Zestawy zadań z Metod Probabilistyki i Statystyki. dr Hanna Podsędkowska dr Katarzyna Lubnauer mgr Małgorzata Grzyb mgr Rafał Wieczorek
|
|
- Daniel Pawlik
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zestawy zadań z Metod Probabilistyki i Statystyki dr Hanna Podsędkowska dr Katarzyna Lubnauer mgr Małgorzata Grzyb mgr Rafał Wieczorek 21 lutego 2014
2 1 MODEL KLASYCZNY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1 Model klasyczny prawdopodobieństwa Zadanie 1. Losowo ustawiamy w szereg klocki z literami MMAAATTYKE. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych oraz obliczyć prawdopodobieństwo, że otrzymamy następujący ciąg liter MATEMATYKA. Zadanie 2. Losowo ustawiamy w szereg klocki z literami AAOYINMFTKR. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych oraz obliczyć prawdopodobieństwo, że otrzymamy następujący ciąg liter INFORMATYKA. Zadanie 3. 2 chłopców i 3 dziewczynki ustawiamy w szereg. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć prawdopodobieństwo, że: a) chłopcy zawsze stoją obok siebie, b) chłopcy i dziewczynki stoją na zmianę. Zadanie 4. Cyfry 0,1,2,...,9 ustawiamy losowo w ciąg. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć prawdopodobieństwo, że: a) między cyframi 0 i 9 stoją dokładnie 4 cyfry, b) 4,5,6,7 będą zawsze stały obok siebie. Zadanie 5. Przy okrągłym stole usiadło 10 kobiet i 10 mężczyzn. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć prawdopodobieństwo, że osoby tej samem płci nie siedzą obok siebie. Zadanie 6. Z grupy 25 osób, w której jest 15 kobiet i 10 mężczyzn wybrano: a) 3 osoby na stanowisko starszego specjalisty, b) 3 osoby do zarządu firmy (prezesa, wiceprezesa ds. marketingu i wiceprezesa ds. produkcji). Dla każdego z powyższych przypadków opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród wybranych są dokładnie 2 kobiety. Zadanie 7. W pudełku jest 10 śrubek dobrych i 4 złe. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród 6 wybranych śrubek są 4 dobre i 2 złe. Zadanie 8. Na półce stoją 3 słowniki 2 tomowe: anielsko-polski, angielskorosyjski oraz rosyjsko-polski. Jaka jest szansa, że po losowym ustawieniu książek na półce poszczególne tomy słowników będą stały w swoim sąsiedztwie, nie przedzielone innymi słownikami. 1
3 1 MODEL KLASYCZNY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zadanie 9. Dziewięciu studentów informatyki A,B, C, D, E, F, G, H, I należy zakwaterować w 3 pokojach akademika: 2-, 3- i 4-osobowym. Na ile sposobów można ich rozmieścić? Studenci są kwaterowani w takim porządku w jakim przyjeżdzają do akademika, począwszy od pokoju 2-osobowego. Zadanie 10. Firma produkuje samochody w ilości 5n sztuk dziennie, wśród których n jest czerwonych, 2n jest czarnych, a reszta jest srebrna. Samochody kolejno, w sposób losowy wyjeżdżają z terenu zakładu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie samochody jednego koloru wyjeżdżają jeden po drugim? Zadanie 11. Student umie odpowiedzieć na 20 spośród 25 pytań egzaminacyjnych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że student odpowie na co najmniej 3 pytania z 4 wylosowanych na egzaminie. Zadanie 12. W urnie jest 8 ponumerowanych kul białych i 4 ponumerowane kule czarne. Losujemy 3 kule bez zwrotu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: a) wśród wylosowanych kul będzie 1 kula czarna, b) wylosowane kule będą miały same parzyste numery. Zadanie 13. Partia towaru do wysłania składa się ze 100 monitorów, wśród których 2 są wadliwe. Poddajemy kontroli 50 losowo wybranych elementów. Partię przyjmujemy do wysyłki, jeżeli wśród kontrolowanych elementów jest nie więcej niż 1 wadliwy monitor. Obliczyć prawdopodobieństwo, że partia monitorów zostanie przyjęta. Zadanie 14. Ze schroniska na szczyt prowadzą 3 szlaki: czarny, zielony i niebieski. Odbywam wycieczkę na szczyt i z powrotem wybieram szlaki losowo. a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że będę wchodzić i schodzić tym samym szlakiem? b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że będę wchodzić i schodzić zielonym szlakiem? Zadanie 15. Rzucamy 2 razy kostką symetryczną. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Jakie jest prawdopodobieństwo: a) wyrzucenia dwukrotnie tego samego? b) wyrzucenia w sumie 10 oczek? c) wyrzucenia w sumie 9 oczek? d) wyrzucenia w sumie parzystej liczby oczek? 2
4 1 MODEL KLASYCZNY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zadanie 16. Autobus zatrzymuje się na 10 przystankach. W autobusie jest 8 pasażerów, z których każdy musi wysiąść na jednym przystanku. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: a) każdy spośród 8 pasażerów wysiądzie na innym przystanku, b) wszyscy pasażerowie wysiądą na tym samym przystanku, c) wszyscy pasażerowie wysiądą na pierwszych 3 przystankach. Zadanie 17. W turnieju szachowym wystartowało 12 zawodników. Każdy z każdym rozgrywa 2 partie: mecz oraz rewanż. Ile partii zostanie rozegranych w całym turnieju? Zadanie osób wsiada do windy na parterze 10-cio piętrowego budynku. Przyjmując, że osoby te wysiadają losowo na poszczególnych piętrach, obliczyć prawdopodobieństwo, że wszyscy wysiądą na różnych piętrach. Zadanie 19. Ze zbioru liczb naturalnych trzycyfrowych losujemy bez zwracania dwie liczby. Obliczyć prawdopodobieństwo, że iloczyn wylosowanych liczb jest liczbą parzystą. Zadanie 20. Ze zbioru {1, 3, 6, 7, 8, 9} losujemy ze zwracaniem 4 liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że dwukrotnie wylosowaliśmy liczbę parzystą. Zadanie 21. Rzucamy jednocześnie czterościenną kostką do gry z oczkami 1, 2, 4 i 6 oraz sześcienną kostką do gry, na której ściankach są następujące ilości oczek: 1, 1, 2, 3, 4, 6. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że suma oczek na obu kostkach jest większa od 9. Zadanie 22. Do windy zatrzymującej się na 4 piętrach wsiadło 20 osób. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że na każdym piętrze wysiądzie dokładnie 5 osób. b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że na pierwszym piętrze nikt nie wysiądzie. Zadanie 23. Spośród liczb {1, 2,,..., 1000} losujemy jednocześnie dwie, które oznaczamy x i y. Ile jest możliwości wylosowania takiej pary liczb (x,y), dla której: a) x jest podzielne przez 23, a y nie jest podzielne przez 23? b) xy jest podzielne przez 23? 3
5 1 MODEL KLASYCZNY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zadanie 24. Z elementów zbioru {1, 2, 3, 4, 5} losujemy kolejno ze zwracaniem trzy: a,b,c. Ile mamy możliwości wylosowania takiej trójki, aby utworzyła ona: a) ciąg arytmetyczny niemalejący? b) ciąg arytmetyczny? c) ciąg geometryczny? Zadanie 25. Ze zbioru {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} losujemy kolejno 4 cyfry bez zwracania, a następnie zapisujemy je w kolejności losowania tworząc liczbę 4 cyfrową. Ile można otrzymać w ten sposób: a) dowolnych liczb? b) liczb podzielnych przez 25? Zadanie identycznych koszulek układamy na 3 półkach. a) Oblicz jakie jest prawdopodobieństwo, że druga półka pozostanie wolna, b) Oblicz jakie jest prawdopodobieństwo, że na każdej z półek znajdzie się przynajmniej jedna koszulka. Zadanie 27. Dzielimy 16 ciastek między 4 osoby. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Oblicz jakie jest prawdopodobieństwo, że: a) każda osoba dostała po 4 ciastka? b) każda osoba dostała przynajmniej 3 ciastka? Zadanie 28. Z liczb wylosowano 2 (mogą się powtarzać). Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych i oblicz prawdopodobieństwo, że ich suma jest podzielna przez 3. Zadanie 29. Z talii brydżowej zawierającej 52 karty losujemy 5 kart. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie będą jednego koloru. Zadanie 30. Z talii brydżowej zawierającej 52 karty losujemy 4 karty. Oblicz prawdopodobieństwo, że są wśród nich przynajmniej 2 damy. Zadanie 31. Z talii brydżowej zawierającej 52 karty losujemy 6 kart. Jakie jest prawdopodobieństwo, że są wśród nich karty wszystkich kolorów. Zadanie 32. Mamy 5 biletów po 1 zł, trzy bilety po 3 zł oraz 2 bilety po 5 zł. Wybieramy jednocześnie trzy bilety. Oblicz prawdopodobieństwo, że: a) przynajmniej 2 z nich mają jednakową wartość, b) wszystkie 3 bilety mają łączną wartość 7 zł. 4
6 2 PRAWDOPODOBIEŃSTWO GEOMETRYCZNE Zadanie 33. W urnie jest 5 ponumerowanych kul zielonych, 10 ponumerowanych kul niebieskich i 2 czerwone. Losowaliśmy 3 kule bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: a) wylosowaliśmy kule w 3 kolorach, b) wylosowaliśmy kule w jednym kolorze. Zadanie 34. Używając różnych liczb ze zbioru {3, 4, 5, 7, 9} utworzono liczbę trzycyfrową. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych oraz oblicz prawdopodobieństwo, że: a) jedną z cyfr jest 7, b) jest to liczba parzysta. Zadanie 35. Rzucamy 3 razy zwykłą kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma kwadratów wyników w poszczególnych rzutach jest podzielna przez 3. Zadanie 36. Ze zbioru liczb {1, 2,..., 2n + 5} wybieramy jednocześnie dwie liczby. Na ile sposobów możemy to zrobić, tak aby otrzymać dwie liczby takie, że: a) ich różnica będzie liczbą parzystą, b) suma ich kwadratów będzie liczbą podzielną przez cztery? 2 Prawdopodobieństwo geometryczne Zadanie 1. Z odcinka [-2,3] losujemy liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że: a) wylosowana liczba będzie dodatnia, b) kwadrat wylosowanej liczby będzie mniejszy od 1, c) kwadrat wylosowanej liczby będzie większy od 2, d) będzie to liczba wymierna. Zadanie 2. Z odcinka [-1,3] losujemy 2 liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że: a) ich suma jest liczbą dodatnią, b) ich suma jest liczbą wymierną, c) ich maksimum jest mniejsze od 1, d) jedna z nich jest liczbą wymierną, e) obie są liczbami niewymiernymi. 5
7 2 PRAWDOPODOBIEŃSTWO GEOMETRYCZNE Zadanie 3. Z odcinka [0,5] losujemy 3 liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że: a) ich minimum jest większe od 2, b) ich maksimum jest większe od 3, c) jedna z nich jest liczbą naturalną. Zadanie 4. Z odcinka (0,2) wybrano losowo punkt x. Obliczyć prawdopodobieństwo: a) P (max{x, 1} < a), b) P (min{x, 1} < a). Zadanie 5. Paradoks Bertranda. W kole o promieniu R poprowadzono w sposób losowy cięciwę AB. Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że tak skonstruowana cięciwa będzie dłuższa od boku trójkąta równobocznego wpisanego w to koło. Rozważyć następujące 3 przypadki: a) Za zdarzenie elementarne przyjmujemy wybór kąta środkowego α, opartego na cięciwie AB, b) Za zdarzenie elementarne przyjmujemy odległość środka skonstruowanej cięciwy AB od środka okręgu, c) Za zdarzenie elementarne przyjmujemy wybór dowolnego punktu wewnątrz naszego koła. Czy mogą istnieć inne rozwiązania tego zadania? Dlaczego rozwiązanie zadania nie jest jednoznaczne? Zadanie 6. Na odcinku wybrano losowo dwa punkty, które dzielą go na trzy odcinki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że można z tych 3 odcinków zbudować trójkąt? Zadanie 7. Na okręgu o promieniu 1 ustalamy 1 punkt i losujemy 2 inne, następnie łączymy punkty tworząc trójkąt. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że: a) jest to trójkąt ostrokątny, b) jest to trójkąt prostokątny, c) jest to trójkąt rozwartokątny. Zadanie 8. Na stół o kształcie koła i promieniu 60 cm rzucono monetę o promieniu 1 cm. Jakie jest prawdopodobieństwo, że moneta nie dotknęła brzegu stołu? Zadanie 9. Zadanie Bufona o igle. Igłę o długości l rzucono na podło- 6
8 3 PRAWDOPODOBIEŃSTWO - INNE MODELE. NIEZALEŻNOŚĆ ZDARZEŃ. PRAWDOPODOBIEŃSTWO WARUNKOWE gę z desek o szerokości a (l a). Jaka jest szansa, że igła przetnie krawędź deski? Zadanie 10. Z odcinka [ 1, 2] losujemy kolejno 2 liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A: A = {(x, y) Ω 2 : x + y > 0}. 3 Prawdopodobieństwo - inne modele. Niezależność zdarzeń. Prawdopodobieństwo warunkowe Zadanie 1. Niech A, B, C będą trzema zdarzeniami (zbiorami). Zapisz symbolami następujące zdarzenia: a) zachodzi przynajmniej jedno z tych zdarzeń, b) nie zachodzi żadne z tych zdarzeń, c) zachodzi dokładnie jedno z tych zdarzeń, d) zachodzi tylko zdarzenie A, e) zachodzą dwa spośród tych zdarzeń. Zadanie 2. Rzucam 3 razy monetą dla której prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki jest 2 razy większe niż orła. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia dokładnie 2 orłów. Zadanie 3. Rzucam kostką do gry, która ma 1 ściankę z 1 oczkiem, 2 ścianki z 2 oczkami oraz 3 ścianki z 3 oczkami. Łącznie rzucam tyle razy, ile oczek wypadło w pierwszym rzucie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w sumie wyrzucimy 4 oczka? Zadanie 4. Trzy osoby A, B, C oddały kolejno po jednym strzale do tarczy. Prawdopodobieństwa trafienia wynoszą dla nich odpowiednio a, b, c [0, 1]. Zbuduj model probabilistyczny tego doświadczenia losowego. Kiedy będzie to model klasyczny? Jakie jest prawdopodobieństwo, że dwa strzały były celne? Zadanie 5. Rzucam sześcienną kostką do gry a następnie symetryczną monetą tyle razy, ile wypadło oczek na kostce. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia: a) dokładnie 5 orłów, 7
9 3 PRAWDOPODOBIEŃSTWO - INNE MODELE. NIEZALEŻNOŚĆ ZDARZEŃ. PRAWDOPODOBIEŃSTWO WARUNKOWE b) przynajmniej 1 reszki. Zadanie 6. Do urny wkładam 15 kul zielonych, 4 niebieskie oraz 2 białe. Z urny losuję kolejno 3 kule bez zwracania. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że każda z wylosowanych kul będzie w innym kolorze. Zadanie 7. Rzucam symetryczną kostką do gry do momentu wyrzucenia 6- tki. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Oblicz prawdopodobieństwo, że: a) rzucaliśmy parzystą ilość razy, b) rzucaliśmy mniej niż 5 razy. Zadanie 8. Rzucam symetryczną monetą do momentu wyrzucenia 2 razy pod rząd tej samej strony monety. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucaliśmy nieparzystą ilość razy. Zadanie 9. Dwóch graczy A i B rzuca na zmianę symetryczną monetą. Wygrywa ten z nich, który jako pierwszy wyrzuci orła. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Oblicz prawdopodobieństwo wygranej dla każdego z tych graczy. Zadanie 10. Trzech graczy A, B, C rzuca na zmianę symetryczną monetą. Wygrywa ten z nich, który jako pierwszy wyrzuci orła. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Oblicz prawdopodobieństwo wygrania dla każdego z graczy. Zadanie 11. Z odcinka (-1,4) losujemy 2 liczby. Niech A będzie zdarzeniem polegającym na wylosowaniu 2 liczb dodatnich, B zdarzeniem polegającym na tym, że druga z wylosowanych liczb jest ujemna, C zdarzeniem polegającym na tym, że pierwsza z wylosowanych liczb jest dodatnia. a) Zbadaj niezależność zdarzeń A i B, b) Zbadaj niezależność zdarzeń Ci B, c) Oblicz P (A \ C), d) Oblicz P (B \ C). Zadanie 12. Rzucam 2 razy sześcienną kostką do gry. Niech A będzie zdarzeniem polegającym na wyrzuceniu szóstki w pierwszym rzucie. Niech B będzie zdarzeniem polegającym na wyrzuceniu 1 lub 2 w drugim rzucie, zaś C będzie zdarzeniem polegającym na wyrzuceniu w sumie 7 oczek. Zbadaj niezależność: 8
10 3 PRAWDOPODOBIEŃSTWO - INNE MODELE. NIEZALEŻNOŚĆ ZDARZEŃ. PRAWDOPODOBIEŃSTWO WARUNKOWE a) zdarzeń A i B, b) zdarzeń A i C, c) zdarzeń A, B, C razem. Zadanie 13. Kontroler sprawdza partię zawierającą m wyrobów I gatunku i n wyrobów II gatunku. Po sprawdzeniu pierwszych b < n wybranych losowo wyrobów okazało się, że wszystkie z nich są II gatunku. Wybieramy losowo 2 spośród niesprawdzonych jeszcze wyrobów. Oblicz prawdopodobieństwo, że przynajmniej 1 z nich jest II gatunku. Zadanie 14. Rzucamy 3-ma sześciennymi kostkami do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na żadnej kostce nie wypadła 6, pod warunkiem, że na każdej kostce jest inny wynik? Zadanie 15. Mamy trzy krążki. Jeden krążek z 2 stron jest biały, drugi ma obie strony czarne a trzeci jedną stronę czarną a drugą białą. Rzucamy losowo wybranym krążkiem i na wierzchu wypadła biała strona. Oblicz prawdopodobieństwo, że po drugiej stronie krążka jest kolor czarny. Zadanie 16. Ania i Robert umówili się w pubie między a Jakie jest prawdopodobieństwo, że Ania przyjdzie przed Robertem, jeżeli Ania przyjdzie po 18.30? Zadanie 17*. Trzej więźniowie A, B, C czekają na egzekucję w więzieniu. Przed wyborami prezydent postanowił ułaskawić jednego z nich. Wiadomość ta dotarła do więźniów. Więzień A postanowił podpytać strażnika, który z nich zostanie uwolniony. Strażnik nie chcąc stracić pracy powiedział, że tego mu nie może powiedzieć, ale może mu zdradzić, że więzień C zostanie stracony. Więzień A ucieszył się, że jego szanse wzrosły do 1. Czy miał rację? 2 Zadanie 18. W czasie gry w brydża widzimy, że nie dostaliśmy ani jednego asa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że nasz partner też nie dostał żadnego asa? Zadanie 19. W urnie znajdują się 3 kule białe i 7 czarnych. Losujemy z urny 10 razy ze zwrotem. Oblicz prawdopodobieństwo, że: a) wylosujemy 10 kul czarnych, b) wylosujemy 4 kule czarne, c) wylosujemy co najmniej 2 kule czarne. 9
11 3 PRAWDOPODOBIEŃSTWO - INNE MODELE. NIEZALEŻNOŚĆ ZDARZEŃ. PRAWDOPODOBIEŃSTWO WARUNKOWE Zadanie 20. Myśliwy trafia do dzika z prawdopodobieństwem p = 1. Ile ra- 5 zy powinien strzelić do dzika, aby z prawdopodobieństwem większym niż 1 2 trafił dzika przynajmniej raz. Zadanie 21. Losujemy ze zwrotem z urny zawierającej 2 kule białe i 4 czarne. Ile razy powinniśmy losować, aby z prawdopodobieństwem większym niż 3 5 trafić czarną kulę przynajmniej raz. Zadanie 22. Rzucamy 10 razy symetryczną kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ostatnim rzucie wypadnie 3, jeśli wiadomo, że: a) otrzymano 4 trójki, b) w pierwszych 9 rzutach wypadły same trójki. Zadanie 23. Zadanie Banacha o zapałkach*. Pewien matematyk nosi w kieszeni (lewej i prawej) po jednym pudełku zapałek. Ilekroć chce zapalić papierosa sięga do losowo wybranej kieszeni. Jaka jest szansa na to, że gdy po raz pierwszy wyciągnie puste pudełko to w drugim będzie k zapałek? (k = 1, 2, 3,..., m gdzie m jest liczbą zapałek w pełnym pudełku. Zakładamy, że początkowo matematyk ma 2 pełne pudełka.) Zadanie 24. Rzucamy sześcienną kostką a następnie symetryczną monetą tyle razy, ile wypadło oczek na kostce. Oblicz prawdopodobieństwo: a) wyrzucenia 3 orłów, b) wyrzucenia 6 oczek, jeśli wypadły 3 orły, c) wyrzucenia 6 oczek, jeśli nie wypadł ani jeden orzeł. Zadanie 25. Z jednej urny, zawierającej 4 kule białe, 3 zielone i 3 niebieskie, przekładamy 2 losowo wybrane kule do urny drugiej, zawierającej 8 kul białych. Następnie z drugiej urny losujemy 1 kulę. Oblicz prawdopodobieństwo, że: a) wylosowana kula jest biała, b) przełożyliśmy 2 kule białe, jeśli wylosowana kula okazała się biała. Zadanie 26. W urnie znajduje się k losów wygrywających, n losów przegrywających i m losów losuj dalej. Po wylosowaniu los wrzucamy z powrotem do urny. Korzystając z wzoru na prawdopodobieństwo całkowite, oblicz prawdopodobieństwo wygranej dla k = 100 i n = 200. Zadanie 27. Dwaj gracze A i B rzucają na zmianę kostką symetryczną. Wy- 10
12 4 WŁASNOŚCI PRAWDOPODOBIEŃSTWA grywa ten z nich, który jako pierwszy wyrzuci 6. Korzystając z wzoru na prawdopodobieństwo całkowite, oblicz prawdopodobieństwo wygranej dla każdego z graczy. Zadanie 28. Student zna odpowiedź średnio na co trzecie pytanie. Prawdopodobieństwo zdania egzaminu przy k poprawnych odpowiedziach wynosi ( ) 4 k 1. Jakie jest prawdopodobieństwo zdania egzaminu, na którym student dostaje 5 5 pytań? Zadanie 29. Fabryka A produkuje samochodów rocznie, fabryka B produkuje samochodów a pozostałe samochodów pochodzi z importu. 10% samochodów z fabryki A jest niebieskich, 20% z fabryki B ma kolor niebieski i tylko 5% pochodzących z importu to samochody niebieskie. Oblicz prawdopodobieństwo, że: a) losowo wybrany samochód z tego rocznika jest niebieski, b) losowo wybrany samochód z tego rocznika pochodzi z fabryki A, jeśli okazał się niebieski. Zadanie 30. Armata strzela do celu i trafia z prawdopodobieństwem 1 5. Prawdopodobieństwo zniszczenia celu przy k trafieniach wynosi 1. Oblicz ( ) 1 k 2 prawdopodobieństwo zniszczenia celu przy 10 strzałach. 4 Własności prawdopodobieństwa Zadanie 1. Udowodnij, że P (A B) P (A) + P (B) 1. Zadanie 2. Dane są następujące wartości: P (A) = 1 4, P (B) = 3 4, A B =. Uporządkować rosnąco P (A B), P (A B ), P (A B). Zadanie 3. Dane są P (A B) = 1 2 i P (A B) = 1, P (A\B) = P (B\A). 4 Oblicz P (A) i P (A\B). Zadanie 4. P (A) = P (B) = 1. Wykaż, że P (A B) = 1. Zadanie 5. Niech A, B, C będą zdarzeniami. Niech ponadto: P (A) = 1 2, 11
13 5 ZMIENNA LOSOWA DYSKRETNA P (B) = 1 5, P (C) = 2 5, P (A C) = 1 5, P (B C) = 1 10, P (A B) = 1 10, A B C =. Oblicz prawdopodobieństwo, że: a) zachodzi przynajmniej jedno ze zdarzeń A, B, C, b) zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń A, B, C, c) zachodzą przynajmniej dwa ze zdarzeń A, B, C, d) nie zachodzi żadne z tych zdarzeń A, B, C. Zadanie 6. Mając dane zdarzenia niezależne A i B o prawdopodobieństwach: P (A) = 2 5 oraz P (B) = 3 5, znajdź: a) P (A \ B) b) P (A B) c) P (A B). Zadanie 7. Niech A, B, C będą zdarzeniami i niech P (A) = 2 5, P (B) = 1 2, P (C) = 1. Niech ponadto zdarzenia A i B są niezależne, a A i C są roz- 10 łączne, P (B C) = 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że: 10 a) zachodzi przynajmniej jedno ze zdarzeń A, B, C, b) nie zachodzi żadne ze zdarzeń A, B, C. Zadanie 8. Zbadaj kiedy zdarzenie jest niezależne samo od siebie. Zadanie 9. W szafce jest 10 par kaloszy w 10 różnych kolorach i tym samym rozmiarze. Człowiek nie rozróżniający kolorów dzieli kalosze na pary: lewy z prawym. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żadna z tak ułożonych par kaloszy nie będzie jednokolorowa? Zadanie 10. Na zabawie jest n par małżeńskich. W sposób losowy kobiety losują mężczyzn do tańca. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żaden mąż nie tańczy ze swoją żoną? 5 Zmienna losowa dyskretna Zadanie 1. Rzucamy 2 razy sześcienną kostką do gry. Niech zmienna losowa X oznacza sumę oczek w obu rzutach. Znajdź rozkład zmiennej X. Oblicz następujące prawdopodobieństwa: 12
14 5 ZMIENNA LOSOWA DYSKRETNA a) P (0 X 10), b) P (X > 5), c) P (X (5, 8] \ X 7). Zadanie 2. Rzucamy kostką, jeśli wypadnie parzysta liczba oczek wygrywamy 5 zł, jeśli wypadnie liczba oczek podzielna przez 5 wygrywamy 10 zł, w pozostałych przypadkach przegrywamy 7 zł. Znajdź rozkład wygranych. Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję rozkładu wygranych. Zadanie 3. Na planszy szachowej w sposób losowy umieszczamy konia. Niech X oznacza ilość pół znajdujących się w zasięgu bicia konia. Znajdź rozkład zmiennej X. Podaj następujące prawdopodobieństwa: a) P (X 3), b) P (X < a), a R. Zadanie 4. Strzelec strzela do tarczy i trafia z prawdopodobieństwem p = 1 4. Niech zmienna X oznacza ilość strzałów poprzedzających trafienie w tarczę. Znajdź rozkład zmiennej X. Oblicz E(X) i D 2 (X). Zadanie 5. W urnie znajduje się 10 kulek zielonych i 5 białych. Z urny losujemy 4 kule. Zmienna losowa X oznacza ilość wylosowanych kul białych. Znajdź rozkład zmiennej X. Oblicz E(X) i D 2 (X). Zadanie 6. Znajdź rozkład zmiennej losowej Y = 3X 4, dla zmiennej losowej X z poprzedniego zadania. Zadanie 7. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję ilości asów w zbiorze 3 losowo wybranych kart spośród wszystkich figur w talii 52 kart. Zadanie 8. Znajdź rozkład zmiennej losowej Y = X 2, dla X o rozkładzie X danym tabelą: P X 0, 25 0, 25 0, 25 0, 25 Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję zmiennych X i Y. Zadanie 9. Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Y = 3X 4, dla zmiennej X z poprzedniego zadania. ( ) 1 k Zadanie 10. Niech P (k) = c, dla k = 1, 2,,.... Dla jakiego c jest to 3 rozkład pewnej zmiennej losowej. 13
15 6 ZMIENNA LOSOWA CIĄGŁA Zadanie 11. Gracz rzuca jeden raz symetryczną kostką i wygrywa 6 zł, jeśli wypadnie 6-tka oraz przegrywa s zł, jeśli wypadnie coś innego. Dla jakiego s gra jest sprawiedliwa? Zadanie 12. Rzucamy kostką do momentu wyrzucenia 1 po raz drugi. Znajdź wartość oczekiwaną ilości wykonanych rzutów kostką. Zadanie 13. Z talii 52 kart wybieramy 16 kart w następujący sposób: 2 damy w dowolnym kolorze, 3 walety w dowolnym kolorze, 4 czwórki w dowolnym kolorze, 1 asa w dowolnym kolorze, 4 ósemki w dowolnym kolorze oraz 2 piątki w dowolnym kolorze. Z tak utworzonego zbioru losujemy 3 karty. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję ilości czwórek wśród kart wylosowanych z tak utworzonego zbioru. 6 Zmienna losowa ciągła Zadanie 1. Z odcinka [ 3, 5] losujemy liczbę. Niech zmienna losowa X będzie: a) wybraną liczbą, b) odległością wybranej liczby od 5, c) odległością wybranej liczby od 0, d) kwadratem wybranej liczby, e) całością z wybranej liczby. W każdym z powyższych przypadków znajdź rozkład zmiennej X oraz gęstość rozkładu tej zmiennej (o ile istnieje). Zadanie 2. Z odcinka [ 2, 1] losujemy liczbę. Niech zmienna losowa X będzie: a) wybraną liczbą, b) odległością wybranej liczby od 0, c) kwadratem wybranej liczby pomniejszonym o 2, d) maksimum z wybranej liczby i liczby 1, e) minimum z wybranej liczby i liczby 1. W każdym z powyższych przypadków znajdź rozkład zmiennej X oraz gęstość rozkładu tej zmiennej (o ile istnieje). Zadanie 3. Niech zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [ 2, 2]. Wyprowadź wzory na wartość oczekiwaną i wariancję rozkładu zmiennej losowej X i na ich podstawie znajdź wartość oczekiwaną i wariancję roz- 14
16 6 ZMIENNA LOSOWA CIĄGŁA kładu zmiennej losowej Y = 4X 1. Zadanie 4. Niech zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [ 2, 2]. Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję rozkładu zmiennej losowej Y = 2X + 3. Skorzystaj z własności wartości oczekiwanej i wariancji. Zadanie 5. Niech zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [ 2, 2]. Znajdź wartość oczekiwaną rozkładu zmiennej losowej Y = X 2. Skorzystaj z własności wartości oczekiwanej. Zadanie 6. Niech zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 2]. Znajdź rozkład zmiennej losowej Y = 2X + 3. Zadanie 7. Niech zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [ 2, 2]. Znajdź rozkład zmiennej losowej Y = X. Zadanie 8. Niech zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [ 1, 2]. Znajdź rozkład zmiennej losowej Y = X. Zadanie 9. Niech zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [ 1, 2]. Znajdź rozkład zmiennej losowej Y = X 2. Zadanie 10. Niech zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ = 1. Znajdź rozkład zmiennej losowej Y = X. Zadanie 11. Niech zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ = 1. Znajdź rozkład zmiennej losowej Y = 2X + 3. Zadanie 12. Niech zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ = 1. Znajdź rozkład zmiennej losowej Y = X
17 7 BIBLIOGRAFIA 7 Bibliografia 1. Jakubowski J., Sztencel R. Wtęp do teorii prawdopodobieństwa, Script,Warszawa Jakubowski J., Sztencel R. Rachunek prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego, Script, Warszawa Krysicki W. Bartos J. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, PWN, Warszawa Szlenk W. Rachunek prawdopodobieństwa, WSiP, Warszawa
Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer
Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer Model klasyczny prawdopodobieństwa.losowo ustawiam w szeregu klocki z literami MMAAATTYKE. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć
Bardziej szczegółowoMetody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer
Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer Model klasyczny prawdopodobieństwa. Losowo ustawiam w szeregu klocki z literami MMAAATTYKE. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa Zestaw 1 Katarzyna Lubnauer Hanna Podsędkowska Model klasyczny prawdopodobieństwa
Rachunek Prawdopodobieństwa Zestaw Katarzyna Lubnauer Hanna Podsędkowska Model klasyczny prawdopodobieństwa. Losowo ustawiam w szeregu klocki z literami MMAAATTYKE. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zadanie 1. W urnie jest 1000 kartoników będących losami loterii pieniężnej. Cztery z kartoników wygrywają po 100 zł i szesnaście po 10 zł. Reszta kartoników to losy puste. Pierwszy
Bardziej szczegółowoc) Zaszły oba zdarzenia A i B; d) Zaszło zdarzenie A i nie zaszło zdarzenie B;
Rachunek prawdopodobieństwa rozwiązywanie zadań 1. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Zapisujemy liczbę oczek, jakie wypadły w obu rzutach. Wypisz zdarzenia elementarne tego doświadczenia.
Bardziej szczegółowoMatematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa
Matematyka podstawowa X Rachunek prawdopodobieństwa Zadania wprowadzające: 1. Rzucasz trzy razy monetą a) Napisz zbiór wszystkich wyników tego doświadczenia losowego. Ile ich jest? Wyrzuciłeś większą liczbę
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoMoneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )
Nowa matura kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoR_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo.
R_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo. Zadanie 1. Wyznacz średnią arytmetyczną, dominantę i medianę zestawu danych: 1, 5, 3, 2, 2, 4, 4, 6, 7, 1, 1, 4, 5, 5, 3. Zadanie 2. W zestawie danych
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)
ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające
Bardziej szczegółowoKombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa (rozszerzenie)
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa (rozszerzenie) (1) Ile liczb czterocyfrowych można utworzyć używając jedynie cyfr 1,2,3,4,5,6,7,8? (2) Ile liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach można utworzyć
Bardziej szczegółowoa. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych A Zadania na ćwiczenia Zadanie A1 (wskazówka: pierwsze ćwicznia i rozdział 23 przykł 1 i 2) Zbuduj model przestrzeni klasycznej (czyli takiej, w której
Bardziej szczegółowoZdarzenie losowe (zdarzenie)
Zdarzenie losowe (zdarzenie) Ćw. 1. Ze zbioru cyfr (l, 2,3,..., 9} losowo wybieramy jedną. a) Wypisz zdarzenia elementarne, sprzyjające: zdarzeniu A, że wybrano liczbę parzystą zdarzeniu B, że wybrano
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia
Bardziej szczegółowoa. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych Definicja 1 Przestrzeń probabilistyczna to trójka (Ω, F, P), gdzie Ω zbiór zdarzeń elementarnych, F σ ciało zdarzeń (podzbiorów Ω), P funkcja prawdopodobieństwa/miara
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 2 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Według klasycznej
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo zadania na sprawdzian
Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian Zad. 1. Zdarzenia A, B, C oznaczają, że wzięto co najmniej po jednej książce odpowiednio z pierwszych, drugich i trzecich dzieł zebranych. Każde z dzieł zebranych
Bardziej szczegółowodr Jarosław Kotowicz 14 października Zadania z wykładu 1
Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia drugie Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Wzór Bayesa. Zdarzenia niezależne. kierunek: informatyka i ekonometria I dr Jarosław Kotowicz 14 października 2011
Bardziej szczegółowoRzucamy dwa razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:
Statystyka Ubezpieczeniowa Część 1. Rachunek prawdopodobieństwa: - prawdopodobieństwo klasyczne - zdarzenia niezależne - prawdopodobieństwo warunkowe - prawdopodobieństwo całkowite - wzór Bayesa Schemat
Bardziej szczegółowoc) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp.
Zadania na kolokwium nr Zadanie. Spośród kart w tali wylosowano. Jakie jest prawdopodobieństwo: pików, kierów, trefli i karo otrzymania wszystkich kolorów otrzymania dokładnie pików a ( b ( ( c ( ( ( (
Bardziej szczegółowoZAGADANIENIA NA EGZAMIN USTNY Z MATEMATYKI
ZAGADANIENIA NA EGZAMIN USTNY Z MATEMATYKI SEMESTR I ZESTAW. Podaj liczbę przeciwną i odwrotną do liczby 2 2. Jak zmieniła się cena wyrobu po podwyżce o 20%, a następnie po obniżeniu otrzymanej ceny o
Bardziej szczegółowoc. dokładnie 10 razy została wylosowana kula antracytowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.. Niech Ω = {ω, ω 2, ω, ω, ω 5 } i P({ω }) = 8, P({ω 2}) = P({ω }) = P({ω }) = 6 oraz P({ω 5}) = 5 6. Niech A = {ω,
Bardziej szczegółowoKombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Jerzy Rutkowski Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa 2. Elementy kombinatoryki 2.1. Permutacje Definicja 1. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEŃSTWO CZAS PRACY: 180 MIN. ZADANIE 1 (5 PKT) NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
IMIE I NAZWISKO PRAWDOPODOBIEŃSTWO PRAWDOPODOBIEŃSTWO CZAS PRACY: 180 MIN. SUMA PUNKTÓW: 100 ZADANIE 1 (5 PKT) Rzucono dwiema sześciennymi kostkami do gry i określono zdarzenia A na każdej kostce wypadła
Bardziej szczegółowoZadania z Zasad planowania eksperymentu i opracowania wyników pomiarów. Zestaw 1.
Zestaw 1. Zadanie. 1. Wyobraźnia jest ważniejsza od wiedzy A.Einstein Czy zdarzenia polegające na wyciągnięciu z talii liczącej 52 karty dowolnej karty pik (zdarzenie A) i wyciągnięciu asa (zdarzenie B)
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 2 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 2 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub 1. W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA
PRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA ZADANIE ( PKT) Z urny zawierajacej kule w dwóch kolorach wybieramy losowo dwie. Prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej jednej kuli białej jest równe 8, a prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowo12. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA zadania
2. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA zadania Zad.2.. Oblicz ile moŝna utworzyć z cyfr 0,, 2, liczb: a) dwucyfrowych, których cyfry mogą się powtarzać; b) trzycyfrowych o niepowtarzających się cyfrach;
Bardziej szczegółowop k (1 p) n k. k c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula amarantowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Definicja.. Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli zachodzi równość P(A B) = P(A) P(B). Definicja. 2. Zdarzenia A,..., A n nazywamy niezależnymi
Bardziej szczegółoworachunek prawdopodobieństwa - zadania
rachunek prawdopodobieństwa - zadania ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności - 6.10.2012 1. (d, 1pkt) Udowodnić twierdzenie 2 tj. własności prawdopodobieństwa (W1)-(W7). 2. Niech Ω = [0,1] oraz
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 14 Zadania statystyka, prawdopodobieństwo i kombinatoryka
1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Zestaw danych 3, 5, x, 7, 10, 12 jest uporządkowany niemalejąco. Mediana tego zestawu jest równa 6, więc liczba x jest równa A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 2. (2p) Średnia arytmetyczna liczb:
Bardziej szczegółowo= 10 9 = Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3? A. 12 B. 24 C. 29 D. 30. Sposób I = 30.
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Flagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć z trzech jednakowej szerokości pasów kolorowej tkaniny. Oba pasy zewnętrzne
Bardziej szczegółowoSkrypt 30. Prawdopodobieństwo
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 30 Prawdopodobieństwo 5.
Bardziej szczegółowoNAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 1 oczka. ZADANIE 2 iloczynu oczek równego 12.
IMIE I NAZWISKO ZADANIE 1 Rzucamy sześcienna kostka do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadna co najmniej dwa oczka. ZADANIE 2 Rzucamy trzy razy symetryczna sześcienna kostka do gry. Oblicz prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoBiologia Zadania przygotowawcze do drugiego kolokwium z matematyki
Biologia Zadania przygotowawcze do drugiego kolokwium z matematyki Pochodne funkcji i jej zastosowania 1. Oblicz pochodną funkcji f, gdy: a) f(x) = 3x 8 + 2 x + 3 7, b) f(x) = x 11 6x 5 + 2 x + 3 x, c)
Bardziej szczegółowoElementy statystyki opisowej, teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka
Wymagania egzaminacyjne: a) oblicza średnią arytmetyczną, średnią ważoną, medianę i odchylenie standardowe danych; interpretuje te parametry dla danych empirycznych, b) zlicza obiekty w prostych sytuacjach
Bardziej szczegółowoLista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne
Metody statystyczne. Lista 1. 1 Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej
Bardziej szczegółowo01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa
01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa Ω zbiór zdarzeń elementarnych. Gdy Ω < oraz P({ω} = 1 Ω, dla każdego ω Ω (tzn. każde zdarzenie elementarne jest równo prawdopodobne, to P (A = A Ω Przydatne
Bardziej szczegółowoLaboratorium nr 1. Kombinatoryka
Laboratorium nr 1. Kombinatoryka 1. Spośród n różnych elementów wybieramy k elementów. Na ile sposobów możemy to uczynić? Wypisać wszystkie możliwe wybory w przypadku gdy n=3 i k=2. Wykonać obliczenia
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa Rozdział 2.3: Przykłady przestrzeni probabilistycznych. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń
Bardziej szczegółowo04DRAP - Prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowite,
04DRAP - Prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowite, wzór Bayesa Definicja. 1. Prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B, gdzie P(B > 0, nazywamy
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne
Bardziej szczegółowoLista 1a 1. Statystyka. Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne
Lista 1a 1 Statystyka Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej 52 karty
Bardziej szczegółowoZ4. Ankieta złożona ma być z trzech pytań: A, B i C. Na ile sposobów można ją ułożyć zmieniając tylko kolejność pytań? ODP. Jest 6 możliwych sposobów.
PERMUTACJE Z1. Oblicz: Z2. Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenia: Z3. Sprawdź czy prawdziwa jest równość: Dana równość jest prawdziwa. Z4. Ankieta złożona ma być z trzech pytań: A, B i C. Na ile
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 3 Definicja prawdopodobieństwa Kołmogorowa. Prawdopodobieństwa warunkowe i niezależne. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko
Bardziej szczegółowodr Jarosław Kotowicz 29 października Zadania z wykładu 1
Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia czwarte Schematy rachunku prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne. kierunek: informatyka i ekonometria I dr Jarosław Kotowicz 29 października 20 Spis
Bardziej szczegółowo( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PRAWDOPODOBIEŃSTWO ZAJŚCIA ZDARZENIA A POD WARUNKIEM, ŻE ZASZŁO ZDARZENIE B
KLASYCZ NA DEFINICJA PRAW DOPOD OBIEŃSTWA ( ) PRAWDOPOD OBIEŃSTW O W A RUNKOWE PRAWDOPODOBIEŃSTWO ZAJŚCIA ZDARZENIA A POD WARUNKIEM, ŻE ZASZŁO ZDARZENIE B ( ) WIĘC CO OZNACZA, ŻE ZDARZENIE B NIE MA WPŁYWU
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 2 Magdalena Alama-Bućko 5 marca 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 5 marca 2018 1 / 14 Prawdopodobieństwo klasyczne Ω - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych
Bardziej szczegółowo01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa
01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa Ω zbiór zdarzeń elementarnych. Gdy Ω < oraz P({ω} = 1 Ω, dla każdego ω Ω (tzn. każde zdarzenie elementarne jest równo prawdopodobne, to P (A = A Ω Przydatne
Bardziej szczegółowo15. Rachunek prawdopodobieństwa mgr A. Piłat, mgr M. Małycha, mgr M. Warda
1. Każdej karcie bankomatowej jest przypisany numer identyfikacyjny zwany kodem PIN. Kod ten składa się z czterech cyfr(cyfry mogą się powtarzać, ale kodem PIN nie może być 0000). Oblicz prawdopodobieństwo,
Bardziej szczegółowo02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w
02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.1. Niech Ω = R oraz F będzie σ-ciałem generowanym przez rodzinę wszystkich przedziałów otwartych typu (,
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:
Bardziej szczegółowoPodstawy metod probabilistycznych Zadania
Podstawy metod probabilistycznych Zadania 25 marca 2009 Zadanie 1 Czy jest możliwe, by P(A B) = 0, 9, P(A) = 0, 8, P(B) = 0, 3, i zdarzenia A i B były niezależne. Zadanie 2 Zdarzenia A i B są niezależne
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Co powinienem umieć Umiejętności znam pojęcie zdarzenia elementarnego znam pojęcie doświadczenia losowego i potrafię
Bardziej szczegółowo01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa
01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa Ω zbiór zdarzeń elementarnych. Gdy Ω < oraz P({ω} = 1 Ω, dla każdego ω Ω (tzn. każde zdarzenie elementarne jest równo prawdopodobne, to P (A = A Ω Przydatne
Bardziej szczegółowoKombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Jerzy Rutkowski 2. Elementy kombinatoryki 2.. Permutacje Teoria Definicja. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru
Bardziej szczegółowoZadanie 2. Wiadomo, że A, B i C są trzema zdarzeniami losowymi takimi, że P (A) = 2/5, P (B A) = 1/4, P (C A B) = 0.5, P (A B) = 6/10, P (C B) = 1/3.
Zadanie 1. O zdarzeniach A, B, C z pewnej przestrzeni uzyskaliśmy informacje, iż P (A B C) = 0.6, P (B A C) = 0.3 oraz P (C A B) = 0.9. Obliczyć P [A B C (A B) (A C) (B C)]. Odp. 9/37 Zadanie 2. Wiadomo,
Bardziej szczegółowo07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe
07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe Słynne rozkłady dyskretne Rozkład parametry P (X = k dla k = E(X Var(X uwagi ( dwumianowy n, p n k p k ( p n k 0,,, n np np( p liczba sukcesów w n próbach Bernoulliego
Bardziej szczegółowoDoświadczenie i zdarzenie losowe
Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie losowe jest to takie doświadczenie, które jest powtarzalne w takich samych warunkach lub zbliżonych, a którego wyniku nie można przewidzieć jednoznacznie.
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.
ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I GEOMETRIA ANALITYCZNA 1. Równanie prostej w postaci ogólnej i kierunkowej powtórzenie 2. Wzajemne położenie dwóch prostych powtórzenie
Bardziej szczegółowo( ) ( ) Przykład: Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć trzy następujące 2-elementowe kombinacje: ( ) ( ) ( ).
KOMBINATORYKA Kombinatoryka zajmuje się wyznaczaniem liczby elementów zbiorów skończonych utworzonych zgodnie z określonymi zasadami. Do podstawowych pojęć kombinatorycznych należą: PERMUTACJE Silnia.
Bardziej szczegółowoLaboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.
Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką: - 0 3 0, 0,3 0, 0,3 0, Naszkicować dystrybuantę zmiennej X. Obliczyć EX oraz VarX.. Zmienna losowa ma rozkład
Bardziej szczegółowoPodstawy nauk przyrodniczych Matematyka
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Elementy rachunku prawdopodobieństwa dr inż. Małgorzata Szeląg Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 59 04 malgorzata.szelag@amu.edu.pl Pokój 1.118
Bardziej szczegółowoćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa
ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 9.10.2010 ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności 1. Niech Ω = [0, 1] oraz niech Σ będzie pewną σ-algebrą podzbiorów odcinka [0, 1]. Udowodnić, że funkcja
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Na diagramie Venna dla 3 zbiorów zaznacz:
Zadanie 1 Na diagramie Venna dla 3 zbiorów zaznacz: A B C Zadanie 1 Na diagramie Venna dla 3 zbiorów zaznacz: A B C A B C Zadanie 1 Na diagramie Venna dla 3 zbiorów zaznacz: A B C A B C A B C Zadanie 1
Bardziej szczegółowoDODATKOWA PULA ZADAŃ DO EGZAMINU. Rozważmy ciąg zdefiniowany tak: s 0 = a. s n+1 = 2s n +b (dla n=0,1,2 ) Pokaż, że s n = 2 n a +(2 n =1)b
DODATKOWA PULA ZADAŃ DO EGZAMINU Rozważmy ciąg zdefiniowany tak: s 0 = a s n+1 = 2s n +b (dla n=0,1,2 ) Pokaż, że s n = 2 n a +(2 n =1)b Udowodnij, że liczba postaci 5 n+1 +2 3 n +1 jest podzielna przez
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA I P-WO CZ.1 PODSTAWA
KOMBINATORYKA I P-WO CZ.1 PODSTAWA ZADANIE 1 (1 PKT) Pan Jakub ma marynarki, 7 par różnych spodni i 10 różnych koszul. Na ile różnych sposobów może się ubrać, jeśli zawsze zakłada marynarkę, spodnie i
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.
ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I Geometria analityczna 1. Równanie prostej w postaci ogólnej i kierunkowej powtórzenie 2. Wzajemne położenie dwóch prostych powtórzenie
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy:
Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy: a) sumę oczek równą 6, b) iloczyn oczek równy 6, c) sumę oczek mniejszą niż 11, d) iloczyn oczek będący liczbą parzystą,
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo GEOMETRYCZNE
Prawdopodobieństwo GEOMETRYCZNE Zadanie 1. Skoczek spadochronowy skacze nad kwadratową wyspą o boku 20km. Na środku wyspy znajduje się prostokątne lądowisko o wymiarach 2x3 km. Jakie jest prawdopodobieństwo,
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA Doświadczenia losowe Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. Mówimy, że doświadczenie jest
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.
ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I. Trygonometria. 1. Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. 2. Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEOSTWO ZAJŚCIA ZDARZENIA A POD WARUNKIEM, ŻE ZASZŁO ZDARZENIE B
KLASYCZ NA DEFINICJA PRAW DOPOD OBIEŃSTWA P A = A Ω PRAWDOPOD OBIEŃSTW O W A RUNKOWE P(A B) P A B =, P B 0 PRAWDOPODOBIEOSTWO ZAJŚCIA ZDARZENIA A POD WARUNKIEM, ŻE ZASZŁO ZDARZENIE B P A B = P A B = P
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoZadania zestaw 1: Zadania zestaw 2
Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 3. 1 Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela. x i m 0 n p i 0,4 0,3 0,3 a) Wyznacz m i n jeśli: są całkowite, m
Bardziej szczegółowoLiczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo.
Liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo. Zagadnienia szczegółowe: obliczanie wartości wyrażeń arytmetycznych; działania na pierwiastkach i potęgach;
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH)
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH) Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 1 / 24 Warunki zaliczenia 1 Do egzaminu dopuszczeni wszyscy, którzy uczęszczali na
Bardziej szczegółowo12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych
DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony
Bardziej szczegółowoP r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.
P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,
Bardziej szczegółowoProjekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zadanie PP RP 1. Z pojemnika, w którym znajdują się cztery losy z numerami 112, 121, 211, 212 losujemy trzy razy po jednym losie, po każdym losowaniu zwracając wylosowany los do pojemnika. Oblicz prawdopodobieństwo,
Bardziej szczegółowoMETODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA
Andrzej Marciniak METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA Wykłady dla studentów kierunku informatyka Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Kaliszu Wykłady są przeznaczone wyłącznie do indywidualnego użytku
Bardziej szczegółowo= A. A - liczba elementów zbioru A. Lucjan Kowalski
Lucjan Kowalski ZADANIA, PROBLEMY I PARADOKSY W PROBABILISTYCE Przypomnienie. Ω - zbiór zdarzeń elementarnych. A zdarzenie (podzbiór Ω). A - liczba elementów zbioru A Jeśli zdarzeń elementarnych jest skończenie
Bardziej szczegółowoĆw,1. Wypisz wszystkie k-wyrazowe wariacje bez powtórzeń zbioru A = {1, 2,3 }, gdy: a) k = l, b) k = 2, c) k = 3. Wariacje 1 z 6
Wariacje bez powtórzeń Jeśli w doświadczeniu losowym ze zbioru n-elementowego wybieramy k elementów w ten sposób, że: wybrane elementy nie mogą się powtarzać kolejność wybranych elementów jest istotna
Bardziej szczegółowoObliczanie prawdopodobieństwa za pomocą metody drzew metoda drzew. Drzewem Reguła iloczynów. Reguła sum.
Obliczanie prawdopodobieństwa za pomocą metody drzew Jeżeli doświadczenie losowe składa się z więcej niż jednego etapu, takich jak serie rzutów kostką lub monetą, zastosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE TRZECIEJ.
ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE TRZECIEJ. I. Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa ) Ile liczb pięciocyfrowych można utworzyć, wykorzystując wszystkie cyfry liczby 476? ) Pięciu przyjaciół
Bardziej szczegółowoKurs do wyboru Wstęp do analizy algorytmów Instytut Matematyki i Informatyki UO 2011/2012
dr Przemysław Szczepaniak Kurs do wyboru Wstęp do analizy algorytmów Instytut Matematyki i Informatyki UO 2011/2012 ZLICZANIE 1.ZmiastaAdomiastaBprowadzipięćdróg.Ilomasposobamimożnaodbyćpodróż A B Apodwarunkiem,żeniemożnawracaćtąsamądrogą?
Bardziej szczegółowoZBIÓR ZADAŃ - ROZUMOWANIE I ARGUMENTACJA
ZIÓR ZŃ - ROZUMOWNIE I RGUMENTJ 0--30 Strona ZIÓR ZO O WYMGNI EGZMINYJNEGO - ROZUMOWNIE I RGUMENTJ. Zapisz sumę trzech kolejnych liczb naturalnych, z których najmniejsza jest liczba n. zy suma ta jest
Bardziej szczegółoworachunek prawdopodobieństwa - zadania
rachunek prawdopodobieństwa - zadania ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności - 9.10.2011 1. (d, 1pkt) Udowodnić twierdzenie 2 tj. własności prawdopodobieństwa (W1)-(W7). 2. Niech Ω = [0, 1] oraz
Bardziej szczegółowoBAZA ZADAŃ KLASA 3 Ha 2014/2015
BAZA ZADAŃ KLASA 3 Ha 2014/2015 GEOMETRIA 1 W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną ma długość 10 cm, a promień okręgu opisanego ma długość 19 cm Oblicz pole tego trójkąta
Bardziej szczegółowo51. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń.
Matematyka lekcja 5 5. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. I. rzypomnij sobie:. Jak rysujemy drzewo stochastyczne i przy jego pomocy obliczamy prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoRzucamy 10 razy symetryczną monetę. Czy zdarzenia: A - wypadł dokładnie 10 razy orzeł i B reszka wypadła dokładnie 10 razy są zależne?
Zad. Rzucamy 0 razy symetryczną monetę. Czy zdarzenia: A - wypadł dokładnie 0 razy orzeł i B reszka wypadła dokładnie 0 razy są zależne? Zad. Badania statystyczne przeprowadzone wśród studentów wykazały,
Bardziej szczegółowo{( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( RRR)
.. KLASYCZNA DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA Klasyczna definicja prawdopodobieństwa JeŜeli jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych i A, to liczbę A nazywamy prawdopodobieństwem
Bardziej szczegółowoI. FUNKCJA WYKŁADNICZA I LOGARYTMY 1. POTĘGI Zad.1. Zapisz za pomocą potęgi o podanej podstawie:
Strona 1 z 9 I. FUNKCJA WYKŁADNICZA I LOGARYTMY 1. POTĘGI Zapisz za pomocą potęgi o podanej podstawie: 5 4 ( 27) ( ) a), podstawa : ( ) b) 6 ( 9) c), podstawa: (5) d) Oblicz: a) 1 6 4 2 1 1 1 2 (0,25)
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo Warunkowe Prawdopodobieństwo Całkowite Niezależność Stochastyczna Zdarzeń
Prawdopodobieństwo Warunkowe Prawdopodobieństwo Całkowite Niezależność Stochastyczna Zdarzeń Zadanie 1 Po potasowaniu sześciu kart: asa, dwójki, trójki, czwórki, piątki i szóstki wyłożono na stół w rzędzie
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna zestaw II ( )
Matematyka dyskretna zestaw II (17-18.10.2016) Uwaga: Część z zadań z tego zestawu opiera się na zasadzie szufladkowej Dirichleta. Zadanie 1. Na ile sposobów można umieścić w 7 szufladach 3 koszule tak,
Bardziej szczegółowoZADANIA MATURALNE - RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska
ZADANIA MATURALNE - RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska Zad. 1. (1 pkt) Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których
Bardziej szczegółowoSPRAWDZIAN KOMBINATORYKA
www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI SPRAWDZIAN KOMBINATORYKA 12 GRUDNIA 2011 CZAS PRACY: 45 MIN. ZADANIE 1 Spośród liczb {1, 2, 3,..., 1000} losujemy jednocześnie dwie, które
Bardziej szczegółowo