Biologia Zadania przygotowawcze do drugiego kolokwium z matematyki
|
|
- Beata Olejniczak
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Biologia Zadania przygotowawcze do drugiego kolokwium z matematyki Pochodne funkcji i jej zastosowania 1. Oblicz pochodną funkcji f, gdy: a) f(x) = 3x x + 3 7, b) f(x) = x 11 6x x + 3 x, c) f(x) = 5 x 3 x x 5 + 9, d) f(x) = (x + 1 x ) x, e) f(x) = (x + 4)(x 2 + 5x + 7), f) f(x) = (1 + x)(2 x), g) f(x) = (x 3 + 3x + 7)(x x + 15), h) f(x) = (x 11 6x x)(x + 6), i) f(x) = ( 3 x 8 x x 6 + 9)(3x + 8), j) f(x) = x x 3, k) f(x) = 1 3x 2x+7, l) f(x) = 3x 8 2x 2 +9, m) f(x) = x2 +3x 5x+1, n) f(x) = 2x2 +5x 3x 2 +5, o) f(x) = x 5x Oblicz pochodną funkcji h, gdy: a) h(x) = (3x + 7) 3, b) h(x) = (2x 2 + 4x + 1) 5, c) h(x) = x 2 + 2x + 3, d) h(x) = 3x + 1 x + x, e) h(x) = ( 2x+5 3x+5 )4, f) h(x) = ( x(5x + 2)) 1/3, g) h(x) = e x2 +3x+7, h) h(x) = 2 x2 +3x 1, i) h(x) = ln(x 2 + 4x + 5), j) h(x) = ln(x 2 + 3) + 5x ln(2x + 1), k) h(x) = e x ln x + 3x ln x, l) h(x) = ln(e x + 3x + 5), m) h(x) = ln x + 1 ln x + (ln x)3, n) h(x) = ln( ln x x ). 3. Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f (tzn. kiedy jest ona rosnąca lub malejąca) oraz ekstrema funkcji f: a) f(x) = x 3 3x 2, b) f(x) = x 3 5x 2 8x + 11, c) f(x) = x 3 2x 2 + x 5, d) f(x) = 4x 3 + 6x , e) f(x) = x 3 + 6x x 5, f) f(x) = e x (x + 3), g) f(x) = ex x+1, h) f(x) = e x (x 2 2x + 1), i) f(x) = ex x Wyznacz drugą pochodną funkcji f: a) f(x) = x 2 5x + 6,
2 b) f(x) = 1 x, c) f(x) = x, d) f(x) = x x. 5. Korzystając z drugiej pochodnej wyznacz ekstrema funkcji f: a) f(x) = x 3 x 2, b) f(x) = (2x 2 5) 2 c) f(x) = x2 1 x 2 +1, d) f(x) = x2 2x+1 x 2 +1, e) f(x) = e x (x 1), f) f(x) = e x (x 2 3). 6. Zbadaj wypukłość, wklęsłość i punkty przegięcia funkcji f: a) f(x) = 1 1+x 2, b) f(x) = x 2 (x 3), c) f(x) = x 3 1, d) f(x) = 1 x, e) f(x) = x 3 6x 2 + 9x + 3, f) f(x) = e x (x 2), g) f(x) = 2x 1+x 2. Całki nieoznaczone i oznaczone 1. Oblicz całki nieoznaczone: a) (x 2 4x + 6) dx, b) ( 5 x ) dx, c) 18x 8 dx, d) 2e x dx, e) ( ex 5 + x2 ) dx f) 4 x dx 3 g) 1 2x dx h) 2 5 x 3 dx i) (x + 3)(x 2) dx. 2. Znajdź funkcję pierwotną F funkcji f spełniającą warunek F (1) = 0: a) f(x) = 1 x, b) f(x) = x + 3, c) f(x) = 4, d) f(x) = x, e) f(x) = x 2 (x 2 1). 3. Oblicz całki oznaczone: a) (5x + 3) dx, b) x dx, c) (x 2 + x + 1) dx, d) (1 x) dx, e) g) e x 2 dx, 2 x dx. 0 f) (2 + 7x x 2 ) dx, 4. Wyznacz pole figury P ograniczonej odcinkami prostych x = 1, x = 2, y = 0 oraz wykresem funkcji f, gdzie: 3 2
3 a) f(x) = x 3, c) f(x) = x, b) f(x) = 1, d) f(x) = x x, e) f(x) = 4x 2 + x 1, f) f(x) = e x + x. 5. Oblicz pole obszaru D ograniczonego: a) wykresami funkcji y = x 2, y = 2x + 3, b) parabolami y = x 2, y = 2x 2 oraz prostą y = 8 (x 0), c) łukami parabol y = 4 x 2, y = x 2 2x, d) krzywymi x = y 2, x + y = 2. Kombinatoryka 1. Każdej z pięciu osób przyporządkowujemy dzień tygodnia w którym się urodziła. Ile różnych wyników możemy otrzymać? 2. Każdej z pięciu osób przyporządkowujemy miesiąc w którym się urodziła. Ile różnych wyników możemy otrzymać? 3. Ile jest wszystkich rozmieszczeń sześciu ponumerowanych kul w trzech ponumerowanych komórkach? 4. Ile wszystkich liczb czterocyfrowych można utworzyć z cyfr należących do zbioru {1, 2,..., 9}, jeżeli cyfry mogą się powtarzać? 5. Ile wszystkich liczb czterocyfrowych można utworzyć z cyfr należących do zbioru {1, 2,..., 9}, jeżeli cyfry nie mogą się powtarzać? 6. Na zebraniu zarządu, w skład którego wchodzi 12 osób, należy wybrać: prezesa, wiceprezesa i sekretarza. Ile jest wszystkich różnych wyników wyborów? 7. Ile można wytypować wszystkich różnych czwórek (cztery pierwsze konie w kolejności na mecie) w gonitwie, w której startuje 10 koni? 8. Na ile wszystkich różnych sposobów można ustawić w rzędzie 5 chłopców i 2 dziewczynki tak, aby najpierw stały dziewczynki, a następnie chłopcy? 9. Na ile wszystkich różnych sposobów można ustawić w rzędzie 5 chłopców i 2 dziewczynki tak, aby pierwsza stała dziewczynka? 10. Ile różnych liczb sześciocyfrowych można utworzyć z cyfr 1,2,3,5,7,9, jeżeli każda cyfra może występować dokładnie jeden raz? 11. W klasie jest 30 uczniów. Na ile wszystkich różnych sposobów można spośród uczniów tej klasy wybrać delegację złożoną z trzech osób? 12. Na płaszczyźnie zaznaczono 8 różnych punktów. Ile różnych odcinków o końcach w tych punktach można narysować? 13. Ile nastąpi powitań (uścisków dłoni), gdy spotka się 10 osób? 14. W rozgrywkach ligi piłkarskiej (18 drużyn) drużyny grają każda z każdą mecz i rewanż. Ile spotkań zostanie rozegranych? 3
4 15. W następujących doświadczeniach losowych określ zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych: a) trzykrotny rzut monetą; b) rzut kostką do gry i monetą; c) jednoczesne losowanie dwóch kul z pojemnika, w którym znajdują się trzy kule: biała, czerwona, zielona; d) losowanie po kolei, ze zwracaniem, dwóch kul z pojemnika, w którym znajdują się trzy kule: biała, czerwona, zielona; e) losowe ustawienie w szeregu czterech osób: A, B, C, D. 16. Rzucamy dwa razy monetą. Niech A 1 oznacza zdarzenie w pierwszym rzucie otrzymamy orła, A 2 w drugim rzucie otrzymamy orła. Za pomocą zdarzeń A 1, A 2, A 1, A 2 i odpowiednich działań zapisz zdarzenia: B 1 otrzymamy dwa razy orła, B 2 otrzymamy dwa razy reszkę, B 3 otrzymamy co najmniej jednego orła, B 4 otrzymamy dokładnie jednego orła. Rachunek prawdopodobieństwa 1. Z talii 52 kart wybieramy losowo jedną. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania: a) karty koloru pikowego, b) asa, c) karty koloru pikowego lub asa. 2. Z pojemnika, w którym znajdują się trzy kule białe i pięć kul czerwonych losujemy kolejno dwa razy po jednej kuli: a) ze zwracaniem b) bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: A otrzymamy dwie kule białe, B otrzymamy kule tego samego koloru, C za drugim razem otrzymamy kulę białą. 3. Z urny zawierającej 4 kul białych i 3 czarnych wyciągnięto bez oglądania 6 kul Jakie jest prawdopodobieństwo, że w urnie została kula biała? 4. Rzucamy na raz 4 sześcienne kostki. Oblicz prawdopodobieństwo, że na wszystkich kostkach pojawi się ta sama liczba oczek. 5. W pudle znajdują się dwa szare i trzy białe szczury. Chcesz kupić dwa zwierzątka. Sprzedawca wyjmuje je z pudła za różowe, bezwłose ogony, tak że nie widzisz koloru futerka. Oblicz prawdopodobieństwo, że oba Twoje szczury będą białe. 6. Z talii 52 kart wylosowano 1 kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że tą kartą będzie pik lub figura? 7. Rzucamy raz kostką do gry. Sprawdź, czy zdarzenia A i B są niezależne, gdy: a) A otrzymamy parzystą liczbę oczek, B otrzymamy liczbę oczek podzielną przez trzy. b) A otrzymamy parzystą liczbę oczek, B otrzymamy liczbę oczek większą od trzech. c) A otrzymamy liczbę oczek podzielną przez trzy, B otrzymamy liczbę oczek większą od trzech. 4
5 8. Ze zbioru liczb {1, 2,..., 10} losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez trzy, jeżeli wiadomo, że otrzymano liczbę parzystą. 9. Za zbioru {1, 2,..., 12} losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby nieparzystej, jeśli wiadomo, że wylosowano liczbą pierwszą. 10. Rzucamy kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania parzystej liczby oczek, jeżeli wiadomo, że otrzymano liczbę oczek podzielną przez Dane są dwa pojemniki. W pierwszym jest 6 kul białych i 5 czarnych, w drugim 4 białe i 5 czarnych. Z losowo wybranego pojemnika losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania kuli czarnej. 12. Dwie babcie Staszka mieszkają na przeciwległych krańcach miasta. Codziennie po lekcjach Staszek jedzie do jednej z nich na obiad. Ponieważ autobusy w obu kierunkach odjeżdzają z tego samego przystanku, Staszek zawsze wsiada do tego, który przyjedzie pierwszy. Ponieważ Staszek przychodzi na przystanek w chwili losowej, więc wybór babci, u której je obiad jest również losowy. Przypuśćmy, że z prawdopodobieństwem 1 3 jeździ do babci Zosi, a z prawdopodobieństwem 2 3 do babci Kasi. Obie babcie wiedzą, że Staś uwielbia szarlotkę, więc pieką ją dość często. Babcia Kasia średnio co 3 dni, zaś babcia Zosia co cztery. Dziś Staszek jak zwykle jedzie na obiad. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zje na deser szarlotkę? 13. Na 100 mężczyzn 5, a na kobiet 25 to daltoniści. Z grupy o jednakowej liczbie mężczyzn i kobiet wylosowano jedną osobę i okazało się, że jest ona daltonistą. Jakie jest p-stwo, że był to mężczyzna? 14. Wiemy, że 95% produkcji jest dobrej jakości, a pozostałe 5% jest złej jakości. Kontrola przepuszcza przedmioty dobrej jakości z prawdopodobieństwem 0,98, a przedmioty złej jakości z prawdopodobieństwem 0,05. a) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany przedmiot przejdzie przez kontrolę. b) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że przedmiot przepuszczony przez kontrolę będzie dobrej jakości. 15. Egzaminator, do którego zgłosił się student na egzamin, przedstawia mu dwa jednakowo liczne, ale różne co do składu zestawy pytań, informując jednocześnie, że za chwilę rzuci kostką do gry. Jeśli wypadnie parzysta liczba oczek, to zada mu pytanie z pierwszego zestawu, a jeśli wypadnie nieparzysta liczba oczek z drugiego. Oblicz prawdopodobieństwo, że student odpowie na pytanie, jeżeli wiadomo, że oba zestawy zawierają po 30 pytań, a student zna odpowiedź na 20 pytań z pierwszego zestawu i na 12 pytań z drugiego. 16. Pewna choroba występuje u 0, 1% ludzi. Przygotowano test do jej wykrycia. Daje on wynik pozytywny dla 99% ludzi chorych i 5% osób zdrowych. Oblicz prawdopodobieństwo, że osoba mająca dodatni odczyt jest naprawdę chora. 17. Mamy dwa pojemniki z kulami. W pierwszym znajduje się 99 kul białych i 1 czarna, zaś w drugim - 99 kul czarnych i 1 biała. Wylosowaliśmy kulę biała z jednej z urn. Jakie jest prawdpodobieństwo, że losowaliśmuy z urny pierwszej? 18. Rzucamy osiem razy symetryczną monetą. Oblicz: a) prawdopodobieństwo otrzymania trzy razy orła, b) prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej raz orła, c) najbardziej prawdopodobną liczbę uzyskanych orłów w tym doświadczeniu. 5
6 19. Z pojemnika, w którym znajdują się trzy kule białe i dwie czarne, losujemy sześć razy po jednej kuli ze zwracaniem. Oblicz: a) prawdopodobieństwo uzyskania trzy razy kuli białej, b) prawdopodobieństwo uzyskania co najmniej raz kuli białej, c) najbardziej prawdopodobną liczbę losowań, w których uzyskamy kulę białą. 20. Strzelec trafia do celu w pojedynczym strzale z prawdopodobieństwem 0, 8. Strzelec ma strzelać pięć razy. Oblicz: a) prawdopodobieństwo, że strzelec trafi pięć razy, b) prawdopodobieństwo, że strzelec trafi cztery razy razy, c) prawdopodobieństwo, że strzelec trafi co najmniej raz, d) prawdopodobieństwo, że strzelec trafi co najwyżej raz, e) najbardziej prawdopodobną liczbę trafień w tym doświadczeniu. 21. Rzucamy symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo uzyskania trzeciego orła w siódmym rzucie i piątego orła w jedenastym rzucie. 22. Rzucamy symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo uzyskania drugiej szóstki w czwartym i czwartej szóstki w dziesiątym rzucie. Zmienne losowe 1. Rzucamy dwiema symetrycznymi monetami. Zdarzeniu wypadły dwie reszki przypisujemy liczbę 5, zdarzeniu na każdej monecie jest inny wynik przypisujemy liczbę -3, a zdarzeniu wypadły dwa orły liczbę 1. Podaj rozkład zmiennej losowej i jej wartość oczekiwaną. 2. Pewna gra polega na rzucie trzema monetami i otrzymaniu wygranej 10 zł w przypadku wypadnięcia trzech orłów, a przegraniu 5 zł. (tzn. wygraniu -5 zł.), w pozostałych przypadkach. Traktując wygraną jako zmienną losową, podaj jej rozkład i wartość oczekiwaną. 3. Rzucamy symetryczną kostką do gry. Zdarzeniu wypadło k oczek przypisujemy liczbę 2 k (k = 1,..., 6). Podaj rozkład zmiennej losowej i jej wartość oczekiwaną. 4. Rzucamy raz dwiema kostkami. Każdemu rzutowi przypisujemy iloczyn uzyskanych oczek. Podaj rozkład zmiennej losowej i jej wartość oczekiwaną. 5. W worku znajdują się 3 koty białe, 5 kotów szaro-burych oraz 2 czarne. Trzy razy siegamy do worka i wyciągamy jednego kota. Patrzymy, jaki ma kolor i wsadzamy spowrotem do worka. Zmienna losowa X liczy, ile razy wyciągnęliśmy kota szaro-burego. Podaj jej rozkład. 6. W worku znajdują się tym razem koty w różnym wieku: mogą mieć 1, 2, 3, 4 lub 5 lat. Stosunek liczby kotów w określonym wieku to odpowiednio 2 : 5 : 4 : 3 : 1. Wyciągamy z worka jednego kota. Zmienna losowa X to wiek wyciągniętego kota. Podaj jej rozkład. 7. Pan Michalski ma w ręku 4 lotki i rzuca nimi do momentu aż trafi w tarczę lub skończą mu się lotki. Zmienna losowa X to liczba wyrzuconych prze niego lotek. Podaj jej rozkład, wiedząc, że prawdopodobieństwo trafienia przy każdym rzucie jest równe 0, Na egzaminie studenci dostali test z pięcioma zadaniami. Do każdego zadania były 3 odpowiedzi, przy czym tylko jedna prawdziwa. Zmienna losowa X to liczba rozwiązanych dobrze zadań. Podaj jej rozkład. 6
7 9. Rzucamy dwiema kostkami. Zmienna losowa X liczy sumę wyrzuconych oczek. Oblicz wartość oczekiwaną X. 10. Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X dany jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa f, gdzie { 0, 2 dla x 1; 6 ; f(x) = 0 dla x / 1; 6 Wyznacz dystrybuantę tej zmiennej losowej. 11. Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X dany jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa f, gdzie { 1 f(x) = 2x dla x 0; 2 ; 0 dla x / 0; 2 Wyznacz dystrybuantę tej zmiennej losowej. 12. Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X dany jest funkcją gęstości a prawdopodobieństwa { (1 x f(x) = 3 )/2 dla x 1; 1 ; 0 dla x / 1; 1 Oblicz prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie wartości w przedziale a)( 1, 0), b) (0, ) 13. Funkcja gęstości zmiennej losowej X dana jest wzorem 0 dla x / 0, 6 x 8 dla x 0, 2) g(x) = 1 4 dla x 2, 4) 6 x 8 dla x 4, 6. Oblicz prawdopodobieństwo: a) P(X 4), b) P(X 3), c) P(1 X 3), d) P( 1 X 5). 7
Biologia Zadania przygotowawcze do egzaminu z matematyki
Biologia Zadania przygotowawcze do egzaminu z matematyki Zagadnienia wstępne 1. Oblicz:, 5 + ( 3 5 6 1, 8) : ( 1 3 ), b) ( 5 1 1 0 5 3 ) 8, c) (0, 76 : 1 1 3 1 ) + ( 17 40 1 5 : 1, 6), d) 4 3 54 3, e)
Bardziej szczegółowoMatematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa
Matematyka podstawowa X Rachunek prawdopodobieństwa Zadania wprowadzające: 1. Rzucasz trzy razy monetą a) Napisz zbiór wszystkich wyników tego doświadczenia losowego. Ile ich jest? Wyrzuciłeś większą liczbę
Bardziej szczegółowoMoneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )
Nowa matura kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoc) Zaszły oba zdarzenia A i B; d) Zaszło zdarzenie A i nie zaszło zdarzenie B;
Rachunek prawdopodobieństwa rozwiązywanie zadań 1. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Zapisujemy liczbę oczek, jakie wypadły w obu rzutach. Wypisz zdarzenia elementarne tego doświadczenia.
Bardziej szczegółowoR_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo.
R_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo. Zadanie 1. Wyznacz średnią arytmetyczną, dominantę i medianę zestawu danych: 1, 5, 3, 2, 2, 4, 4, 6, 7, 1, 1, 4, 5, 5, 3. Zadanie 2. W zestawie danych
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 14 Zadania statystyka, prawdopodobieństwo i kombinatoryka
1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Zestaw danych 3, 5, x, 7, 10, 12 jest uporządkowany niemalejąco. Mediana tego zestawu jest równa 6, więc liczba x jest równa A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 2. (2p) Średnia arytmetyczna liczb:
Bardziej szczegółowoc) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp.
Zadania na kolokwium nr Zadanie. Spośród kart w tali wylosowano. Jakie jest prawdopodobieństwo: pików, kierów, trefli i karo otrzymania wszystkich kolorów otrzymania dokładnie pików a ( b ( ( c ( ( ( (
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 3 Definicja prawdopodobieństwa Kołmogorowa. Prawdopodobieństwa warunkowe i niezależne. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA
PRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA ZADANIE ( PKT) Z urny zawierajacej kule w dwóch kolorach wybieramy losowo dwie. Prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej jednej kuli białej jest równe 8, a prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoc. dokładnie 10 razy została wylosowana kula antracytowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.. Niech Ω = {ω, ω 2, ω, ω, ω 5 } i P({ω }) = 8, P({ω 2}) = P({ω }) = P({ω }) = 6 oraz P({ω 5}) = 5 6. Niech A = {ω,
Bardziej szczegółowoZdarzenie losowe (zdarzenie)
Zdarzenie losowe (zdarzenie) Ćw. 1. Ze zbioru cyfr (l, 2,3,..., 9} losowo wybieramy jedną. a) Wypisz zdarzenia elementarne, sprzyjające: zdarzeniu A, że wybrano liczbę parzystą zdarzeniu B, że wybrano
Bardziej szczegółowoDoświadczenie i zdarzenie losowe
Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie losowe jest to takie doświadczenie, które jest powtarzalne w takich samych warunkach lub zbliżonych, a którego wyniku nie można przewidzieć jednoznacznie.
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub 1. W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę
Bardziej szczegółowoKombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa (rozszerzenie)
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa (rozszerzenie) (1) Ile liczb czterocyfrowych można utworzyć używając jedynie cyfr 1,2,3,4,5,6,7,8? (2) Ile liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach można utworzyć
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zadanie 1. W urnie jest 1000 kartoników będących losami loterii pieniężnej. Cztery z kartoników wygrywają po 100 zł i szesnaście po 10 zł. Reszta kartoników to losy puste. Pierwszy
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia
Bardziej szczegółowo= 10 9 = Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3? A. 12 B. 24 C. 29 D. 30. Sposób I = 30.
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Flagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć z trzech jednakowej szerokości pasów kolorowej tkaniny. Oba pasy zewnętrzne
Bardziej szczegółowop k (1 p) n k. k c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula amarantowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Definicja.. Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli zachodzi równość P(A B) = P(A) P(B). Definicja. 2. Zdarzenia A,..., A n nazywamy niezależnymi
Bardziej szczegółowoZ4. Ankieta złożona ma być z trzech pytań: A, B i C. Na ile sposobów można ją ułożyć zmieniając tylko kolejność pytań? ODP. Jest 6 możliwych sposobów.
PERMUTACJE Z1. Oblicz: Z2. Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenia: Z3. Sprawdź czy prawdziwa jest równość: Dana równość jest prawdziwa. Z4. Ankieta złożona ma być z trzech pytań: A, B i C. Na ile
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEŃSTWO CZAS PRACY: 180 MIN. ZADANIE 1 (5 PKT) NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
IMIE I NAZWISKO PRAWDOPODOBIEŃSTWO PRAWDOPODOBIEŃSTWO CZAS PRACY: 180 MIN. SUMA PUNKTÓW: 100 ZADANIE 1 (5 PKT) Rzucono dwiema sześciennymi kostkami do gry i określono zdarzenia A na każdej kostce wypadła
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 2 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Według klasycznej
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo zadania na sprawdzian
Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian Zad. 1. Zdarzenia A, B, C oznaczają, że wzięto co najmniej po jednej książce odpowiednio z pierwszych, drugich i trzecich dzieł zebranych. Każde z dzieł zebranych
Bardziej szczegółowoP r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.
P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,
Bardziej szczegółoworachunek prawdopodobieństwa - zadania
rachunek prawdopodobieństwa - zadania ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności - 6.10.2012 1. (d, 1pkt) Udowodnić twierdzenie 2 tj. własności prawdopodobieństwa (W1)-(W7). 2. Niech Ω = [0,1] oraz
Bardziej szczegółowoZadanie 2. Wiadomo, że A, B i C są trzema zdarzeniami losowymi takimi, że P (A) = 2/5, P (B A) = 1/4, P (C A B) = 0.5, P (A B) = 6/10, P (C B) = 1/3.
Zadanie 1. O zdarzeniach A, B, C z pewnej przestrzeni uzyskaliśmy informacje, iż P (A B C) = 0.6, P (B A C) = 0.3 oraz P (C A B) = 0.9. Obliczyć P [A B C (A B) (A C) (B C)]. Odp. 9/37 Zadanie 2. Wiadomo,
Bardziej szczegółowoRzucamy dwa razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:
Statystyka Ubezpieczeniowa Część 1. Rachunek prawdopodobieństwa: - prawdopodobieństwo klasyczne - zdarzenia niezależne - prawdopodobieństwo warunkowe - prawdopodobieństwo całkowite - wzór Bayesa Schemat
Bardziej szczegółowoDODATKOWA PULA ZADAŃ DO EGZAMINU. Rozważmy ciąg zdefiniowany tak: s 0 = a. s n+1 = 2s n +b (dla n=0,1,2 ) Pokaż, że s n = 2 n a +(2 n =1)b
DODATKOWA PULA ZADAŃ DO EGZAMINU Rozważmy ciąg zdefiniowany tak: s 0 = a s n+1 = 2s n +b (dla n=0,1,2 ) Pokaż, że s n = 2 n a +(2 n =1)b Udowodnij, że liczba postaci 5 n+1 +2 3 n +1 jest podzielna przez
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoNAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 1 oczka. ZADANIE 2 iloczynu oczek równego 12.
IMIE I NAZWISKO ZADANIE 1 Rzucamy sześcienna kostka do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadna co najmniej dwa oczka. ZADANIE 2 Rzucamy trzy razy symetryczna sześcienna kostka do gry. Oblicz prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 2 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 2 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoPodstawy nauk przyrodniczych Matematyka
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Elementy rachunku prawdopodobieństwa dr inż. Małgorzata Szeląg Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 59 04 malgorzata.szelag@amu.edu.pl Pokój 1.118
Bardziej szczegółowo12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych
DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony
Bardziej szczegółowo07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe
07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe Słynne rozkłady dyskretne Rozkład parametry P (X = k dla k = E(X Var(X uwagi ( dwumianowy n, p n k p k ( p n k 0,,, n np np( p liczba sukcesów w n próbach Bernoulliego
Bardziej szczegółowo{( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( RRR)
.. KLASYCZNA DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA Klasyczna definicja prawdopodobieństwa JeŜeli jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych i A, to liczbę A nazywamy prawdopodobieństwem
Bardziej szczegółowoX P 0,2 0,5 0,2 0,1
Zadanie 1 Zmienna losowa X ma rozkład: x -2 0 1 p 0,2 0,5 0,3 Wyznaczyć i narysować dystrybuantę tej zmiennej losowej. Zadanie 2 Zmienna losowa X ma rozkład: X -10 0 10 40 P 0,2 0,5 0,2 0,1 Podać wartość
Bardziej szczegółowoZadania z Zasad planowania eksperymentu i opracowania wyników pomiarów. Zestaw 1.
Zestaw 1. Zadanie. 1. Wyobraźnia jest ważniejsza od wiedzy A.Einstein Czy zdarzenia polegające na wyciągnięciu z talii liczącej 52 karty dowolnej karty pik (zdarzenie A) i wyciągnięciu asa (zdarzenie B)
Bardziej szczegółowo( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PRAWDOPODOBIEŃSTWO ZAJŚCIA ZDARZENIA A POD WARUNKIEM, ŻE ZASZŁO ZDARZENIE B
KLASYCZ NA DEFINICJA PRAW DOPOD OBIEŃSTWA ( ) PRAWDOPOD OBIEŃSTW O W A RUNKOWE PRAWDOPODOBIEŃSTWO ZAJŚCIA ZDARZENIA A POD WARUNKIEM, ŻE ZASZŁO ZDARZENIE B ( ) WIĘC CO OZNACZA, ŻE ZDARZENIE B NIE MA WPŁYWU
Bardziej szczegółowoSkrypt 30. Prawdopodobieństwo
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 30 Prawdopodobieństwo 5.
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)
ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające
Bardziej szczegółowoZadania zestaw 1: Zadania zestaw 2
Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 3. 1 Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela. x i m 0 n p i 0,4 0,3 0,3 a) Wyznacz m i n jeśli: są całkowite, m
Bardziej szczegółowoZestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Bardziej szczegółowoZADANIA MATURALNE - RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska
ZADANIA MATURALNE - RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska Zad. 1. (1 pkt) Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których
Bardziej szczegółowoWersja testu A 18 czerwca 2012 r. x 2 +x dx
1. Funkcja f : R R jest różniczkowalna na całej prostej, a ponadto dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność f x
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA I P-WO CZ.1 PODSTAWA
KOMBINATORYKA I P-WO CZ.1 PODSTAWA ZADANIE 1 (1 PKT) Pan Jakub ma marynarki, 7 par różnych spodni i 10 różnych koszul. Na ile różnych sposobów może się ubrać, jeśli zawsze zakłada marynarkę, spodnie i
Bardziej szczegółowoćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa
ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 9.10.2010 ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności 1. Niech Ω = [0, 1] oraz niech Σ będzie pewną σ-algebrą podzbiorów odcinka [0, 1]. Udowodnić, że funkcja
Bardziej szczegółowodr Jarosław Kotowicz 14 października Zadania z wykładu 1
Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia drugie Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Wzór Bayesa. Zdarzenia niezależne. kierunek: informatyka i ekonometria I dr Jarosław Kotowicz 14 października 2011
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:
Bardziej szczegółowoProjekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zadanie PP RP 1. Z pojemnika, w którym znajdują się cztery losy z numerami 112, 121, 211, 212 losujemy trzy razy po jednym losie, po każdym losowaniu zwracając wylosowany los do pojemnika. Oblicz prawdopodobieństwo,
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEOSTWO ZAJŚCIA ZDARZENIA A POD WARUNKIEM, ŻE ZASZŁO ZDARZENIE B
KLASYCZ NA DEFINICJA PRAW DOPOD OBIEŃSTWA P A = A Ω PRAWDOPOD OBIEŃSTW O W A RUNKOWE P(A B) P A B =, P B 0 PRAWDOPODOBIEOSTWO ZAJŚCIA ZDARZENIA A POD WARUNKIEM, ŻE ZASZŁO ZDARZENIE B P A B = P A B = P
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy:
Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy: a) sumę oczek równą 6, b) iloczyn oczek równy 6, c) sumę oczek mniejszą niż 11, d) iloczyn oczek będący liczbą parzystą,
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo Warunkowe Prawdopodobieństwo Całkowite Niezależność Stochastyczna Zdarzeń
Prawdopodobieństwo Warunkowe Prawdopodobieństwo Całkowite Niezależność Stochastyczna Zdarzeń Zadanie 1 Po potasowaniu sześciu kart: asa, dwójki, trójki, czwórki, piątki i szóstki wyłożono na stół w rzędzie
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA CYKL 3 GODZINNY
MATURA EUROPEJSKA 010 MATEMATYKA CYKL 3 GODZINNY DATA 4 czerwca 010 CZAS TRWANIA EGZAMINU : 3 godziny (180 minut) DOZWOLONE POMOCE Europejski zestaw wzorów Kalkulator (bez grafiki, bez programowania) UWAGI:
Bardziej szczegółowo01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa
01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa Ω zbiór zdarzeń elementarnych. Gdy Ω < oraz P({ω} = 1 Ω, dla każdego ω Ω (tzn. każde zdarzenie elementarne jest równo prawdopodobne, to P (A = A Ω Przydatne
Bardziej szczegółowo15. Rachunek prawdopodobieństwa mgr A. Piłat, mgr M. Małycha, mgr M. Warda
1. Każdej karcie bankomatowej jest przypisany numer identyfikacyjny zwany kodem PIN. Kod ten składa się z czterech cyfr(cyfry mogą się powtarzać, ale kodem PIN nie może być 0000). Oblicz prawdopodobieństwo,
Bardziej szczegółowoElementy statystyki opisowej, teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka
Wymagania egzaminacyjne: a) oblicza średnią arytmetyczną, średnią ważoną, medianę i odchylenie standardowe danych; interpretuje te parametry dla danych empirycznych, b) zlicza obiekty w prostych sytuacjach
Bardziej szczegółowoObliczanie prawdopodobieństwa za pomocą metody drzew metoda drzew. Drzewem Reguła iloczynów. Reguła sum.
Obliczanie prawdopodobieństwa za pomocą metody drzew Jeżeli doświadczenie losowe składa się z więcej niż jednego etapu, takich jak serie rzutów kostką lub monetą, zastosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowo12. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA zadania
2. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA zadania Zad.2.. Oblicz ile moŝna utworzyć z cyfr 0,, 2, liczb: a) dwucyfrowych, których cyfry mogą się powtarzać; b) trzycyfrowych o niepowtarzających się cyfrach;
Bardziej szczegółowo1. Elementy kombinatoryki - zadania do wyboru
. Elementy kombinatoryki - zadania do wyboru Bernadeta Tomasz Zadania dodatkowe Zadanie.. Mamy do wyboru mieszkania i auta. Na ile sposobów można dokonać wyboru, jeśli. mamy wybrać mieszkanie i samochód,.
Bardziej szczegółowoRzucamy 10 razy symetryczną monetę. Czy zdarzenia: A - wypadł dokładnie 10 razy orzeł i B reszka wypadła dokładnie 10 razy są zależne?
Zad. Rzucamy 0 razy symetryczną monetę. Czy zdarzenia: A - wypadł dokładnie 0 razy orzeł i B reszka wypadła dokładnie 0 razy są zależne? Zad. Badania statystyczne przeprowadzone wśród studentów wykazały,
Bardziej szczegółowoLista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne
Metody statystyczne. Lista 1. 1 Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Co powinienem umieć Umiejętności znam pojęcie zdarzenia elementarnego znam pojęcie doświadczenia losowego i potrafię
Bardziej szczegółowoZadania z Zasad planowania eksperymentu i opracowania wyników pomiarów. Zestaw 2.
Zestaw. Zadanie.. Prawdziwa wiedza polega na zrozumieniu przyczyn Francis Bacon Zmienna losowa X może przyjmować podane poniżej wartości z określonym prawdopodobieństwem: x i 4 p i / /6 /6 / Przedstaw
Bardziej szczegółowo01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa
01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa Ω zbiór zdarzeń elementarnych. Gdy Ω < oraz P({ω} = 1 Ω, dla każdego ω Ω (tzn. każde zdarzenie elementarne jest równo prawdopodobne, to P (A = A Ω Przydatne
Bardziej szczegółowo01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa
01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa Ω zbiór zdarzeń elementarnych. Gdy Ω < oraz P({ω} = 1 Ω, dla każdego ω Ω (tzn. każde zdarzenie elementarne jest równo prawdopodobne, to P (A = A Ω Przydatne
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.1 Prawdopodobieństwo warunkowe Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Przykład 1 Alicja
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2
ZADANIA - ZESTAW 2 Zadanie 2.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 1 0 2 p k 1/ 1/6 1/2 a) wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej i naszkicować jej wykres, b) obliczyć
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:
Bardziej szczegółowoLista 1a 1. Statystyka. Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne
Lista 1a 1 Statystyka Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej 52 karty
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.1 Prawdopodobieństwo warunkowe Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Przykład 1 Alicja wylosowała jedną kartę z
Bardziej szczegółowoĆw,1. Wypisz wszystkie k-wyrazowe wariacje bez powtórzeń zbioru A = {1, 2,3 }, gdy: a) k = l, b) k = 2, c) k = 3. Wariacje 1 z 6
Wariacje bez powtórzeń Jeśli w doświadczeniu losowym ze zbioru n-elementowego wybieramy k elementów w ten sposób, że: wybrane elementy nie mogą się powtarzać kolejność wybranych elementów jest istotna
Bardziej szczegółowoMetody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer
Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer Model klasyczny prawdopodobieństwa.losowo ustawiam w szeregu klocki z literami MMAAATTYKE. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoLaboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.
Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką: - 0 3 0, 0,3 0, 0,3 0, Naszkicować dystrybuantę zmiennej X. Obliczyć EX oraz VarX.. Zmienna losowa ma rozkład
Bardziej szczegółowoP (A B) P (B) = 1/4 1/2 = 1 2. Zakładamy, że wszystkie układy dwójki dzieci: cc, cd, dc, dd są jednakowo prawdopodobne.
Wykład Prawdopodobieństwo warunkowe Dwukrotny rzut symetryczną monetą Ω {OO, OR, RO, RR}. Zdarzenia: Awypadną dwa orły, Bw pierwszym rzucie orzeł. P (A) 1 4, 1. Jeżeli już wykonaliśmy pierwszy rzut i wiemy,
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.
ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I. Trygonometria. 1. Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. 2. Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych
Bardziej szczegółoworachunek prawdopodobieństwa - zadania
rachunek prawdopodobieństwa - zadania ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności - 9.10.2011 1. (d, 1pkt) Udowodnić twierdzenie 2 tj. własności prawdopodobieństwa (W1)-(W7). 2. Niech Ω = [0, 1] oraz
Bardziej szczegółowoI. FUNKCJA WYKŁADNICZA I LOGARYTMY 1. POTĘGI Zad.1. Zapisz za pomocą potęgi o podanej podstawie:
Strona 1 z 9 I. FUNKCJA WYKŁADNICZA I LOGARYTMY 1. POTĘGI Zapisz za pomocą potęgi o podanej podstawie: 5 4 ( 27) ( ) a), podstawa : ( ) b) 6 ( 9) c), podstawa: (5) d) Oblicz: a) 1 6 4 2 1 1 1 2 (0,25)
Bardziej szczegółowo04DRAP - Prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowite,
04DRAP - Prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowite, wzór Bayesa Definicja. 1. Prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B, gdzie P(B > 0, nazywamy
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 4 Prawdopodobieństwo całkowite i twierdzenie Bayesa. Drzewko stochastyczne. Schemat Bernoulliego. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 2 Magdalena Alama-Bućko 5 marca 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 5 marca 2018 1 / 14 Prawdopodobieństwo klasyczne Ω - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych
Bardziej szczegółowoI. Kombinatoryka i prawdopodobieństwo. g) różnowartościowych, h) bez miejsc zerowych, i) z jednym miejscem zerowym, j) z dwoma miejscami zerowymi,
I. Kombinatoryka i prawdopodobieństwo I.1 Mała Lusia bawi się literkami A,A,A,E,K,M,M,T,T,Y ustawiając je w różnej kolejności. Jakie jest prawdopodobieństwo ustawienia wyrazu MATEMATYKA? I. Wśród funkcji
Bardziej szczegółowoMetody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer
Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer Model klasyczny prawdopodobieństwa. Losowo ustawiam w szeregu klocki z literami MMAAATTYKE. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć
Bardziej szczegółowoZAGADANIENIA NA EGZAMIN USTNY Z MATEMATYKI
ZAGADANIENIA NA EGZAMIN USTNY Z MATEMATYKI SEMESTR I ZESTAW. Podaj liczbę przeciwną i odwrotną do liczby 2 2. Jak zmieniła się cena wyrobu po podwyżce o 20%, a następnie po obniżeniu otrzymanej ceny o
Bardziej szczegółowoa. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych Definicja 1 Przestrzeń probabilistyczna to trójka (Ω, F, P), gdzie Ω zbiór zdarzeń elementarnych, F σ ciało zdarzeń (podzbiorów Ω), P funkcja prawdopodobieństwa/miara
Bardziej szczegółowoP (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
Bardziej szczegółowoa. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych A Zadania na ćwiczenia Zadanie A1 (wskazówka: pierwsze ćwicznia i rozdział 23 przykł 1 i 2) Zbuduj model przestrzeni klasycznej (czyli takiej, w której
Bardziej szczegółowoStatystyka podstawowe wzory i definicje
1 Statystyka podstawowe wzory i definicje Średnia arytmetyczna to suma wszystkich liczb (a 1, a 2,, a n) podzielona przez ich ilość (n) Przykład 1 Dany jest zbiór liczb {6, 8, 11, 2, 5, 3}. Oblicz średnią
Bardziej szczegółowo51. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń.
Matematyka lekcja 5 5. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. I. rzypomnij sobie:. Jak rysujemy drzewo stochastyczne i przy jego pomocy obliczamy prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 1 Elementy kombinatoryki ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Kombinatorykę można określić
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.
ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I GEOMETRIA ANALITYCZNA 1. Równanie prostej w postaci ogólnej i kierunkowej powtórzenie 2. Wzajemne położenie dwóch prostych powtórzenie
Bardziej szczegółowoZmienna losowa. Rozkład skokowy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia
Bardziej szczegółowoKombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Jerzy Rutkowski Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa 2. Elementy kombinatoryki 2.1. Permutacje Definicja 1. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru
Bardziej szczegółowoLaboratorium nr 1. Kombinatoryka
Laboratorium nr 1. Kombinatoryka 1. Spośród n różnych elementów wybieramy k elementów. Na ile sposobów możemy to uczynić? Wypisać wszystkie możliwe wybory w przypadku gdy n=3 i k=2. Wykonać obliczenia
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowoALGEBRA ZDARZEŃ. PRZYKŁAD Ω = {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 } A = {ω 1, ω 2} DEFINICJA Mówimy, Ŝe zdarzenie elementarne w sprzyja zdarzeniu A (A Ω), jeŝeli ω A
ALGEBRA ZDARZEŃ Podobnie jak inne działy matematyki np. geometria, rachunek prawdopodobieństwa wychodzi z pewnych pojęć pierwotnych. Pojęciem pierwotnym rachunku prawdopodobieństwa jest zdarzenie elementarne,
Bardziej szczegółowodr Jarosław Kotowicz 29 października Zadania z wykładu 1
Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia czwarte Schematy rachunku prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne. kierunek: informatyka i ekonometria I dr Jarosław Kotowicz 29 października 20 Spis
Bardziej szczegółowoZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH Z MATEMATYKI
ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH Z MATEMATYKI AUTORZY: Zespół w12i SPIS TREŚCI LICZBY RZECZYWISTE.2 FUNKCJE 11 CIĄGI...27 GEOMETRIA ANALITYCZNA.36 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, STATYSTYKA.44 1 LICZBY RZECZYWISTE
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe Zmienne losowe Prawdopodobieństwo Niezależność
Zdarzenia losowe Zmienne losowe Prawdopodobieństwo Niezależność przypomnienie pojęć ĆWICZENIA Piotr Ciskowski zdarzenie losowe ćwiczenie 1. zbiory Stanisz zilustruj następujące pojęcia: o A B o A B o A
Bardziej szczegółowoLiczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo.
Liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo. Zagadnienia szczegółowe: obliczanie wartości wyrażeń arytmetycznych; działania na pierwiastkach i potęgach;
Bardziej szczegółowoDOŚWIADCZENIA WIELOETAPOWE
. 4. DOŚWIADCZENIA WIELOETAPOWE Drzewem stochastycznym nazywamy graf ilustrujący przebieg wieloetapowego doświadczenia losowego. Wierzchołkom drzewa stochastycznego przyporządkowane są wyniki poszczególnych
Bardziej szczegółowo