Zadania z Zasad planowania eksperymentu i opracowania wyników pomiarów. Zestaw 1.

Transkrypt

1 Zestaw 1. Zadanie. 1. Wyobraźnia jest ważniejsza od wiedzy A.Einstein Czy zdarzenia polegające na wyciągnięciu z talii liczącej 52 karty dowolnej karty pik (zdarzenie A) i wyciągnięciu asa (zdarzenie B) są niezależne? Czy odpowiedź ulegnie zmianie po dodaniu jokera do talii kart? Zadanie. 2. Z talii liczącej 52 karty, wyciągamy jedną i nie oglądając jej wkładamy do drugiej talii. Następnie po przetasowaniu drugiej talii ciągniemy z niej jedna kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągniemy asa? Zadanie. 3. W urnie znajduje się: 5 kul czarnych, 4 kule czerwone i 7 kul białych. Ile musimy wylosować kul bez zwracania, aby wśród nich znalazła się co najmniej jedna kula biała? Zadanie. 4. Zdarzenie A polega na wylosowaniu asa z talii 52 kart. Natomiast zdarzenie B polega na wylosowaniu asa z talii 53 kart, powstałej przez dodanie do 52 kart losowo wybranej karty z innej talii. Czy zdarzenia A i B są niezależne? Zadanie. 5. Dwa zakłady A i B produkują myszy komputerowe. Zakład A ma 80% udziałów w rynku zakład B 20%. W zakładzie A 0,5% wyprodukowanych myszy jest wadliwych, w zakładzie B natomiast 0.1%. Obliczyć prawdopodobieństwo, że przypadkowo kupiona mysz będzie wadliwa. Zadanie. 6. Czy zdarzenia: A polegające na wyrzuceniu podczas równoczesnego rzutu dwoma kostkami liczby podzielnej przez 5, B polegające na wyrzuceniu podczas równoczesnego rzutu dwoma kostkami liczby pierwszej oraz C polegające na wyrzuceniu podczas równoczesnego rzutu dwoma kostkami parzystej liczby oczek, są parami niezależne? Zadanie. 7. W urnie znajduje się 100 kul białych (b) i czarnych (cz) (0 b 100, 0 cz 100, b + cz = 100). Podczas losowania ze zwracaniem 100 kul, wyciągnięto same białe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w urnie znajdowało się 100 białych kul? 1

2 Zadanie. 8. W urnie A znajdują się 1 kula biała i 4 czarne, w urnie B 2 kule białe i 3 czarne, zaś w urnie C 3 kule białe i 2 czarne. W pierwszej kolejności wybrano jedną z urn, a z niej wyciągnięto jedną kulę. Wiedząc, że wylosowano kulę białą, oblicz prawdopodobieństwo, że losowano z urny A. Zadanie. 9. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia w sześciu kolejnych rzutach kostką 1 lub 6? Zadanie. 10. Pewne małżeństwo ma trójkę dzieci. Czy zdarzenia: A polegające na tym, że posiada ono dwóch synów i B oznaczające, iż najmłodsze i najstarsze dziecko to chłopcy są niezależne? Zadanie. 11. Jakie jest prawdopodobieństwo trafienia szóstki w Dużym Lotku (losujemy bez zwracania 6 liczb z 49)? Zadanie. 12. Spośród rodzących się bliźniaków 32% to dwaj chłopcy, a 28% to dwie dziewczynki. Znajdź prawdopodobieństwo warunkowe, że w rodzinie mającej bliźniaki dwójka dzieci to chłopcy, jeśli wiadomo, że wśród dzieci jest przynajmniej jeden chłopak. Zadanie. 13. Na ile sposobów (interesuje nas kolejność) można ułożyć na półce: a) trzy-tomowy słownik, b) cztero-tomowy leksykon, c) 13-tomową encyklopedię? Zadanie. 14. Na ile sposobów 30 osobowa grupa studentów może zająć miejsca w sali wykładowej? Zadanie. 15 *. Dla zainteresowanych rachunkiem prawdopodobieństwa polecam stronę internetową ( z ciekawymi i niekiedy paradoksalnymi zadaniami wraz z rozwiązaniami. Przy okazji można podszlifować język angielski. 2

3 Zadanie. 16. W urnie znajdują się 3 kule białe i 4 kule czarne. Niech zdarzenie A polega na wylosowaniu kuli białej w pierwszym ciągnieniu, a zdarzenie B na wylosowaniu kuli białej w drugim ciągnieniu. Czy zdarzenia A i B są zależne czy niezależne, gdy: a) losowanie prowadzimy bez zwracania, b) losowanie prowadzimy ze zwracaniem? Zadanie. 17. W magazynie znajdują się jednakowe ilości towaru pochodzącego od dwóch dostawców X i Y. Wiemy, że towar od dostawcy X zawiera przeciętnie 1% braków, zaś od dostawcy Y 2% braków. Z tegoż magazynu pobrano towar, który okazał się być wybrakowany. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to towar pochodzący od dostawcy: a) X, b) Y? Zadanie. 18. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wprowadzony do naczynia w kształcie sześcianu o objętości 22 dm 3 mol gazowego tlenu, znajdzie się w jego lewej połowie? Zadanie. 19. Rzucamy raz trzema sześciennymi kostkami do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania: a) na jednej kostce dwóch oczek, b) przynajmniej na jednej kostce trzech oczek, c) parzystej sumy oczek, d) sumy oczek podzielnej przez trzy, e) sumy oczek większej od siedmiu, f) sumy oczek mniejszej od 12, g) sumy oczek będącej liczbą pierwszą. Zadanie. 20. Na odcinku [0; 1] na osi liczbowej umieszczono losowo punkty A i B. Oblicz prawdopodobieństwo, że punkt A będzie bliżej punktu B niż krańców przedziału. Zadanie. 21. Wewnątrz kwadratu o boku a wybrano losowo punkt. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odległość tego punktu od najbliższego boku kwadratu jest mniejsza niż jego odległość od najbliższej przekątnej. Zadanie. 22. Na odcinku [0, 2] na osi liczbowej umieszczono losowo punkty A i B. Oblicz prawdopodobieństwo, że punkt A będzie π razy bliżej punktu B niż krańców odcinka. 3

4 Zadanie. 23. Rzucono dwie sześcienne kostki do gry. Znajdź prawdopodobieństwo warunkowe, że wypadły dwie piątki, jeśli wiadomo, że suma oczek na obu kostkach jest liczbą podzielną przez pięć. Zadanie. 24. Oblicz prawdopodobieństwo, że małżeństwo, które ma dwójkę dzieci, ma dwóch synów, jeśli: a) przynajmniej jedno z dzieci jest chłopcem, b) starsze dziecko jest chłopcem. Należy przyjąć, że posiadanie córki i syna jest równie prawdopodobne. Zadanie. 25. Oto (jakoby prawdziwa historyjka). Dwóch studentów w przeddzień kolokwium z Zasad planowania... utraciło umiar i zabawiło się zbyt długo na imprezie suto zakrapianej alkoholem. Ponieważ zaspali i nie stawili się na kolokwium, następnego dnia usprawiedliwiali się przed wykładowcą, tłumacząc, że nie zdążyli dojechać, gdyż ich samochód złapał gumę. Wykładowca zgodził się urządzić im indywidualne kolokwium. Oznaczonego dnia posadził ich w różnych pokojach i każdemu z nich wręczył kartkę z zadaniami. Na kartce było tylko jedno pytanie: które koło miało gumę? Ile wynosi szansa zgodnej odpowiedzi studentów? Zadanie. 26. Tadeusz i Zosia (zbieżność imion przypadkowa) umówili się w kawiarni między 17:00 a 18:00. Obydwoje są bardzo dumni i nie zamierzają czekać dłużej niż 15 minut na partnera. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że randka dojdzie do skutku, jeśli zarówno Zosi, jak i Tadeuszowi na tyle brakuje punktualności, że moment pojawienia się każdego z nich w kawiarni można traktować jako losowy miedzy wyznaczonymi godzinami. Zadanie. 27. Z grupy studenckiej liczącej 6 osób wybrano w sposób przypadkowy jedną. Wiedząc, że wybrana osoba była kobietą, obliczyć prawdopodobieństwo, że w grupie były dokładnie trzy kobiety. Zadanie. 28. Odcinek jednostkowej długości podzielono na trzy odcinki, wybierając na nim dwa losowe punkty. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że z tych odcinków można zbudować trójkąt? 4

5 Zadanie. 29. W urnie U 1 jest pięć żetonów o numerach od 1 do 5. W urnie U 2 są cztery żetony o numerach od 1 do 4. Rzucamy dwukrotnie symetryczną monetą. Gdy dwa razy wypadnie reszka, to wybieramy urnę U 1, w przeciwnym przypadku urnę U 2. Z wybranej w ten sposób urny losujemy kolejno, ze zwracaniem dwa żetony. Numer pierwszego to cyfra dziesiątek, numer drugiego cyfra jedności dwucyfrowej liczby x. a) Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: A liczba x jest większa niż 35, B liczba x jest podzielna przez 6. b) Wiedząc, że liczba x jest większa od 35, wyznacz prawdopodobieństwo zdarzenia: C liczbę x utworzono z numerów żetonów wylosowanych z urny U 1, D - liczbę x utworzono z numerów żetonów wylosowanych z urny U 2. Zadanie. 30. Wiemy, że 1 mężczyzna na 2000 choruje na pewną chorobę. Rutynowy test stosowany do jej wykrywania w 1,0% przypadków daje wynik pozytywny u osoby zdrowej. Wynik testu przeprowadzonego u losowo wybranego mężczyzny okazał się pozytywny. Oblicz prawdopodobieństwo, że mężczyzna ten nie ma tej choroby. 5