METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wkład 5 Elemet algebr aal espoloej Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej
ALGEBRA ZESPOLONA Lcb espoloe pod wględem algebracm tworą tw. cało algebrace. Cało jest to bór elemetów w którm możlwe są astępujące dałaa: dodawae odejmowae możee delee wjątkem elemetu erowego Lcb espoloe mają dwe terpretacje: algebracą geometrcą. W terpretacj algebracej lcbą espoloą awam uporądkowaą parę lcb recwstch. Tradcj aps lcb espoloch wkorstuje tw. jedostkę urojoą oacaą lterą : Perws elemet par lcba awaa jest cęścą recwstą atomast drug elemet lcba awa jest cęścą urojoą. Odpowede oacea: Re Im 0 Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej
ALGEBRA ZESPOLONA INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA W terpretacj geometrcej lcb espoloe traktowae są jako pukt a płascźe prostokątm kartejańskm układem współrędch. =Im ==+ =Re Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej 3
Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej 4 ALGEBRA ZESPOLONA - DZIAŁANIA 0 0 0 0 0 0 0 Dodawae odejmowae lcb espoloch polega a dodawau odejmowau odpowedch elemetów tch lcb: Możee lcb espoloch jest bardej łożoe wraża sę worem: Oblcm gode tą decją kwadrat jedostk urojoej cl lcb =0: Jeżel lcb espoloe którch cęść urojoa jest rówa ero utożsamm lcbam recwstm =+ 0= to możem apsać: 0 0
Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej 5 ALGEBRA ZESPOLONA - DZIAŁANIA 00 3 3 Własość powżsa powala a możee lcb espoloch apsach w tradcjej orme jako dwumaów algebracch: Delee lcb espoloch jest dałaem odwrotm do możea t: Jeżel delk jest lcbą recwstą jego cęść urojoa jest rówa ero to delee jest proste sprowada sę do wkłego delea obdwu cęśc pre delk: 0
ALGEBRA ZESPOLONA - DZIAŁANIA W prpadku gd delk e jest lcbą recwstą ależ albo wkorstać decję delea rowąać odpowed układ rówań lowch albo też wkorstać pojęce tw. lcb sprężoej: Lcbą sprężoą awam lcbę espoloą mającą taką samą cęść recwstą ora cęść urojoą precwego aku cl: Moża auważć że loc daej lcb espoloej ora lcb do ej sprężoej awse jest lcbą recwstą gdż: Delee lcb espoloch a pomocą lcb sprężoch polega a pomożeu delej delka pre lcbę sprężoą do delka. W tak sposób delk staje sę lcbą recwstą a delee jest dalej proste. Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej 6
ALGEBRA ZESPOLONA TRYGONOMETRYCZNY ZAPIS LICZB ZESPOLONYCH MODUŁ I ARGUMENT Geometrca terpretacja lcb espoloch umożlwa upełe sposób apsu lcb espoloch. Podstawowm arędam tego apsu są pojęca modułu argumetu. Modułem daej lcb espoloej awam odległość puktu repreetującego tą lcbę od pocątku układu współrędch. Argumetem daej lcb espoloej awam kąt męd dodatą osą a prostą łącącą da pukt pocątkem układu. O r φ A =+ r Arg Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej 7
TRYGONOMETRYCZNY ZAPIS LICZB ZESPOLONYCH MODUŁ I ARGUMENT Moduł lcb espoloej jest awse lcbą eujemą. Jedą lcbą której moduł wos 0 jest lcba 00. Argumet lcb espoloej jako kąt jest wraża w mere łukowej w radaach meśc sę w akrese: [0π. Ścsłe wacee argumetu wmaga uwględea w której ćwartce leż pukt repreetując daą lcbę espoloą. Podstawowe ależośc trgoometrce prowadą do woru: Arg arcta 0 gde: 0 0 dla 0 0 I ćw. dla 0 II III ćw. dla 0 0 IV ćw. Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej 8
ALGEBRA ZESPOLONA TRYGONOMETRYCZNY ZAPIS LICZB ZESPOLONYCH Uwględając podstawowe ależośc trgoometrce męd modułem argumetem składowm lcb espoloej możem apsać: cos s r r r cos r s r cos r s rcos s rcos s Zaps te awam trgoometrcą postacą lcb espoloch. Postać ta bardo ułatwa możee delee ora potęgowae perwastkowae w dede lcb espoloch. Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej 9
ALGEBRA ZESPOLONA MNOŻENIE Trgoometrca postać lcb espoloch powala a stosukowo prostą terpretację możea delea lcb espoloch. Nech oacają dwe dowole lcb espoloe: r cos s r cos s r cos s r cos s r r cos cos s s cos s cos s rr cos s Możee lcb espoloch jest jedoace możeem modułów dodawaem argumetów. Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej 0
ALGEBRA ZESPOLONA DZIELENIE W podob sposób moża wprowadć odpowed wór określając delee lcb espoloch: r cos s r Zgode tm worem delee jest rówoace deleem modułów odejmowaem argumetów. Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej
ALGEBRA ZESPOLONA - POTĘGOWANIE Stosując własość określającą możee do tego samego elemetu ra otrmujem tw. wór de Movre a powalając potęgować lcb espoloe: r [cos s ] Potęgowae lcb espoloch jest rówoace potęgowaem modułu możeem argumetu pre potęgę. Wór te obowąuje dla całkowtch wartośc. Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej
Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej 3 ALGEBRA ZESPOLONA - PIERWIASTKOWANIE W prpadku perwastkowaa stopa otrmuje sę różch perwastków dla którch wór de Movre a ma postać: 0... s cos k k k r
ANALIZA ZESPOLONA Cąg sereg Podobe jak w bore lcb recwstch w bore lcb espoloch możem ropatrwać pojęca cągu ora seregu. Cągem espolom awam eskońco uporądkowa układ lcb espoloch: { }...... Seregem espolom awam eskońcoą uporądkowaą sumę lcb espoloch:...... Cąg espolo jest beż wted tlko wted gd beże są odpowede cąg recwste cęśc recwstch cęśc urojoch t.: { } { } jest beż. { } { } są beż. Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej 4
ANALIZA ZESPOLONA Cąg sereg Mówm że da sereg lcb espoloch jest beż jeżel beż jest cąg jego sum cęścowch: lm Jeżel da sereg espolo jest beż to beże są róweż odpowede sereg recwste składowch waż jest wór: Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej 5
ANALIZA ZESPOLONA Fukcje Zbór wsstkch lcb espoloch oacam lterą C. Nech D Y będą podboram C. Fukcją espoloą meej espoloej awam jedoace prporądkowae elemetów boru Y elemetom boru D. D C Y C D Y D Y Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej 6
Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej 7 ANALIZA ZESPOLONA Fukcje Zbór D awam dedą ukcj atomast bór Y jest to bór wartośc ukcj. Zbor D Y mogą bć rołące mogą sę pokrwać cęścowo lub całkowce mogą też pokrwać sę e borem C. Elemet bor Y cl wartośc ukcj są ocwśce lcbam espolom t. moża je apsać a pomocą cęśc recwstej urojoej: Fukcje recwste awam cęścą recwstą urojoą daej ukcj. Z powżsego apsu wka że każda ukcja espoloa jest rówoaca układem dwu ukcj recwstch dwu mech. } {
Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej 8 ANALIZA ZESPOLONA Sposob deowaa ukcj espoloch Mam 3 asadce sposob deowaa ukcj espoloch:. Bepośredo a pomocą dałań algebracch t. dodawaa odejmowaa możea delea potęgowaa perwastkowaa. W prpadku użca perwastków koece jest apewee jedoacośc pre wbór jedego wków perwastka. Prkład: 3 3 5
Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej 9 ANALIZA ZESPOLONA Sposob deowaa ukcj espoloch. Za pomocą jawch postac cęśc recwstej urojoej. Prkład: 0 3 3
ANALIZA ZESPOLONA Sposob deowaa ukcj espoloch 3. Za pomocą seregów potęgowch. Wele cekawch ukcj moża deować pr użcu beżch seregów potęgowch. Fukcja taka ma postać: [ a ] 0 Warukem prawdłowej decj jest tw. beżość jedostaja powżsego seregu. Współck seregu a są w ogólm prpadku ukcjam espolom deowam w sposób. W praktce ajcęścej są to stałe lcb recwste ależe od. Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej
ANALIZA ZESPOLONA Sposob deowaa ukcj espoloch Roważm prost ale waż prkład tw. ukcj ekspotecjalej. Nech: a!! 3! 3...!... 0! Jeżel mea ogracm tlko do cęśc recwstej t. prjmem że cęść urojoa jest rówa ero wted = sereg powżs pokrwa sę seregem recwstm określającm wkłą ukcję ekspotecjalą e. Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej
Elemet aal espoloej cd. Różckowae całkowae Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej
ANALIZA ZESPOLONA Fukcja ekspotecjala Metodam aal matematcej moża wkaać że sereg powżej deowa jest jedostaje beż dla dowolej lcb espoloej. W wąku tm ukcję espoloą określoą a pomocą tego seregu róweż awam ukcją ekspotecjalą oacam ją jako e. e de! 0 Poeważ sereg jest beż jedostaje dla dowolej lcb espoloej atem dedą ukcj ekspotecjalej jest cał bór lcb espoloch. Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej
ANALIZA ZESPOLONA Fukcja ekspotecjala Roważm tera ukcję e dla os urojoej t. prjmjm =. W celu badaa ukcj oblcm koleje potęg =: 0 0 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej
e ANALIZA ZESPOLONA Fukcja ekspotecjala Podstawając otrmae wrażea do seregu otrmujem:! Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej 4 4!! 6 6! 3! 3 4 4!... 5 5! 3 3! 6 6! 5 5!...... Po rołożeu seregu a cęść recwstą urojoą stwerdam że cęśc te są rówoace seregowm apsem prostch ukcj trgoometrcch kosus sus: 4 6... cos! 4! 6! 3 5... s 3! 5!
ANALIZA ZESPOLONA Fukcja ekspotecjala Podstawając otrmae aps do wrażea a ukcję ekspotecjalą os urojoej otrmujem sł wór Eulera wążąc ukcję ekspotecjalą ukcjam trgoometrcm: e cos s Moża wkaać że ukcja ekspotecjala meej espoloej speła węksość własośc ukcj e a w scególośc że: e e e W wąku tm: e e e e e e cos s Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej
ANALIZA ZESPOLONA Fukcja ekspotecjala Jeżel otrma wór porówam tw. trgoometrcą postacą lcb espoloch to otrmam pewe własośc espoloej ukcj ekspotecjalej: e e [cos s ] e cos s e e e e Arg e Ora: Re e e cos Im e e s Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej
ANALIZA ZESPOLONA Fukcja ekspotecjala Nech: k k k k 0... 0 0 0 0 0 0 0 0 k 0 e e e k k [cos s ] e [cos s ] e 0 0 0 0 0 k e e 0 Fukcja e jest ukcją okresową!!! o okrese π. Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej
ANALIZA ZESPOLONA Fukcje trgoometrce Za pomocą seregów potęgowch moża opróc ukcj ekspotecjalej deować róweż ukcje trgoometrce meej espoloej. Odpowede decje są uogóleem worów określającch rowęca seregowe ukcj trgoometrcch meej recwstej: s cos ta s cos 3 3!! 5 5! 4 4! cot 7 7! 6 6!...... cos s 0 0!! Fukcje s cos są określoe dla dowolch lcb espoloch. Z apsu seregowego wka że ukcja s jest eparsta atomast cos jest parsta. Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej
ANALIZA ZESPOLONA Fukcje e trgoometrce Moża wkaać że ukcje trgoometrce meej espoloej są ścśle wąae ukcją ekspotecjalą a pomocą ogólego woru Eulera: cos s Napsm powżs wór dla ora. e cos s e cos s cos s Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej
ANALIZA ZESPOLONA Fukcje trgoometrce Dodając odejmując stroam otrmae rówaa dostajem wor wążące ukcje trgoometrce meej espoloej ukcją ekspotecjalą: e e cos cos e e e e s e s e Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej
ANALIZA ZESPOLONA Otocee puktu espoloego Otoceem puktu 0 = 0 + 0 o promeu r awam bór wsstkch lcb espoloch spełającch erówość: r r 0 0 r 0 Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej
ANALIZA ZESPOLONA Pochoda ukcj espoloej Jeżel dla daego puktu 0 daej ukcj espoloej steje otocee tego puktu o promeu r>0 take e dla dowolego cągu > 0 awartego w tm otoceu steje graca: lm 0 0 0 ' 0 to mówm że ukcja jest różckowala w 0 a lcbę awam pochodą ukcj. Poeważ jest meą węc otrmaa w wku różckowaa pochoda róweż jest ową ukcją espoloą. Fukcje espoloe które są różckowale awam ukcjam aaltcm. Różckowae a pomocą powżsej decj jest bardo ucążlwe w praktce e stosowae. Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej
ANALIZA ZESPOLONA Różckowae ukcj espoloch W praktce techka różckowaa espoloego ależ od sposobu deowaa ukcj. Dla ukcj deowach a pomocą worów awerającch operator algebrace proste ukcje elemetare stosuje sę wsstke metod aalogce do różckowaa ukcj recwstch. Prawe wsstke stosowae tam twerdea o różckowau sum locu lorau td. moża preeść bepośredo a różckowae espoloe. W scególośc weloma espoloe ora espoloe ukcje wmere różckuje sę tak samo jak ukcje recwste. Proste ukcje espoloe deowae a pomocą seregów take jak ukcja ekspotecjala ukcje trgoometrce różckuje sę detce jak odpowede ukcje recwste. Mam węc: e ' e s ' cos cos ' s Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej
ANALIZA ZESPOLONA Różckowae ukcj espoloch Istota różca męd różckowaem espolom a recwstm achod dla ukcj deowach a pomocą cęśc recwstej urojoej. Dla tego prpadku obowąuje tw. twerdee Cauch Remaa: Nech 0 0 o. Jeżel ukcja jest różckowala w 0 to steją pochode cąstkowe ukcj ora spełają oe tw. rówaa Cauch Remaa: Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej
ANALIZA ZESPOLONA Różckowae ukcj espoloch. Jeżel ukcje ora określające daą ukcję espoloą spełają powżse rówaa Cauch Remaa a wsstke pochode cąstkowe wstępujące w tch rówaach są cągłe w pukce 0 0 to ukcja espoloa = + jest różckowala a jej pochoda wraża sę worem: ' Techka różckowaa a pomocą twerdea Cauch Remaa polega a ajdowau odpowedch pochodch cąstkowch ukcj składowch. Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej
ANALIZA ZESPOLONA Różckowae ukcj espoloch Prkład: e cos e s Mam atem: e cos e s W celu różckowaa tej ukcj ależ ajperw sprawdć jej różckowalość a pomocą rówań Cauch Remaa. Musm atem wacć 4 pochode cąstkowe: e cos e cos e s e s Wdm że rówaa Cauch Remaa są spełoe. Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej
ANALIZA ZESPOLONA Różckowae ukcj espoloch e cos e cos e s e s Zatem gode e worem Cauch Remaa możem wacć pochodą: ' e cos e s!!! Cl pochoda tej ukcj jest tożsama tą ukcją. Ale moża sprawdć że ukcja ta jest rówoaca ukcją ekspotecjalą węc własość ta jest ocwsta. Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej
ANALIZA ZESPOLONA Różckowae ukcj espoloch W prpadku ukcj deowach a pomocą seregu możem skorstać jedostajej beżośc tego seregu różckować sereg wra po wrae. Prkładowo różckujm ukcję ekspotecjalą deowaą a pomocą seregu:!! 3!! 3...... 0 3 ' 0......!! 3!! 0 e!!...... Otrmalśm ocwstą postać pochodej ukcj ekspotecjalej. Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej
ANALIZA ZESPOLONA Całkowae ukcj espoloch W prpadku ukcj espoloch podstawową operacją odwrotą do różckowaa jest tw. całkowae krwolowe. Tera deujem pojęce całk ukcj espoloej po pewej l leżącej w płascźe espoloej. Nech będe daą ukcją espoloą a K pewą lą regularą gładką leżącą w dede ukcj acającą sę w pukce p końcącą sę w k. k = - K - p = 0 Podelm lę K a skońcoą lcbę cęśc a pomocą puktów: 0...... p Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej k
ANALIZA ZESPOLONA Całkowae ukcj espoloch k = - K - p = 0 Z każdej cęśc wberm dowol pukt Dla każdej cęśc możem oblcć różcę Utwórm tera sumę Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej S [ ] Jeżel tera będem węksać lcbę dla każdego owego podału l będem powtarać powżsą operację to otrmam cąg lcb espoloch S. Jeżel cąg te ma gracę to ukcja jest całkowala a gracę awam całką krwolową ukcj po krwej K oacam worem:
ANALIZA ZESPOLONA Całkowae ukcj espoloch lm S d 0 K Z pojęcem całk krwolowej wąae jest pojęce ukcj perwotej. Mówm że ukcja F jest ukcją perwotą do ukcj w obsare D jeżel w każdm pukce tego obsaru achod rówość F =. Fukcję perwotą ora całkę krwolową łąc astępujące twerdee: Jeżel ukcja jest cągła w obsare D ma w tm obsare ukcję perwotą F to całka krwolowa po dowolej l regularej awartej w D o pocątku p końcu k wraża sę prostm worem: d F k F p Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej K
Na tm końcm dsejs wkład. Dękuję bardo Państwu a uwagę. Pro. Ato Kooł Wdał Chemc Poltechk Wrocławskej