa zdarzenia, że a) 550 razy b) więcej niż 550 razy otrzymamy punkt, którego odległość od środka przedziału jest większa niż 1 3 długości przedziału. 17. Pan A stoi codziennie w kolejce po mleko. Czas stania jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym o wartości oczekiwanej 5 min. Obliczyć przybliżoną wartość prawdopodobieństwa zdarzenia, że po 324 dniach łączny czas stania przekroczy 24 godziny.
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 14 18. Jest n = 25000000 podatników. Niech X i oznacza wartość błędu (w zł.) i-tego podatnika przy wypełnianiu rocznego zeznania podatkowego, wiemy, że EX i = 0 i D 2 X i = 2500, i = 1, 2,..., n. Jaka jest szansa, że straty państwa z tego powodu przekroczą 1mln zł. Można założyć, że zmienne losowe X i są niezależne o tym samym rozkładzie. 19. Każdego dnia łucznik strzela do tarczy do momentu trzykrotnego trafienia w dziesiątkę (koło o promieniu 0.5 i środku w środku tarczy). Wiadomo, że szansa trafienia przez łucznika w koło o środku w środku tarczy i promieniu r wynosi r 2 /9 dla r (0, 3). Oszacuj pawdopodobieństwo, że sumaryczna liczba strzałów wykonanych przez 300 dni nie przekroczy 1500 (zakładając, że liczba oddanych strzałów nie zależy od dnia). 20. Dany jest ciąg (X n ) niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie równomiernym P (X n = i) = 0, 2, i = 0, 1, 2, 3, 4. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że średnia arytmetyczna 100 tych zmiennych jest a) mniejsza niż 2; b) należy do przedziału (1, 3).